18c0693f

Регулярные множества и их представления


В разделе 3.3.3 приведен алгоритм построения детерминированного конечного автомата по регулярному выражению. Рассмотрим теперь как по описанию конечного автомата построить регулярное множество, совпадающее с языком, допускаемым конечным автоматом.

Теорема3.1. Язык, допускаемый детерминированным конечным автоматом, является регулярным множеством.

Доказательство. Пусть L - язык допускаемый детерминированным

конечным автоматом M = ({q1, ..., qn}, T, D, q1, F). Введем De - расширенную функцию переходов автомата M: De(q, w) = p, где w

T*, тогда и только тогда, когда (q, w)
*(p, e).

Обозначим Rijk множество всех слов x таких, что De(qi, x) = qj и если De(qi, y) = qs

для любой цепочки y - префикса x, отличного от x и e, то s

k.

Иными словами, Rijk есть множество всех слов, которые переводят конечный автомат из состояния qi

в состояние qj, не проходя ни через какое состояние qs

для s > k. Однако, i и j могут быть больше k.

Rijk может быть определено рекурсивно следующим образом:

  • Rij0 = {a|a
    T, D(qi, a) = qj},

  • Rijk = Rijk-1

    Rikk-1(Rkkk-1)*Rkjk-1, где 1

    k
    n.

    • Таким образом, определение Rijk означает, что для входной цепочки w, переводящей M из qi в qj без перехода через состояния с номерами, большими k, справедливо ровно одно из следующих двух утверждений:

  • Цепочка w принадлежит Rijk-1, т.е. при анализе цепочки w автомат никогда не достигает состояний с номерами, большими или равными k.

  • Цепочка w может быть представлена в виде w = w1w2w3, где w1
    Rikk-1 (подцепочка w1 переводит

    M сначала в qk), w2

    (Rkkk-1)* (подцепочка w2 переводит M из qk обратно в qk, не проходя через состояния с номерами, большими или равными k), и w3
    Rkjk-1 (подцепочка w3 переводит M из состояния qk в qj) - рис. 3.16.


    • Рис. 3.16:

    Тогда L =

    qj

    FR1jn. Индукцией по k можно показать, что это множество является регулярным. __

    Таким образом, для всякого регулярного множества имеется конечный автомат, допускающий в точности это регулярное множество, и наоборот - язык, допускаемый конечным автоматом есть регулярное множество.


    Рассмотрим теперь соотношение между языками, порождаемыми праволинейными грамматиками и допускаемыми конечными автоматами.

    Праволинейная грамматика G = (N, T, P, S) называется регулярной,

    если

    Лемма. Пусть G - праволинейная грамматика. Существует регулярная грамматика G' такая, что L(G) = L(G').

    Доказательство. Предоставляется читателю в качестве упражнения. __

    Теорема 3.2. Пусть G = (N, T, P, S) - праволинейная грамматика. Тогда существует конечный автомат M = (Q, T, D, q0, F) для которого L(M) = L(G).

    Доказательство. На основании приведенной выше леммы, без ограничения общности можно считать, что G - регулярная грамматика.

    Построим недетерминированный конечный автомат M следующим образом:

    M, читая вход w, моделирует вывод w в грамматике G. Покажем, что L(M) = L(G). Пусть w = a1a2...an
    L(G), n
    1. Тогда

    для некоторой последовательности нетерминалов A1, A2, ..., An-1. По определению, D(S, a1) содержит A1, D(A1, a2) содержит A2, и т.д., D(An-1, an) содержит R. Так что w
    L(M), поскольку De(S, w) содержит R, а R
    F. Если e
    L(G), то S
    F, так что e
    L(M).

    Аналогично, если w = a1a2...an
    L(M), n
    1, то существует последовательность состояний S, A1, A2, ..., An-1, R такая, что

    D(S, a1) содержит A1, D(A1, a2) содержит A2, и т.д. Поэтому



    - вывод в G и x
    L(G). Если e
    L(M), то S
    F, так что S
    e
    P и e
    L(G). __

    Теорема 3.3. Для каждого конечного автомата M = (Q, T, D, q0, F) существует праволинейная грамматика G = (N, T, P, S) такая, что L(G) = L(M).



    Доказательство. Без потери общности можно считать, что автомат M - детерминированный. Определим грамматику G следующим образом:

    Доказательство того, что S
    *w тогда и только тогда, когда De(q0, w)
    F, аналогично доказательству теоремы 3.2. __




    Все публикации раздела