Влияние вязкого трения

Общее решение. Основное уравнение вынужденных колебаний с учётом вязкого трения принимает вид

(106)

где

Оно отличается от соответствующего уравнения при свободных колебаниях наличием правой части, а от уравнения вынужденных колебаний системы без трения - наличием второго слагаемого в левой части. Для получения общего решения воспользуемся способом, который применялся выше при решении подобной задачи для n = 0.

Пусть к системе с одной степенью свободы в момент времени

прикладывается мгновенный импульс; последующий колебательный процесс можно описать уравнением

(107)

Определим постоянные А и

из условий начала движения: при

должно быть Х=0,

Первое условие даёт

Из второго условия найдём

где

Таким образом, свободные колебания, вызванные импульсом S, описываются законом

и носят затухающий характер.

Как и выше, будем рассматривать возмущающую силу

в виде последовательности бесконечно малых импульсов

. Тогда общее решение задачи о действии силы F(t) принимает вид

, (108)

причём закон изменения силы F(t) может быть любым.

Гармоническая возмущающая сила. В практически важном случае действия гармонической силы

решение (108) даёт

(109)

где

(110)

(111)

Введём, как и выше, динамический коэффициент

(112)

Динамический коэффициент

не обращается в бесконечность ни при каких значениях частоты возмущения p; этим найденный результат существенно отличается от решения, полученного выше без учёта неупругого сопротивления. Зависимость

от отношения частот

при различных значениях отношения

приведена на рис. 45,a. Максимум динамического коэффициента несколько смещён в сторону от абсциссы

Однако это смещение мало, и можно приближённо определять

подставляя в (112)

т.е.

Отсюда видно, что максимум динамического коэффициента обратно пропорционален коэффициенту затухания n.
Из графиков (рис.45,a) следует, что силы вязкого сопротивления оказывают заметное влияние только в околорезонансной области. Это позволяет в удалении от резонанса принимать для

кривую, построенную без учёта вязкого сопротивления (рис. 41,a), а во всей околорезонансной области принимать

Рис. 45

Рассмотрим вопрос о "запаздывании" колебаний. Фазовый угол

определяется (111) и зависит от отношения частот

(рис. 45,б).

Как видно, при малых частотах p угол

невелик. При резонансе

фазовый угол равен

, т.е. в те мгновения, когда сила максимальна, перемещение равно нулю. При высоких частотах фазовый угол близок к

, т.е. максимуму силы соответствует максимум перемещения.

Действие периодических импульсов. В качестве исходного выражения примем вместо (104) закон свободных затухающих колебаний

. (113)

Дифференцируя, получим выражение скорости

.

Начало отсчёта совместим с временем

(рис.44,б). Для мгновения

можно записать

;

.

В мгновение

перемещение и скорость вновь равны

(114)

где S- величина импульса.

Из (114) находим

(115)

Вычислив

, можно по (113) найти решение х.

Особый интерес представляют резонансные режимы, при которых период импульсов T в целое число раз больше собственного периода колебаний

. Обозначим это число через

.

Тогда

,

и по (115) находим

;

.

При малых значениях

можно считать

т.е.

,

и решение имеет вид

.

Наибольшее значение (резонансная амплитуда) приблизительно составляет

,

т.е. оказывается обратно пропорциональным коэффициенту вязкого сопротивления (как и в случае гармонического возмущения). Коэффициент повторности при резонансе получим, разделив

на амплитуду колебаний, вызванных однократным ударом

,

т.е. с увеличением r (уменьшением частоты импульсов) резонансные амплитуды убывают.

Все публикации раздела