в точках расположения масс m1

Прикладываем поочередно силу

в точках расположения масс m1 и m2 и строим эпюры изгибающих моментов

(рис. 29,б).

Путем перемножения соответствующих эпюр способом Верещагина вычисляем единичные перемещения:

Частотный определитель:

Рис. 29
или

где

Частотное уравнение:

Собственные частоты колебаний:

Система алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний А1 и А2:

Полагая А1=1, находим А2 из первого уравнения системы сначала при

, а затем при

Формы колебаний представлены на рис. 29,г,д.
Проверяем выполнение условия ортогональности:

Пример 8. Определитель частоты свободных колебаний балки с тремя равными сосредоточенными массами m (рис. 30,а), если m=0,5

;

=8 м;

Решение
Так как система и расположенные на ней массы симметричны, то задача может быть решена с использованием симметрии.
Строим единичные эпюры изгибающих моментов

(рис. 30,б,в,г).
Вычисляем единичные перемещения путем перемножения соответствующих эпюр по способу Верещагина:
.

Рис. 30

Определитель для симметричных колебаний составляем с учетом того, что перемещения от групповой силы

, состоящей из двух сил, получились удвоенными, поэтому соответствующая масса вводится с коэффициентом 0,5:

,
или

Соответствующее частотное уравнение:

Собственные частоты симметричных колебаний:

Частотное уравнение для обратно симметричных колебаний:

Пример 9. Определить собственные частоты и формы колебаний системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс

укрепленных на стальном валу с жестокостями

(рис. 28,б).

Уравнения движения системы, составленные прямым методом, таковы:

Решение системы ищем в виде

После подстановки получаем систему однородных алгебраических уравнений:

Приравнивая определитель системы нулю и раскрывая его, получим частотное уравнение

Собственные частоты колебаний:

Нулевая частота соответствует повороту вала и дисков как жесткого целого.
Для ненулевых частот определяем собственные формы колебаний, принимая А2 = 1.
Соотношение между амплитудами:

Первая форма колебаний при

Вторая форма колебаний при

Пример 10. Методом последовательных приближений определить две низших частоты собственных колебаний судовой дизельной установки по уточненной схеме, состоящей из дисков 1-6, к которым приведены кривошипы двигателей, маховика 7 и гребного винта 8 с присоединенными массами гребного вала и воды (рис.31,а) при следующих данных:

Значения частот в первом приближении определить для упрощенной трехдисковой схемы (рис. 31,б).

Рис. 31

Для приближенного определения двух низших частот образуем упрощенную схему (рис.31,б), в которой первые шесть дисков заменены одним общим, причем

Длина участка

в упрощенной схеме в 3,5 раза больше длины каждого участка между дисками 1-6 в исходной схеме, поэтому жесткости участков вала в упрощенной схеме

Таблица 1

№ диска	I		A			C
1	0,28	144,48	1,000	144,48	144,48	2.104	0,007
2	0,28	144,48	0,993	143,47	287,95	2.104	0,014
3	0,28	144,48	0,979	141,45	429,40	2.104	0,021
4	0,28	144,48	0,958	138,34	567,74	2.104	0,028
5	0,28	144,48	0,930	134,31	702,05	2.104	0,035
6	0,28	144,48	0,895	129,29	831,34	2.104	0,042
7	8,4	4334,4	0,853	3699,12	4530,46	1,2.103	3,775
8	3,0	1548,0	-2,922	-4523,85	6,61

В соответствии с (70) частотное уравнение для упрощенной схемы имеет вид

Приближенные значения двух низших частот:

В качестве первого приближения для уточнения первой собственной частоты колебаний принимаем

. Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Полученное значение остатка

= 6,61 означает, что принятое в первом приближении значение

незначительно отличается от истинного, поэтому во втором приближении принимаем:

. Результаты расчетов сведены в табл. 2.
Таблица 2

№ диска	I		A			C
1	0,28	148,4	1,000	148,4	148,4	2.104	0,007
2	0,28	148,4	0,993	147,3	295,7	2.104	0,015
3	0,28	148,4	0,978	145,2	440,9	2.104	0,022
4	0,28	148,4	0,956	141,9	582,8	2.104	0,029
5	0,28	148,4	0,927	137,6	720,4	2.104	0,036
6	0,28	148,4	0,891	132,2	852,6	2.104	0,043
7	8,4	4452,0	0,848	3776,9	4629,5	1,2.103	3,858
8	3,0	1590,0	-3,01	-4785,8	-156,3

Частотное уравнение (75) после подстановки в него заданных числовых значений принимает вид

Собственные частоты:

Для определения собственных форм колебаний воспользуемся формулой (76)

Собственные формы колебаний представлены на рис. 34,а,б.

Рис. 34
Первая форма представляет собой, в основном, «подпрыгивание» кузова, а вторая - «галопирование».
Убедимся в ортогональности этих форм. Условие ортогональности имеет вид

Частота возмущающей силы:

При наступлении резонанса

, т.е.

,
отсюда находим длину балки при резонансе:

Для выполнения условия

двигатель нужно расположить на расстоянии:

Амплитуда вынужденных колебаний:

где

прогиб от статического действия силы

Статический прогиб от собственного веса двигателя:

Статическое напряжение:

.
Динамический коэффициент:

.
Динамическое напряжение:

Пример 13. К валу переменного сечения с жёстко заделанными концами прикреплён маховик, на который действует переменный момент

(рис.46,б). Определить максимальные касательные напряжения в левой и правой частях вала, если

коэффициент сопротивления

Массой вала пренебречь.
а

Рис. 46

Жёсткость вала:

Собственная частота колебаний:

Угол поворота маховика от действия момента, равного амплитуде возмущающего момента:

.
Амплитуда колебаний:

Соответствующий динамический момент:

Максимальные касательные напряжения в левой и правой частях вала:

Пример 14. Вдоль пути синусоидального профиля

(рис.47) с постоянной горизонтальной скоростью V движется колесо, на котором упруго подвешен груз массой m. Определить наибольшее допустимое значение коэффициента жёсткости подвески С, если требуется, чтобы амплитуда абсолютных колебаний груза не превышала

Рис. 47

Подставляя в уравнение профиля пути

, найдём ординаты нижнего конца пружины в функции времени:

Обозначая через у абсолютное вертикальное перемещение груза, отсчитываемое от равновесного уровня, дифференциальное уравнение движения запишем в виде

или

.
Отсюда следует, что эквивалентная вынуждающая сила

,
т.е. её амплитуда равна

.
Амплитуда абсолютных колебаний груза:

.
По условиям задачи

, следовательно,

< 0.5,
тогда
c <

.
Пример 15. Двигатель весом 2,4 т установлен на десяти одинаковых пружинах диаметром

. Диаметр сечения витка пружины

; модуль сдвига материала пружины

; частота вращения двигателя

. Определить число витков пружины, необходимое для того, чтобы динамический коэффициент установки был равен 0,2.

Отношение

определим, используя поставленное в условиях задачи ограничение:

.
Частота возмущающей силы:

.
Необходимое значение собственной частоты:

.
Необходимая жёсткость всех пружин:

.
Число витков:

.
Следует принять, по крайней мере, 17 витков, так как увеличение числа витков снижает жёсткость системы и уменьшает динамический коэффициент. Если принять

, то динамический коэффициент окажется больше, чем задано в условиях задачи.
Пример 16. На двух балках посередине пролёта установлен двигатель массой

. Балки (двутавр №20) имеют шарнирное опирание по концам. Ротор двигателя массой

имеет эксцентриситет

. Определить, при какой частоте вращения наступает резонанс и чему равно при этом нормальное максимальное напряжение. Коэффициент сопротивления

; длина пролёта

;

. Учесть массу балок.

Приведенная масса системы:

,
где

погонная масса балки.
Собственная частота колебаний:

.
Принимая

, находим частоту вращения двигателя при резонансе:

.
Статический прогиб от амплитудного значения возмущающей нагрузки:

;

.
Амплитуда колебаний:

.
Статический прогиб:

.
Статическое напряжение:

.
Динамическое напряжение:

.

Уравнение движения масс:

Решение уравнений ищем в виде

После подстановки получим систему алгебраических уравнений

Единичные эпюры моментов, необходимые для вычисления коэффициентов

представлены на рис.53,б,в.
Перемножая соответствующие эпюры по способу Верещагина, получим значения перемещений

Частота вибрационной нагрузки:

После подстановки в систему алгебраических уравнений находим амплитуды колебаний:

Рис. 53
Соответствующие динамические нагрузки

и Fg2 определяем из системы уравнений

Так как А1 и А2 близки по величине, то

м,
тогда

кн.
С учетом статической нагрузки находим

кн.
Максимальное напряжение в балках:

.
Пример 18. Построить эпюру динамических изгибающих моментов для невесомой балки пролетом l = 4м при действии возмущающей силы

(рис.54,а), если

Решение.
Опуская вид единичных эпюр(см. пример 7), приведем значения перемещений

Эпюра от амплитудного значения возмущающей силы показана на рис.54,б.
Перемножая эпюру

с эпюрами

(рис.29) находим:

Рис. 54
Собственные частоты колебаний балки вычислены ранее (пример 7) и равны:

«Исправленные» главные перемещения:

Система канонических уравнений динамического варианта метода сил для вычисления сил инерции X1 и X2 имеет вид:

После подстановки числовых значений коэффициентов получим:

Силы инерции:

Используя формулу:

строим эпюру динамических изгибающих моментов Mдин (рис.54,в).
Пример 19. Построить эпюру динамических изгибающих моментов в симметричной раме (рис.55,а) при действии на нее симметричной динамической нагрузки

Частота возмущающих сил

Сосредоточенные массы одинаковы и располагаются посредине каждого стержня.
Решение.
Так как вибрационная нагрузка симметрична, то формы вынужденных колебаний также будут симметричными. Групповые симметричные неизвестные силы инерции показаны на рис.55,б. Эпюры моментов от единичных сил

, действующих по направлению сил инерции, показаны на рис.55,в,г,д.

Точное значение низшей частоты такой консоли вычислено Кирхгофом в виде

.
Для приближенного решения принимаем

Каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи

при х=

.
Если ограничиться одним членом разложения, то по методу Рэлея

,
при этом ошибка составляет около 3 %.
Чтобы получить лучшее приближение, возьмем два члена разложения, подставив их в (274),

.
Дифференцируя это выражение по С1 и С2 поочередно, приходим к системе уравнений

.
Приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов этих уравнений, получим частотное уравнение, меньший корень которого

,
что даёт ошибку 0,1 %.