Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок
Метод Рэлея-Ритца позволяет расчетным путем приближенно определять частоты собственных колебаний пластинок переменной толщины и, в частности, дисков турбомашин. Преимуществом этого метода является также возможность легко учесть влияние на частоту различных побочных факторов, например начальных напряжений в срединной поверхности пластинки.
Потенциальная энергия деформации пластинки при ее изгибе по форме, определяемой функцией
где
Обобщенная масса пластинки
В соответствии с методом Рэлея-Ритца форма колебаний задается в виде ряда
где каждая из координатных функций
Равенство нулю определителя системы уравнений
позволяет определить частоты собственных колебаний.
Если в (335) ограничиваются одним слагаемым, то частота определяется по формуле Рэлея
Можно задаваться выражением для формы колебаний, в которое параметры
В этом случае уравнения метода Рэлея-Ритца (336) оказываются нелинейными и проще исходить не из них, а из условий экстремума выражения (337), причем значения параметров, при которых достигается этот экстремум, находятся численными методами.
Рассмотрим в качестве примера заделанную по контуру прямоугольную пластинку постоянной толщины. Ограничиваясь одним слагаемым выражения (335), принимаем
Проводя вычисления по (333) и (334), находим
Для частоты колебаний получаем
При
что на 3,3 % выше точного значения.
При расчете колебаний круглых пластин целесообразно использовать выражения энергии деформации и обобщенной массы в полярных координатах
где интегрирование выполняется по всей срединной поверхности пластинки.
При изучении колебаний осесимметричных пластин полагают
В этом случае интегрирование по
Для сплошной свободной пластинки вычисления упрощаются, если принять функцию
где
Тогда
Чтобы оценить погрешность метода, применим его для расчета частоты колебаний диска постоянной толщины при двух узловых диаметрах. В этом случае
Отсюда находим
Минимальное значение частоты при
что дает ошибку порядка 5 %.