18c0693f

Определение форм и частот колебаний


Для круглой пластины в уравнениях (317) для амплитудной функции

 следует перейти к полярным координатам
. В этих координатах оператор Лапласа имеет вид

Таким образом, уравнение (317) в полярных координатах принимает форму

                         (325)

Решения этих уравнений, соответствующие колебаниям пластины с n

узловыми диаметрами, можно представить в виде

После подстановки этого выражения приходим к уравнениям:

                           (326)

                            (327)

Решениями уравнения (326) являются бесселевы функции порядка

 первого
 и второго
 рода; решениями уравнения (327) - модифицированные бесселевы функции
,
. Таким образом, общее выражение амплитудной функции с
 узловыми диаметрами таково:

          (328)

Для кольцевой пластинки имеются четыре граничных условия (по два на каждом краю), которые образуют однородную систему уравнений относительно констант

 Для сплошной пластинки в выражении (328) равны нулю коэффициенты
 и
 при функциях, стремящихся к бесконечности при
 Граничные условия на внешнем контуре пластинки образуют в этом случае однородную систему уравнений относительно
 и
. Частотное уравнение получается путем приравнивания нулю определителя системы.

В качестве примера рассмотрим колебания свободной сплошной круглой пластинки. В этом случае на контуре должны выполняться условия:

Изгибающий момент определяется формулой

Поперечная сила:

 

Крутящий момент:

Таким образом, граничные условия имеют вид

                     (329)

Учитывая, что

 является решением уравнения
, а
 - уравнения
, находим

При подстановке в (329) вместо

 его выражения

учтем правила дифференцирования функций Бесселя:

В результате приходим к уравнениям

Здесь аргументом всех бесселевых функций является величина

, где
 - радиус пластинки.

Значения

, обращающие в нуль определитель полученной системы, связаны с собственными частотами равенством

 

Если ограничиться формами колебаний без узловых окружностей, то значениям

 и
 соответствуют смещения пластинки как жесткой и нулевые частоты.
При
 ( два узловых диаметра) частотное уравнение можно привести к виду



При
 наименьший корень этого уравнения


 и соответствующая частота собственных колебаний



Для заделанной по контуру пластинки граничные условия



Частотное уравнение






Все публикации раздела