Метод последовательных приближений

Докажем, что обычный процесс последовательных приближений приводит к первой собственной форме колебаний. Основой процесса является сравнение двух кривых аn и аn+1, из которых вторая получается как линия прогибов, вызванных нагрузкой man; при этом приближенное значение квадрата частоты определяется по формуле

. (280)

Подобно выражению (265) представим исходную кривую

в виде ряда

(281)

Тогда нагрузка, соответствующая прогибам

, такова:

(282)

Рассмотрим одно из слагаемых этой нагрузки -

. От нагрузки

прогибы будут

, поэтому от нагрузки

прогибы будут в

раз больше, т.е. составят

. Следовательно, кривая прогибов от суммарной нагрузки определяется рядом

(283)

который отличается от ряда (282) тем, что каждый член ряда разделен на квадрат соответствующей частоты. Так как

то кривая

ближе к

, чем исходная кривая

; члены ряда, содержащие

и искажающие основную форму

, представлены в ряде (283) слабее, чем в ряде (281). Продолжая процесс дальше, получим для

кривой

. (284)

Как видно, при

высшие формы исчезают; следовательно, какой бы ни была выбрана исходная кривая (например, даже очень похожей на вторую собственную форму), процесс в конечном итоге приведет именно к первой собственной форме.

Поэтому может показаться, что попытка построить вторую собственную форму при помощи этого метода обречена на неудачу, так как всякое искажение, вносимое первой формой в приближенную вторую форму, будет постепенно увеличиваться; после большого числа построений второй тип колебаний совершенно исчезнет, и останется лишь первый тип.

Однако несколько видоизменяя метод, можно добиться того, что в результате последовательных приближений «очистится» не первая, а именно вторая собственная форма колебаний. Этот прием нашел практическое применение при расчете изгибных колебаний крыльев самолетов и лопаток турбин.

Прием основан на устранении формы

из исходной функции

.
Допустим, что в разложении (281) отсутствует слагаемое, соответствующее первой форме, тогда оно не сможет возникнуть при всех последующих операциях, и ряд (284) принимает вид

При

исчезнут все формы колебаний, кроме второй. Чтобы процесс последовательных приближений привел именно ко второй форме, нужно из исходной функции

исключить первую собственную форму

. Это можно сделать, приняв в качестве основы для построения второго приближения функцию

(285)

где

- «подходящая» функция;

- предварительно найденная первая собственная форма.

Коэффициент

следует принять таким, чтобы форма

была ортогональна первой собственной форме

Подставляя сюда (285), получим

Далее от нагрузки

следует определить прогибы

. Если при помощи (285) первая форма

исключена совершенно точно, то функция

будет ближе ко второй форме, а последующие операции обеспечат сколь угодно близкое приближение к

.

Однако первая собственная форма может быть известна лишь приближенно, поэтому операция, заключенная в (285), не гарантирует полного освобождения от первой формы

. В связи с этим при продолжении процесса нужно снова исправить функцию

и принять

(286)

где коэффициент

также определяется условием ортогональности

функций

которое после подстановки (286) дает

Затем следует определить кривую

от нагрузки

, вновь исправить ее по формуле:

и т.д.

В таком процессе последовательных приближений ортогонализация сопровождает каждый шаг выкладок и, непрерывно вытесняя «примесь» первой формы, приведет ко второй собственной форме и второй частоте, которая, подобно (280), определится формулой

Таким же образом при помощи сопровождающей ортогонализации можно определить третью собственную форму и третью частоту и т.д.

Все публикации раздела