Математическое моделирование течений вязкой жидкости

Двухслойная схема пристенной турбулентности

Чтобы подчеркнуть главную особенность турбулентного движения около твердой стенки, рассмотрим установившееся движение жидкости вдоль безграничной пластины ['7]. Расположим ось координат так, чтобы ось х была направлена вдоль пластины, а ось у - по нормали к ней (рис. 11). При такой идеализации течения, когда поток совершает  плоское стационарное осредненное движение при отсутствии массовых  сил, любые два сечения, перпендикулярные линиям тока, идентичны  в кинематическом и динамическом смысле. Это позволяет полагать все производные по X равными нулю, компоненты скорости а составляющая скорости  и другие элементы движения зависят только от У:
Сравним между собой ламинарное и осредненное турбулентное движения такого типа.

Замечая, что ux=ux(y); uy=uz=0; p=p(y), получим уравнения Навье -Стокса ламинарного движения в виде:
а) ;  (2.17)
 б).           (2.18)
Проинтегрируем эти уравнения, преобразовав (2.17) к виду:
а), - здесь в качестве постоянной интегрирования принято напряжение трения на стенке.
б) р=const.
После повторного интегрирования уравнения (2.17) распределение скоростей ux(y) в ламинарном потоке будет:
.
При y=0 ux=0, т.е. на стенке скорость обращается в нуль, что дает постоянную интегрирования С2=0.
Тогда получаем следующее распределение скоростей ux(y) в ламинарном потоке: .
Это свидетельствует о линейном профиле скоростей в ламинарном потоке и о постоянстве напряжения трения между любыми слоями в осредненном движении, равного напряжению трения на стенке:
.
Перейдем теперь к турбулентному движению, описываемому в нашем случае уравнением Рейнольдса. Будет считать, что для безграничной пластины все параметры потока не зависят от х. Отбросив черточки над осредненными величинами скоростей (поскольку рассматривается  осредненное движение), получим уравнение Рейнольдса осредненного движения несжимаемой вязкой жидкости.
В исходном виде уравнение Рейнольдса движения несжимаемой вязкой  жидкости имеет вид:
.
Так как все производные по Х равны нулю (поскольку все параметры потока не зависят от Х); uy=0 для тонкой пластины, то, опуская черточки над uх, получаем:

Тогда формула для турбулентного напряжения трения, называемая формулой Прандтля, имеет  вид:

, (2.24)

где l - длина перемешивания, характеризующая собой масштаб турбулентности (т.е. средний размер связанных объемов жидкостей, участвующих  в турбулентном переносе).

Замечая, что расстояние "у'' данной точки от твердой стенки представляет собой единственную характерную для этой точки в безграничном  потоке длину, Прандтль предложил наиболее простую зависимость

l=æ×у,

где æ - коэффициент пропорциональности (числовая константа, определяемая  из опыта). Необходимо отметить, что эта формула имеет место лишь в пристеночной области. Подставив эту зависимость в формулу ( 2.24), получим:

.

Решая это уравнение относительно и интегрируя по "у", получим профиль скоростей при турбулентном движении:

.  (2.25)

Этот так называемый логарифмический профиль скоростей в турбулентном потоке существенно отличается от ламинарного линейного распределения скоростей вблизи стенки.

Так как последняя формула была выведена в предположении, что исследуется движение на некотором расстоянии от стенки, то она может и не удовлетворяться при у=0 и, следовательно, нельзя находить произвольную постоянную "С"- из граничных условий на стенке. Действительно, при у = 0 скорость должна быть равна нулю, а по уравнению при у=0 будет . Поэтому для определения  постоянной интегрирования "С" приходится выделять вблизи твердой границы тонкий "вязкий подслой" с линейным профилем скоростей, а затем произвести сращивание логарифмического решения с линейным.

Согласно прежним рассуждениям, будем искать такое расстояние от стенки у=dл, для которого при уdл - турбулентное трение, т.е. при уdл - турбулентным.  Величина dл называется толщиной ламинарного вязкого подслоя.  В действительности такой резкой границы между пристеночным подслоем ламинарного движения и областью турбулентного движения не существует.

Математическая модель

осредненного турбулентного движения
Пусть имеем систему уравнений пограничного слоя:
     (2.1)
Так как первый член в правой части первого уравнения системы (2.1) записан как , а не , то надо оставить  и второе уравнение, чтобы сохранилась корректность системы уравнений пограничного слоя.
Для описания турбулентного движения Рейнольдс предложил следующий  прием. Регистрируя во времени скорости и давления в данной точке  потока, можно их представить как:
,
где  - действительно существующие в потоке мгновенные (актуальные) проекции скорости и давления;  - осредненные во времени их значения;  - пульсации проекций скорости и давления.
Под осредненным значением параметра понимается обычное интегральное  среднее по времени t за промежуток T , называемый, периодом осреднения:
;  ;  .
В турбулентном движении добавляется пульсационная составляющая скорости (рис.10), в результате чего наблюдается вихревое движение, при котором сопротивление значительно возрастает. Таким образом, турбулентное течение обладает бóльшим сопротивлением по сравнению с ламинарным движением.
Предложение Рейнольдса имеет физический смысл, поскольку турбулентное движение жидкости характеризуется непрерывными случайными пульсациями давления,  компонент скорости и других гидродинамических величин. При этом каждая реализация турбулентного движения в одних и тех же условиях индивидуальна, т.е. процесс является случайным (недетерминированным).

Поскольку все пульсирующие величины можно разложить на средние по ансамблю реализаций турбулентного течения - математические ожидания (обозначаемые черточками сверху), и собственно пульсации (обозначаемые штрихами), то и приходим к Рейнольдсову представлению случайного поля:
.
(Если ограничиться несжимаемой однородной жидкостью, то r=const и, следовательно,  .
Поле осредненных величин называется осредненным движением, а поле мгновенных значений - актуальным движением. Если осредненное движение не меняется со временем, поток называется установившимся или стационарным.
В силу эргодического свойства стационарных случайных полей в установившемся потоке результат осреднения той или иной гидродинамической  переменной по реализациям турбулентного движения совпадает с результатом осреднения по времени для любой одной реализации.

В настоящее время турбулентное движение принято характеризовать осредненным по времени значением величин. В уравнениях сохранения массы, количества движения и энергии в потоке вязкой жидкости истинные (мгновенные) величины заменяются осредненными во времени их значениями следующим образом. Истинные величины в данной точке турбулентного потока раскладываются  на осредненные и пульсационные их значения, что соответствует физическому представлению турбулентного движения. Тогда уравнения неразрывности, движения и энергии для осредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости в общем случае получаются из исходных уравнений после замены в них истинных значений переменных осредненными их значениями и пульсациями с последующим осреднением этих параметров по времени. При введении в действие новых переменных добавляется три неизвестных: , и задача переходит в разряд неопределенных. Для устранения неопределенности и применяется усреднение по времени.

Рассмотрим решение задачи. Возьмем, например, уравнение: .

Проведя операцию осреднения, его можно записать следующим образом:

 или . (здесь , т.к. второе осреднение по условию не меняет результата). Так как левая часть уравнения равна, то . По аналогии ; . Следовательно, среднее значение пульсационных составляющих равно нулю. (Но надо учесть, что ;  и т.д.). Применяя вышесказанное к исходной системе уравнений (2.1), можно после определенных преобразований получить уравнения турбулентного пограничного слоя в следующем виде:

 (2.2)

Здесь а)  б)в)

г), где , д) ,

 где .

Видно, что уравнения такие же, как и для ламинарного пограничного слоя, только с добавкой напряжений от турбулентных пульсаций  и , называемых рейнольдсовыми напряжениями.

Для вывода уравнений турбулентного пограничного слоя надо осреднить исходные уравнения погранслоя, несколько преобразовав первое уравнение - уравнение движения (аналогично случаю ламинарного пограничного слоя).


Для этого уравнение неразрывности умножим на ux



 и добавим его в левую часть первого уравнения системы (2.1)

.

В результате преобразований (как и в случае ламинарного погранслоя - уравнение (1.21)) первое уравнение системы (2.1) получим в виде:

.

Здесь: ; .

Проведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения:

  (2.3)

 (для первого члена используется правило осреднения ). Так как , то ;

.

Так как , то . Аналогично

 и

Подставляя значения и в уравнение (2.3), получим:

 (2.4)

Учитывая уравнение неразрывности в осредненном виде:

,  (2.5)

можно уравнение движения (2.4) записать так:

  (2.6)

С этой целью левая часть уравнения (2.4) преобразовывается с учетом уравнения неразрывности следующим образом:

.

Уравнения (2.5) и (2.6) входят в систему дифференциальных уравнений Рейнольдса осредненного турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости, которую можно окончательно представить в виде:

 (2.7)

Эта система имеет одинаковый вид как для основного течения жидкости, так и для течения жидкости в погранслое.

Сопоставим первое уравнение системы (2.7) с уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях, которое выглядит следующим образом:

.

В случае одномерного стационарного движения и отсутствия массовых сил это уравнение имеет вид:

.                         (2.8)

Сравнивая уравнение Рейнольдса с уравнением движения в напряжениях, можно представить себе правую часть уравнения Рейнольдса как результат подстановки в уравнение в напряжениях  вместо величин pxx и pxy суммы вязких напряжений, определяемых обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений p'xx и p'xy, возникших за счет наличия в потоке пульсаций, т.е.:

,  .

В нашем случае

а) (т.к. в уравнении Прандтля пограничного слоя пропадает член при стремлении Re¥®¥).

. Тогда .

б)  (т.к. в уравнении Прандтля пограничного слоя пропадает член  при стремлении Re¥®¥). . Тогда .

Таким образом получаем полную тождественность уравнений движения в напряжениях (2.8) и Рейнольдса (2.7).


В общем случае трехмерного движения эти дополнительные турбулентные напряжения p'xx, p'xy и т.д. образуют, так же как и вязкие напряжения, симметричный тензор второго ранга:

 (2.9)

называемый тензором турбулентных напряжений с компонентами , которые называются рейнольдсовыми напряжениями.

Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбулентные напряжения.

 Назовем тензором полного (суммарного) напряжения тензор P, равный

 ,  (2.10)

и имеющий компоненты:

 (2.11)

Не только вид уравнений движения, но и вид уравнений импульсов (интегральное соотношение Кармана) в турбулентном пограничном слое остается таким же, как и для ламинарного пограничного слоя:

,  (2.12)

только значения d, d*, d** и tw (напряжение трения на твердой стенке) будут иными:

а) толщина вытеснения масс в пограничном турбулентном слое

;  (2.13)

б) толщина потери импульса в турбулентном погранслое

; (2.14)

в) напряжение трения на твердой стенке .

Граничные условия будут следующими :

а) на стенке:

б) на внешней границе турбулентного погранслоя:

 ,

Необходимо учесть, что уравнение Эйлера в случае обтекания плоской пластины преобразуется к виду: u'¥=0 (т.к. в этом случае u¥=ux,¥ постоянна вдоль оси Х и тогдаu'¥=u'x,¥=0 - нет изменения скорости вдоль пластины) и . Для плоской пластины уравнение импульсов имеет вид:

 (2.16)

Математическое моделирование ламинарного течения

несжимаемой жидкости в трубах.
 Рассмотрим установившийся ламинарный поток в круглой цилиндрической трубе, предположив линии тока прямыми, параллельными оси трубы (см. рис. 6), Будем рассматривать стационарный процесс, для которого


Предположим также, что среда несжимаема т.е. r=const. Кроме того, будем считать, что скорость потока и профиль скоростей не зависят от продольной координаты. Это так называемое стабилизированное движение, имеющее место в цилиндрической трубе на значительном расстоянии от входа. Следовательно, если направление движения совпадает с  осью Х, то проекции скоростей на оси y и z будут равны нулю:
.
Используя уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:
 получаем, что  и , следовательно, скорость в трубе не зависит от координаты X (условие стабилизированного течения), т.е. ux=ux(y,z) = u(y,z).
Тогда уравнения движения Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости, имеющие вид:
а) в векторной форме
б) в проекциях на оси декартовых координат:

после подстановки значений
;
  ux=uz=0;  (т.е. ); 
 (т.е. );
ux=u;  
и отбрасывания внешних сил Fx =Fy =Fz =0 преобразуются к виду:

Из этих уравнений следует:
1) величина давления не зависит от поперечных координат y и z и есть функция только координаты x, т.е. в частности, в круглой трубе давление меняется только вдоль оси, а, следовательно, постоянно в каждом сечении и не зависит от радиуса r ;
2) так как левая часть первого уравнения зависит только от у и  z, а правая часть не зависит  ни от у, ни от  z, то следовательно, правая и левая части этого уравнения должны быть равны одной и той же постоянной величине, т.е.

Таким образом, уравнение Навье - Стокса для стабилизированного движения жидкости в цилиндрической трубе вдоль оси X будет иметь вид:
 (1.32)
Если прямоугольную систему координат заменить на цилиндрическую, в которой x=x, y=r*cos(q); z= r*sin(q), то уравнение (1.32) примет  вид:
. (1.33)
Предполагая, что поток в трубе обладает осевой симметрией, заключаем, что все параметры не зависят от переменной q, т.е. и .
Тогда:

 .

Так как  , то уравнение Навье - Стокса перепишется в виде:

.

Выполним последовательно двойное интегрирование.

После первого интегрирования получим:

 или .

Проинтегрируем еще раз:  (1.34)

Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из граничных условий. Для круглой трубы с радиусом  R  они могут  быть записаны так: при  r=R  (внутренний радиус трубы) скорость   u=0; при   r=0   скорость u - конечная величина.

Так как скорость потока в трубе должна иметь конечное значение (или нулевое при r=R ), а при  r® 0 формула (1.34) дает бесконечное значение скорости на оси, то физически реальный результат получим лишь при  C1 = 0. Используя первое граничное условие, найдем:

 и тогда   (1.35)

Таким образом, для круглой трубы имеем параболическое распределение скоростей по сечению (рис. 7).

На оси трубы, т.е. при r=0, скорость потока достигает максимального значения:

.

 Тогда

или в безразмерном виде

.

Очевидно, что пространственная эпюра скоростей представляет собой параболоид вращения с основанием pR2 и высотой umax. Для цилиндрической трубы можно записать

,

где Dp - перепад давления в трубе длиной l.

Определим среднюю расходную и максимальную скорости в круглой трубе. Объемный расход жидкости равен:



Этот результат получается следующим образом:

.

Тогда

Поскольку расход Q связан со средней скоростью формулой , то , т.е. при ламинарном режиме течения в круглой трубе максимальная скорость жидкости в двое больше средней. Это очень важное свойство ламинарного установившегося движения жидкости в круглой трубе. Отсюда:

,  ,  .

Перепад давлений на участке трубы длиной l определяется как

,

где D - внутренний диаметр трубы.

Это формула Пуазейля, исследовавшего законы движения крови по капиллярным сосудам.

С другой стороны, для установившегося движения в цилиндрических трубах перепад давления определяется по формуле Дарси - Вейсбаха:

, где l - коэффициент трения.

Приравнивая оба равенства, получим: , откуда

,

где - число Рейнольдса, составленное по средней (расходной) скорости  и диаметру трубы D.


Выражение коэффициента сопротивления l как функции числа Рейнольдса () называется законом сопротивления ламинарного движения вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

Необходимо отметить, что полученные соотношения пригодны для ламинарного течения только лишь на определенном расстоянии от входа в трубу, после исчезновения начального участка ламинарного потока (см. рис. 8).



Если вход в трубу из резервуара выполнен достаточно плавно, то в начальном сечении 1-1 устанавливается практически равномерное распределение скоростей. По мере движения жидкости тормозящее влияние стенок распространяется на всё большую толщу потока. На некотором участке, называемым начальным, поток имеет ядро, где сохраняется равномерное распределение скоростей, и пристенный пограничный слой, где скорости распределяются неравномерно. Сечение ядра вниз по течению убывает, а толщина пограничного слоя возрастает. В конце начального участка lн пограничный слой смыкается на оси трубы, и ниже по течению устанавливается параболическое распределение скоростей в соответствии с полученными соотношениями.

Этот характер течения и соответствующие ему зависимости имеют место только при устойчивом ламинарном режиме, т.е. при Re< Reкр. При  Re, немного меньших Reкр, в ламинарном потоке периодически появляются кратковременные очаги турбулентности, которые могут на отдельных участках заполнять все сечение потока, образуя "турбулентные пробки".

При возрастании числа Re, турбулентный режим в каждом сечении существует все более длительное время и, наконец, поток становится турбулентным. Появление турбулентных очагов наступает тем раньше, чем больше возмущений испытывает поток при входе в трубу. Если вход сделать плавным и устранить другие источники возмущений, то ламинарный режим можно получить и при больших числах Re  (например  20.000). Однако такие "затянутые" ламинарные режимы оказывались неустойчивыми, т.е. внесение в поток даже очень малых возмущений приводило к турбулизации.


Поэтому критические значения числа Re  следует понимать как границу устойчивого ламинарного режима в том смысле, что при. Re < Reкр любые внешние возмущения, вносимые в поток, будут с течением времени затухать и поток сохранит ламинарный характер. При Re > Reкр в зависимости от условий опыта может существовать ламинарный или турбулентный режим. Для круглых труб Reкр = 2300. Такое определение Reкр соответствует так называемому нижнему критическому числу Re.  Верхним  критическим числом Re называют то его значение, при котором устанавливается стабильный турбулентный режим.

2. МАТЕМАТИЧЕСОКЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

 ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

2.1. Переход ламинарного течения в турбулентное

Исторически первыми научными наблюдениями турбулентного движения были опыты английского физика 0. Рейнольдса, в которых он в 1893 году изучал движение воды в круглой цилиндрической трубе [5]. При повышении скорости ламинарно движущейся жидкости было замечено, как на подкрашенную и хорошо видимую вначале прямолинейную струйку начинают накладываться волны, распространение которых вдоль струйки говорит о появлении возмущений в ранее спокойном прямолинейном движении. Постепенно с ростом скорости воды число таких волн и их амплитуда возрастает, пока, наконец, струйка не разобьется на нерегулярные, перемешивающиеся между собой более мелкие струйки, хаотический характер которых позволяет судить о переходе ламинарного движения в турбулентное. Таким образом, с возрастанием скорости ламинарное движение теряет свою устойчивость, при этом случайные возмущения, которые вначале вызывали лишь колебания струек относительно устойчивого их прямолинейного положения, быстро развиваются и приводят к новой форме движения жидкости - турбулентному движению.

Если местная скорость  явно зависит от времени, т.е. изменяется с течением последнего, то движение и соответствующее ему поле скоростей называют неустановившимся или нестационарным. Если в каждой точке пространства вектор  имеет постоянное во времени значение, то движение и поле скоростей будет установившимся или стационарным.


Если ламинарные течения могут быть как установившимися, так и неустановившимися, то турбулентные течения, строго говоря, всегда являются неустановившимися. Неупорядоченное движение частиц в турбулентном потоке создает резкие изменения местных скоростей во времени, называемые пульсациями скорости.

На рис. 9 приведено изменение местной мгновенной скорости uх турбулентного потока. Видно, что местная скорость изменяется во времени достаточно резко, однако ее значение колеблется около некоторого среднего. Поскольку использование в расчетах мгновенных скоростей приводит к трудностям, вводится понятие местной осредненной скорости:

,

где uх - мгновенная местная скорость, Т - период осреднения. Такой способ осреднения не является единственным, но благодаря простоте его широко применяют в гидромеханике. При этом можно предположить, что для каждого турбулентного движения существует такой достаточно большой по сравнению с периодом турбулентных пульсаций постоянный период осреднения Т, что сглаживание по времени приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся, т.е. Если в результате осреднения, проведенного в данной точке в разные моменты времени t, будут получаться одни и те же значения uх , то осредненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение - квазистационарным. Разницу скоростей и  называют пульсационной скоростью или просто пульсацией: . Нетрудно убедиться, что осредненное значение пульсации равно нулю:



По правилу осреднения также следует, что среднее значение производной от скорости по координате равно производной от среднего значения скорости по той же координате, т.е., т.к. операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по времени, т.е. . Все вышесказанное относится и к другим проекциям скорости uу и uz

Правила осреднения обладают еще и следующими свойствами [6]:


 

 и т.д.

Величина , полученная в результате осреднения произ ведения двух пульсирующих функций ux и uy, носит наименование одноточечной (в знак того, что значения функций ux и uy при интегрировании берутся в одной и той же пространственно-временной точке) двойной корреляции, а отношение  - называется коэффициентом корреляции между двумя статистически связанными величинами. Равенство коэффициента корреляции R=±1 говорит о полной, детерминированной связи явлений, описываемых uх и uу (причем знак "-" говорит о противоположных фазах колебаний), а равенство R=0 говорит о статистической независимости явлений. Коэффициент корреляции между пульсациями, происходящими в двух разных точках пространства и, вообще говоря, в различные моменты времени, называется коэффициентом двухточечной пространственно - временной корреляции, причем, в зависимости от количества коррелируемых пульсирующих функций, двойной, тройной и т.д. корреляции.

Пульсационные составляющие скорости могут быть охарактеризованы частотой и амплитудой, которые при турбулентном движении изменяются в широких пределах. В каждой точке турбулентного потока имеют место пульсационные скорости с целым спектром частот: от низких (5-10Гц) до очень высоких(50-100кГц). Средняя амплитуда пульсаций скорости характеризуется величинами равными: ; ; . Обычно степенью интенсивности турбулентности называют среднюю квадратичную величину скорости пульсаций, отнесенную к средней скорости потока:

 где .

Интенсивность турбулентности изменяется от 0.3% в атмосфере до 7-8% и более в машинах.

В своих опытах Рейнольдс впервые обнаружил, что переход ламинарного движения в турбулентное обусловливается достижением критического значения некоторого безразмерного числа, или критерия, которое в дальнейшем получило его имя. По опытам самого, Рейнольдса критическое число оказалось равным

 ;

здесь uср - средняя по расходу скорость, d - диаметр трубы. Впоследствии им же было открыто существование нижнего критического значения Reкр » 2000, такого, что при Re < Reкр движение в трубе оставалось ламинарным, каковы бы ни были введенные в течение возмущения.Вместе с тем было замечено, что путем удаления возмущений на входе в трубу или уменьшения начальной их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно бóльших значений числа Re, например, до 5×104. Конечно, такое затянутое ламинарное движение не терпит появления даже очень небольших возмущений и сразу же переходит в турбулентное.

Математическое моделирование турбулентного течения

несжимаемой жидкости в трубах
При ламинарном движении полученные теоретические решения для труб хорошо совпадают с результатами опытов. Для турбулентного движения в трубах точного теоретического решения не существует и все закономерности получены либо из опытов, либо имеют полуэмпирический характер.
Рассмотрим профили скоростей при турбулентном движении в трубе.  Между законом сопротивления и характером профиля скоростей в трубе существует однозначная связь, т.е. каждому профилю скоростей  соответствует свой закон сопротивления, и наоборот.
Для получения закона распределения скоростей по радиусу трубы  будем полагать, что, так же, как и для бесконечной пластины, в непосредственной близости от стенки трубы имеет место ламинарный  подслой, в котором скорость - линейная функция от "у":
, (2.32)
и что профиль скоростей в остальной части трубы подчиняется закону:
,
где А и В выражаются через универсальные газовые постоянные a и æ.
Известный ученый Никурадзе из анализа опытов с турбулентным потоком в круглой трубе при числах  (где - средняя расходная скорость, D - диаметр трубы), достигавших 3×106, нашел численные значения постоянных æ=0.4 и a=11.5. Таким образом, был получен логарифмический закон профиля скоростей:
 . (2.33)
Из опытов получено, что нижний предел , а верхнее предельное значение »70. Это означает, что в пределах  имеет место переходная область, в которой вязкое и турбулентное трения соизмеримы. При  будет только вязкое  (или ламинарное) трение, а при  только турбулентное трение. Далее следует, что толщина ламинарного подслоя с учетом формулы (2.28) может быть определена из условия:
.
Измерения показали, что вблизи центра трубы распределение скоростей  несколько отлично от логарифмического, но это отличие не очень существенно  и в практических расчетах не учитывается. Можно считать, что логарифмический профиль скоростей является универсальным, пригодным для широкого диапазона чисел Re.
Вычислим далее так же, как и для ламинарного движения, максимальную   и среднюю  скорости и расход жидкости при логарифмическом законе распределения скоростей.
Очевидно, максимальная скорость  будет на оси трубы, т.е. при y=R. Подставив это значение в формулу для (2.33), получим:

.

Вычитая из этой формулы значение , получим так называемый дефект скорости:



или

.

Здесь æ=0.4 по Никурадзе. Тогда .

Величина средней скорости может быть определена как отношение объемного расхода Q к площади поперечного сечения трубы, т.е.

.

Подставив под интеграл величину скорости по формуле



и разделив обе части выражения для на , получим:

.

Таким образом, получим зависимость:

.

Если взять выражение для и разделить его на выражение для , то получим отношение максимальной скорости (на оси трубы) к ее среднему (расходному) значению по сечению трубы:

.

В отличие от ламинарного движения в круглой трубе, при котором, в турбулентном движении это отношение уменьшается  с ростом числа Re от 1.3 (при Re = 5000) до 1.15 (при Re = 3×106). При Re®¥ указанное отношение как бы стремится к единице. Это говорит о резком отличии формы профиля скоростей в турбулентном движении от параболы скоростей в ламинарном  движении и объясняется тем, что профили скоростей при переходе  от ламинарного движения к турбулентному становятся более полными, причем степень их заполненности возрастает с увеличением  числа Re.

Более простым, но далеко не универсальным профилем скоростей при турбулентном движении в трубе является так называемый степенной профиль:

. (2.34)

Этот степенной профиль скоростей при числах Re»5×104 имеет вид:



и получил название закона одной седьмой.

Экспериментально было показано, что величина показателя степени "n" зависит от числа Re и с его увеличением падает. Оказалось возможным каждому числу Re подобрать такой показатель степени "n", чтобы полученный профиль скоростей наилучшим образом совпадал с результатами эксперимента.

Отношение максимальной к средней по сечению скорости при степенном профиле может быть найдено следующим образом. Определив по формуле

,

найдем:



или окончательно:


.

Результаты расчетов при различных "n" можно свести в таблицу:

n	1/6	1/7	1/8	1/9	1/10
	1.264	1.224	1.194	1.173	1.156

Можно отметить, что отношения , полученные по степенному и логарифмическому законам, практически совпадают.

Аналогично обычному степенному закону можно ввести степенное распределение скоростей в виде:

.   (2.35)

Значение коэффициента А можно определить из граничных условий на границе ламинарного подслоя: при y=dл скорость ux=uxл  и постоянная . Но так как , а , то  и тогда .

Зная величину a и задаваясь показателем n, можно получить численное значение постоянной А. Если a=11.5, то при n=1/7 А=8.74, и следовательно:

.

Надо отметить, что такое распределение скоростей при n=1/7 хорошо совпадает с экспериментом лишь в области Re £ 105, в то время как логарифмический профиль скоростей, который является  универсальным законом, дает хорошее совпадение с экспериментом  во всем диапазоне скоростей.

Рассмотрим законы сопротивления при турбулентном движении в трубах. Как уже было сказано, между профилем скоростей в трубе и законом сопротивления существует однозначная связь, т.е. каждому  профилю скоростей соответствует свой закон сопротивления, и наоборот.

Блазиус предложил степенной закон сопротивления в виде:

,

где l - коэффициент сопротивления; а = 0.3164; m = 0.25 ( при Reкр < Re < 5.104).

Более поздние опыты показали, что численные значения в законе  сопротивления зависят от числа Re. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим связь динамической скорости  с коэффициентом сопротивления l. При равномерном установившемся движении жидкости в трубе перепад Dр полностью определяется величиной tw напряжения трения на стенке, так что безотносительно к характеру движения жидкости в трубе (ламинарному или турбулентному) можно написать следующее равенство:

,  (2.36)

означающее, что движущийся перепад уравновешивается сопротивлением трения. С другой стороны:


. (2.37)

В этих формулах DP - перепад давления на участке трубы длиной l; D - диаметр трубы; - средняя скорость.

Подставив DP из формулы (2.37) в формулу (2.36), получим:



Откуда величина напряжения на стенке tw равна:



или .

Из последней формулы следует, что



тогда .

Если применить формулу степенного профиля скорости  для границы ламинарного подслоя, где при  скорость , то получим:

,

откуда                                .

После преобразования найдем:

.

Отсюда 

Воспользовавшись выражениями, полученными ранее:

     ;

после простых преобразований получим:

.

Сравнивая это выражение с формулой Блазиуса: , получим:



Отсюда следует, что закону сопротивления Блазиуса, в котором m=1/4, соответствует закон одной седьмой для профиля скорости.

Более универсальным, пригодным для всего диапазона чисел Re, является логарифмический закон сопротивления. Этот закон соответствует логарифмическому профилю скоростей и легко может быть получен.

Представим формулу для максимальной скорости турбулентного движения при логарифмическом профиле скоростей



в виде: .

Так как , а , то





.

Окончательно, логарифмический закон сопротивления имеет вид:

,

где А1»2, В1»-0.8.

Многочисленные опыты Нуссельта, Никурадзе и др. подтверждают эту формулу с округленными коэффициентами:

.

Эта формула для использования неудобна, так как зависимость lот числа Re дана в неявном виде. Никурадзе предложил пользоваться следующей явной зависимостью:



(для напоминания: при ламинарном движении l=64/Re).

Один из вариантов расчета установившегося движения жидкости в круглой трубе таков:

а) задаются длина l и диаметр трубы D, кинематический коэффициент вязкости жидкости n и потребный расход жидкости Q,

б) по расходу и диаметру находим среднюю скорость  и число Рейнольдса ,

в) находим коэффициент сопротивления: ,

г) находим перепад давления DP на заданном участке трубы длины l:

 ,

д) находим сопротивление трения и динамическую скорость

,

е) определяем логарифмический профиль скоростей в трубе по формуле:


 

Задача решена.

Наряду с законами сопротивления, соответствующими степенному профилю скоростей  и логарифмическому профилю скоростей  практический интерес представляет степенной профиль вида:

,

где .

Запишем данную зависимость для оси трубы (y=R):

 

.

Вспоминая выражение для , получим:

, где

Тогда закон сопротивления будет иметь вид:

.

В результате получаем для так называемого коэффициента местного сопротивления

 ,

где .

Для наиболее распространенного профиля скоростей - закона одной седьмой (n=1/7; A=8.74) - закон сопротивления будет иметь вид:

 (2.38)

или  

.

В отличие от предыдущих законов сопротивления, в которых дана зависимость l(Re), в формуле (2.38) дается зависимость местного коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса.

Практика показывает, что законы сопротивления при турбулентном  движении в трубах круглого сечения можно использовать и для расчета потерь в трубах любого поперечного сечения, если число Re выражать через гидравлический радиус , где , S- площадь поперечного сечения трубы, П - его периметр.

2.6 Математическая модель турбулентного пограничного

слоя на пластине

Вид уравнений движения и импульсов в турбулентном пограничном слое остается таким же, как и для ламинарного пограничного слоя, но значения d, d*, d** и tw будут иными.

Уравнение импульсов:

.

В основу полуэмпирической теории турбулентного пограничного слоя положена аналогия между турбулентным движением жидкости в трубе и в пограничном слое. При рассмотрении задачи о движении жидкости в трубе и в ламинарном пограничном слое было установлено, что:

а) давление зависит от продольной координаты и не зависит от радиуса  трубы и от расстояния по нормали к стенке в пограничном слое;

б) скорости на стенке в обоих случаях равны нулю;

в) в трубе скорость достигает наибольшего своего значения на оси, а в пограничном слое - на его границе;

Отсюда можно заключить, что радиусу трубы и скорости на оси в трубе соответствует толщина слоя d и скорость u¥ на границе в пограничном слое.


Эти соотношения можно применить и к осредненному движению. Тогда профили скоростей в турбулентном пограничном слое могут быть представлены в виде степенного или логарифмического законов, полученных ранее для труб.

1) Найдем сопротивление продольно обтекаемой пластины, воспользовавшись  степенным законом:

.

Введя обозначение , получим величину d**, необходимую для уравнения импульсов:



При n=1/7, т.е. при законе одной седьмой , получим

.

Для установления связи между tw и d воспользуемся степенным законом сопротивления, полученным для турбулентного движения в трубе.

.

Заменив в этом уравнении  R на d и umax  на u¥, получим

.

Подставив полученные выражения для d** и tw в уравнение импульсов, будем иметь:    

.

Преобразуем это уравнение к виду

.

Теперь проинтегрируем это уравнение, используя следующее граничное условие: при х=0 d=0, означающее, что турбулентный пограничный слой  начинается с передней кромки пластины.

.

При х=0  d=0, следовательно, С=0, и тогда

; ,

или окончательно получим:



.

Видно, что для турбулентного пограничного слоя характерные толщины слоя пропорциональны х4/5, в то время как для ламинарного пограничного слоя они пропорциональны  (см. формулу  для ламинарного подслоя). Следовательно, турбулентный слой растет по х более интенсивно, чем ламинарный. Зная d, найдем теперь напряжение трения tw:

;

.

Коэффициент местного сопротивления трения пластины будет иметь вид:

,

т.е.

,

Найдем величину полного сопротивления Rx пластины (с двух сторон). Оно равно:

 ,

где b - ширина пластины.

Подставляя выражение для tw в виде:

 ,

получим

.

Проинтегрируем это выражение:



.

Окончательно: , где .

Коэффициент полного сопротивления (см. формулу (1.29)) равен:

.

Подставляя значение Rx, получаем

.

Сравнение с экспериментом показало, что в последней формуле лучше взять коэффициент не 0.072, а 0.074, т.е.

.

Сравнение коэффициентов полного сопротивления при турбулентном  и ламинарного  пограничных слоях показывает, что при одинаковых числах Re коэффициент полного сопротивления при турбулентном погранслое намного больше, чем при ламинарном (Сft>Cfл ).


Например, при Re=106 ; , т.е. .

Отсюда следует важный практический вывод: для уменьшения сопротивления трения обтекаемого тела необходимо добиться увеличения участка ламинарного пограничного слоя (рис. 12) и уменьшения участка турбулентного, т.е. необходимо затягивать как можно дальше ламинарное обтекание профиля{8].



 Связь между коэффициентом сопротивления трения при турбулентном погранслое и общим коэффициентом сопротивления трения обтекаемого тела Cf можно выразить как , откуда .

Это выражение можно записать по другому:

, где  .

Толщина ламинарного пограничного слоя   или

.

Отсюда                               .

Величина хкр, а следовательно и  dл кр определяется из выражения для числа , которое является известным.

2) Логарифмический профиль скоростей для турбулентного пограничного слоя, полученный по аналогии с турбулентным движением в трубе  имеет вид.

.

Закон сопротивления, соответствующий логарифмическому профилю скоростей, довольно сложен. Коэффициент местного сопротивления трения в данном случае выражается зависимостью:

.

Коэффициент полного сопротивления трения:

, где .

2.7. Математическое моделирование обтекания турбулентным потоком

профиля произвольной формы

Отсутствие строгих теоретических основ турбулентного движения привело к появлению значительного количества полуэмпирических методов  расчета турбулентного пограничного слоя на профиле. Изложим так называемый однопараметрический метод расчета[3]. Он выгодно отличается своей простотой и глубокой связью с методом такого же расчета ламинарного пограничного слоя.

В турбулентном погранслое так же, как и в ламинарном, вводится  формпараметр. Уравнение импульсов здесь имеет такой же вид, как и для ламинарного пограничного слоя. Допуская, что кривые зависимостей H(f) и z(f)  подобны в ламинарном и турбулентном пограничных слоях, получим простое решение задачи.

В отличие от ламинарного слоя, в котором формпараметр f и параметр z имели вид:

 

где ,

для турбулентного пограничного слоя в целях большей независимости решения от числа Re вводится более общий вид указанных величин:




где G(Re**) - некоторая функция от Re**, вид которой будет получен далее.

Выразим уравнение импульсов (1.26) через f и z следующим образом:

, где .

Умножив это уравнение на G(Re**), получим:

. (2.39)

Преобразуем первое слагаемое, представив его через производную от произведения G(Re**)×d**.Тогда:







.

Введем величину, , по своей структуре слабо зависящую от Re**, и перепишем предыдущее уравнение в виде:

,

или .

Найдем отсюда член



и подставим его в уравнение импульсов (2.39). Тогда

.

Отсюда

или

.     (2.40)

Раскрывая производную в левой части, получим:



.

Подставляя это выражение в уравнение (2.40), получим:



или

где                (2.41)

Это уравнение ничем не отличается от своего ламинарного аналога (дифференциального уравнения формпараметра (1.31)), которое являлось основным для расчета ламинарного пограничного слоя на крыловом профиле произвольной формы. Различие заключается лишь в виде функциональной зависимости F(f). Если в выражении (2.41) для турбулентного погранслоя положить m=1, то оно совпадает с выражением  для F(f) ламинарного пограничного слоя (см. уравнение (1.30)).

Величина G(Re**) принимается обратно пропорциональной местному  коэффициенту сопротивления трения пластины, для которой , и, следовательно, значение формпараметра

.

Из формулы  найдем

.

Таким образом, можно принять.

При этом видно, что численное значение коэффициента пропорциональности  здесь несущественно, т.к. изменение этого коэффициента вызовет изменение G(Re**), а следовательно z и f, но не повлияет на функцию m, определяющую вид F(f). Следовательно, можно воспользоваться любым эмпирическим законом сопротивления для турбулентного слоя на пластине. Из многих опытов с длинными пластинами Фолкнер получил чисто эмпирический закон сопротивления в виде:

.

Воспользовавшись этим законом, получим:

.

Следовательно, формпараметр f и параметр z будут иметь вид:

,

.

Функция m при выбранном G(Re**) равна:

.

Это соотношение получается следующим образом: из формулы  очевидно, что


.

Тогда , и функция

.

Линеаризуем функцию F(f), положив, как и для пластины,  и (из опытных данных).

Принимая эти значения z и H,  найдем для F(f) линейное представление F(f)=a-bf, аналогичное представлению функции F(f) для ламинарного погранслоя, но с другими величинами постоянных a и b, равными для турбулентного погранслоя a=7/6 и b=4.7¸4.8.

Тогда уравнение импульсов для турбулентного погранслоя (2.41) можно представить в виде:

,

не отличающемуся по виду от соответствующего уравнения для ламинарного пограничного слоя и имеющего лишь другие численные значения для коэффициентов a и b.

Решением этого линейного дифференциального уравнения первого порядка является интеграл (решение в виде простой квадратуры):

.

Если турбулентный погранслой возникает с начальной точки профиля т.е. ламинарный участок отсутствует, то С=0 (так как при х=0, u¥=0) и

.

Так как в числитель и знаменатель в правой части равенства входит скорость, то , следовательно, начальная точка (х=0), в которой скорость равна нулю, есть особая точка. Раскрывая неопределенность, получим

.

Покажем это. Раскрытие неопределенности вида  осуществляем по правилу Лопиталя, которое гласит, что для разыскания предела отношения  двух функций, бесконечно малых при X®а, можно рассматривать отношение их производных . Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к этому же пределу стремится и отношение .

Согласно правилу Лопиталя:  

.

Пои наличии участка ламинарного пограничного слоя в интервале абсцисс (0
.

Здесь индексом "кр" обозначены соответствующие величины в точке перехода ламинарного погранслоя в турбулентный. Значение формпараметра

.

Приняв , получим окончательное выражение для формпараметра f(x) при наличии ламинарного участка:



Согласно принятому условию смыкания ламинарного и турбулентного пограничных  слоев, величина  в точке перехода должна быть рассчитана  по теории ламинарного пограничного слоя.


Пользуясь последней формулой, определяют f(x), после чего можно найти Re** по формуле

,

а затем

.

Для проверки: .

Зная Re**, можно найти , после чего, учитывая, что в принятом приближении z=1, найдем напряжение трения на стенке из формулы:

.

При z=1

И, наконец, находим местный коэффициент трения Сf,x из соотношения



аналогичного формуле для пластины, но при Re**, рассчитанном для заданного распределения скорости внешнего потока . Определив таким образом tw или Сf,x в функции от x и просуммировав  по поверхности крыла проекции элементарных сил трения twdx на направление набегающего потока, определим полное сопротивление трения крыла.

Может представить интерес определение толщины вытеснения d*. В принятом приближении эта величина равна:

.

Таким образом, все параметры потока, в том числе полное сопротивление  трения, могут быть определены. Надо подчеркнуть, что изложенный выше эмпирический подход, во многом  опирающийся на аналогию с задачей о турбулентном пограничном слое на пластине, т.е. на случай постоянства скорости на внешней границе пограничного слоя, при своей простоте не уступает по точности результатов  расчета другим, более совершенным методам.

Так как при безотрывном обтекании профиля сопротивление будет определяться почти полностью трением, то, очевидно, в этом случае для уменьшения сопротивления необходимо увеличивать участок ламинарного  пограничного слоя. Иначе обстоит дало с плохо обтекаемыми телами, для которых характерно отрывное обтекание. Отрыв турбулентного погранслоя происходит позже, чем ламинарного, затягивание точки отрыва турбулентного слоя существенно влияет на уменьшение величины полного сопротивления плохо обтекаемых тел (таких, как шар или поперечно обтекаемый цилиндр), поскольку при отрыве потока сопротивление возрастает.



На рис. 13 показана кривая коэффициента сопротивления шара в зависимости от числа Re набегающего потока. Видно, что при достижении критического числа Рейнольдса (Reкр) происходит падение коэффициента сопротивления.


Это явление называется кризисом обтекания плохо обтекаемых тел, сущность которого состоит в следующем.

Сопротивление плохо обтекаемых тел определяется прежде всего сопротивлением давления, которое зависит от величины области отрыва, а именно, чем больше область отрыва, т.е. чем раньше отрывается поток, тем больше сопротивление. При докритических числах Рейнольдса отрывается ламинарный слой и точка отрыва в этом случае расположена пол углом j » 80°. При увеличении числа Re до критического, т.е. при Re=Reкр точка перехода ламинарного погранслоя в турбулентный совпадает с точкой отрыва. Таким образом, при значениях Re³Reкр отрывается уже не ламинарный пограничный слой, а турбулентный. При этом точка отрыва расположена при j »110°-120°. Причиной такого затянутого отрыва турбулентного пограничного слоя по сравнению с ламинарным является то обстоятельство, что наличие турбулентных  пульсаций приводит к более интенсивному обмену энергией между пограничным слоем и внешним потоком, в результате чего кинетическая  энергия частиц жидкости в пограничном слое увеличивается. Причина отмеченного явления резкого уменьшения сопротивления шара видна из кривых  распределения давлений по его поверхности (см.рис.14).

S - точка отрыва потока Т - точка перехода ламинарного погранслоя в турбулентный 1. Ламинарный отрыв: Сх=0,47 2. Турбулентный отрыв Re=4,2×105; Cx=0,14 3. Идеальное распределение давлений

При значениях Re³Reкр (Reкр»2×105)наблюдается резкое возрастание максимального разрежения и смещение вниз по потоку точек отрыва пограничного слоя S, что свидетельствует об улучшении обтекания шара. Наличие при турбулентном обтекании более обширных и глубоких зон разряжения объясняет уменьшение коэффициента сопротивления, так как при более полном охвате поверхности шара потоком, распределение давлений приближается к тому идеальному, при котором, согласно парадоксу Даламбера, сопротивление давления должно равняться нулю.


Таким образом, величина области отрыва меньше при числах Re³Reкр. Этим и объясняется резкое уменьшение сопротивления плохо обтекаемого тела при достижении или превышении критического значения числа Рейнольдса. Величина Reкр сильно зависит от степени  турбулентности набегающего потока, причем большей степени турбулентности соответствует меньшее значение Reкр. Кризис обтекания можно вызвать искусственно и при докритических числах Re, если искусственно турбулизировать пограничный слой.

Таким образом, для уменьшения сопротивления плохо обтекаемых тел надо уменьшать величину ламинарного участка с тем, чтобы отрывался турбулентный слой, (точка отрыва у которого расположена далее по потоку).

2.8 Профильное сопротивление

Расчет турбулентного пограничного слоя лежит в основе определения сопротивления тела при его движении в вязкой жидкости. Полное сопротивление (его называют еще лобовым) складывается из профильного сопротивления и индуктивного сопротивления. Индуктивное сопротивление обусловлено конечностью размаха тела (неплоским характером обтекания), вследствие чего местная подъемная сила может давать отличную от нуля проекцию на направление общего набегающего потока.

Профильное сопротивление состоит из сопротивления трения и сопротивления давления. Сопротивление трения определяется как проекция на направление движения главного вектора касательных сил, приложенных со стороны жидкости к поверхности тела, а сопротивление давления - соответственно аналогичной проекцией главного вектора нормальных сил. Во многих случаях даже при безотрывном обтекании сопротивление трения не составляет основную часть профильного сопротивления. Поэтому во многих задачах при безотрывном обтекании необходимо знать профильное сопротивление, т.е. сопротивление трения плюс сопротивление давления.

Рассмотрим чуть подробнее вторую составляющую профильного сопротивления. Согласно общему для ламинарного и турбулентного пограничных слоев представлению, вне области пограничного слоя поток может рассматриваться как движущаяся безвихревым образом идеальная, т.е.


лишенная вязкого трения, жидкость. При достаточной тонкости погранслоя и известном его свойстве передавать без изменения по сечениям слоя на поверхность тела давление внешнего (по отношению к пограничному слою) потока - главный вектор нормальных сил, согласно парадоксу Даламбера, должен быть равен нулю, а следовательно, и сопротивление давления не должно отличаться от нуля. Это было бы близко к действительности, если бы пограничный слой не возмущал внешний безвихревой поток. На самом же деле линии тока вследствие подтормаживающего влияния стенки оттесняются от поверхности тела на величину d* , называемую толщиной вытеснения и равную смещению действительной линии тока относительно линии тока безвихревого обтекания тела идеальной жидкостью на внешней границе пограничного слоя. На поверхности обтекаемого тела (у=0) смещение линии тока исчезает, у обоих сравниваемых потоков (действительного и идеального) общая нулевая линия тока совпадает с поверхностью тела. При удалении от поверхности врыла смещения действительных линий тока по отношению к идеальным возрастают, и на границе пограничного слоя ( у=d) эта величина смещения достигает своего максимального значения.

Такое искажение картины течения приводит к нарушению идеального распределения давлений по поверхности тела. Таким образом, пограничный  слой не только управляется внешним потоком, но и оказывает на него обратное влияние, которое проявляется особенно сильно на тех участках пограничного слоя, где слой наиболее толст, например, вблизи точки отрыва или в конце тела.

Как показывают опыты, сопротивление давления хорошо обтекаемого крылового профиля при наличии на его поверхности полностью ламинарного или полностью турбулентного пограничного слоя убывает с ростом числа Re, т.к. при этом толщина погранслоя уменьшается и внешний поток приближается к безвихревому обтеканию профиля идеальной жидкостью.

Выражение коэффициента профильного сопротивления Схр крылового профиля в безграничном плоском потоке жидкости через толщину потери импульса на бесконечности имеет вид [9];


; (2.42)

где b -хорда крылового профиля; Rx - профильное сопротивление.  

Эта формула непосредственно не может быть использована ввиду невозможности определения толщины потери импульса  на бесконечности  за обтекаемым телом. Поэтому выведем приближенную связь этой величины с толщиной потери импульса на задней кромке крылового профиля, допускающей простое теоретическое и непосредственное экспериментальное  определение.

Для установления указанной связи применим к следу за обтекаемым телом интегральное соотношение пограничного слоя. Так как в следе tw =0 ввиду отсутствия стенки, то интегральное соотношение Кармана  для нашего случая примет вид: 

.

Делим это уравнение на d** и интегрируем его по х вдоль следа от задней кромки (индекс "к") до бесконечно удаленного сечения вниз по потоку (индекс "¥"), получаем:

.

Для вычисления последнего интеграла необходимо знать зависимость от "Х" в следе. Ряд исследований показал, что H(x) зависит от формы профиля и его обтекания. Наиболее простой является линейная зависимость Н от х, для которой

.

После подстановки найденного значения в интеграл последнее уравнение будет иметь вид:

 или .

Освобождаясь от логарифмов, запишем  .

Подставляя полученное выражение в формулу (2.42), получим:

. (2.43)

Так как на бесконечности за телом поле скоростей будет выравниваться, можно считать, что  будет всегда малой величиной, и, пренебрегая в достаточном удалении от задней кромки крыла второй степенью малой добавки , найдем:

.

Так как  , то разделив на , получим

.

Подставив эти выражения в формулу для , получим

.

Таким образом  и тогда Н¥=1. Значение Нк на задней кромке меняется от 1.3-1.4 для продольно обтекаемой пластины и 1.8 - 2.0  -  для толстых профилей. Обычно берут Нк=1.4 и тогда формула (2.43) для коэффициента профильного сопротивления будет иметь окончательный вид:

.

Эта известная формула Сквайра и Юнга, дающая хорошее совпадение расчетов с опытными материалами для широкого класса обтекаемых профилей.


БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя. M.: Наука, 1969. 742 с.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Механика сплошных сред. М.: Госиздат технико-теоретической литературы, 1954.  795 с.

3. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987. 840с.

4. Седов Л.И., Механика сплошной среды. Т.I,II. М.: Наука, 1984.

5. Шлихтинг Г., Возникновение турбулентности. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 302 с.

6. Бай Ши-И. Турбулентное течение жидкостей и газов. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962. 344 с.

7. Дж. Дейли, Харлеман. Механика жидкости. М.: Энергия, 1971. 400с. 

8. Шахов В.Г., Основы теории пограничного слоя. Учеб. пособие. Куйбышев: КуАИ, 1989. 128 с.

9. Повх И.Л., Техническая гидромеханика. Л.: Машиностроение,1976. 502с.

10. Брэдшоу П., Введение в турбулентность и ее измерение. М.: Мир, 1974, 278с.  

Содержание

ВВЕДЕНИЕ
1. ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИКОСТИ.................................... 1.1. Понятие о пограничном слое............................................................ 1.2. Ламинарный и пограничный слой в несжимаемой жидкости........ 1.3.  Математическая модель движения вязкой жидкости в ламинарном пограничном слое........................................................ 1.4.  Интегральные соотношения для ламинарного пограничного слоя.................................................................................................... 1.5.  Математическое моделирование обтекания ламинарным потоком профиля произвольной формы......................................... 1.6.  Математическое моделирование ламинарного течения несжимаемой жидкости в трубах.....................................................
2. ТУРБУЛЕНТНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ............................. 2.1. Переход ламинарного течения в турбулентное.................................. 2.2. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости............. 2.3.  Математическая модель осредненного турбулентного движения ... 2.4. Двухслойная схема пристенной турбулентности................................ 2.5.  Математическое моделирование турбулентного течения несжимаемой жидкости в трубах.......................................................... 2.6. Математическая модель турбулентного пограничного слоя на пластине................................................................................................... 2.7.  Математическое моделирование обтекания турбулентным потоком профиля произвольной формы............................................. 2.8.  Профильное сопротивление.................................................................
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................

ИГОРЬ СТЕПАНОВИЧ ЗАГУЗОВ,

КОНСТАНТИН АНАТОЛЬЕВИЧ ПОЛЯКОВ

Математическое моделирование течений вязкой жидкости

вблизи твердых поверхностей

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Редакторы - Н.А. Волынкина

Компьютерная верстка, макет - И.С. Колышева

Корректор - Н.В. Голубева

Подписано в печать               Формат 60х84 1/16.

Бумага белая тонкая. Печать оперативная.

Объем        печ. л.,     уч. - изд. л.  Тираж 150 экз.  С.        

Заказ №

Издательство «Самарский университет», 443011, г. Самара, ул. акад. Павлова 1.

МАО ПО «Сам Вен», 443099, г. Самара, ул. Венцека, 60

Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости

Явление перехода ламинарного движения в турбулентное в круглой цилиндрической трубе распространяется и на движение вязкой жидкости в пограничных слоях на поверхности твердых тел, в струях и в следах за телами. Если условиться количественно сопоставлять скорость на внешней границе пограничного слоя со скоростью на оси трубы, а толщину погранслоя с радиусом трубы, то можно ввести в рассмотрение  число Red пограничного слоя:, характеризующее  поток в данном сечении слоя.
 Многочисленные опыты по определению критического числа для пограничного слоя на пластине привели к значениям, близким к критическому числу трубы. Тот же порядок Redкр был найден и при обтекании круглого цилиндра, шара и крыловых профилей. При этом было обнаружено, что относительное расположение критического сечения пограничного слоя, в котором ламинарный слой переходит в турбулентный, существенно зависит от степени возмущенности набегающего  на тело внешнего потока. При изменении этого фактора изменяется  и критическое число Рейнольдса пограничного слоя.
Наличие того или иного режима движения в пограничном слое обусловлено развитием течения вдоль пограничного слоя. Так, начальный участок слоя обычно бывает ламинарным, за ним располагается  переходная область, где одновременно сосуществуют турбулентные зоны потока с ламинарными, и, наконец, область развитого турбулентного потока, состоящая из турбулентного ядра и тонкого вязкого ламинарного подслоя, граничащего с твердой стенкой.
Вместо Red можно рассматривать числа  и , составленные по толщине вытеснения d* и толщине потери импульса d**. В настоящее время широко используется число Re**.
По опытам на различных крыльях в разных  аэродинамических трубах значение  колеблется от 600 в сильно турбулентных трубах до 2300 в трубах с очень малой турбулентностью. Наблюдающиеся отличия  в значениях  для различных крыльев объясняются (кроме различной начальной турбулентности потока), во-первых, разной шероховатостью поверхности крыла, а также тем, попадет ли критическое сечение в конфузорную или диффузорную части пограничного слоя. В области ускоренного течения (конфузорная часть слоя)  имеет бóльшие значения, чем в области замедленного течения (диффузорная часть слоя).
В случае свободного пограничного слоя, как, например, в струе или следе вдалеке за телом, критические числа Reкр очень малы, и практически всегда приходится иметь дело с турбулентными струями и следами за телом.



    Инновации: Менеджмент - Моделирование - Софт

• Инновационный менеджмент
  
• Разработка программного обеспечения
  
• Россия и инновации
  
• Управление инновационным менеджментом
  
  
• Моделирование
  
• Финансовое моделирование
  
• Системы моделирования
  
• Виды моделирования
  
• Практическое моделирование
  
  
• Пакет Mechanical Desktop
  
• Моделирование программ
  
  
• Софт для моделирования
  
• Пакет Simulink
  
• Моделирование в IBM
  
• MSC Nastran Моделирование -
  
• AutoCAD
  
  
• Unigraphics
  
• P-CAD