Об одном подходе к решению задач…
Все школьные приемы решения задач, так или иначе, сводятся к тому, что сначала каллиграфическим почерком ученик выписывает «Дано», потом «Найти», затем «Решение». Последнее обычно сопровождается ожесточенным покусываем авторучки, в поисках оптимального разбиения задачи на более мелкие, не представляющие по отдельности никакой трудности. То есть, говоря математическим языком, - решения с помощью декомпозиции.
Такой подход оптимален для школьных задач потому, что большинство из них составлялось композиционным образом, - то есть, автором учебника бралась за отправную точку некая идея (формула, теорема), а поверх насыпался добрый слой щебенки, который учащийся и должен был разобрать, проделывая обратный путь.
В жизни же подобной искусственности нет, и наиболее трудным моментом в решении задачи является (ну кто бы об этом мог подумать в школе!) именно определение что же именно нам дано, и что требуется найти.
Грубо говоря, часто бывает легче приложить усилия по получению дополнительных исходных данных, чем решать возникшую проблему в существующем виде. Точно так же можно изменить даже искомую величину, и выбрать другую, связанную с требуемой простой и легко решаемой зависимостью.
Например, как быстро в уме вычислить, сколько нечетных дней каждого месяца существует в году? Но только не делите 365 на два, потому что это очевидно неверное решение. Ведь нумерация дней в году идет не последовательно от одного до 365, а разбита на списки, в каждом из которых может находиться 28, 29, 30 или 31 дней. То есть, в одном случае за 30 днем месяца, наступает 1 число следующего, а в другом два нечетных числа «слипаются» если после 31 числа идет 1.
Хм, очевидно, что нечетных дней будет ощутимо больше. Но насколько больше? Давайте посчитаем! Так, «длинные» месяцы – Январь, Март, Май, Июль, Август, Октябрь, Декабрь. Итого, выходит нечетных чисел должно быть на семь больше.
Составим простое уравнение x+x-7==365, отсюда 2х==372, x=186. Гм, но нет ли более короткого решения (мы все же пытаемся это считать в уме!).
А почему бы и нет? Необходимо только чуть-чуть ( на время) изменить условия задачи. Попробуем найти количество четных
дней. В самом деле, оно (за исключением февраля) всегда постоянно и в каждом месяце равно пятнадцати. А в феврале, стало быть, четырнадцати. Умножим пятнадцать на десять и добавим еще двадцать девять, - получается 179. Не правда ли просто? А теперь несложно догадаться, что оставшиеся дни в году и будут искомыми нечетными!
Но в чем преимущество такого решения? Вспомним, что в условии не было оговорено, какой нас интересует год – простой или високосный? А, в самом деле, если ли разница? В первом решении да, ибо тогда формула должна была бы принять вид x+x-8==366. Но… посмотрите, что получается во втором случае – x==366-179! Или, если это записать в другом виде, x==Число_дней_в_году
– Константа_179.
Вряд ли можно усомниться, что последнее решение элегантнее. А первое и вовсе не верно. Почему? А разве нам кто-то оговаривал, какой именно требуется год? Нет же, верно? Следовательно, продолжительность его равна Y, а вовсе не 365 дней. Тогда… тогда первым уравнением задача не решается.
Кстати, говорят, что программист отличается от простого смертного тем, что пытается проверить задачу на всех, в том числе и бессмысленных, входных значениях. В нашем случае, оговаривается, что Y может быть принимать только два значения – либо 365, либо 366. Любое другое приведет к бессмысленному результату.
Выходит, что задача решена не в общем, а в частом виде? А каково количество нечетных дней на N-ый день произвольного месяца? То есть, сколько их будет, скажем от первого января 1990 года до 27 октября 2001?
Решая задачу де композиционным способом, пришлось бы для начала найти способ вычисления прошедших дней между двумя произвольными датами, но… может быть, существует иной способ решения? Попробуйте отыскать его. Уверяю, что это доставит Вам истинное удовольствие…
