А. Г. Шоломицкий - Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено в первую очередь для студентов старших курсов (в том числе студентов магистратуры) и аспирантов экономических, экономико-математических и финансовых специальностей. Оно представляет собой обзор современных идей, теорий и методов оценивания и моделирования риска и принятия решений при неопределенности. При изложении используются по возможности простые математические средства. Книга может служить введением в такие области, как экономическое поведение при неопределенности, моделирование рисков в страховых и пенсионных схемах и в финансах.

Анализ риска в различных областях экономики — чрезвычайно обширная и бурно развивающаяся область. Несомненно, что в одной книге просто невозможно уделить внимание всем ее задачам, даже главным. Моей целью была скорее иллюстрация некоторых проблем этой области и подходов к их решению, чем стремление к широте ее охвата. Вероятно, многие важные вопросы остались за рамками этой книги.

Центральные понятия, о которых пойдет речь ниже, — понятия неопределенности и риска. О неопределенности можно говорить как о непредсказуемости, в частности непредсказуемости будущей экономической ситуации и последствий принимаемых решений. Согласно классическому определению Ф. Найта [Knight, 1921], ситуации, связанные с риском, характеризуются известными вероятностями событий. Это выделяет их из более общего класса ситуаций неопределенности. В таком понимании термин “риск” означает любые непредсказуемые, но описываемые известными вероятностями изменения экономического положения субъекта, несущего риск, — и благоприятные, и неблагоприятные. Эта трактовка отождествляет риск с понятием “вероятностной неопределенности”. Последний термин более нейтрален и, возможно, более логичен: ведь слово “риск” часто употребляют именно в смысле возможности неблагоприятных, нежелательных изменений, в частности потерь. Построение математических моделей часто мотивируется потребностью оценки возможностей и последствий этих неблагоприятных изменений. Однако при таком моделировании обычно имеет смысл анализировать и всю картину (например, распределение вероятностей) отклонений как в “благоприятную”, так и в “неблагоприятную” стороны. Чтобы не создавать лишних сложностей, удобно пользоваться одним термином “риск” в “расширенном” понимании Найта.

Потребность в оценке или измерении риска возникает естественно. Говорят о высоком или невысоком, большом или малом риске. Оценка субъектом риска влияет на принимаемые им решения. Меры риска и правила принятия решений можно — впрочем, довольно условно — разграничить на “субъективные”, возникающие у людей без привлечения каких-либо техник, и “технические”. Первые используются экономистами при моделировании повседневного экономического поведения людей. Вторые применяются, например, в компьютерных программах, предназначенных для управления портфелями финансовых активов или расчетов в страховании имущества. Различные правила связывает общее понятие рациональности выбора и решений. Однако, хотя и можно установить некоторые общие законы рационального выбора, понимание рациональности может быть несхожим, в частности для “субъективных” и “технических” решений. Сопоставление первых и вторых в рамках одной книги само по себе полезно и интересно — ведь в конце концов все “технические” средства создаются людьми именно с той целью, чтобы помогать человеку в выборе наиболее рациональных решений.

Книга состоит из двух частей. Первая часть в основном посвящена индивидуальному выбору при риске и неопределенности. Эта область претерпела крупные изменения за последние три десятилетия. Теория ожидаемой полезности, долгое время бывшая парадигмой экономического анализа, была подвергнута критике и пересмотру. Сегодня уже общепризнано, что ожидаемая полезность может лишь грубо описывать экономическое поведение людей. Это поведение оказывается значительно более сложным, чем предсказанное ее моделью. Большие исследовательские усилия были направлены на описание различных феноменов экономического поведения и отражение их в моделях, обобщающих ожидаемую полезность.

Вторая часть (как и некоторые разделы первой части) посвящена “техническому” оцениванию риска, основанному на моделировании. В ней рассматривается несколько моделей, относящихся в основном к области страхования и финансов, а также пенсионного обеспечения. Это те области, где созданы, по-видимому, наиболее развитые модели анализа экономических рисков. Цель этой части — дать некоторый обзор современных идей такого рода моделирования. В то же время я стремился избежать фрагментарности изложения, чтобы заинтересованный читатель мог получить полноценное введение в затронутые в ней области. Насколько удалось совместить эти противоречивые цели, читатель может решить сам.

Современной тенденцией, продиктованной потребностями практики, является стремление к построению комплексных методик анализа различных видов риска. Применение таких методов в практике менеджмента стало возможным, главным образом, благодаря развитию компьютерных технологий. Одним из примеров служат комплексные модели денежных потоков, которым посвящена Книга, как уже отмечено выше, строится по обзорному принципу. Это позволило охватить в ней достаточно широкий круг результатов, в том числе современных, еще не отраженных в другой учебной и иногда даже монографической литературе. Такой способ изложения ориентирован на читателя, заканчивающего свое базовое образование и уже переходящего от чтения учебников к чтению научных статей. Полные доказательства теорем и утверждений, как правило, не приводятся, но всегда указываются источники, в которых их можно найти. Доказательства некоторых наиболее важных теорем приводятся или комментируются в конце, в разделе 12.3. Многие важные факты даны в виде упражнений и примеров. Последние вообще составляют важную часть книги, которой рекомендуется не пренебрегать. В тексте приводятся ссылки на литературу, которой читатель может пользоваться для дальнейшего самостоятельного изучения. Кроме того, для удобства читателя даны краткие сводки нужных для понимания отдельных тем сведений из теории вероятностей и математической статистики (раздел 12.1). Звездочками помечены разделы, содержание которых является более специальным. Упражнения повышенной сложности также помечены звездочками.

В основу текста легли курсы, читавшиеся в течение ряда лет студентам магистратуры Государственного университета — Высшей школы экономики. Я многим обязан своему учителю профессору В.И. Рота-рю. Его идеи и курс “Теория риска”, читавшийся им в ГУ ВШЭ и Российской экономической школе, во многом определили очертания и тематику этой книги. Я хотел бы поблагодарить профессоров Г.Г. Канторовича и А.С. Шведова за внимание к моей работе и поддержку, доктора экономических наук С.А. Смоляка — за заинтересованную критику и множество предложений и замечаний, способствовавших улучшению и обогащению книги. Я благодарен всем коллегам и студентам, обсуждавшим со мной затронутые в тексте вопросы. Книга написана при частичной поддержке инновационного проекта развития образования, финансируемого Всемирным банком при посредстве Национального фонда подготовки кадров. Я хочу также выразить свою благодарность анонимному рецензенту НФПК за сделанные им полезные замечания.

Часть I

ВЫБОР

ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

глава 1 ЗАДАЧА ВЫБОРА

В экономической теории правила выбора описываются при помощи отношений предпочтения. Функция, выражающая ценность альтернатив, называется критерием, или функцией полезности. Вид и свойства критериев выводятся из условий на предпочтения, обычно называемых аксиомами.

1.1

Выбор и предпочтения

Экономическая наука представляет экономику как сложное взаимодействие множества агентов — индивидуумов, фирм, государственных структур и пр. Каждый из этих агентов или субъектов относительно свободен в принимаемых им решениях — конечно, в пределах доступных ему альтернатив. Субъект свободно выбирает среди доступных альтернатив, с его точки зрения, наилучшие. Этим выбором определяются его дальнейшие действия, например: купить/продать тот или иной товар, принять/отвергнуть то или иное решение (скажем, вложить деньги в освоение нефтяного месторождения) и т.д. Поэтому моделирование выбора играет важную роль в экономике.

Простейшая задача выбора — выбор из двух альтернатив, представленных числами. Пусть х и у обозначают количества некоторого товара либо денег, которые будут получены субъектом в результате принятия одного из двух возможных решений. Ясно, что в этом случае правило выбора обычно простое: “чем больше, тем лучше”. Из двух чисел выбирается большее.

Однако задача уже не так проста, если при выборе учитывается еще какой-либо фактор, кроме товарно-денежного. Это, например, может быть фактор времени. Пусть х и у — суммы денежных доходов, t_x и t_y — соответственно моменты их получения. Тогда ситуацию выбора можно описать сравнением двух пар чисел: (х,Г_?) и (y,t_y). Обычно более раннее получение дохода предпочтительнее. Теперь уже нельзя установить единого и очевидного правила выбора: выбор определяется конкретной ситуацией, в которой находится субъект, принимающий решение, и его (субъекта) целями, установками, потребностями и т.д. То же можно сказать и о случае, когда выбор производится из наборов двух товаров: (х,,х₂) и (у,,у₂). В этих парах первое число обозначает количество первого товара, второе — количество второго товара. Модели выбора между наборами (векторами) товаров используются в экономических теориях рынков и равновесий. Постановку задачи можно расширить. Например, х, может быть мерой усилий/времени, которые предстоит затратить на некоторую работу, а X, — доходом от этой работы. Или, например, х, — оценка эффективности программы повышения квалификации сотрудников фирмы, а х₂ — затраты на ее реализацию. Такого рода задачи выбора участники экономики вынуждены решать постоянно, находя некоторые наилучшие, с их точки зрения, комбинации двух или более факторов.

Нужно отметить, что задача выбора на парах или векторах может быть такой же тривиальной, как в одномерном случае. Это возможно тогда, когда одна из сравниваемых альтернатив лучше другой (других) по каждому из факторов выбора. Например, если программа А повышения квалификации персонала и эффективнее, и дешевле программы В, то, очевидно, ее и следует выбрать. В том случае, когда альтернатива А превосходит альтернативу В по каждому из факторов, взятых в отдельности, говорят, что А доминирует В. Так, пусть речь идет о векторах количеств товаров вида (х,,...,х_п), где х, обозначает количество і -го товара. Говорят, что вектор х = (х,,..., х_п) доминирует (нестрого) вектор у = (у,,...,у_п), если х_і>у_і для всех і = 1,...,«. Если, в дополнение к этому неравенству, для некоторого j выполнено строгое неравенство Xj>yj, то х строго доминирует у. Нетривиальные задачи выбора возникают в случаях, когда доминирования нет: по одним факторам лучше одна альтернатива, а по другим — другая.

Полезно сразу разделить две точки зрения, с которых обычно смотрят на цели теории выбора: нормативную и дескриптивную. Первая состоит в том, чтобы выработать рациональные правила, методики, процедуры выбора, которым должны следовать лица, принимающие решения. С дескриптивной точки зрения цель теорий выбора в том, чтобы моделировать правила принятия решений, реально наблюдаемые в экономике и считающиеся экономическими агентами рациональными. Эти две точки зрения, конечно, не совпадают, но нельзя считать их и полностью противоположными.

Центральным понятием экономической теории выбора является понятие предпочтения. Введем множество альтернатив Л, из которого может производиться выбор. Отдельные альтернативы из этого множества будут обозначаться заглавными буквами, например А,В,С,... Вообще говоря, альтернативы выбора могут быть произвольной природы.

Зададим отношение нестрогого предпочтения У на множестве Л как бинарное отношение, т.е. отношение на парах элементов из Л. Запись АУ В читается как “А нестрого предпочтительнее і?” или, проще, “А не хуже В”. Отношение У называется полным или нестрогим упорядочением (complete order), если:

(а) У полно, т.е. для любых А, В из Л имеет место хотя бы одно из соотношений А У В или В У А;

(б) У транзитивно, т.е. (А У В, В У С) => (А У С).

Из (а) следует рефлексивность отношения У, т.е. для любого А Е А имеем (А У А).

Полному упорядочению У ставятся в соответствие отношения безразличия - и строгого предпочтения >- по следующим правилам:

(А ~ В) <=> (А ^ В, В У А),

(А>В)а(АУ В, не (В У А)).

Если У — полное упорядочение, то:

¦ отношение - представляет собой отношение эквивалентности, т.е. оно рефлексивно: А - А , симметрично: (А - В) => (В - А) и транзитивно: (А - В, В - С) => (А ~ С);

¦ отношение >- представляет собой слабое или строгое упорядочение (weak order), т.е. оно асимметрично: (А >- В) => не (В >- А) и отрицательно транзитивно: (не (А >- В), не (В >- С)) => не (А >- С).

Можно задавать отношение >-, являющееся слабым упорядочением, как первичное, а отношения и ~ определять через него (упражнение 1.3). В дальнейшем мы почти всегда, если не оговаривается противное, будем считать У полным упорядочением. В этом случае, как легко проверить, предпочтение имеет простую структуру.

Отношение предпочтения на А — полное упорядочение тогда и только тогда, когда множество А можно разбить на непересекающиеся подмножества безразличных между собой альтернатив — классы безразличия. Между двумя альтернативами из различных классов безразличия обязательно имеет место отношение строгого предпочтения.

Введем некоторую функцию ?(А) на множестве Л, обозначающую относительную “ценность” альтернатив. Оговоримся, что эта ценность именно относительная, т.е. имеет значение лишь в качестве критерия сравнения альтернатив.

Функция V называется согласованной с отношением предпочтения У, если

(?(Д)>?(Я))<=>(ЛЬЯ). (1-1)

В этом случае говорят также, что V сохраняет упорядочение У . Предпочтения, отвечающие условию (1-1), будем называть порожденными функцией V. Функцию V будем называть критерием выбора или просто критерием.

Нетрудно заметить, что критерий определяется с точностью до монотонного преобразования: если U — строго возрастающая функция, то V*-U (у (Л)) тоже будет критерием, т.е. будет удовлетворять (1-1).

Читатель, знакомый с микроэкономической теорией, может усмотреть аналогию между V и функцией полезности. Ниже, в главах 3—5, будет рассматриваться именно теория полезности и выработанные ею критерии. Однако в слово “полезность” в экономической теории часто вкладывается более определенный смысл. Так, полезность интерпретируется как “мера психологического удовлетворения”, соответствующая той или иной альтернативе. Однако ниже рассматриваются также и критерии, вряд ли допускающие подобную интерпретацию, например полученные из каких-то “технических” соображений. С этой оговоркой читатель вполне может в дальнейшем понимать V как аналог функции полезности ‘.

Если критерий выбора V определен на всем Л, то очевидно, что порождаемое им по правилу (1-1) отношение предпочтения У полно и транзитивно (покажите это). Следовательно, оно представляет собой полное упорядочение. Возникает вопрос о том, всегда ли это так, т.е. всякому ли полному упорядочению соответствует какая-либо согласованная с ним функция V. Следующий пример показывает, что это, вообще говоря, не всегда так.

¹ В экономической теории подход, сводящий роль функции полезности V исключительно к порождению предпочтений, известен как ординалистский.

Пример 1.1. Лексикографические предпочтения. Пусть А — множество пар чисел. Примем следующее правило сравнения пар (х_А,у_А) и (х_в,у_в), соответствующих альтернативам А и В: если первые числа не равны, например х_А > х_в, то считаем А> В\ если же х_А=х_в, то предпочтительнее считается та пара, в которой больше второе число, например если х_А = х_в, у_А > у_в, то А>- В\ Если же х_А = х_в, у_А=у_в, то А~ В. Так определенное на всевозможных парах (х, у) отношение предпочтения называется лексикографическим. Очевидно, оно представляет собой полное упорядочение. Однако оказывается, что ему нельзя сопоставить никакой сохраняющей его функции V (доказательство см. в разделе 12.3).

Оказывается, для существования функции V, сохраняющей предпочтение У , нужно наложить на У еще одно условие.

Назовем подмножество Н множества А плотным по упорядочению У в А, если для любых альтернатив А, В из А, А>- В, существует Н е 7і, такое, что либо АУН>В, либо А>- Н У В.

Теорема 1.1. Сохраняющая предпочтение У функция V на А существует тогда и только тогда, когда в А существует плотное по упорядочению У конечное или счетное подмножество.

По поводу этой теоремы и ее доказательства см. раздел 12.3.

В дальнейшем, как правило, рассматриваются предпочтения, для которых существует согласованная с ними функция V. Такие отношения предпочтения называются исчислимыми.

Правило выбора из подмножества альтернатив С с А формулируется как

?(А)—> max. (1-2)

АеС

Будем называть альтернативу А оптимальной в С, если для любой Be С верно неравенство ?(А)>?(В).

Подход к принятию решений, состоящий в выборе альтернативы на основе какого-либо критерия по правилу (1-2), будем называть оптимизационным. Такой подход кажется весьма привлекательным теоретически. Однако во многих практических задачах, как мы увидим ниже, оптимизационный подход в чистом виде не удается применить. При решении сложных задач выбора часто применяется эмпирический подход, состоящий в выделении нескольких основных факторов, существенных для выбора альтернативных решений. Каждый такой фактор выражается отдельным критерием. Альтернативы сравниваются по совокупности этих промежуточных показателей, без формального сведения всех их в один общий критерий оптимизации. Такой подход будем называть оптимизацией по частным критериям. Употребляется также термин многокритериальная оптимизация. Такой подход часто позволяет лицу, принимающему решения, лучше ощутить особенности конкретной ситуации. Этот метод может дополняться моделированием развития ситуации в различных сценариях.

1.2

Выбор из векторных альтернатив

В микроэкономической теории важную роль играет выбор из наборов товаров, или некоторых благ, уже рассматривавшийся выше. В этом случае роль альтернатив играют вектора (обычно конечномерные) количеств благ, А - (.Хр...,дс_п). Если речь идет о затрачиваемых количествах, например затратах некоторого ресурса или работы, то можно учитывать их с обратным знаком. Тогда каждая компонента вектора может трактоваться как число, увеличение которого ведет к более предпочтительной альтернативе.

Предпочтения на векторах благ обычно характеризуют функцией полезности

?(А) = и(х₁,...,х_п).

Функция полезности и выбирается непрерывной, возрастающей по каждому аргументу и вогнутой. Ее непрерывность соответствует тому требованию, что “если количества благ в двух векторах почти совпадают, то и полезности таких векторов должны быть близки”. Возрастание функции полезности соответствует требованию монотонности предпочтений относительно доминирования (доминируемые альтернативы “хуже”). Вогнутость и выражает принцип уменьшения маргинальной полезности благ. Он заключается в том, что одинаковое приращение количества одного блага (при постоянстве количеств прочих) дает тем меньшее приращение полезности, чем большим количеством этого блага уже обладает экономический агент.

Вогнутость функции полезности приводит к выпуклости множеств точек М" вида |(дс,,...,дс_л)|и(дс₁,...,х_п) > с]. Выпуклое множество харак-

Выбор из векторных альтернатив

теризуется тем, что если точки А = (х,,...,х„) и В = (у,,...,у_п) принадлежат такому множеству, то и точка (АВ)_Х с координатами (Ах, + (1-А)у,,...,Л.х„ + (1-Л.)у_п), Яе [0,1] принадлежит ему. Множество всех таких точек описывает отрезок в пространстве R", имеющий концы А и В (рис. 1.1).

На том же рисунке изображены кривые безразличия. Это множества альтернатив (векторов благ), безразличных между собой, т.е. принадлежащих одному классу безразличия. Каждую такую кривую (или каждый класс) можно задать уравнением

н-(х,,...,х„) = с,

где с — число. Таким образом, они представляют собой линии уровня функции и.

Рис. 1.1. Кривые безразличия для вогнутой функции полезности

в случае п = 2 ' Возрастание предпочтения

Часто встречающиеся примеры функций полезности — так называемая функция Кобба — Дугласа (Cobb, Douglas)

и(х₁,...,х_п) = х-x“^J (1-3)

а также ее обобщение — функция Стоуна — Джири (Stone, Geary)



Здесь а₍ >0, ^.<аг₍ =1, >0; первая функция определена для

х_[ > 0, вторая — для х_{ > k_t.

Можно заметить, что эти функции могут быть преобразованы с сохранением предпочтений, т.е. монотонным преобразованием, к виду аддитивно-сепарабельной функции полезности

и(х_?...,х_п) = и_](х_і) + ...+ и_п(х_п). (1-5)

В данном случае таким преобразованием является взятие логарифма.

Основное условие на предпочтения, которое влечет за собой аддитивную сепарабельность функции полезности, можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим три вектора, X = (х_?...,х_п), У = (у,,..,у_п) и А = (а_?...,а_п). Предположим, что некоторые из значений Xj и у_і совпадают. Обозначим через X' - (х',...,х'_п) и Y' = (у',..., у'), соответственно, вектора, у которых совпадающие значения заменены на компоненты вектора А, т.е. если х_{ = у₍, то положим х'-у'-а_і. Если же значения не совпадают, х_і Ф у₍ , то положим х' - х,, у'_: - у_г Для таких векторов должно выполняться следующее соотношение:

(X ^К)«(Х?У').

Словами можно сформулировать это условие так: предпочтение между векторами-альтернативами определяется только их несовпадающими компонентами. Это условие является необходимым и достаточным для аддитивной сепарабельности функции полезности [Debreu, 1960].

Ниже условия такого типа используются неоднократно. В частности, идейно схожий вид имеют условия (РЗа) и (РЗЬ) из следующего раздела, аксиомы (01) в разделе 5.2 и (Р2) в разделе 6.2.

1.3

* Выбор из последовательных платежей. Дисконтирование

В разделе 1.1 уже была поставлена простейшая задача выбора из двух денежных сумм с учетом времени их получения. Рассмотрим задачу в более общей постановке. Будем считать альтернативы из Л денежны-

ми потоками, т.е. последовательностями платежей (которые могут быть как положительными, так и отрицательными, т.е. как доходами, так и расходами). Каждому платежу будет сопоставляться время платежа. Альтернативы выбора имеют вид

Платеж

Момент времени

х,



Платежи считаются детерминированными (неслучайными); моменты времени могут быть произвольными, г, < t₂ < г_ъ <...

Рассмотрим сравнение таких альтернатив и их оценивание. Введем, как и выше, отношение предпочтения >z и согласованную с ним функцию (критерий сравнения) ?{А) на Л.

Говоря об оценивании денежных потоков, можно сразу указать на очевидную особенность, превалирующую как в экономической науке, так и на практике: это правило предпочтительности более ранних доходов'. Рубль сегодня лучше, чем рубль завтра. Наиболее очевидное объяснение этого эффекта в том, что покупательная способность денег, как правило, снижается, т.е. имеется инфляция или риск инфляции в будущем. Эффект, однако, этим не исчерпывается. Учет инфляции — отдельная тема, которая здесь не будет рассматриваться; чтобы исключить влияние фактора инфляции, предположим, что все денежные суммы дефлированы, т.е. выражены в реальных ценах некоторого начального момента времени.

Более ранняя возможность распорядиться деньгами открывает больше возможностей. Например, сумма может быть инвестирована под процент или использована для покупки подарков к Новому году — и в том, и в другом случае лучше получить ее раньше. Кроме того, отдаленность во времени получения каких-то сумм обязательно связана с неопределенностью. Человек не может абсолютно точно быть уверен в получении определенной суммы к определенному моменту и не может с уверенностью предсказывать собственное положение на тот момент. За это время могут произойти различные случайности, которые вызовут потребность в деньгах, человек не может быть уверен, что вообще доживет до их получения, и т.д. Таковы наиболее очевидные соображения в обоснование рациональности принципа “нетерпения”.

' Американский экономист Ирвинг Фишер (Fisher) ввел термин “impatience” — “нетерпение”.

Правило предпочтительности более ранних доходов обычно выражается в дисконтировании денежных потоков. Дисконтирование можно связать с наличием инвестиционной доходности. Ниже приводятся основные формулы (для читателя, не знакомого с понятиями сложного процента и дисконтирования, они более подробно описаны в разделе 12.4).

Правило начисления сложного процента состоит в том, что вложенный в момент t = 0 капитал 5(0) растет по закону

(1-6)

5(0 = 5(0)(1 + г*)' = 5(0)е",

где время измеряется в годах, г* — годовая процентная ставка, г = 1п(1 + г*) — сила роста, или процентная ставка с непрерывным начислением (force of interest, continuously compounded rate of return). Упражнение 9.1 в главе 9 показывает, что правило сложных процентов есть естественное правило роста: на “идеальном” финансовом рынке капитал, вложенный в ценные бумаги с фиксированным доходом, должен расти согласно (1-6).

Предположим, что в момент t предстоит произвести выплату в сумме С. Какова ее текущая (современная, приведенная, дисконтированная) стоимость (present value), т.е. какую сумму надлежит инвестировать в момент времени 0 по фиксированной ставке г*, чтобы покрыть этот будущий платеж? Очевидно, эта сумма равна



где ? = —= е~^г — коэффициент дисконта. 1 + г*

Ставку г называют краткосрочной ставкой доходности с непрерывным начислением, соответствующей г*, а также силой или интенсивностью роста. Процентную ставку г* или г, используемую для расчета коэффициента дисконта ?, называют дисконтной ставкой.

Текущая стоимость детерминированного (неслучайного) потока платежей (расходов) х₀,Х[,...,х_п,..., осуществляемых в моменты времени t₀,t_v...,t_n,... соответственно, есть



(1-7)

Эта текущая стоимость в точности совпадает с той суммой, которую нужно инвестировать сегодня (в момент 0), чтобы покрыть все расходы.

Вообще говоря, дисконтирование в экономике выражает изменение ценности денег не только в связи с инвестиционным доходом. Для произвольной последовательности платежей (не только расходов) ее дисконтированную стоимость можно определить тем же соотношением (1-7) как сумму, ценность которой в текущий момент равна суммарной ценности будущих платежей.

Простейшее правило оценки и сравнения последовательностей платежей состоит в оценивании их по дисконтированной (текущей, современной) стоимости.

Оценивая потоки платежей по дисконтированной стоимости, мы выбираем в качестве критерия ?(А) величину дисконтированной стоимости (1-7).

Этот метод оценки чрезвычайно распространен в экономической теории и на практике. Дисконтирование — стандартный и удобный прием финансовых расчетов.

NPV и премия за риск

Когда требуется оценивать денежные потоки в условиях риска (например, при оценке инвестиционных проектов), на практике часто пользуются следующим эмпирическим методом. Чистая дисконтированная стоимость ожидаемого потока вложений и доходов (net present value — NPV ) рассчитывается по повышенной на так называемую премию за риск дисконтной ставке. Это означает, что более отдаленные по времени доходы (и расходы!) сильнее “усчитываются”. Закономерность "выше доходность — выше риск” характерна для рынков инвестиций. Можно рассуждать так: если инвестор закладывает в оценку проекта высокую норму доходности, это означает высокую норму доходности инвестиций, “альтернативных" данному проекту — следовательно, их повышенную рисковость, — таким образом, инвестор соотносит данную инвестицию с более высоким уровнем риска.

При оценке инвестиционных проектов выделяют факторы риска, каждый из которых оценивают отдельно. Например, выделяют страновой риск, риск ненадежности участников проекта и несистематический риск. В последнем выделяют такие факторы, как неопределенность цен и спроса на продукцию, необходимость разработки новой технологии, нестабильность производства, спроса, внешней среды и т.д. Оценка каждого фактора добавляет несколько процентов (в пределах соответствующего интервала, например 2—5% в случае применения новых технологий) к дисконтной ставке.

По поводу критики (конечно, сильно упрощенного) метода “премии за риск” см.: [Виленский, Лившиц, Смоляк, 2002; Смоляк, 2002].

На фондовом рынке облигации, оцениваемые рынком как менее надежные (с большей вероятностью дефолта), имеют более высокие доходности. Разность между их доходностью и доходностью надежных облигаций (безрисковой доходностью) называется кредитным спрэдом (credit spread). В различных моделях оценки кредитного риска этот спрэд часто интерпретируется как та же премия за риск и считается, что инвесторы дисконтируют денежные потоки от вложений в рисковые облигации по более высоким дисконтным ставкам (немного подробнее в примере 9.7). Нужно отметить, однако, что на самом деле поведение инвесторов гораздо более сложно. Вообще говоря, из наличия кредитных спрэдов вовсе не следует возможность такой их интерпретации.

Приведем аксиоматизацию правила оценивания денежных потоков по дисконтированной стоимости согласно Смоляку [Смоляк, 2002].

Для простоты ограничимся рассмотрением денежных потоков с некоторой фиксированной и конечной последовательностью моментов платежей t_],t₂,...,t_n. Не ограничивая общности, можно принять за моменты платежей моменты 0,1,2,...,и-1. Тогда денежные потоки можно описывать векторами платежей А-(х_],х₂,...,х_п). Будем считать, что А содержит все такие вектора. Поскольку единицу измерения времени можно выбирать произвольно и сделать сколь угодно малой, такой модели достаточно для практических целей. Если в потоке отсутствуют платежи в какие-то из моментов 0,1,2,...,и-1, условимся ставить на место “отсутствующих” платежей нулевые.

Определим операцию сложения денежных потоков очевидным образом. Если А и В — два денежных потока, то суммарный денежный поток А® В определяется как поток с платежами, равными суммам соответствующих платежей потоков А и В. Например, если А — такой поток платежей: -1 в момент 1, 3 в момент 2, 1 в момент 3, а В — такой поток: 1 в момент 2, -2 в момент 3, 3 в момент 4, то суммарный поток

А ? В = (0, -1,3,1,0) ? (0,0,1, -2,3) = (0, -1,4, -1,3).

Потребуем выполнения следующего условия, которое можно назвать условием независимости (смысл названия раскрывается в разделе 2.4).

(D1) Для любых А,В,СеА если А>^ В, то А® С >z В® С.

Обозначим через Е_ь поток, состоящий из единственного платежа размером Ъ в момент 0. Наложим условие “согласованности”

(D2) Для любого Ь ?(Е_ь) = Ь.

Это требование означает, что оценка потока V в данном случае представляет собой не абстрактную меру полезности или ценности, как обычно предполагается в этой книге, а выражается в денежных единицах.

Из этих двух аксиом следует аддитивность критерия (упражнение 1.5):

?(А?Я)=?(А) + ?(Я). (1-8)

Еще одно условие представляет собой формализацию предпочтительности более раннего получения доходов (“нетерпения”, impatience). (D3) Если А = (х,,х₂,...,х_п_₁,0), В = (0,х,,х₂,...,х_п_,), причем ?(А)>0, то Ау В.

Другими словами, если поток имеет некоторую положительную ценность, то при отсрочке всех платежей, т.е. их перенесении на следующие моменты времени, ценность потока уменьшается.

Следующее утверждение представляет собой следствие (с небольшой переформулировкой) утверждения, доказанного Смоляком [Смоляк, 2002].

Теорема 1.2. Пусть на А существует согласованная с предпочтением функция ?(А) = ?(х,,...,х_п), строго возрастающая по каждой из переменных и такая, что выполнены аксиомы (Dl), (D2) и (D3). Тогда

V(x,,...,x_n) = 2]x_tvⁱ"¹, (1-9)

k=1

где 0 < ? < 1.

Теперь перейдем к обобщению модели дисконтированной стоимости (1-9) — модели дисконтированной полезности, предложенной Са-муэльсоном (Р. Samuelson) в 1937 г. Критерий дисконтированной полезности имеет вид

?(А) = ?Чх„...,х_п,...) = Х^м(*>*Л (1-10)

k=1

где и(х) — некоторая функция полезности денег.

Здесь полезность дохода х_к не зависит от предшествовавших изменений уровня богатства, т.е. от значений x,,...,x_t_,. Все полезности соответствуют моменту, когда происходит выбор, например моменту t = О, поэтому используется одна и та же функция полезности денег для всех х_к.

Нужно, однако, отметить, что прозрачный смысл дисконтирования как выражения начисления инвестиционного дохода здесь утрачивается, так как дисконтирование применяется уже не к реальным денежным суммам, а к полезностям. Коэффициент дисконта и, соответственно, дисконтная ставка приобретают в этой модели иной смысл: они, так же как и функция м(х), выражают предпочтения субъекта. Если функция м(х) выражает предпочтения в отношении денег, то коэффициент дисконта ? — предпочтения в отношении времени платежей. Чем выше дисконтная ставка (и, соответственно, ниже коэффициент дисконта), тем больше ценности теряют денежные доходы при их отсрочке. Другими словами, величина дисконтной ставки характеризует степень субъективного обесценивания доходов по времени.

Величина коэффициента дисконта характеризует степень изменения полезности денег при переносе момента платежа от более раннего момента времени к более позднему.

Ниже описывается аксиоматическое построение дисконтированной полезности согласно Купмансу [Koopmans, 1960]. Доказательство его опирается на более раннюю работу Дебре [Debreu, 1960].

Как и выше, будем рассматривать денежные потоки, описываемые векторами, однако теперь включим в рассмотрение и бесконечные вектора сумм платежей, А = (x,,x₂,...,x_t,...), соответствующих моментам времени (0,1,2,...,it-1,...). Будем считать, что Л содержит все вектора такого вида, такие, что х_к — числа из некоторого интервала [а,Ь], а<Ь. Сразу отметим, что бесконечность рассматриваемых денежных потоков существенна (см. ниже).

Определим “расстояние” между денежными потоками А = (х_],х₂,..) и А' = (х',х₂,...) формулой

d(A, A') = sup|x_t -х[\.

к

Теорема 1.3. Пусть выполнены следующие условия.

(Р1) На Л существует согласованная с предпочтением функция ?(А) = ?(х₁,...,х_п,...), возрастающая по каждой из переменных и удовлетворяющая свойству равномерной непрерывности:

для любого ? > 0 можно указать число S > О, такое, что d(A, A') |V( A) -V(A')I < e.

(P2) Существуют денежный поток А = (л,, х₂,...) и число х_х, такие, что

?(х_х,х₂,х₃,..)>?(х_х,х₂,х₃,..).

(РЗа) Для любых (л,, х_г, х₃, х₄,...), (х_х ,х₂,х₃,х₄,...)

?(х_х, х₂, х₃, х_4>...) > ?(х_х, х₂, х₃, х₄,...) =>

V (Л|, х₂, х₃, х₄,...) ^ V (х_х, х₂, х^, х₄,...).

(РЗЬ) Для любых (х_х,х₂,х₃,х₄,..), (х_х,х₂,х₃,х₄,..)

V (-^і > х₂, х₃, Х₄,...) ^ V (х_х, х₂, х₃, Х₄,...) =>?(х_х,х₂,х₃,х₄,...)>?(х_х,х₂,х₃,х₄,...).

(Р4) Для любого х_х и любых (х_х,х₂,х₃,х₄,..), (х_х,х₂,х₃,х₄,..)

V(л,,х₂,х₃,х₄,..)>?(х_х,х₂,х₃,х₄,...)

<=> ?(х₂,х₃,х_4>...) > ?(х₂,х₃,х₄,...).

(Р5) Существуют А, А G А, такие, что для любого Ag А

V(А) < V(А) < V(А).

Тогда V имеет вид (1-10), где и(х) — некоторая неубывающая функция, ? G (0,1).

В этой теореме основными условиями являются (РЗа, РЗЬ) и (Р4). Смысл условий (РЗа, РЗЬ) в том, что выбор из двух денежных потоков, различающихся только первыми двумя значениями платежей, определяется только этими различающимися значениями. Это основное условие, приводящее к аддитивной по периодам времени форме критерия, или к “разделению” периодов. Нетрудно заметить его сходство с условием аддитивной сепарабельности функций полезности, сформулированным в конце предыдущего раздела. Условие (Р4) Купманс [Коор-mans, 1960] называет условием стационарности. Его смысл в том, что денежные потоки можно “как угодно перемещать во времени” и предпочтение при этом не меняется. Это особенно ясно видно, если положить в этой аксиоме *, =0. Последовательно применяя (Р4), можно, например, установить, что если поток (-1,4) хуже потока (1,1), то и поток (0,0,0,-1,4) хуже потока (0,0,0,1,1) (здесь, как и выше, ненаписанные платежи считаются нулевыми, т.е. нужно считать потоки продолженными бесконечным числом нулей).

Условие (Р2) говорит о том, что критерий V должен быть чувствителен к изменению отдельных значений платежей. Например, функция

?(*,,*₂,*₃,*₄,...) = lim sup*,

г->+~ ,>г

удовлетворяет всем условиям теоремы, кроме (Р2). Такая функция полезности могла бы быть у субъекта, ориентирующегося только на “предельное поведение” последовательности *,.

Из условий теоремы становится ясно, почему существенна бесконечность потоков платежей (jc,,jc₂,jc₃,...). Так, функция (1-10) при ? > 1 удовлетворяет всем условиям теоремы. Однако такая функция не определена для всех рассматриваемых последовательностей. Например, ряд в правой части (1-10) расходится для любой последовательности постоянных платежей вида (*,*,*,...). Поэтому условие ?<1 вытекает только из требования сходимости ряда в правой части (1-10). Можно сказать, что это условие — чисто математическое. Это соображение проливает свет на происхождение “нетерпения” в рамках данной теоремы: в отличие от условий теоремы 1 выше, здесь это требование не накладывается явно, но выводится из прочих условий, причем важную роль играет конечность функций полезности.

Вообще говоря, основной результат работы Купманса [Коор-mans, 1960] имеет именно такой характер. Если несколько ослабить условия (РЗ), то функция полезности уже не обязательно будет иметь вид (1-10). Однако свойство “нетерпения” остается: если ?>0, то

V(xi,x₂,...,x_k + ?,...,x_k+m,..) >V(x_],x₂,...,x_k,...,x_k+m + f,...).

1.4

Выбор в условиях риска

В этом разделе будем предполагать, что с каждой альтернативой А можно связать некоторую репрезентативную случайную характеристику Х_А и функцию распределения этой характеристики F_A. Такой характер имеют задачи выбора, описанные в этой и последующих главах, до главы 5 включительно: выбор полностью описывается вероятностным распределением репрезентативной случайной характеристики. В этом смысле можно говорить о задаче выбора из альтернатив, представленных вероятностными распределениями. Такую задачу называют задачей выбора в условиях риска (choice under risk). В главе 6 рассматривается более общая задача выбора в условиях неопределенности (choice under uncertainty).

Так как каждой альтернативе А сопоставляется некоторая репрезентативная случайная характеристика Х_А с функцией распределения F_a, условимся также писать ?(Х_А) и V(F_A), т.е. считать функцию V заданной на множестве случайных величин или функций распределения. Такое же соглашение примем и для отношения предпочтения >:.

Детерминированным эквивалентом (certainty equivalent) альтернативы А называется число е-е(А), такое, что ?(Х_А) = ?(е). Если, например, альтернативы выбора — некоторые предприятия, дающие случайные доходы Х_А (будем называть такие альтернативы играми или лотереями), то естественно понимать детерминированный эквивалент как цену участия в игре. (См. также упражнение 5.13.)

Зададимся теперь вопросом о том, какими хотелось бы видеть отношение предпочтения и критерии выбора в условиях риска. Есть определенные свойства, которым, по-видимому, должны соответствовать любые рациональные предпочтения. Прежде всего, к таким свойствам относится правило “чем больше, тем лучше”. Рассмотрим, например, две игры (лотереи). Подбрасывается монета. В первой игре (назовем ее А) можно выиграть 1000 долл, при выпадении герба (с вероятностью 1/2) либо не выиграть ничего при выпадении решки. В игре В можно выиграть 1100 долл, при выпадении герба либо ничего в противном случае. Естественно предполагать, что любой рациональный выбор, если есть возможность выбирать между играми А а В, будет в пользу игры В. На рис. 1.2 показаны функции распределения величины выигрыша в играх А и В, F_A(х) и F_b(jc). Можно заметить, что график F_B либо совпадает с графиком F_A, либо лежит ниже его (на интервале от 1000 до 1100). Таково общее правило: смещению распределения вероятностей в область больших значений соответствует понижение графика функции распределения.



Рис. 1.2. Функции распределения выигрышей в лотереи А к В Пусть F(x) и G(x) — две несовпадающие функции распределения. Говорят, что функция распределения F(x) доминирует функцию распределения G(x) в смысле стохастического доминирования первого порядка (обозначим это F >-,G), если для любого х F(x) < G(x). Для краткости будем употреблять также термин первое стохастическое доминирование.

Можно показать, что если F >- ,G, то существуют случайные величины X и Y с функциями распределения F(x) и G(x) соответственно, такие, что X > Y, причем при некоторых случайных исходах имеет место строгое неравенство (упражнение 1.6). Это еще одно пояснение по поводу того, почему стохастическое доминирование первого порядка является аналогом правила “чем больше, тем лучше” для случайных денежных альтернатив.

Разумно потребовать согласованности отношения предпочтения со стохастическим доминированием первого порядка, или, как говорят, монотонности относительно первого стохастического доминирования. Сформулируем соответствующее условие на предпочтения.

(Mj) Если F_a то А> В.

Так называемое неприятиие риска (risk aversion) тоже часто рассматривается как естественное условие на предпочтения относительно рисковых альтернатив. Однако оно не так бесспорно, как правило “чем больше, тем лучше” (М,). Рассмотрим, например, выбор между игрой А, в которой можно выиграть 1000 долл, с вероятностью 1/2 и ничего с вероятностью 1/2, и игрой В, состоящей в детерминированном получении 500 долл. Заметим, что математические ожидания выигрышей равны. Как правило, когда такой выбор предлагают группам людей, большинство отвечает, что они выбрали бы В, однако находятся и такие, кто предпочел бы А. Если, однако, некто предпочитает А, можно было бы предложить ему выбор между В и игрой А', в которой можно выиграть 21000 долл, с вероятностью 1/2 и проиграть 20000 долл, в противном случае (математические ожидания выигрышей по-прежнему равны 500 долл.). Многие, по-видимому, просто откажутся играть в игру А', не говоря уже о том, чтобы предпочесть ее игре В. Во многих ситуациях отказ от риска выглядит рационально, и в реальных экономических ситуациях часто неприятие риска доминирует. Например, на фондовом рынке облигации, риск которых оценивается рынком как более высокий, имеют и большую доходность: спрос на них ниже и ниже цены, т.е. инвесторы в целом демонстрируют неприятие риска.

Сформулируем условие неприятия риска в следующем виде.

Будем говорить, что функция распределения F_A получена из функции распределения F_B сохраняющим среднее рассеиванием (mean preserving spread), если F_A{x) и F_B(x) — две несовпадающие функции распределения, математические ожидания которых равны, т_А=т_в=т, и F_a(x) > F_B(x) для любого х<т, F_A(x) < F_B(x) для любого х > т. (RA) Если функция распределения F_A получена из функции распределения F_B сохраняющим среднее рассеиванием, то F_B >¦ F_A.

Рис. 1.3 и 1.4 иллюстрируют это свойство. Если функции распределения имеют плотности, то они могут выглядеть так, как изображенные на рис. 1.3. Плотность с большей дисперсией (сплошная линия на графике) соответствует функции распределения F_A, полученной сохраняющим среднее рассеиванием. Функции распределения, построенные по таким плотностям, показаны на рис. 1.4. Функция F_A имеет больший разброс, давая “более рисковое” распределение, поэтому, с точки зрения отвергающего риск лица, представляет менее выгодную альтернативу. На рисунках изображены симметричные плотности и распределения, однако определение применимо к произвольным распределениям.

т

Рис. 1.3. Две нормальные плотности, имеющие одинаковое среднее т

и разные дисперсии Еще одно условие, которое мы введем, объединяет в себе условия стохастического доминирования первого порядка и неприятия риска. Пусть опять F(x) и G(x) — две неодинаковые функции распределения. Будем говорить, что функция распределения F(x) доминирует функцию распределения G(x) в смысле стохастического доминирования второго порядка (обозначим это F >- _nG), если для любого t



Для краткости будем употреблять также термин второе стохастическое доминирование. Введем соответствующее требование монотонности. (М_п) Если F_Ay_uF_B, то Ау В.

Очевидно, что если F_A y_}F_B, то F_A >_aF_B. Кроме того, рис. 1.4 показывает, что из двух симметричных распределений с общим центром распределение, имеющее меньший разброс, доминирует другое в смысле второго стохастического доминирования. Действительно, в силу симметрии, площадь S, тонированной области, лежащей между двумя функциями от —оо до точки их пересечения т, для любого конечного t не меньше площади S₂ тонированной области от точки пересечения до t. Фигурирующий в определении интеграл равен разности площадей S₂ -S,, которая, как мы видим, не положительна.

Из всего сказанного следует, что требование (М„) является более сильным, чем (М,) и (RA), т.е. можно написать:

(М„) => (RA).

Провести доказательство предоставляется читателю.

Рис. 1.4. Второе стохастическое доминирование Нужно заметить, что на рис. 1.3 и 1.4 изображены нормальные плотности и функции распределения. Для нормальных распределений больший разброс определяется большей дисперсией, т.е. если дисперсия одного распределения больше, то оно доминирует другое в смысле второго стохастического доминирования. Однако обычно это не так. При других распределениях большая дисперсия не может гарантировать наличие стохастического доминирования. Однако верно обратное: если F_Ay_nF_B и т_А=т_в, то <7_А<<7_В, где через тисс соответствующими индексами обозначены, как и выше, математические ожидания и средние квадратические отклонения (упражнение 2.7).

Кроме понятия критерия выбора в литературе используется также понятие мер риска (risk measures). Мера риска — не то же самое, что критерий выбора, хотя в некоторых случаях эти понятия почти тождественны. Математически мера риска R определяется так же, как критерий выбора V: это некоторая числовая функция на множестве случайных величин или их функций распределения. Под мерами риска будем понимать вообще числовые характеристики, позволяющие судить о величине или значимости риска, т.е. как-либо измерять риск. Меры риска часто (хотя и не всегда) мыслятся в денежном выражении. В этом случае такая мера понимается как сумма, которую нужно зарезервировать под определенный риск для покрытия возможного убытка. Сфера применения мер риска — в основном финансы и страхование; они используются инвесторами, страховщиками, биржами, государственными регуляторами в этих областях.

Использование мер риска в задачах выбора, в принципе, представляет самостоятельный вопрос. Однако если решается задача минимизации риска, оцениваемого соответствующей мерой, критерий и меру риска можно фактически отождествить. Условимся определять критерии на величинах дохода X, а меры риска — на убытках -Х\ тогда (только в рамках задачи минимизации риска!) можно положить

V{X) = -R{-X). (1-11)

В этом случае максимизация критерия эквивалентна минимизации меры риска. В общем случае критерий выбора не обязательно равен мере риска; величина риска или необходимого резерва может быть лишь одним из многих факторов, учитываемых при принятии решений.

Если мера риска R понимается как денежная (например, как необходимый резерв), то естественно требовать от нее выполнения свойства сохранения масштаба (однородности)'.

R{AX) = AR{X). (1-12)

Действительно, если это свойство не выполнено, то возникает проблема единицы измерения денег: при переходе, например, от измерения в рублях к измерению в тысячах рублей оценка может измениться.

Некоторые примеры мер риска приводятся в главе 2.

Решения далеко не всегда принимаются только исходя из минимизации риска. Часто риск является лишь одним из частных факторов в многокритериальных задачах выбора. Одним из примеров является задача о выборе инвестиционного портфеля на основе сопоставления доходности и риска, рассматриваемая в следующей главе. На финансовом рынке повышение доходности влечет повышение риска, т.е. два этих критерия противоречивы. Высокий доход, даваемый инвестициями, может заставить инвестора пойти на риск. Приведем другой пример.

Пример 1.2. Выбор трассы магистрального газопровода [Ларичев, 2002]. При выборе вариантов трассы газопровода в Грузии в 1984 г. использовались оценки экспертами вариантов проекта по следующим факторам:

• затраты: приведенная стоимость затрат (П), капитальные затраты на основную трассу газопровода (С,) и на строительство отводов (С ₂);

• удобство эксплуатации (Э);

• надежность эксплуатации (Н);

• влияние на окружающую среду (В);

• связь с региональными планами развития (Р);

• условия строительства (У);

• безопасность (Б).

Все параметры проектов, кроме затрат, характеризовались экспертами вербально (“лучший”, “худший” и т.д.). Всего обсуждалось три базовых варианта проекта. Крупные решения такого рода принимаются обычно на основе согласования интересов различных заинтересованных лиц и групп. В данном случае таких групп было четыре: региональные власти, заказчик, подрядчик и проектировщик. Все эти группы по понятным причинам ориентируются в большей мере на разные аспекты проектов. В результате анализа трех вариантов два из них оказались предпочтительными по всем факторам. Результатом процесса всех обсуждений стал доработанный вариант одного из этих двух проектов.

В многокритериальной задаче выбора из последнего примера показателями, учитывающими риск вариантов проекта, являются показатели Н и Б. Нужно заметить, что оценка надежности производилась экспертами как вероятность аварий. Эта вероятность может рассматриваться как мера риска, хотя, очевидно, в этом качестве можно использовать и какие-то другие критерии. Неопределенность вовсе не обязательно (и не всегда удобно) учитывать в процессе принятия решений при помощи вероятностей. Этот вопрос подробнее освещается в последующих разделах.

1.5

*Динамическая задача выбора

Задача выбора в условиях риска может быть более сложной, если речь идет не об одной отдельно взятой ситуации выбора, а о последовательности таких ситуаций. Пусть Х₀,Х_?...,Х_Г... — конечная или бесконечная последовательность некоторых случайных величин. Будем считать, что эти величины выражают значения некоторого случайного фактора на соответствующий момент времени. Например, рассмотрим процесс деятельности некоторого финансового предприятия в условиях риска; в этом случае X_t могут быть значениями капитала, который находится в обороте на момент времени t (время измеряется в некоторых единицах). Предположим, что в каждый из моментов времени субъект должен принять некоторое решение d_t из множества возможных решений Т>. Например, это может быть решение о распределении капитала Х_г В простейшем случае d_t может обозначать долю капитала, изымаемую из оборота в целях потребления в период [f,f + l]. Тогда (X_t-d_t) есть капитал, который остается в обороте.

Если речь идет о распределении капитала, то решение d_t, принимаемое в момент t, должно зависеть, по крайней мере, от имеющегося капитала Х_г В задачах более общего типа оно может, вообще говоря, зависеть от всех прошлых значений Х₀, X,,..., Х₍_, и принятых в прошлом решений d_Q,d_l,...,d_t__l.

Введем критерий качества принимаемых решений



В задаче о распределении капитала, если d_t — суммы, направляемые на потребление, то естественно задать V как полезность потребления. В частности, часто используют ожидаемые значения критериев дисконтированной стоимости (1-7) и его обобщения — дисконтированной полезности (1-10) из раздела 1.3. Последний критерий в данном случае имеет следующий вид.



(1-13)

где ? — коэффициент дисконта, а сумма может браться как по конечному, так и по бесконечному множеству значений t, в зависимо-

Динамическая задача выбора

сти от постановки задачи. Критерий (1-13) выражает ожидаемую дисконтированную полезность потребления.

Таким образом, общая постановка задачи о выборе решения выглядит так: найти функцию d - d(t, Х₀,..., X_t__vd₀,...,J,_,), доставляющую максимум критерию V. Решение ищется на каком-либо множестве таких функций. Функции d называются стратегиями, или решающими правилами. Фактически стратегия описывает правило принятия решения во всевозможных ситуациях, характеризующихся случайными параметрами. Стратегия d*, доставляющая решение указанной задаче, называется оптимальной.

В этой книге будут рассмотрены только некоторые примеры таких задач динамической оптимизации. Это задачи о распределении капитала и потреблении: задача о распределении капитала инвестора в разделе 3.4 и задача о выплате дивидендов страховой компанией в разделе 8.1. При решении таких задач обычно используются методы динамического программирования. В их основе лежит принцип оптимальности Беллмана'. Последний состоит в следующем: оптимальное поведение на каждом шаге такое же, как если бы этот шаг был последним, а значения критерия оптимизации брались максимальными по всем альтернативам последующего поведения.

Часто задачи описанного здесь типа называют задачами динамического управления (dynamic control), а стратегии d — управлениями. Приведенная выше математическая модель может описывать влияния d_t некоторого управляющего субъекта (например, руководства фирмы) на процесс X_t (например, капитал фирмы). С помощью таких моделей можно описывать различного рода обратные связи в экономических системах — например моделировать реакции менеджмента фирмы на изменения ее финансового положения. Реалистичные модели такого типа, как отчасти увидит читатель ниже, получаются сложными, и обычно исследовать их приходится численными методами. Пример модели с обратными связями представляет модель пенсионной схемы из главы 11. В той же главе рассматриваются методы практического анализа динамических управляемых моделей, реализуемых на компьютере.

¹ Р. Веллман (Bellman) — американский математик XX п.

1.6

Выбор при неопределенности

В предыдущих разделах шла речь о выборе в условиях риска, т.е. выборе в ситуации неопределенности, когда вероятности будущих событий считаются известными. Согласно классической теории вероятностей, понятие вероятности тесно связано с понятием статистического эксперимента — серии независимых повторяемых испытаний. Вероятность может быть определена экспериментально как частота некоторого события в этих повторяющихся испытаниях, либо она может быть рассчитана как соотношение шансов (говоря современным языком, на основе математической модели эксперимента). Например, вероятность выпадения единицы при бросании кости дается соотношением шансов один к шести. При достаточно долгой серии бросаний кости частота выпадений единицы приближается к одной шестой.

Вероятности, которые могут быть надежно определены на основе статистического эксперимента или его модели, будем называть статистическими или физическими. Вероятности, которые нельзя определить статистически, обычно определяются путем экспертных оценок. Именно такие вероятности использовались в примере 1.2. Теоретическим основанием таких оценок является теория субъективных вероятностей (см. главу 6). Под субъективными вероятностями понимаются оценки возможности событий, получаемые, вообще говоря, нестатистическим путем. Субъективная вероятность — это оценка субъектом степени возможности какого-либо события.

Пример 1.2 дает очень хорошую иллюстрацию того, что использование понятия вероятности для измерения риска может быть чистой условностью. Действительно, в этом примере речь идет о новом, уникальном объекте (газопроводе); не существует статистических данных или математических моделей, которые позволили бы надежно определить вероятность аварии на газопроводе. Использование здесь вероятностного описания неопределенности есть, по сути, просто форма вопроса к эксперту.

В этом примере вероятностный показатель играет просто роль некоторого критерия надежности проекта с точки зрения данного риска, а вероятностного смысла на самом деле не имеет. В наборе показателей, которыми описывается проект и по которым производится сравнение проектов, можно с тем же или большим успехом использовать в качестве показателя риска какой-то более первичный показатель. Иногда можно встретить такие оценки: говорят, что вероятность аварии, скажем на АЭС, меньше одной сотой в год, или в среднем меньше одной аварии за сто лет. Нужно ли ставить вопрос эксперту в такой форме? Возможно, это выглядит несколько искусственно. Вероятностное описание неопределенности стало, наверное, слишком привычным в науке и на практике. А всякая неосознанная привычка может стать вредной.

Далеко не всегда есть смысл в вероятностном описании неопределенности. Это во многом определяется решаемой задачей. В некоторых случаях, наоборот, стремление ввести вероятностное описание вполне естественно. Так, например, пусть речь идет о страховании уникального риска — скажем, пожара в новом здании бизнес-центра. Хотя это здание, допустим, уникально, эксперты и актуарии страховой компании скорее всего попытаются как-то оценить вероятность пожара. Они захотят трактовать этот риск такими же методами, как, например, риск пожара в загородных коттеджах, по которым у них есть достаточно статистических данных и вероятность пожара может быть оценена статистическими методами. Нет никаких общих оснований говорить, что это неправильно и что они должны применять те или иные методики, не использующие понятия вероятности. Теория субъективных вероятностей (

Метод сценариев

Обсуждение альтернативных способов описания неопределенности будет продолжено в следующем разделе. Здесь введем общую математическую модель принятия решений при неопределенности, которая является более общей, чем модель выбора в условиях риска предыдущего раздела.

Рассмотри м некоторое множество {s,,...,^,...} = S состояний при -роды, или сценариев. Под сценариями понимают возможные картины будущих изменений факторов, важных для выбора решения в данной задаче. Для простоты это множество будем считать пока не более чем счетным. Один и только один из этих возможных сценариев в будущем реализуется.

В теории выбора на основе субъективных вероятностей субъект, принимающий решение, приписывает каждому сценарию st субъективную вероятность реализации — число qt е [0,1]. Таким образом, субъект оценивает степень возможности отдельных сценариев и делает выбор на основе своей оценки.

В главах 5 и 6 ниже рассматривается обобщенная модель, когда отдельным сценариям приписываются не субъективные вероятности, а некоторые обобщенные веса пг Этот подход не требует оценки вероятностей, субъект прямо приписывает сценариям веса в соответствии с представлением об их значимости. В ряде ситуаций такой подход кажется разумным, так как позволяет избавиться от ограничений вероятностной интерпретации. Например, в некоторых системах экспертных оценок основой для построения весов является не возможность (вероятность) сценариев, а степень уверенности группы экспертов в том, что какой-то параметр примет значение в определенном интервале. Как частный случай, веса могут быть равны вероятностям — статистическим или субъективным.

Полезно для дальнейшего установить классификацию понятий по степени их все большей обобщенности.

¦ Физические (статистические) вероятности понимаются как реальные вероятности событий. Они могут быть определены статистическим методом, т.е. путем оценивания частот или путем расчета шансов в случайном эксперименте (как, например, бросание кости или выпадение номеров в игре в рулетку).

¦ Субъективные (интуитивные) вероятности определяются как оценки субъектом вероятностей будущих событий. Они могут быть определены даже тогда, когда физические вероятности неопределимы. Будем считать, что если субъекту известны физические вероятности, то субъективные вероятности будут равны им.

¦ Субъективные веса не имеют смысла вероятностей. Они имеют обобщенный смысл показателей значимости отдельных сценариев. Если субъекту известны физические вероятности, веса не обязательно равны им.

Возможные варианты принятых решений описываются функциями /,,/2,... на множестве сценариев S. Эти функции принимают значения в некотором множестве результатов, которое, в принципе, может быть очень сложным, многокритериальным. Будем считать для простоты, что речь идет об агрегированных показателях; тогда результаты выбора решения / описываются числовыми значениями /($,),

(можно их рассматривать как денежные доходы или выигрыши). При реализации состояния природы (сценария) st выбранный вариант решения приводит к результату /(s,).

Отношение предпочтения У в этом случае задается на функциях-решениях. Критерий V, согласованный с ним, является функцией на множестве функций-решений, которое обозначим Т.

Покажем, что схема выбора в условиях риска является частным случаем описанной схемы выбора при неопределенности. Эта схема возникает тогда, когда выбирается модель случайного появления сценариев. Можно представлять их себе порождаемыми некоторым условным устройством — генератором случайных сценариев. Пусть случайный сценарий (состояние природы) s( генерируется с вероятностью рг Тогда результаты принятых решений /(s,) тоже окажутся случайными и имеющими вероятности рг Если обозначить числа /(s.) через хп то мы приходим к конструкции случайной величины X, принимающей значения х: с вероятностями рг Эта случайная величина есть случайный результат принятого решения. Если предположить, что выбор определяется только результатами и вероятностями рп т.е. распределением случайной величины, то мы придем к схеме выбора в условиях риска из предыдущего раздела. С математической точки зрения такая интерпретация корректна, как только состояниям природы приписаны вероятности — это единственное условие, нужное, чтобы запустить наш условный генератор случайных сценариев.

В дальнейшем мы будем принимать следующую схему.

Критерии выбора решений при неопределенности V(f) основываются на результатах решения / в случае реализации различных сценариев, /(5,),и на представлениях о значимости сценариев, выражаемых некоторыми весами пі - n{si). Модель выбора в условиях риска является частным случаем этой модели.

1.7

*Еще об анализе неопределенности

Модель, построенная в предыдущем разделе, включает две составляющие. Во-первых, это модельные результаты решений в случае реализации различных сценариев f(s.). Во-вторых, это веса отдельных сценариев n{sj). Эти веса дают представления о сравнительной значимости сценариев, нужные для агрегирования результатов моделирования по различным сценариям. Например, ниже, в главах 5 и 6, используется “модель взвешивания” результатов по весам сценариев

пл=2>(/М*.-> о-¹⁴)

(

где м( ) — некоторая функция полезности результатов.

Конечно, критерии могут быть и совершенно иными.

Подходы к формированию весов могут быть разными. Они зависят от метода описания неопределенности в принимаемой модели. Эта книга посвящена в основном (хотя не исключительно) вероятностному описанию неопределенности. Вероятностное описание неопределенности предполагает высокую информированность принимающего решения субъекта: он считает известными вероятности всех сценариев.

Другой крайний случай неопределенности — случай, когда о результате принятого решения известны только нижний и верхний пределы его значений. Например, можно представить себе ситуацию, когда для каждого решения / можно указать наиболее благоприятный сценарий Г и наименее благоприятный сценарий s (которые могут зависеть от / ). Тогда известно, что результат решения будет лежать в интервале [f(s),/(7)], но не известно ничего о результатах внутри интервала, их вероятностях и т.д. Такой тип неопределенности назовем интервальной неопределенностью.

В этом случае критерий V должен быть функцией от f(s) = а и f(s) = b. Логично требовать ее монотонности по этим аргументам. Известный пример для этого случая — так называемый критерий Гур-вица

V(a,b) = Ла + {\-Л)Ь, (1-15)

где Ле (0,1). Можно заметить, что этот критерий — частный случай модели (1-14) — такой, когда ненулевыми весами обладают только крайние результаты (наиболее и наименее благоприятный). Всем остальным результатам, следовательно, приписываются нулевые веса, т.е. они незначимы.

Наиболее обычны “промежуточные” случаи, когда распределение вероятностей задать трудно, однако все-таки есть некоторая дополнительная информация о результатах, их возможности, значимости и т.д., кроме интервала значений. Для учета этой информации возможны самые разные подходы, сильно зависящие от цели, которая преследуется при формализации неопределенности, и от рода используемой информации (статистические данные, экспертные оценки и пр.). Задачи такого типа представляют собой отдельную тему, выходящую за рамки этой книги. Вообще, конечно, вероятностный способ описания неопределенности является далеко не единственным, хотя и наиболее разработанным теоретически и практически. Так, в последние десятилетия активно развиваются модели, основанные на описании неопределенности методами теории нечетких множеств. Обсуждение ряда вопросов, связанных с отличными от вероятностного видами моделирования неопределенности, читатель может найти в упомянутой книге Смоляка [Смоляк, 2002]. Широкий круг вопросов, связанных с принятием решений, и в том числе с учетом риска и неопределенности в многокритериальных задачах, освещается в учебнике Ларичева [Ларичев, 2002].

Естественно требовать, что тот или иной способ описания (формализации) неопределенности в практических задачах должен соответствовать имеющейся информации. С одной стороны, не стоит строить модели, исходной информации для которых недостаточно. Например, не стоит строить вероятностные модели, когда нет достаточных данных для определения вероятностей отдельных сценариев. С другой стороны, вся имеющаяся информация должна быть учтена при принятии решений.

Так, Лившиц [Лившиц, 1999] приводит следующий пример. Предположим, что в урне находятся три типа шаров: красные (), белые (s2) и зеленые (s2). Человек, вытащив шар, но еще не зная его цвета, имеет право подойти к одной из двух девушек, выплачивающих выигрыши: блондинке (/ ) или брюнетке (g ). Известно, что блондинка выплачивает 1 руб. за белый шар (/($,) = і), 2 руб. за зеленый (f(s2)~ 2) и 5 руб. за красный (f(s3) = 5). Брюнетка выплачивает 1 руб. за белый шар (g(.Si) = l), 3 руб. за зеленый (g(.s2) = 3) и 5 руб. за красный (g(s3) = 5). Ясно, что выгоднее подходить к брюнетке, что вроде бы противоречит критерию Гурвица, с точки зрения которого обе альтернативы безразличны. Здесь, однако, не соблюдается принцип учета всей имеющейся информации, сформулированный выше. Применяя критерий Гурвица или считая неопределенность интервальной, мы считаем промежуточный сценарий s2 незначимым (приписываем ему нулевой вес), а это противоречит интуиции. Если учитывать всю информацию, то критерий выбора для этой задачи должен быть функцией не от двух, а от трех чисел, соответствующих трем сценариям (“белый”, “зеленый”, “красный”), т.е. должен иметь вид V{f) - V(f (s{), f (s2), f (s3)).

В разделе 6.2 приводится формальное условие, выражающее чувствительность предпочтений (и следовательно, критерия) ко всей имеющейся информации, исключающее подобные парадоксы (это аксиома (РЗ) в теореме Сэвиджа о субъективной ожидаемой полезности). См. упражнение 6.5.

Неопределенность может описываться различным образом. Вероятностный способ описания неопределенности не является единственно возможным. Во многих случаях способ описания неопределенности зависит от решаемой задачи. Выбираемый способ учета неопределенности в процессе принятия решений должен соответствовать имеющейся информации.

На практике неопределенность в параметрах различных моделей часто учитывают упрощенным способом: в детерминированные (неслучайные) параметры моделей вводят поправки на риск. Это обычно делается при оценке предполагаемых доходов и имеющихся денежных обязательств. Пример такого способа уже был описан выше, когда речь шла о поправках на риск в дисконтной ставке (раздел 1.3). То же самое делается при оценке обязательств, например, в актуарных расчетах (пенсионных, в страховании жизни). В понятиях сценариев это означает использование только одного сценария. Этот сценарий может быть ожидаемым или, чаще, “поправленным на риск”. Обычно считают, что поправки на риск должны соответствовать умеренно пессимистическому сценарию. Эти поправки учитывают возможные отклонения параметров модели в неблагоприятную сторону.

При планировании каких-либо сложных проектов часто применяют более “продвинутый” подход. Рассчитывают график затрат и денежных поступлений по ожидаемому сценарию, а также по пессимистическому и оптимистическому сценариям. Это уже дает некоторые интервалы колебаний результатов вокруг ожидаемых значений, описывающие неопределенность сумм будущих затрат/поступлений. Тут уже можно оперировать с тремя последовательностями чисел. Если вести речь о значениях для некоторого момента времени или о некоторых агрегированных показателях, то это три числа: ожидаемое Е, пессимистическое Р и оптимистическое О значения.

Ясно, что если агрегирование результатов такого сценарного анализа моделируется критерием V, то он должен быть функцией от этих трех чисел, V - ?(Р,Е,0). Можно еще более детализировать анализ, проведя расчеты, скажем, по пяти сценариям: пессимистическому, умеренно пессимистическому, ожидаемому, умеренно оптимистическому и оптимистическому. После этого можно считать, упрощая ситуацию, что результат принимает только эти пять значений. Критерий V может быть функцией пяти аргументов. Если результаты товарно-денежные, то естественным требованием будет монотонное возрастание критерия по каждому из аргументов.

Часто рассматривают несколько пессимистических сценариев. Например, для инвестиционных проектов в реальном секторе экономики: падение цен на продукцию, нарушение графика поставок сырья, требование взяток санэпиднадзором и т.д.

Метод сценариев

Популярным практическим методом анализа неопределенности является метод сценариев. Он состоит в анализе ситуаций, которые могут возникнуть при реализации тех или иных возможных сценариев. Его обычно применяют без явного приписывания отдельным сценариям каких-либо весов и тем более вероятностей. Эмпирический анализ сценариев производится часто не на основе оптимизационного подхода, т.е. без построения агрегирующего результаты критерия V. Аналитик просто сравнивает различные варианты решений по принципу “что будет, если...”

Эмпирические приемы анализа моделей при помощи сценариев описываются ниже, в разделе 11.2.

Нужно отметить, однако, что при агрегировании результатов, полученных путем анализа отдельных сценариев, какое-то общее представление о сравнительной значимости сценариев должно присутствовать (это — нормативная точка зрения). С дескриптивной точки зрения это тоже, по-видимому, так: люди, принимая решения, сопоставляют одни сценарии с другими и поэтому явно или неявно пользуются представлениями об их сравнительной возможности, значимости и т.д. Например, предположим, что аналитику нужно исследовать перспективы развития бизнеса компании в нескольких вариантах расширения сбыта (/) и в нескольких сценариях внешней экономической обстановки (s). Анализируются как “спокойные” (умеренно пессимистические и оптимистические) сценарии, так и кризисные сценарии — сценарии экономических потрясений. При выборе вариантов решения скорее всего придется иметь в виду величину риска кризисного развития ситуации, т.е. то, насколько кризисные сценарии значимы. Если они достаточно значимы, будут приняты более осторожные решения относительно расширения сбыта. Заметим, что при реальном принятии решений людьми значимость сценариев не обязательно определяется только их вероятностями. Это подтверждается результатами экспериментов (см. главы 4—6).

Назначение сценариям весов означает их определенную интерпретацию — наличие критерия для сравнения и упорядочения их по степени значимости в процессе выбора решения. Отказ от вероятностной интерпретации или приписывания отдельным сценариям явно задаваемых весов должен заменяться какими-то другими, в некотором смысле эквивалентными, способами анализа дополнительной информации о каждом из сценариев при агрегировании результатов для выбора решения. Трудно представить себе ситуацию, когда такой информации нет, хотя, возможно, во многих случаях ее нельзя или нет смысла формализовать при помощи введения весов в явном виде.

Возникает вопрос: а можно ли вообще отказаться от приписывания сценариям каких бы то ни было весов? В этом случае при принятии решений субъект не должен пользоваться никакой другой информацией, кроме набора результатов, полученных от реализации некоторого набора сценариев.

Существуют теории, описывающие неопределенность в виде множеств возможных значений результата, без какой-либо их интерпретации. Если ограничиться наборами упорядоченных по возрастанию чисел, например тройками (Р,Е,0), то построение “хороших” критериев не вызывает трудностей. Однако попытки построить сколько-нибудь универсальные правила выбора, основанные на анализе множеств возможных результатов с разным числом элементов, ведут к парадоксальным результатам. Приведем один из них [Kannai, Peleg, 1984].

Пусть отношение предпочтения У определено на подмножествах некоторого конечного числового множества V. Эти подмножества чисел будем обозначать заглавными буквами, например А, В и т.д. Они могут представлять результаты моделирования результатов отдельных решений по каким-то группам сценариев. Числа (сами результаты) будем обозначать строчными буквами. Потребуем, чтобы У удовлетворяло следующим естественным условиям.

(К1) Если в непустое множество А - {ах,...,ап} включить элемент а, такой, что а > (<) а, для всех і, то для полученного таким образом множества А* = {а,а1,...,ап) будет выполняться соотношение А" ‘ >=(=<)А.

То есть включение в множество элемента, не худшего всех элементов множества, не ухудшает множество. Например, если к совокупности результатов моделирования добавляется результат, превосходящий все остальные, то оценка совокупности результатов повышается. (К2) Если А = {ах,...,ап}, В = {bv...,bm), А>(<)В, а не принадлежит ни А, ни В, то для множеств А* = {а,а1,...,ап} и В* = {a,bx,...,bm) будет выполняться соотношение А* >- (-<) В*.

То есть при включении в множества одного и того же элемента предпочтение между ними сохраняется. Например, если в две совокупности результатов моделирования добавляется один и тот же результат нового моделирования, то это не может изменить лучшую оценку на худшую.

Оказывается, что если Р содержит по крайней мере шесть элементов, то не существует полного упорядочения Р, удовлетворяющего условиям (К1) и (К2).

Эта теорема показывает трудности, возникающие при попытке отказаться от какой-либо “интерпретации” сценариев и построить процедуры принятия решений, основанные только на наборах результатов моделирования. Доказательство и обсуждение, помимо оригинальной статьи Каннаи и Пелега [Kannai, Peleg, 1984], можно найти в книге Смоляка [Смоляк, 2002].

1.8

Упражнения к главе 1

Упражнение 1.1. Покажите, что если ^ — полное упорядочение, то >-асимметрично, т.е. (Л >- В) => не (В >¦ А).

Упражнение 1.2. Покажите, что если >: — полное упорядочение, то >-отрицательнотранзитивно, т.е. (не (Л ^ В), не (В >¦ С)) => не (Л >- С).

Упражнение 1.3. Пусть бинарное отношение >--слабое упорядочение

на А. Определим отношения - и У правилами

(А ~ 5) <=> (не (Л >- В), не (В >- Л)), (А±В)а(А> В,не (А~В)).

Покажите, что ^ — полное упорядочение.

^Упражнение 1.4. Покажите, что лексикографическое отношение предпочтения не удовлетворяет условию теоремы 1.1, т.е. для него не существует плотного по упорядочению счетного подмножества ТісЛ..

Упражнение 1.5. Покажите, что из аксиом (D1) и (D2) раздела 1.3 следует (1-8).

^Упражнение 1.6. Пусть F и G — две функции распределения, такие, что F(x) < G(x) для любого х. Пусть F и G строго возрастают и непрерывны. Тогда можно определить обратные к ним функции F^-1 и G^-1, отображающие отрезок [0,1] в М. Так, обратная функция для F задается равенством F~‘(F(x)) = x. Пусть ? — случайная величина, имеющая равномерное распределение на [0,1]. Покажите, что

(а) случайные величины X - F“'(?) и F = G~‘(?) имеют функции распределения F и G соответственно;

(б) выполняется неравенство X >Y.

Упражнение 1.7. Сравните распределения по критериям стохастического доминирования первого и второго порядка. Вычислите и сопоставьте математические ожидания и дисперсии распределений.











^Вероятность 0,2 0,5 0,3,

100 200 450 500 600 1000"

0,2 0,25 0,1 0,1 0,05 0,3 ,

^г Значение Вероятность

(в) F4 и F5 =

^г Значение 100 1000" (б) F3 = Вероятность 0,7 о,з, и F. = ^г Значение 100 200 500 4 ^ Вероятность 0,2 0,25 0,25 1000^1

0,3 (Г) F6 = ^ Значение 100 200 400 500 ^Вероятность 0,25 0,2 0,1 0,2 ⁽ Значение 100 200 500 600 F, = 7 ^ Вероятность 0,25 0,25 0,25 0,25 Упражнение 1.8. Рассмотрим следующее правило сравнения альтернатив: если Р(ХЛ >ХВ)>У2, то A>zB. Величины ХА и Хв считаются независимыми. Монотонно ли это правило относительно первого стохастического доминирования?

Упражнение 1.9. Покажите, что отношение второго стохастического доминирования >- п транзитивно.

Упражнение 1.10. Пусть F0 — некоторое дискретное распределение, приписывающее значению х вероятность р. Рассмотрим распределение F, полученное из F0 “переносом вероятностной массы” 2Д из точки х поровну в точки х — а и х + а, т.е. распределение, приписывающее значению х вероятность р — 2Д, а значениям х-а и х + а — вероятности, на Д большие, чем соответствующие вероятности распределения F. Убедитесь в том, что F хуже F0 в смысле второго стохастического доминирования. Изобразите соответствующие функции распределения на одном графике.

глава

ОЦЕНКА РИСКА В ПРИМЕРАХ

Примеры этой главы иллюстрируют проблемы оценки риска, в частности в финансовой области. Отправной точкой для анализа служат нормально распределенные случайные величины. В этом случае вид критериев сводится к функциям от математических ожиданий и дисперсий. В более общей ситуации измерение риска дисперсией уже не эффективно. Построение “хороших” мер риска является нетривиальной задачей. Важной проблемой оценки риска является проблема “тяжелых хвостов”.

2.1

“Среднее — дисперсия”

Инвестор, оперирующий на финансовом рынке, где цены бумаг (например, облигаций, акций) колеблются непредсказуемым образом, вынужден принимать решения в условиях риска. Одна из наиболее известных задач выбора в условиях риска — задача формирования инвестиционного портфеля из различных ценных бумаг. Предположим, что инвестор располагает статистическими данными о колебаниях цен в прошлом. Это файлы, содержащие множество цифр. Как инвестору обработать эту информацию, чтобы принять правильное решение?

Математическое ожидание (среднее значение) — наиболее простой и естественный критерий выбора в ситуациях, когда будущие денежные поступления/потери случайны. Это также исторически первый такой критерий. Если бы инвестор действовал по правилу максимального среднего, он мог бы выбрать для инвестирования бумагу с наибольшей средней доходностью, оцененной по данным за определенный период времени, возможно, с поправкой на прогноз будущего состояния рынка.

Такой выбор, однако, не учитывает риска возможных случайных колебаний доходностей вокруг среднего. Желательно включить в оценки какие-либо вероятностные характеристики таких колебаний. Широкое распространение в теории и на практике получило использование дисперсии в качестве показателя риска. Пример выбора, основанного на измерении риска дисперсией, дает так называемая модель оценки фондовых активов (capital asset pricing model — САРМ). Она обсуждается ниже в самых общих чертах, преимущественно с точки зрения принципов сравнения и выбора альтернатив в условиях риска, реализованных в этой модели ‘.

Теория САРМ возникла как развитие теории выбора портфеля Марковица (Н. Markowitz). Марковиц ввел принцип сравнения по среднему и дисперсии (mean — variance principle), который можно в общем сформулировать так. Будем рассматривать альтернативы, характеризующиеся случайными величинами, или просто сравнение некоторых случайных величин. Принцип сравнения по среднему и дисперсии заключается в том, что из двух случайных величин “лучшей” (предпочтительной) считается величина, имеющая большее среднее и меньшую дисперсию. Если средние величин совпадают, то лучшей считается величина с меньшей дисперсией; если совпадают дисперсии — то с большим средним. Если у одной величины больше среднее, а у другой — меньше дисперсия, величины несравнимы, т.е. лучшую выбрать нельзя.

Принцип сравнения по среднему и дисперсии выражает предпочтительность альтернатив с большими значениями (“чем больше, тем лучше") и меньшим разбросом (“неприятие риска”, “нелюбовь к риску").

Рассмотрим задачу о выборе портфеля из п активов. Активы будем считать ценными бумагами, т.е. речь будет идти только о финансовых инвестициях. Зафиксируем некоторый период времени и поставим в соответствие г-му активу случайную величину г* его доходности за этот фиксированный период (по поводу определения доходности см. раздел 12.4). Пусть 7* = [/|*,г2*, ...,гл*] — вектор-строка случайных



т = [щ т2, ...,тп] — вектор-строка средних доходностей, С = [с(>] матрица ковариаций доходностей активов с элементами су = со?{г*, г*). Тогда доходность всего портфеля (т.е. набора активов)



' 1=1

где точка — знак скалярного произведения, индекс Т означает транспонирование вектора. Математическое ожидание (средняя доходность)



J = I

среднее квадратическое отклонение доходности



‘•j=i

Применим принцип “среднее — дисперсия” для сравнения доходностей портфелей. Будем считать совместное распределение г* г2, п-мерным нормальным. Пусть А и В — два портфеля, описываемые векторами ЬА и Ьв и доходностями гА и г* соответственно. Будем характеризовать все портфели парами математических ожиданий и_ средних квадратических отклонений г*, т.е. парами [mrlb^,<7r[b^j. Обозначим (тА,аА) и (тв,сгд) такие пары соответственно для портфелей Л и В. Если использовать для сравнения портфелей только эти два показателя — среднее и дисперсию — то задача выбора приобретает очевидное сходство с задачей выбора на парах чисел, сформулированной в разделе 1.1. Переформулируем введенное там правило доминирования применительно к данной ситуации.

Говорят, что портфель А доминирует портфель 5, если выполнено хотя бы одно из двух соотношений между парами (тА,<гА) и (тв,(Тв):

(mA>mB, оА <ав) или (mA>mB, стА<ав).

Портфель называется эффективным (efficient), если он не доминируется никаким другим портфелем.

Каждому портфелю активов со случайной доходностью г* можно поставить в соответствие точку на плоскости (сг,т) (см. рис. 2.1). Множество возможных портфелей изображается выпуклым множеством точек плоскости (упражнение 2.1). Верхняя левая граница этого множества представляет собой линию, соответствующую эффективным (недоминируемым) портфелям. Она называется границей эффективности или эффективным фронтом (efficient frontier). На рис. 2.1 эффективный фронт показан утолщенной линией, обозначенной Е. При инвестировании в рисковые активы стоит выбирать комбинации активов, соответствующие точкам границы эффективности; для любого другого портфеля можно указать доминирующий (т.е. лучший) портфель, соответствующий некоторой точке границы эффективности.

Рис. 2.1. Граница эффективности (точка В соответствует безрисковому портфелю, точка М — рыночному портфелю) Нетрудно заметить, что дисперсия доходности портфеля часто может быть уменьшена путем включения в него большего числа активов. Например, если бы доходности всех п активов были бы независимыми и одинаково распределенными случайными величинами, то для получения наименьшей дисперсии следовало бы составить портфель из всех п активов в равных долях: ?>,. = 1/ п (проверьте это самостоятельно). На этом факте основано правило диверсификации (распределения) риска между различными активами. Часто комментируют это правило пословицей: “не клади все яйца в одну корзину”.

В портфельной теории часто называют риском корень из дисперсии — среднее квадратическое отклонение доходности и в этом смысле говорят о соотношении риска и доходности отдельных активов и портфелей. Ниже мы увидим, однако, что основанный на дисперсии подход к измерению риска может оказаться слишком упрощенным (раздел 2.2). Однако это хорошее “первое приближение” для многих практических случаев.

Модель оценки фондовых активов (САРМ) предполагает, что возможно инвестирование в актив с безрисковой (т.е. неслучайной) доходностью rf. Таким активом могут быть, например, надежные (обычно государственные) облигации. Обозначим долю средств, инвестируемых в безрисковый актив, через Ь0. Доходность портфеля, составленного из безрискового актива и какого-либо набора рисковых активов, например портфеля, изображаемого точкой А на рис. 2.1, имеет математическое ожидание b0rf + (l-b0)mA и среднее квадратическое отклонение (1 -Ь0)(ТА. На рис. 2.1 множество портфелей такого вида изобразится отрезком АВ. Каждая точка отрезка соответствует своему Ь0 е [0,1].

Выберем теперь на границе эффективности точку М, такую, чтобы прямая ВМ была касательной к границе эффективности. Для каждой точки отрезка АВ можно указать точку отрезка ВМ, лежащую выше нее. Это говорит о том, что для любого портфеля, составленного из комбинации безрискового актива и рисковых активов в пропорциях, соответствующих точке А, можно указать доминирующий (лучший) портфель, составленный из безрискового актива и комбинации рисковых активов, соответствующей точке М. Этот доминирующий портфель имеет такое же <7, но большее т. Это влечет за собой важный вывод: точка М соответствует оптимальной комбинации рисковых активов. Соответствующий точке М портфель называется рыночным портфелем (market portfolio). Прямая ВМ на плоскости (сг,т) носит название прямой фондового рынка (capital market line). Ее уравнение

тм - г,

т- rf -і--—<т, (2-4)

где тм и
На такое определение рыночного портфеля можно посмотреть также со следующей точки зрения. Из всех прямых, проходящих через точку В и точки границы эффективности, прямая фондового рынка обладает наибольшим угловым коэффициентом (как видно из рис. 2.1). Поэтому правило отыскания рыночного портфеля можно записывать в виде правила максимизации углового коэффициента

т - г,

V =--—> шах. (2-5)

а

В свете этого задача отыскания рыночного (оптимального) портфеля рисковых активов выглядит так: можно подставить в выражения (2-2) и 12-3) ?>П=1-^Г” Ь и решать задачу (2-5) с т = тГ[Ь) и
отыскания рыночного портфеля сводится к задаче на максимум функции п-1 переменной (упражнения 2.2 — 2.4).

тм-гг

Коэффициент наклона прямой фондового рынка Л = —- в ли-

литературе называют рыночной ценой риска. Смысл названия понятен из рис. 2.1. Рассмотрим эффективный портфель, состоящий из безрискового актива (точка В). Оптимальный способ повысить доходность состоит в добавлении в портфель рисковых активов в пропорциях, соответствующих рыночному портфелю. Чем большую долю средств мы вкладываем в такой портфель, тем дальше двигаемся вдоль прямой ВМ. Рыночная цена риска показывает, насколько повышается при этом риск портфеля на единицу роста его средней доходности.

Отношение Шарпа

Идея использовать правило (2-5) для оптимизации портфелей принадлежит ученику Марковица Шарпу (W. Sharpe). Он предложил и основанную на нем меру оценивания поведения (performance) инвестиционных портфелей (reward-to-varia-bility ratio), называемую также отношением Шарпа (Sharpe ratio — SR):

а

где т — средняя доходность (оценка для т ), д — оценка среднего квадратического отклонения доходности портфеля. Оценки т и д рассчитываются по данным о доходности портфеля за определенный период обычными статистическими методами (см. раздел 12.1). Сравнение портфелей с другими портфелями по величине отношения SR позволяет судить о том, насколько они близки к границе эффективности, т.е. насколько их состав близок к оптимальному. В инвестиционном анализе применяются и другие меры поведения и риска портфелей, основанные на САРМ, (см., например: [Jones, 1996]).

Итак, САРМ предписывает инвестору действовать в соответствии с правилом (2-5), т.е. на основе максимизации критерия V, зависящего только от математического ожидания и дисперсии. Функция V = ?(т,сг) в (2-5) возрастает по га и убывает по о. Из иных соображений можно, однако, предложить другие критерии выбора — как вида ?(т,сг), так и иные. Некоторые примеры будут рассмотрены в разделах 2.3, 2.4. Прежде чем перейти к ним, рассмотрим вопрос о согласованности правила “среднее — дисперсия” с естественными условиями монотонности на доминируемых альтернативах, сформулированными выше.

2.2

“Среднее — дисперсия” и стохастическое доминирование

Оценивание риска случайных альтернатив при помощи среднего и дисперсии — наиболее распространенный подход, кажущийся многим очень естественным. В самом деле, курсы математической статистики учат, что среднее, или математическое ожидание, — главная характеристика “центра” распределения, дисперсия же или среднее квадратическое отклонение характеризуют разброс: чем они больше, тем распределение “менее сосредоточено” вокруг своего центра. Но нужно отметить, что эта интуиция, берущая свое начало из статистики, в значительной мере связана с нормальным распределением. Это объясняется его широким применением в статистике и ее самых разнообразных приложениях. Нормальное распределение часто играет роль стандартного первого приближения при исследовании случайных явлений сложной природы, когда предполагаемое распределение непрерывно. Однако далеко не всегда колебания экономических характеристик можно описывать нормальными распределениями (несколько примеров см. в части II).

Уже отмечалось, что в случае нормального распределения дисперсия однозначно “отвечает” за второе стохастическое доминирование. Это связано с тем, что нормальное распределение двухпараметрическое. Из пары параметров (т,сг) первый “отвечает” за среднее, второй — за разброс вокруг среднего. Кроме того, нормальное распределение симметрично и не имеет тяжелых хвостов. Распределениями с тяжелым хвостом в теории вероятностей называют такие, для которых существуют малые, но не пренебрежимые вероятности очень больших значений. Если сделать попытку отойти от простейшего случая нормальных распределений, ситуация сразу перестает быть столь однозначной.

В различных экономических приложениях, в частности в финансах и страховании, часто встречается асимметричная форма распределений (главы 9, 10). Одно из наиболее известных и распространенных в приложениях семейств таких распределений — трехпараметрическое гамма-распределение. Такое распределение имеет плотность вида

g(x)= Р (х-с)^а~¹е~^ри~^,:), х>с, (2-6)

(ос-1)!

где а,Р,с — параметры (подробнее см. раздел 12.1). Эти распределения асимметричны (коэффициент асимметрии положителен). На рис. 2.2 показаны трехпараметрическая гамма-плотность и нормальная плотность, имеющие одинаковые средние и дисперсии. Даже из этого рисунка видно, что двумя параметрами — средним и дисперсией — можно только довольно грубо охарактеризовать разнообразие возможных распределений. Если распределения отличны от нормальных, в частности асимметричны, то при решении различных задач оценки риска учета только среднего и дисперсии может оказаться недостаточно. По этому поводу см. также формулу (10-34) в разделе 10.4 и ее обсуждение.

Простой пример с гамма-распределениями был приведен Бор-хом [Borch, 1974b] в рамках дискуссии по поводу применимости критерия “среднее — дисперсия” для оценивания риска в портфельной теории, происходившей в начале 1970-х гг. в журнале “American Economic Review”. Теория анализа портфелей по среднему и дисперсии стала применяться рядом авторов вне предположения о нормальности доходностей, что и вызвало критические замечания.

Рис. 2.2. Нормальная плотность (пунктир) и трехпараметрическая гамма-плотность, имеющие одинаковые математические ожидания и дисперсии Пример 2.1. Предположим, что критерий выбора имеет вид ?(А) = ?(тА,сгА), т.е. определяется только значениями средних тА и дисперсий а\ сравниваемых распределений FA. Тогда отношение предпочтения можно считать определенным на парах (сг, т). Если критерий V согласован с правилами “чем больше, тем лучше” и “неприятия риска”, то ?(т,ст) возрастает по первому аргументу и убывает по второму. Рассмотрим на плоскости (сг, т) кривые безразличия — множества альтернатив, для которых значение V одинаково. Рассмотрим на (а,т) -плоскости две точки, (шрСг,) и (,т2,а2), лежащие на одной кривой безразличия, т.е. (т,,<г,) -Предположим, что т2> щ, сг2 > сг,. Оказывается, что можно построить функции гамма-распределения G,(jc) и G2(x), имеющие соответственно математические ожидания и средние квадратичные отклонения (/ИрСГ,) и Ст2,а2), такие, что при этом G2 у ,G,. Доказательство приводится в разделе 12.3.

Такой же пример, аналогичный другому примеру Борха, можно привести с еще более простыми, двухточечными распределениями.

Пример 2.2. Снова, как и в примере 2.1, рассмотрим на {и, т) -плоскости две точки, (/ЛрСГ,) и лежащие на одной кривой безразличия, т.е.

(/ЛрСГ,) - (w^cTj) и такие, что т2>щ, а2><г? Возьмем в качестве G, функцию распределения случайной величины, принимающей значения: х с вероятностью р и у, с вероятностью q = \- р, а в качестве G2 функцию распределения случайной величины, принимающей значения: х с вероятностью р и у2 с вероятностью q. Для определенности будем считать, что у,>х и у2 > х. Параметры х, у1,у2,ре [0,1] следует подобрать так, чтобы выполнялись равенства для моментов:

х + (у,-x)q = ml,

(У, ~x)pq = of, x + (y2-x)q = tn2,

(y2~x)pq = Cт\.

Если эта система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными имеет решение, то очевидно, что у2 > у, (это следует из первого и третьего уравнений, так как т2> щ). При этом решение должно быть таким, что ре [0,1]. Тогда, очевидно, G2 y,Gr

Решим систему уравнений. Из второго уравнения системы

У\-х = -7±=-

ЫР<1

Подставив это в первое уравнение, получаем

х+сг, Аналогично

х+сг2 Вычитая эти уравнения одно из другого, подставляя q = 1- р и выражая р, имеем

( V

т2 - т1

К °2 ^_ /

Очевидно, что найденное р больше нуля и меньше единицы. Подставляя р в уже написанные уравнения, последовательно находим х, затем у?уг (упражнение 2.10). Таким образом, даже для таких простых распределений, как двухточечные, можно привести пример, когда одна альтернатива доминирует другую, но, тем не менее, они безразличны с точки зрения произвольного критерия, основанного на сравнении средних и дисперсий.

Построенные примеры иллюстрируют тот факт, что при переходе от нормальных распределений к более сложным (в частности, трехпараметрическим) любой критерий, определяемый средними и дисперсиями, в принципе, может давать явно абсурдные результаты. Исключением является вырожденный критерий математического ожидания (среднего)

?(А) = ЕХА=тА,

который, конечно, монотонен в смысле (М,) (упражнение 2.6). Однако, как говорилось выше, такой критерий не позволяет учесть разброс и поэтому в качестве меры риска в большинстве случаев неудовлетворителен. Попытка же ввести показатель риска в виде дисперсии приводит к противоречию с (М,). Итак,

Никакое отношение предпочтения, порожденное функцией ?(А), зависящей только от математического ожидания и дисперсии (или среднеквадратического отклонения) распределения, ?(А) = ?(тА,стА), возрастающей по первому аргументу и убывающей по второму, не может удовлетворять (М,) на множестве альтернатив с произвольными распределениями.

То же самое, конечно, верно для V, соответствующей предпочтениям с “любовью к риску”, т.е. возрастающей по второму аргументу. Можно также показать, что учет третьего момента распределения, например в виде коэффициента асимметрии, как и любого конечного числа моментов, не улучшает ситуации: функция остается немонотонной в смысле (М,).

Конечно, если выбор распределений FA ограничен нормальными, таких противоречий нет (упражнение 2.9). Возникает вопрос о том, для каких еще распределений это верно. В разделе 3.4 приводится результат, показывающий, что в рамках задачи о выборе портфеля ценных бумаг это верно и для некоторых других семейств двухпараметрических распределений, например t -распределений Стьюдента [Inger-soll, 1987].

Дисперсия как мера риска

Так что же можно сказать о применимости дисперсии в качестве меры риска? Во всяком случае, эта мера хорошо “работает”, когда распределение близко к нормальному. Можно сказать, что в той же степени как нормальное распределение служит хорошим первым приближением для введения фактора случайности в экономические модели, дисперсия часто может быть разумным первым приближением при оценке риска. Но вышеприведенные примеры показывают, что к этой характеристике следует относиться с осторожностью, и в некоторых случаях она может оказаться совершенно неприемлемой. Например, дисперсия — явно плохая характеристика риска в случае асимметричных распределений с тяжелым хвостом или в случае дискретных распределений, когда оцениваемая величина принимает лишь небольшое число значений (рис. 2.3). Это, собственно говоря, те же случаи, когда нормальное распределение не может служить хорошей моделью описываемых случайностей даже в первом приближении.



Рис. 2.3. Случаи, когда дисперсия не может служить характеристикой риска: асимметричное распределение с тяжелым хвостом (вверху); дискретное распределение с небольшим числом значений (внизу) 2.3

Сумма под риском (VaR)

Сумма (стоимость) под риском — Value at Risk (VaR) — простейшая по своему построению мера риска, применяемая преимущественно в финансах, банковской и инвестиционной сфере, а также в страховании, где используют также термин “капитал под риском” (capital at risk).

Идея метода VaR — построить верхнюю оценку капитала, который может быть потерян в результате неблагоприятного стечения обстоятельств. Другими словами, это капитал, который теряется в “наихудшем” случае. Речь может идти, например, о потере вложенного в ценные бумаги капитала или об оценке возможного ущерба, подлежащего покрытию компанией страхования имущества. В большинстве случаев, однако, нет смысла оценивать риск действительно максимальным возможным значением потерь, так как вероятность потерпеть такие потери ничтожно мала. Так, для страховой компании это означало бы одновременную потерю всех застрахованных объектов, что было бы возможно лишь в результате “сверхкатастрофических” обстоятельств. Для инвестора, действующего на рынке ценных бумаг, риск потери всех инвестиций также можно считать очень маловероятным. Поэтому, оценивая “наихудший” возможный вариант, поступают следующим образом: выбрав некоторый уровень вероятности у, оценивают капитал, который может быть потерян с вероятностью у. При этом у мыслится малым числом; типичное его значение может лежать в диапазоне от 0,01 до 0,1 (“наиболее типичное” — 0,05, или 5%). Очевидна аналогия с понятием уровня значимости, используемым при проверке статистических гипотез — это уровень, ниже которого вероятность отклонения признается малой, а соответствующее событие — маловероятным. Продолжая статистическую аналогию, можно сказать, что VaR — верхняя доверительная граница (уровня у) суммы, которая может быть потеряна.

Подход VaR приводит к квантильным оценкам: в качестве меры риска выступает квантиль соответствующего распределения.

Все оценки квантильного типа удовлетворяют условию (1-12) (проверьте это самостоятельно). На рис. 2.4 проиллюстрирован наиболее употребительный в приложениях случай, когда распределение потенциального убытка предполагается нормальным. Формальное определение VaR таково. Если X — случайный убыток, то

VaR^(X) = inf{w:Fx(w)>l-x}, (2-7)

где Fx (w) = Р(Х < ??) — функция распределения убытка X.

Рис. 2.4. VaR в случае нормальной плотности распределения потенциальных доходов/убытков (площадь тонированного сегмента равна у) Можно рассуждать не в терминах убытков, а в терминах доходов. Тогда нужно взять соответствующий квантиль распределения величины дохода -X, т.е. величину дохода “в наихудшем случае”. Часто VaR определяют именно таким образом.

Если убыток X распределен нормально со средним тх и среднеквадратическим отклонением сгх, то (2-7) превращается в

V‘aRy(X) = mx+al_r(Tx, (2-8)

где ах_у — квантиль стандартно нормального распределения уровня 1 -у. Здесь убыток можно определять по-разному (упражнение 2.22).

RiskMetrics™

Методика JPMorgan RiskMetrics™ обнародована банком JPMorgan в 1994 г. Оценка рыночного риска основана на методе VaR и предположении о нормальном распределении краткосрочных доходностей активов. Анализируются, в частности, так называемые DEaR (Daily Earnings at Risk), т.е. VaR для одного дня. RiskMetrics™ сопровождается базами данных по волатильностям и корреляциям для большого числа цен и доходностей (валютные рынки, денежные рынки, процентные свопы, гособлигации, индексы акций, сырьевые рынки) для десятков стран. Методика предназначена для ежедневного отслеживания рыночного риска портфелей, включающих базовые и производные активы. Такого рода техники получают все более широкое распространение в практике современного риск-менеджмента.

Пример 2.3. Оценка VaR в RiskMetrics™. Так как день можно считать достаточно малым промежутком времени, на котором цена актива изменяется мало, доходности г* и г в этом примере условимся считать приближенно равными (упражнение 2.12) и будем обозначать одним символом г. Будем предполагать, что г случайна и имеет нормальное распределение с некоторым средним тг и средним квадратическим отклонением аг. Фактически, в RiskMetrics™ предполагается тг= 0, что оправданно для дневных показателей. Если тг= 0 и г имеет нормальное распределение, то величина аусгг, где ау — квантиль уровня у стандартно нормального распределения, представляет собой долю капитала, которая может быть потеряна с вероятностью у. Эта величина в RiskMetrics™ называется волатильностью.

Рассмотрим пример, аналогичный примеру 2 из [Introduction, 1995]. Предположим, что российский инвестор имеет на 5 = 10 млн. руб. 10-лет-них гособлигаций Германии. Пусть гх — дневная доходность этих облигаций в евро, г2 — доходность евро в рублях (по поводу определений см. раздел 12.4). Можно записать выражение для капитала через 1 день в виде

U = 5 *S(l + ij+r2) = S(l + r).

Поэтому для одного дня можно считать, что г = г1 + г2. Тогда величина г имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением аг,

°г =?^сг1^{2 + сг}2 + 2/?<т,<т2,

где сг, и <т2 — средние квадратические отклонения г, и г2 соответственно, р — коэффициент корреляции г, и г2. Поэтому VaR позиции инвестора

VaRsw? = Sayar = ^(Sa^)² + (Saya2)² + 2p(Sayp)(Saya2) =

= yjwaR² + VaR2 + 2/>VaR, VaR2, (2-9)

где VaR, и VaR2 — убытки “в наихудшем случае” вследствие изменчивости доходности облигаций и изменчивости обменного курса евро к рублю соответственно. Например, если <т, =1,08%, а2 =0,53%, /Э = -0,13, у = 0,95, то VaRRUR =149858 руб.

Нужно сказать, что формула (2-9) для VaR справедлива и в случае, когда капитал распределен между активами. Пусть, например, капитал общей величиной S инвестирован в два актива (например, две различные акции), доходности которых распределены нормально с нулевыми средними. Обозначим эти доходности через и г2, их средние квадратические отклонения через <7, и <У2, коэффициент их корреляции через р. Пусть в первый актив инвестирован капитал S, -bxS, а во второй — S2 = b2S, b{+b2= 1.

Как нетрудно видеть, капитал через 1 день имеет вид

(1+ r,)S, + (1 + r2)S2 — (1+ r)S,

где г = blrl+ b2r2 — общая доходность. Тогда

VaR = Say(Tr = Say^b²a² + Ь;а\ + lpblb2(Tla2,

откуда уже легко получить формулу (2-9), в которой

VaR, =5,^0-,,

VaR2 = S2aycr2.

Формула (2-9) распространяется на случай п активов в виде

^VaR=|l^^VaR.^VaR,. (2-Ю)

где /7 — коэффициенты корреляции доходностей либо цен (они равны).

3-Теория риска

Описанный в этом примере подход, при котором распределение считается нормальным и VaR оценивается через математические ожидания, средние квадратические отклонения и корреляции, в целом называют параметрическим VaR. Для его применения требуется только получить статистические оценки указанных параметров и, возможно, скорректировать их с учетом каких-то прогнозов.

Рассмотрим пример использования правила “наихудшего случая” для оптимизации инвестиционного портфеля.

Пример 2.4. Инвестор — страховая компания имеет обязательства в размере U, подлежащие погашению в конце некоторого периода. Компания инвестирует капитал S в начале периода, предназначая его для покрытия указанных обязательств. Предположим, что имеется выбор различных инвестиционных альтернатив, каждая из которых обеспечивает нормально распределенную доходность в течение периода. Таким образом, выбор инвестора фактически состоит в выборе пары (тг,аг). Инвестор, естественно, заинтересован в том, чтобы требуемый капитал S был минимален. Предположим, что он определяет S по правилу “наихудшего случая”, а именно, задав некоторое у, накладывает условие

Р{(1 + r*)S <и}<у.

Так как 5(1 + г*) есть капитал на конец периода, смысл этого неравенства состоит в том, что вероятность нехватки средств для покрытия обязательств должна быть не больше у. Так как г* имеет нормальную, а следовательно, непрерывную функцию распределения, минимальное S, удовлетворяющее неравенству, определяется из равенства



(2-11)



Величина (1 + г*) распределена нормально. Вычитая

ее математическое ожидание (1 + тг) и деля на среднее квадратическое отклонение аг, получаем

(2-12)

_ г*-тТ V-(l + mr)^N Р -- <---— =у,

где V =^с. Поскольку величина (г* -тг)/аг стандартно нормальна, отсюда получаем V = 1 + тг + ауаг.

Задача минимизации 5 при фиксированном U сводится к задаче максимизации V. Поэтому наилучшим выбором инвестора из доступных ему инвестиционных альтернатив будет та, для которой правая часть максимальна. Критерий выбора можно записать в виде

т-аст—»max, (2-13)

где m = mr, <7 = сгг, а = -а - р_у. Заметим, что коэффициент а может быть разным в зависимости от у; если у < 0,5, он положителен.

Обратите внимание на то, что совершенно так же решается задача выбора портфеля ценных бумаг на основе VaR (упражнение 2.13).

Таким образом, параметрический VaR порождает в этой задаче критерий выбора вида (2-13). В качестве а может браться любое число, обычно положительное, что снова будет соответствовать выбору инвестором альтернатив с меньшим разбросом (риском), измеряемым средним квадратическим отклонением возможных значений.

Пример 2.5. Продолжение примера 2.4. Пусть инвестиционные альтернативы в ситуации предыдущего примера определяются возможностью распределения капитала 5 между вложениями в ценные бумаги (активы), доходности которых нормальны. Рассмотрим задачу об оптимальном распределении инвестиций в простейшем случае всего двух активов. Пусть Ъ — доля средств, инвестируемых в первый актив. Тогда в первый актив инвестируется капитал bS, а во второй (1-6)5. Если доходность первого актива г', а второго г2\ то доходность на весь вложенный капитал г* = Ьг* + (1 -Ь)г'. Математическое ожидание доходности mr =br* + (1-6)г2, где m, и m2 — математические ожидания г* и г2 соответственно. Среднее квадратическое отклонение г' есть <тг = Ь²а] + (1 -Ъ)² <т2 + 2рЬ(\ -6)<7,сг2, где сг, и

сг2 — средние квадратические отклонения г,* и г2* соответственно, р — коэффициент корреляции г* и г2. Чтобы найти оптимальное b = b*, нужно подставить выражения для mr и сг. как функции от b в (2-13), а затем найти максимум по Ъ стандартными методами математического анализа (упражнения 2.15 — 2.17).

Если имеется п активов, то задача выбора портфеля приведет к задаче максимизации функции п — 1 переменной. Нужно подставить (2-2) и (2-3), выразив Ьп, в выражение (2-13). Похожая задача выбора портфеля уже рассматривалась в разделе 2.1 в связи с правилом (2-5). Подход данного раздела, однако, дает другой критерий, чем подход САРМ. Соответственно и состав оптимального портфеля будет другим. Впрочем, и назначение метода VaR, и рассматриваемая постановка задачи несколько иные: здесь за основу берется измерение уровня риска. В примерах, в отличие от раздела 2.1, решалась задача выбора портфеля на фоне обязательств. Читателю предоставляется самостоятельно сравнить постановки задач и критерии этого раздела и раздела 2.1. По поводу применения подхода VaR и связанных с ним мер риска к задачам выбора портфеля ценных бумаг см., например: [Giorgi, 2002] и литературу там.

В практическом применении такой оценки, как VaR, возникает вопрос о том, к какому, собственно говоря, распределению ее применять, т.е. какое распределение считать распределением убытка. Как всегда в статистических задачах, распределение точно не известно, имеются только некоторые статистические данные. По ним должно быть оценено распределение. В применении VaR обычно различают следующие подходы.

¦ Параметрический VaR, описанный выше. Оцениваются среднее и дисперсия убытка, затем VaR — в простейшем случае по формуле (2-8), подразумевающей нормальность распределения. Конечно, тот же подход может быть применен и с другими распределениями. При этом параметрическая оценка может быть сделана более точной по сравнению с формулой (2-8), соответствующей обычной нормальной аппроксимации; для этого необходимо включить высшие моментные характеристики, например коэффициент асимметрии. Так, например, в конце раздела 10.4 приведена одна такая формула, основанная на степенной нормальной аппроксимации, уточняющей нормальное приближение.

¦ Исторический VaR. В качестве распределения убытка (дохода) фактически берется просто выборочное распределение, построенное по данным за некоторый период. Например, чтобы оценить 5-процент-ную дневную VaR позиции из акций некоторого эмитента, можно умножить величину позиции на шестое по величине из 100 последних значений дневных доходностей данной акции.

¦ Модельный VaR. На основе статистических данных строится та или иная стохастическая модель убытка. VaR, как правило, оценивается при помощи имитационного моделирования.

Нужно также отметить, что полученный на основе параметрического подхода VaR критерий

V — т-а<7 (2-14)

сам по себе является довольно популярным критерием. То, каким образом он был выше получен, проливает некоторый свет на его назначение и возможное происхождение. Нередко, однако, этот критерий рекомендуют (даже в учебниках) как универсальный критерий для решения самых разных задач, не задумываясь, так сказать, ни о чем: ни о VaR, ни о нормальности распределения. Видимо, этот критерий выбирают только из-за его простоты. Как показано примерами предыдущего раздела, такой критерий в случае, когда распределения отличны от нормальных (в частности, асимметричны, дискретны), будет явно “плохим” — немонотонным.

Различные соображения и теории приводят к различным правилам принятия решений или критериям выбора. Это происходит даже в том случае, когда выбор ограничивается нормальными распределениями и сравнением только математических ожиданий и дисперсий рисковых альтернатив. Применение того или иного критерия в конкретной экономической задаче должно быть обосновано.

Сам же по себе метод VaR, основанный на квантильных оценках, конечно, порождает монотонные относительно стохастического доминирования первого порядка критерии при любых распределениях (покажите это).

Основным достоинством метода VaR можно назвать его простоту. Этот критерий удобен для вычислений, особенно когда нужно быстро производить расчеты с большим числом параметров. Последнее характерно для финансовых задач. Однако той же простотой определяются и недостатки этого критерия. VaR, будучи квантильной оценкой, фактически оперирует лишь с одной точкой функции распределения — той, где функция распределения пересекает уровень 1 -у. При этом игнорируется вся остальная информация, которая может содержаться в распределении анализируемой величины. Поэтому, например, VaR может быть очень чувствителен к выбору у. VaR не реагирует на распределение величин убытков, происходящих с вероятностями, меньшими у, они считаются маловероятными и игнорируются, т.е. хвост распределения отсекается. При применении VaR нужно проанализировать, можно ли пренебречь хвостами в контексте решаемых задач.

Например, есть различие между краткосрочными задачами (как в примере RiskMetrics™), где это вполне допустимо, и долгосрочным управлением риском, где это часто не так.

Отсечение хвоста иллюстрирует рис. 2.5, на котором показаны две гистограммы доходов/убытков. Ясно, что хотя VaR одинакова, для случая второй гистограммы маловероятные значения больших убытков могут оказаться важными, и их следует принять во внимание. О таких распределениях, как на второй гистограмме, говорят, что они имеют тяжелый хвост. Подобный вид, например, часто имеют распределения выплат страховых возмещений, причем маловероятным выбросам могут иногда соответствовать очень крупные суммы (см., например, рис. 10.3 в главе 10). Согласно ряду исследований, проблема тяжелых хвостов бывает существенна и для “финансовых” распределений [Еш-brechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997; Ширяев, 1998]; см. также раздел 2.5.



Рис. 2.5. Две гистограммы выборок с одинаковыми VaR уровня

у = 2,5% (0,025) В связи с этим делаются попытки дополнить VaR какими-либо характеристиками хвостов. В качестве одной из таких характеристик предлагалось математическое ожидание при условии превышения убытком некоторого уровня,

Л(Х) = Е(Х \Х >t), (2-15)

где X — случайная величина убытка, t — некоторое число, /(•) — индикаторная случайная величина: 7(Л) = 1, если событие А происходит, и нулю в противном случае. В страховании такую меру риска иногда называют EPD (expected policyholder deficit).

“Усовершенствованные” меры риска хвоста можно построить на основе (2-15), делая t зависящим от X. Например, предлагалась мера

Л(Х) = Е(Х|Х >тх +с), (2-16)

где с — фиксированное число, не зависящее от распределения X, тх — математическое ожидание X.

Можно заметить, что эти меры риска не удовлетворяют условию однородности (1-12) (упражнение 2.18). Чтобы получить меру риска, удовлетворяющую этому условию, нужно взять в качестве t в (2-15) некоторую меру, которая сама по себе удовлетворяет этому свойству. Например, можно взять t = тх + а<гх.

Одна мера риска такого типа — так называемое условное математическое ожидание хвоста (tail conditional expectation — ТСЕ),

ТСЕ(Х) = Е(х I X > VaRK(X)). (2-17)

Эта мера была предложена в статье [Coherent Measures, 1999] как альтернатива VaR.

Обсуждение свойств мер риска будет продолжено в следующем разделе.

2.4

Диверсификация, децентрализация, аддитивность

Одним из важнейших принципов поведения в условиях риска является диверсификация — уменьшение риска за счет повышения степени его распределенности. Мы встречались с этим принципом в разделе 2.1, где рассматривалась задача о выборе инвестиционного портфеля и шла речь об измерении риска дисперсией или средним квадратическим отклонением.

Давайте задумаемся о том, что же такое диверсификация. Ясно, что повышение степени распределенности риска наилучшим образом “работает” тогда, когда это распределение производится между мало зависимыми друг от друга ценными бумагами. Если бумаги сильно зависимы, диверсификация неэффективна. В этом случае нет (или почти нет) разницы между тем, вложить ли все деньги в одну бумагу или диверсифицировать вложения.

Инвестора на фондовом рынке иногда уподобляют полководцу. И в самом деле, деятельность по управлению крупным портфелем подобна другой управляющей деятельности: управлению, например, армией или крупной корпорацией. Сходство (его важный здесь аспект) состоит в том, что, имея некоторый поток ресурсов, управляющий подразделяет и направляет данные ресурсы на выполнение отдельных локальных задач. При этом управляющий действует в условиях неполной информации, неопределенности и динамически изменяющейся обстановки.

Если говорить об управлении корпорацией или армией, то для выполнения тех или иных локальных задач создаются организационные подразделения, постоянные или временные. Аналогом диверсификации в этой области является создание большего числа самостоятельных подразделений. Оно аналогично стремлению инвестора создать большее число самостоятельных вложений. В деятельности таких независимых подразделений неудачи одних могут компенсироваться успехом других, что приводит к снижению общего риска и большей устойчивости деятельности. Например, для коммерческой фирмы может быть хорошей политикой диверсификация ресурсов по разным рынкам и видам деятельности.

Общим в действиях по диверсификации риска является выделение самостоятельных (независимо действующих) единиц.

Если мы хотим построить “хорошие” критерии или меры риска, приходится анализировать вопрос об их поведении в ситуациях дробления или, наоборот, агрегирования (объединения) рисков отдельных “единиц”. В частности, они должны отражать преимущества диверсификации. Оказывается, что последнее требование тесно связано с таким условием: при объединении рисков ресурсы должны высвобождаться.

Приведем два примера. Операции на фондовом рынке часто требуют поддержания маржи — определенного запаса средств для их обеспечения. Величина маржи обычно зависит от колебаний котировок. Пусть два инвестора открыли две маржевые позиции; каждый из них должен предусматривать определенный резерв средств, которые могут понадобиться для поддержания маржи. Если же две аналогичные позиции открыл один инвестор, то он может поддерживать обе маржи из единого резерва. Маловероятно, что обе позиции потребуют максимальных средств. Поэтому очевидно, что рассмотрение позиций в совокупности должно высвобождать некоторый запас или резерв средств.

Также напрашивается “военная” аналогия: предположим, что требуется оборонять от возможного нападения противника два участка. Маловероятно, что противник нанесет удар на обоих участках; поэтому можно ожидать, что часть резерва можно будет перебросить на нужный участок в случае нападения на него. Таким образом, резерв, необходимый для обороны обоих участков вместе, должен быть меньше, чем тот резерв, который пришлось бы направить на два участка для обеспечения их обороны по отдельности.

Математически свойство мер риска, соответствующее этим идеям “высвобождения ресурсов” при агрегировании рисков отдельных единиц, выражается в виде следующего условия (аксиомы) субаддитивности. Как и выше, будем рассматривать меры риска R( ), определенные на случайных убытках.

(SA) Для любых случайных убытков X и Y

R(X+Y)
В основе как принципа диверсификации, так и принципа “высвобождения ресурсов” лежит, по сути, одна идея — компенсации риска одних единиц за счет других.

Можно математически проиллюстрировать то, что (SA) не только не противоречит принципу диверсификации, но и может рассматриваться как одно из его условий. Рассмотрим снова задачу о выборе инвестиционного портфеля. Пусть инвестор имеет меру риска R(-). Если эта мера понимается как денежная (измеряет риск в деньгах — например, показывает размер необходимого резерва), то естественно требовать, чтобы эта мера была инвариантна к денежным единицам, в которых измеряется капитал. Как говорилось выше, это требование выражается условиями однородности или сохранения масштаба. Здесь введем условие положительной однородности.

(PH) Для любых А > 0 и случайного убытка X

R(AX) = AR(X).

Пусть инвестор имеет капитал 2 и может инвестировать в две бумаги, имеющие одинаково распределенные случайные доходности. Обозначим убытки (“доходы с минусом”) на единицу вложений для двух бумаг через X и У. Если мера риска удовлетворяет (SA) и (PH), то

R(X + Y) < R(X) + R(Y) = 2R(X) = R(2X).

Таким образом, риск вложений в бумаги в пропорции 1:1 меньше, чем риск вложений в пропорции 2:0. Поэтому можно сказать, что меры риска, удовлетворяющие (SA) и (PH), “поддерживают диверсификацию” — при диверсификации вложений риск уменьшается.

Примером меры, поддерживающей диверсификацию, является среднеквадратическое отклонение сг(Х). Действительно, эта мера, очевидно, положительно однородна. Субаддитивность проверяется непосредственно:

сг² (X + Y) = сг² (X) + a¹ (Y) + 2 со?(Х, У);

(<т(Х) + сг(У))² = а\Х) + сг² (У) + 2а{Х)а (У),

и неравенство

cr(X + Y)
следует из того, что всегда cov(X,Y) < сг(Х)сг(У).

Такая мера риска, как VaR (квантиль распределения убытка), тоже положительно однородна. Она удовлетворяет (SA) и поддерживает диверсификацию, если распределения убытков считаются нормальными, т.е. VaR принимает “параметрический” вид (2-8) (покажите это самостоятельно). Однако VaR не удовлетворяет (SA) и не поддерживает диверсификацию в случае, когда распределения убытков произвольны (упражнения 2.19, 2.20).

Нужно отметить, что условие (SA) соответствует не только естественным целям внутреннего управления, но и условиям внешнего контроля. Так, в примере с определением размера маржи предположим, что этот размер определяется биржей нормативно. Если для этого используется мера риска, не удовлетворяющая условию субаддитивности (например, VaR), то теоретически возможно, чтобы инвестор, открывая разные маржевые счета, мог снизить общий размер обеспечения по своим операциям. То же самое относится к государственному регулированию, требующему обеспечения определенных резервов (например, в отношении банков, страховых компаний, пенсионных фондов). Теоретически возможны ситуации, когда фиктивное разделение таких организаций позволило бы им снижать общие нормативные резервы.

Естественные условия на денежные меры риска были исследованы в статье [Coherent Measures, 1999]. Меры, удовлетворяющие этим условиям, были названы там когерентными (coherent). Некоторые приведенные выше рассуждения в пользу субаддитивности заимствованы из этой работы.

Назовем меру риска R{X), определенную на значениях случайных убытков X, когерентной, если она удовлетворяет условиям (SA), (PH), монотонности относительно первого стохастического доминирования и следующему свойству инвариантности к сдвигам:

(SI) Для любого случайного убытка X и любого числа а

R(X+a) = R(X)+a.

Условия когерентности являются естественными условиями на денежные меры риска, т.е. меры, определяемые как необходимые денежные резервы.

Из приведенных выше в этой главе результатов следует, что такие меры риска, как среднеквадратическое отклонение и yaR, являются когерентными, если распределения убытков — нормальные, и не являются, если распределения — произвольные (упражнение 2.21).

Пример когерентной меры риска — упоминавшаяся выше мера ТСЕ (2-17). Ниже будет показана когерентность этой меры в случае, когда случайные величины убытков определены на конечном вероятностном пространстве с равновероятными исходами. Это случай, которого достаточно для большинства практических приложений. Теорема о строении когерентных мер риска приведена в конце этого раздела.

Различными авторами рассматривались аддитивные критерии принятия решений (выбора) в условиях риска и приводились аргументы в пользу аддитивной структуры критерия, идейно сходные с изложенными выше по поводу субаддитивности мер риска [Массе, 1971; Смоляк, 2002].

В разделе 1.3 для случая, когда альтернативы были детерминированными (безрисковыми) последовательностями платежей, была введена аксиома “независимости” (D1). Из нее следовало правило аддитивности критерия,

?(Л?Д) = ?(Л) + ?(Д),

где символом ® обозначалось сложение последовательностей платежей.

Если говорить о случайных доходах (убытках), то свойство аддитивности критерия формулируется аналогично:

?(Х + К) = ?(ДО + ?(К). (2-18)

Аддитивность — сильное условие, накладывающее существенные ограничения на структуру критериев. Часто аддитивности требуют только для независимых случайных величин.

Массе [Массе, 1971] предложил аддитивный критерий выбора или эффективности капиталовложений

?(Х) = --\пЕе~^сХ, (2-19)

с

где с — положительное число. Для независимых X и Y этот критерий аддитивен (см. также упражнение 3.2).

В статье Полячека и Тверски [Pollatsek, Tversky, 1970] был предложен критерий (или мера риска, что в данном случае неважно), который в наших обозначениях выглядит как

К(Х) = ?тх+(1-?)(Т²х, (2-20)

где ? — число, ?е (0,1), mx \л сг²х — среднее и дисперсия убытка X. Поскольку среднее и дисперсия аддитивны для независимых случайных величин, эта функция тоже аддитивна, как и функция (2-19), для таких величин. Однако она не удовлетворяет свойству сохранения масштаба. Поэтому при применении такой меры к денежным величинам нужно фиксировать денежные единицы, в которых они измеряются.

Аргументация на языке теории принятия решений в пользу аддитивности основана на том, что аддитивность критерия обеспечивает возможность децентрализации принятия решений, т.е. передачи функций управления самостоятельным единицам. Заметно сходство этой аргументации со сказанным выше по поводу диверсификации. В частности, Смоляк [Смоляк, 2002] приводит следующий аргумент. Предположим, что речь идет об оценке двух инвестиционных проектов. Пусть V — некоторая мера эффекта проекта (причем денежного), определяемая как функция от случайной прибыли (или последовательности затрат/поступлений). Если аддитивности нет, то это говорит о том, что решения, принимаемые в свете совместной реализации группы проектов, могут быть не такими, как решения, принимаемые по каждому проекту в отдельности. Рассмотрим решения, принимаемые в некоторой корпорации. Вся корпорация (центральный офис и филиалы) по понятным соображениям должна пользоваться единой методикой оценки эффективности проектов в условиях риска. Если не соблюдается (D1) или аддитивность, то филиал корпорации может счесть проект А более эффективным, чем проект В, тогда как центральный офис, имея в виду еще проект С, может принять обратное решение: А® С хуже, чем В® С, где символ ® обозначает совместную реализацию¹ проектов.

Отдельные проекты или риски, по которым требуется децентрализованное принятие решений, можно предполагать “малыми” в масштабах более высокого уровня управления. Деятельность органов управления фирм или других организаций, например государственных, в основном состоит в принятии решений по проектам, которые на следующем, более высоком уровне управления можно назвать малыми. В сущности, для большинства проектов можно указать уровень управления, на котором они будут рассматриваться как малые. Чтобы ре-

У Смоляка — слияние.

шения правильно агрегировались на этом уровне, нужно требовать выполнения свойств типа аддитивности.

Аддитивность критерия обосновывает возможность децентрализованного принятия решений.

В заключение этого раздела опишем конструкцию когерентных мер риска. Воспользуемся обобщенной конструкцией раздела 1.6. Пусть sv...,sn — некоторые состояния природы (сценарии), а значения убытка Xj определяются через некоторую функцию-решение /, f ($(.) = jc,-. Пусть заданы физические вероятности сценариев р,,..., рп.

Математическое ожидание тх как мера риска обладает, в некотором смысле, уникальными свойствами. Рассмотрим дискретную случайную величину X, принимающую конечное число значений хг...,хп с вероятностями р1,...,рп. Ее математическое ожидание представляет собой линейную функцию

тх =х1р1+...+ хпрп. (2-21)

Математическое ожидание аддитивно: не только для независимых, но и для любых случайных величин X и Y, как известно, mx+Y =тх +пц,. Кроме того, оно удовлетворяет условию сохранения масштаба: тАХ

Такими же “хорошими” свойствами обладает любая линейная функция, т.е. математическое ожидание, взятое не по набору физических вероятностей, а по набору произвольных весов, обладающих свойствами вероятностей (они должны быть неотрицательными и суммируемыми к единице).

Припишем состояниям природы s. произвольные неотрицательные веса пі = ЯД.?,), пі = 1. Тогда функция

Ln{X) = f{s,)n, +...+ f{sn)nn =ххях+...+ хплп (2-22)

обладает теми же свойствами аддитивности и сохранения масштаба, что и математическое ожидание тх. Подчеркнем, что набор состояний природы и их весов здесь фиксирован.

Эту конструкцию можно использовать для построения мер риска, подбирая веса определенным образом. В статье [Coherent Measures, 1999] доказан следующий результат.

Теорема 2Л. Мера риска R(X) является когерентной мерой риска тогда и только тогда, когда для некоторого множества наборов весов П

R(X) = supL„(X). (2-23)

/Г€П

Выше говорилось, что мера ТСЕ (2-17) является когерентной в случае конечного S и равномерного распределения физических вероятностей, которого достаточно для большинства практических приложений. Покажем на простом примере, что эта мера представима в виде (2-23). Пусть « = 100 и вероятности всех s, равны, /?. = 1/100. Возьмем в качестве П семейство таких наборов {тг(}, что все лі равны нулю, за исключением шести, равных 1/6. Рассмотрим случайную величину X, принимающую значения х, = f(st) = i для целых і от 1 до 100. Тогда, согласно определению раздела 1.3, VaRo.osC-^) = 94. Условное распределение X при условии X >94 есть распределение, сосредоточенное в точках 95,96,...,100 с равными вероятностями, которые, таким образом, равны 1/6. Значит,

1 195

ТСЕ{Х) = Ъ(Х I X >94) = — (95+ 96 + ...+ 100) = .

6 2

С другой стороны, величина ЬЛ{Х) в (2-22) имеет вид

1 -лх +...+ 100-л-|00,

причем мы выбрали П так, что только шесть значений коэффициентов л отличны от нуля и равны 1/6. Очевидно, что максимальное значение ЬЛ{Х) среди всех таких наборов коэффициентов л достигается на том, который присваивает вероятности 1/6 тем сценариям, где значения X максимальны, т.е. последним шести. Тогда этот набор совпадает с условным распределением X при условии X >94, а само максимальное значение равно как раз







что и требовалось доказать.

2.5

* Оценка риска экстремальных значений

Специфическая проблема оценки риска во многих областях состоит в необходимости определения вероятностей редких, экстремальных, катастрофических событий. Трудность здесь заключается в том, что статистические данные по таким событиям обычно скудны и разреженны.

Пример 2.7. Наводнения в Голландии [Наап, 1990; Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997]. История Голландии знала множество наводнений. Одной из самых крупных катастроф такого рода стало наводнение 1 февраля 1953 г., унесшее более 1800 жизней. После этого наводнения была начата разработка крупного проекта морской дамбы. При проектировании дамбы требовалось принять решение о ее высоте, которая обеспечивала бы достаточную защиту от наводнений. Совершенно ясно, что строительство дамбы высотой, большей, например, чем высота всех известных в истории наводнений, было бы, возможно, недостаточно. Требовалось оценить риск возможных наводнений. В ходе разработки проекта группа голландских математиков во главе с ван Данцигом (van Dantzig) проделала большую работу по развитию статистической методологии изучения катастрофических событий. Была собрана статистика о высоте наводнений за несколько столетий. Самым крупным известным наводнением было наводнение 1570 г., когда вода поднялась на 4 метра выше среднего уровня (так называемой NAP — Normaal Amsterdams Peil). Во время наводнения 1953 г. был отмечен уровень NAP+3,85 м.

Задача ставилась так: требовалось оценить квантиль распределения высоты наводнений уровня 1- р, где р находится в интервале от 0,001 до 0,0001. По данным была получена оценка NAP+5,14 м для квантиля уровня 0,9999. Таким образом, вероятность того, что вода поднимется выше этой отметки, была оценена в р = 0,0001. Наводнений такой высоты, как уже сказано, никогда не наблюдалось, т.е. сделанная оценка лежит далеко за пределами выборки имеющихся данных!

Метод такого рода оценок основан на теории, описываемой ниже. В ее основе лежит замечательный математический факт: оказывается, что распределение величин “экстремальных”, “крупных” событий можно с достаточной надежностью продлить в область за пределами наблюдаемых выборок.

Указанная в этом примере работа дала толчок развитию методологии статистического анализа редких событий и в других областях. Оказалось, что те же методы применимы для исследования вероятностей крупных, катастрофических убытков в страховании, в финансах — для оценки вероятностей крупных колебаний цен и доходностей портфелей ценных бумаг. Проблему иллюстрирует, например, рис. 10.3 в главе 10, на котором изображена гистограмма величин страховых выплат (убытков) в добровольном медицинском страховании на один случай попадания застрахованного в больницу. Гистограмма дает основание считать, что подогнанное по данным гамма-распределение неудовлетворительно оценивает данные в области самых больших убытков. Хвост распределения кажется более тяжелым, чем у гамма, и возникает проблема его оценки (проблема тяжелого хвоста). При этом большие “выбросы” кажутся редкими, эпизодическими. Непосредственно по гистограмме нельзя судить о вероятностях экстремальных убытков — например, нельзя подогнать аналитическую кривую, как это сделано в области небольших убытков, где данных достаточно. Данные в области больших убытков для этого слишком отрывочны и разбросанны. Между тем риски, связанные с крупными “выбросами”, могут быть серьезными и должны быть как-то оценены.

Необходимость оценки возможности крупных, но редких экстремальных “выбросов” (проблема тяжелого хвоста) характерна для задач оценки риска в самых разных областях, в частности в страховании и финансах. Задача оценки затрудняется скудостью данных о таких событиях.

К счастью, для решения этой задачи удается привлечь определенные теоретические соображения. Математической основой для этого является так называемая теория экстремальных значений (extreme value theory — Е?Т), некоторые основные результаты которой излагаются ниже. Важный вклад в эту теорию внесли работы Гнеденко [Gnedenko, 1943], Гумбеля [Гумбель, 1958]. Приложения к финансам и страхованию подробно рассматриваются, например, в книге [Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997]. Хорошее описание методов анализа статистики крупных убытков в страховании, которое фактически является самостоятельным введением в эту методологию, можно найти в статье [McNeil, 1997].

Сомнения в надежности оценок вероятностей никогда не наблюдавшихся событий, конечно, правомерны. Однако, с другой стороны, такие оценки бывают необходимы. Можно сказать, что Е?Т и основанные на ней методы позволяют наилучшим образом использовать для этого имеющиеся статистические данные. К полученным оценкам, конечно, нужно относиться с осторожностью.

Статистическое поведение хвостов распределений оказывается тесно связанным с поведением экстремальных значений выборок из случайных величин с данным распределением. В частности, можно установить классификацию распределений по степени “тяжести хвоста”. Пусть Хі,...,Хп — независимые случайные величины, имеющие одну и ту же функцию распределения F. Можно рассматривать их как последовательные реализации некоторой случайной характеристики (например, величины сумм возмещений, выплачиваемых страховой компанией, или дневной доходности ценной бумаги). Обозначим через М максимальное значение, достигнутое в этих реализациях,

тахСХ,,...,^).

Центральную роль в теории экстремальных значений играет теорема о предельном поведении Мп. Эту теорему в некотором смысле можно сравнить с центральной предельной теоремой для сумм (см. раздел 12.1), утверждающей особую роль нормального распределения как предельного для нормированных сумм. Оказывается, что для максимумов имеет место такой же замечательный факт — можно указать вид предельного распределения.

Следующая теорема была впервые доказана Фишером и Типпе-том [Fisher, Tippett, 1928].

Теорема 2.2. Предположим, что существуют числовые последовательности ап> 0 и Ьп, такие, что функция распределения Нп{х) нормированного максимума М’ =——— слабо сходится¹ к некоторой функции распределения Н(х) при п—ь°°. Тогда Н(х) = Н^(х), где

НЛх) =

exp^-(l + ?x)~^1/f j при ? Ф 0 (1 + Е,х > 0), ехрГ—е^_лг 1 при ? = 0 (хе М).

' Определение слабой сходимости дано п разделе 12.1. В данном случае оно просто означает, что Нп{х) —» Н(х) для каждого фиксиронанного х.

Если утверждение теоремы верно для функции распределения F(x), то говорят, что это распределение находится в максимальной области притяжения Н^ для соответствующего Е,. Распределение называется обобщенным распределением экстремальных значений (generalized extreme value distribution — GEV).

Эта теорема, в частности, позволяет установить классификацию распределений по степени “тяжести хвостов”. Распределения, находящиеся в области притяжения Н^ при Е, > 0 (это так называемое распределение Фреше), называются распределениями с тяжелыми хвостами. К этой группе относятся распределения со степенным убыванием хвоста функции распределения F(x) = 1- F(x) = x~^]l^. Это, например, распределения Парето, Коши, логгамма, t -распределение Стьюдента и др. К области притяжения распределения Гумбеля Н0 принадлежат такие распределения, как нормальное, экспоненциальное, гамма, логнормальное. Их можно назвать распределениями с хвостами “средней тяжести”. Впрочем, логнормальное распределение занимает в некотором смысле промежуточное положение между этой группой и распределениями с тяжелыми хвостами. Третья группа — распределения с легкими хвостами, принадлежащие к области притяжения Н^ при ? < 0 (это так называемое распределение Вейбулла). Характерный представитель этой группы — равномерное распределение.

Приближение хвостов распределений, как в приведенном выше примере с наводнениями, обычно основывается на следующей замечательной теореме. Пусть и — некоторое достаточно большое значение. Рассмотрим его превышения случайной величиной X, имеющей функцию распределения F(x). Функция распределения превышений есть

F(x + u)~ F(u) l-F(u)

Fu=P(X-uu) =

где 0 < х < xF = sup{у : F(y) < 1}. Так определенная точка xF — максимальное из возможных значений исследуемой случайной величины X. Ниже будем считать, что xF может быть как конечным, так и бесконечным.

Обобщенное распределение Парето (generalized Pareto distribution — GPD) определяется функцией распределения

-щ

при Е, Ф О,

1-е ^х,р при ? = О,

[О, +°°) при ? > О,

при ? < О. где

Следующий результат можно найти в работах: [Balkema, Наап, 1974; Pickands, 1975]. Сходные результаты были получены ранее Гнеденко [Gnedenko, 1943].

Теорема 2.3. Если F принадлежит максимальной области притяжения Н^, то существует функция /?(и), такая, что при и —> xF

sup |Fu(x)-G^(u)(x)|^0.

0
Эта теорема дает основания для аппроксимации Fu обобщенным распределением Парето G^p. При этом ясно, что в пределе имеют место всего три альтернативы:

¦ хвост убывает как степенная функция;

¦ хвост убывает как экспоненциальная функция;

¦ распределение ограничено сверху (имеет нулевой хвост).

На первый взгляд, этот результат выглядит несколько странно: хвост произвольного распределения с бесконечным хвостом должен убывать как степенная либо экспоненциальная функция. Однако теорема этого и не утверждает: при х —> +°° все функции распределения стремятся к единице, поэтому их разность должна стремиться к нулю. Поэтому аппроксимация, так сказать, “содержательна” только в некоторой области значений непосредственно свыше порога и. Аппроксимация эта, конечно, может быть продолжена, как это было сделано в примере, но по мере удаления в область больших значений и малых вероятностей она становится все менее надежной.

Нужно отметить, кроме того, что не для всех распределений условия теоремы 2.2 выполнены, поэтому все-таки нельзя сказать, что классификация “тяжести хвостов” теоремы 2.3 применима ко всем без исключения случаям.

Пусть имеется выборка объемом п из распределения F. Обозначим через Nu число значений в выборке, не меньших порогового значения и. Вероятность превышения Р(Х >и) = F(u) можно оценить частотой превышений Nu In.

Как нетрудно видеть (проверьте это),

F(u + x) = F(u)Fu(x).

Подставляя сюда описанные аппроксимации, получаем, что этот хвост распределения можно аппроксимировать как

-MS.

N - N

F(u+X)^^LG {X) = ^L

п ^{s 1} п

і+?4

Р

(2-24)

[Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997, p. 354]. Здесь ? и ув(и) - Р — статистические оценки параметров обобщенного распределения Парето.

Отсюда уже легко получить оценку для квантиля aq уровня q, т.е. такой величины, что вероятность превышения уровня и+се равна p = l-q. Этот квантиль (точнее, его оценку) можно явно выразить из равенства

F(u+aq) = l-q.

Это дает возможность оценить VaR. Такая задача (задача оценки VaR) является одним из наиболее важных приложений теории экстремальных значений, в частности в финансах. Этот подход является “продвинутой” альтернативой нормальной аппроксимации и основанному на ней параметрическому VaR, описанному выше в разделе 2.3. Он применяется для оценок VaRj, при малых у.

Естественно, наибольшие трудности практического применения описанного подхода заключаются в выборе порога и и оценке параметров обобщенного распределения Парето (т.е. подгонке этого распределения по данным). Параметры ? и Р оцениваются по выборке значений, превышающих порог и. Поэтому если значение и выбрано слишком большим, то их оценка будет недостаточно надежной из-за малого объема выборки Nu. С другой стороны, приближение обобщенным распределением Парето, как следует из теоремы 2.3, хорошо “работает” только для достаточно больших и. При этом важно отметить, что оценка параметра /? зависит от выбора и.

В настоящее время достаточно хорошо развита статистическая методология подгонки распределений в задачах такого типа. Здесь широко используются современные методы статистического анализа данных при помощи компьютера, в частности их графическое представление. С ней можно ознакомиться по работам, например: [Davison, Smith, 1990; Falk, Hiisler, Reiss, 1994; Embrechts, Kluppelberg, Mikosh, 1997], a также по указанной в них литературе.

Один из простых приемов, давно используемых на практике, основан на следующем свойстве величин, имеющих обобщенное распределение Парето. Если X имеет такое распределение с параметрами ? и /3, то среднее превышение (mean excess) порога и

/3 + &

’

е(и) = Е(Х - и I X >и) =

(2-25)

т.е. зависит от и линейно.

Применяют следующий графический метод. Для различных значений и>и строят оценки величины е(и) по имеющимся данным (для этого надо взять среднее превышение уровня и по тем выборочным значениям, где такое превышение есть). Изображая зависимость е(и) от и на графике, подбирают такое значение и", чтобы эта зависимость была близка к линейной.

Что касается оценок параметров ^ и Д то для решения этой задачи обычно применяются такие статистические методы, как метод максимального правдоподобия и так называемый вероятностно-взвешенный метод моментов. Интересующийся читатель может обратиться к указанной выше литературе.

В заключение этого раздела нужно отметить следующее. Описанная выше теория красива и дает, казалось бы, ясный ответ на вопрос о приближении хвостов распределений. Ситуация, однако, подобна ситуации с другими предельными теоремами теории вероятностей и приближениями, в частности с центральной предельной теоремой и основанным на ней нормальным приближением. Скорость сходимости к предельному распределению на практике может быть небольшой, и поведение распределения может довольно сильно отличаться от теоретического. Это тем более относится к случаю, когда изучаются хвосты распределений. Близость распределения к теоретическому предельному зависит прежде всего от объема выборки. Даже если есть большие выборки данных, из них лишь немногие значения относятся к области изучаемого хвоста. Таким образом, выборка, относящаяся к области хвоста, может оказаться не слишком богатой (например, 5% от всей выборки в случае хвоста уровня ^ = 0,05). Кроме того, скорость сходимости зависит от многих параметров. Применение теории, изложенной выше, на практике связано с рядом непростых вопросов: как почти всегда в таких случаях, теоретические предпосылки можно считать выполненными лишь приближенно. Например, часто встает вопрос о стационарности соответствующих временных рядов: насколько допустимо (как это обычно делают) считать выборку значений какого-либо показателя выборкой из одного распределения? И это только один из возникающих здесь вопросов.

Так, любопытные практические результаты по теме на основе анализа финансовых выборок были получены в работе [Malevergne, Pisarenko, Sornette, 2003]. Авторы изучали распределения верхних и нижних хвостов логдоходностей фондовых индексов. Хотя выборки были довольно большими (28415 значений индекса Доу — Джонса с дневным интервалом и 22123 значения индекса Nasdaq с 5-минутным интервалом), оказалось, что убывание хвостов эмпирической функции распределения быстрее, чем любая приемлемая степенная функция, однако медленнее, чем функция вида ехр(-Сх“) (хвост распределения Вей булла).

2.6

Упражнения к главе 2

Упражнение 2.1. Покажите, что множество эффективных портфелей на плоскости (<тг,тг) изображается выпуклым множеством точек.

Упражнение 2.2. Пусть имеется всего два независимых рисковых актива, средние доходности которых одинаковы. Покажите, что в рыночном портфеле, выбираемом согласно (2-5), доли этих активов обратно пропорциональны дисперсиям доходностей.

Упражнение 2.3. Пусть имеется два актива с некоррелированными нормально распределенными годовыми доходностями. Найдите формулу для оптимальной, согласно (2-5), доли инвестиций в первый актив и сравните с ответом предыдущего упражнения.

Упражнение 2.4. Пусть имеется два актива с некоррелированными нормально распределенными годовыми доходностями. Пусть средние доходности т, =0,11 и w2=0,15, квадратичные отклонения доходностей =0,13 и а2 =0,20. Найдите оптимальные, согласно (2-5), доли инвестиций в первый актив при годовой доходности безрискового актива: (a) rf =0,08; (б) rf =0,05. Объясните различие между ответами пунктов (а) и (б). Согласуется ли оно с вашей интуицией?

Упражнение 2.5. Инвестор имеет обязательства в размере U и имеет возможность инвестировать средства в различные проекты. Инвестор выбирает проект для инвестирования на основе максимизации вероятности превышения случайным доходом от проекта X величины U:

Р (X > U) —> max.

Покажите, что на множестве нормальных случайных величин это правило выбора эквивалентно сравнению по величине функции

mY-U

—^і--» max.

Сравните с (2-5).

Упражнение 2.6. Покажите, что критерий математического ожидания ?(А)-тА удовлетворяет (М,).

^Упражнение 2.7. Докажите, что если FA >¦ ttFB и тА=тв, то оА < ов. Указание. Достаточно показать это для распределений, имеющих плотности. Используйте интегрирование по частям.

Упражнение 2.8. Пусть Ф,(х) и Ф2(х) — две нормальные функции распределения. Покажите, что Ф, >- ,Ф2 в том и только том случае, когда (щ > т2,сг1 = <т2). Почему из этого следует, что с нормальными распределениями нельзя привести примера, аналогичного примерам 2.1 и 2.2? При каком соотношении параметров нормальных распределений возможно второе стохастическое доминирование?

Упражнение 2.9. Пользуясь результатом предыдущего упражнения, покажите, что в случае, когда все распределения FA нормальны, любая функция V = V(т, ег), возрастающая по первому аргументу и убывающая по второму, порождает предпочтения, удовлетворяющие (М,), (RA) и (М„).

Упражнение 2.10. Завершите решение системы уравнений из примера 2.2.

Упражнение 2.11. Проанализируйте применимость метода VaR для задач краткосрочной оценки риска в RiskMetrics™. Допустимо ли пренебрежение распределением хвоста, т.е. больших убытков?

Упражнение 2.12. Покажите, что для малого промежутка At доходность г* приближенно равна доходности с непрерывным начислением г. Указание. Используйте разложение по Тейлору.

Упражнение 2.13. Инвестор вкладывает в ценные бумаги фиксированный капитал S . Доходности, соответствующие различным инвестиционным альтернативам, случайны и нормальны. Инвестор выбирает оптимальную пару (тг,сг.), минимизируя VaR, т.е. потери в наихудшем случае (определяя его заданным уровнем у). Покажите, что решение имеет такой же вид, как и в примере 2.4.

Упражнение 2.14. Инвестор формирует свой портфель из двух активов, доллара и евро, так, чтобы минимизировать DEaR. Предположим, что для периода в один день <т, =0,44%, <т2 = 0,53%, /9 = 0,38. Найти b* — оптимальную долю вложений в доллар.

Упражнение 2.15. Пусть в ситуации примера 2.5 т1=т2 и /9 = 0. Покажите, что при оптимальном инвестировании доли вложений в первый и второй активы обратно пропорциональны дисперсиям их доходностей. (Сравните с результатом упражнения 2.2.)

Упражнение 2.16. В ситуации примера 2.5 при щФт2 и /9 = 0 найдите Ь*. Подставив параметры доходностей из упражнения 2.3, сравните полученные ответы при различных у ч rf.

Упражнение 2.17. Пусть в ситуации примера 2.5 период инвестирования составляет один год, т, =0,13, <т, =0,45, т2 =0,07, <т2 =0,16, /9 = 0,18. Найти Ь*.

Упражнение 2.18. Какие из следующих мер риска удовлетворяют свойству однородности (1-12)?

(а) Математическое ожидание тх;

(б) мера риска R = m + асг;

(в) мера риска Полячека — Тверски (2-20);

(г) VaR (квантиль распределения);

(д) мера риска (2-15);

(е) мера риска (2-16);

(ж) условное ожидание хвоста (2-17).

Упражнение 2.19. Имеется 10 независимых одинаково распределенных убытков Хп каждый из которых принимает значение единица с вероятностью 0,01 и ноль с вероятностью 0,99. Сравните величины XjVaR^,) и VaRr(^(. X,-), ^если К = 0,05. Является ли VaR суб-адцитивной мерой риска?

Указание. Найдите вероятность того, что хотя бы один убыток будет равен единице.

Упражнение 2.20. Имеется 10 банков, каждый из которых может лопнуть независимо от других с вероятностью 1%. Если банк не лопнет, инвестор получает обратно вложенный капитал плюс 6%. В случае, если банк лопнет, вкладчики не получают ничего. Инвестор имеет 10 млн. руб. Покажите, что если измерять риск инвестора по методу VaR с у = 0,05, то для инвестора безопаснее вложить все свои деньги в один банк, чем распределить их поровну между всеми банками. Указание. Воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения.

Упражнение 2.21. Докажите следующие утверждения.

(а) Мера риска (2-8) является когерентной мерой риска, если распределения всех убытков X и их сумм нормальны.

(б) Мера риска (2-8) не является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть произвольными.

(в) VaR, определенная как квантиль соответствующего распределения, не является когерентной мерой риска, если распределения убытков X могут быть произвольными.

Указание. Для доказательства (б) обратите внимание на монотонность. Для доказательства (в) используйте результат упражнения 2.19.

Упражнение 2.22. Абсолютная и относительная VaR. В финансовом риск-менеджменте различают абсолютную VaR (убыток измеряется по отношению к текущей стоимости позиции) и относительную VaR (убыток измеряется по отношению к ожидаемой стоимости позиции). Выпишите и сравните формулы для абсолютной и относительной VaR одной позиции в случае нормально распределенной доходности актива. Убедитесь в том, что относительная VaR не зависит от средней доходности, имеет то же вид, что в примере 2.3, и в случае нормальных доходностей для нее справедливы формулы типа (2-9), (2-10).

глава

ОЖИДАЕМАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ

Современная экономическая теория изучает предпочтения с точки зрения их рациональности. Принятый в ней аксиоматический подход состоит в том, что математический вид критериев выводится из наборов условий (аксиом), накладываемых на предпочтения. Теория ожидаемой полезности, возникшая еще в XVIII в., в XX в. была обоснована при помощи аксиомы независимости. Она дает критерий, корректно отражающий правила “чем больше, тем лучше” и неприятия риска.

3.1

Теория Д. Бернулли

В 1738 г. была опубликована статья Даниила Бернулли (D. Bernoulli), швейцарского математика, работавшего в Академии наук в Петербурге, посвященная разрешению так называемого петербургского парадокса.

Рассматривается игра с начальной ставкой 1 руб. Бросается правильная монета; в случае выпадения герба игрок получает выигрыш, равный ставке, в случае выпадения решетки ставка удваивается. Игра ведется до выигрыша. Как нетрудно видеть, математическое ожидание выигрыша в такую игру

= — + — + — + = °о.

2 2 2 I- — + 2^< — + 4- — + +2" 2 4 8

Во времена Бернулли математическое ожидание было общепринятой мерой оценки случайных денежных альтернатив. Поэтому следующий факт, обнаруженный Бернулли, выглядел парадоксально. Оказалось, что большинство людей, кроме очень богатых, были готовы продать право сыграть в такую игру за вполне умеренные суммы. Это несоответствие с тогдашней теорией и получило название “петербургского парадокса”.

Для разрешения парадокса Бернулли ввел функцию (фактически функцию полезности денег) u(w), выражающую субъективную ценность богатства ?? (измеряемого в некоторых денежных единицах). Бернулли ввел также принцип уменьшения полезности денег в зависимости от уже имеющегося богатства. Действительно, человек, имеющий 10000 долл., будет очень рад получить еще 10000 долл.; но если у индивидуума есть 1000000 долл., то получение 10000 долл, уже не будет иметь для него такого большого значения и, следовательно, не так сильно увеличит его полезность. Бернулли сделал конкретное предположение о том, что полезность прирастает пропорционально относительному, а не абсолютному приращению капитала,

. Д??

Дм = а-.

w

Таким образом, приращение капитала в 10000 долл, для индивидуума, имеющего капитал 1000000 долл., составит ах 1% приращения полезности, что должно быть равнозначно приращению в 100 долл, для имеющего 10000 долл. Если перейти к бесконечно малым приращениям, можно записать

dw

du - а —, w

откуда, как нетрудно видеть,

и(??) = aln(w) + b;

здесь а > 0. Таким образом, функция полезности денег Бернулли имеет логарифмический вид.

Далее Бернулли предложил вместо математического ожидания самой случайной величины использовать для оценки полезности математическое ожидание ее полезности



(3-1)

Для дискретной случайной величины ХА, принимающей значения хі с вероятностями рп



(3-2)

Другим ученым, предложившим аналогичное правило решения петербургского парадокса, был немецкий математик Г. Крамер, сделавший это даже на несколько лет раньше. Он использовал функцию полезности денег и(х) = у[х.

Таким образом, анализ рисковых альтернатив дал первый толчок возникновению теории полезности, впоследствии занявшей столь видное место в экономической теории. Ниже мы увидим, как другие парадоксы выбора при неопределенности и риске дали толчок дальнейшему развитию теории полезности и, в частности, появлению нелинейных критериев.

Ниже условимся называть функцией полезности функцию V, а для и использовать выражение функция полезности денег.

3.2

Аксиоматический подход к ожидаемой полезности

Аксиоматический подход к ожидаемой полезности ведет свое начало от известной книги фон Неймана и Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” (1944). Если в теории Бернулли предпочтения задавались функцией полезности (3-1), то фон Нейман и Мор-генштерн выводят вид функции полезности (3-1) из условий на предпочтения, или аксиом. В настоящее время существует несколько аксиоматизаций ожидаемой полезности, но во всех них главную роль играют те или иные формы аксиомы независимости.

Так как мы рассматриваем альтернативы, заключающиеся в случайных выигрышах/потерях денег, будем здесь и далее в этой главе называть их играми или лотереями (gambles). Пусть есть три произвольных игры: А, В, С, причем A>zB. Рассмотрим следующие две “комбинированные” игры. В первой из них — назовем ее (АС)р — играющему выпадает случай сыграть в игру А с вероятностью р ив игру С с дополнительной вероятностью (1-р). Во второй игре, (ВС)р, играющий играет в игру В с вероятностью р ив игру С с вероятностью (1-р). Можно представить себе это в виде реализации некоторого случайного эксперимента, в котором возможны два исхода с вероятностями р и (1- р) (например, бросание монеты, не обязательно правильной). Игра (АС)р состоит в том, что при реализации первого исхода (например, выпадении герба) играющий должен будет сыграть в игру А, при реализации второго (выпадении решетки) — в игру С. Игра (ВС)р строится аналогично (рис. 3.1). Аксиома независимости есть требование того, что если А>^В, то (АС)р >z(BC)p. Рациональность этого требования кажется достаточно хорошо обоснованной. Действительно, если некто считает игру А “не хуже”, чем В, то сравнивая “комбинированные” игры (АС)р и (ВС)р, он может видеть, что с вероятностью (1-р) он получит одну и ту же игру С, а с вероятностью р — игру А, “не худшую” В. Следовательно, рациональный индивидуум должен (нестрого) предпочитать (АС)р.

Рис. 3.1. Иллюстрация аксиомы независимости при помощи двухступенчатого выбора Выбор

Если Fa(x), Fb(x), Fc(x) — функции распределения выигрыша в лотереи А, В, С соответственно, то функция распределения выигрыша в лотерею (АС)р имеет вид смешанной функции распределения pFA (х) + (1 - p)Fc (х) (читатель может проверить это самостоятельно). Аналогично функция распределения выигрыша в лотерею (ВС)р имеет вид pFB(x) + (l-p)Fc(x). Определим альтернативы (АС)р и (ВС)р как альтернативы с такими функциями распределения выигрыша.

Сформулируем аксиому независимости.

(Іь) Для любых A,B,CgA и любого числа ре (0,1) (.АУВ)=>((АС)рУ(ВС)р).

Нетрудно видеть (покажите это самостоятельно), что из этого условия следует более слабая форма аксиомы:

(І_) Для любых А, В,Се Л и любого числа р е (0,1) (Л~Я)=>((ЛС)„~(ЯС)„).

Кроме аксиомы независимости, будем использовать аксиому непрерывности предпочтений, которую можно вводить в различных формах. Мы используем непрерывность в смысле слабой сходимости функций распределения (обозначается —>І?, определение см. в разделе 12.1). (С) Если FB —>iv FB при /г —»°° и АУВп, то АУВ.

Смысл условия непрерывности в том, что если АУВ, то замена В на альтернативу с “почти такой же” функцией распределения выигрыша не должна приводить к изменению предпочтений. Если для отношения >: существует согласованная с ним функция V, то это условие есть просто требование непрерывности V относительно слабой сходимости функций распределения: Fn —> F => V(Fn) —> V(F).

Здесь и далее будем для простоты предполагать, что исходы всех лотерей из Л ограничены по абсолютной величине числом М, т.е. |Х,|<М.

Теорема 3.1 (об ожидаемой полезности). Пусть У есть полное упорядочение на А. Выполнение (І_) и (С) равносильно существованию непрерывной функции и(х), такой, что

(ДЬЯ) <=> (Еи(Х„)>Еи(Хв)). (3-3)

При этом функция м(-) определяется с точностью до положительного линейного преобразования, т.е. если м, и и2 — две функции, удовлетворяющие (3-3), то для некоторых чисел а и Д а > О,

м,(л) = аи2(х) + J3.

Таким образом, сохраняющий предпочтения критерий имеет вид (3-1) или, для дискретных распределений, (3-2).

Доказательство теоремы, с одним чисто техническим упрощением, приведено в разделе 12.3. Теорема остается верной, если отказаться от условия ограниченности исходов. В этом случае для конечности интегралов и сумм в (3-1) и (3-2) требуется ограниченность функции полезности денег м(-).

То, что функция полезности денег определяется с точностью до положительного линейного преобразования, позволяет переходить от одной функции м(-) к другой, порождающей те же предпочтения. Например, функцию полезности денег Бернулли из раздела 3.1, и(х)=а\п(х)+Ь, при любых а>0 и b можно заменить на и(х) = 1п(х). Удобно бывает также нормировать функцию и, например так, чтобы было и(0)-0, и( 1) = 1.

В упражнении 3.13 приведены наиболее распространенные функции полезности денег.

Функция ожидаемой полезности V обладает важным свойством линейности относительно линейных операций над функциями распределения:

^v {p^Fa + (! “ P)^Fb ) = ^u(x)d(pFA(x) + (1 - p)FB(x)) = pV(FA) + (l-p)V(FB). (3-4)

Здесь p G (0,1), А и В — произвольные альтернативы (лотереи), Fa и Fb — соответствующие им функции распределения выигрышей. По причине этого свойства ожидаемую полезность называют также линейной полезностью. Действительно, функция (3-2) линейна по вероятностям.

Полезно представить себе семейство кривых безразличия, порожденных ожидаемой полезностью. Кривые (классы) безразличия — это множества альтернатив вида {Л: V(А) = const) . Построим семейство таких кривых в пространстве распределений выигрыша для множества лотерей с тремя возможными исходами. Рассмотрим, например, распределения вида

^f Значение 0 50 100^N

ч Вероятность рх р2 рг

Поскольку сумма вероятностей равна единице, для задания распределения достаточно задать вероятности ненулевых выигрышей р2 и р? На рис. 3.2 изображен треугольник на плоскости {р2, ръ), каждая точка которого соответствует некоторому такому распределению. Вершины треугольника — точки (0; 0), (1; 0) и (0; 1) — соответствуют вырожденным распределениям Е0, Е50 и или неслучайным выигрышам размером 0, 50 и 100. Изобразим в этом треугольнике кривые безразличия. Если есть неприятие риска, детерминированный выигрыш 50 (точка Л) должен быть “лучше” игры, обещающей выигрыш 100 с вероятностью 0,5 и 0 с вероятностью 0,5. Тогда кривая безразличия, выпущенная из точки Л, проходит выше точки (0; 0,5) на графике. Предположим, например, что эта кривая проходит через точку В с координатами (0;0,6).

Рис. 3.2. Построение кривых безразличия для ожидаемой полезности Если применить (І_), положив С-В, то получим (АВ)р~В для всех ре (0,1). Поэтому точки, соответствующие (АВ)р, принадлежат той же кривой безразличия, что Л и В. Нетрудно видеть (покажите это самостоятельно), что эти точки для различных ре (0,1) изображаются на графике точками отрезка АВ. Например, середина этого отрезка — точка с координатами (0,5; 0,3) — соответствует распределению

^г Значение 0 50 100^N

ч Вероятность 0,2 0,5 0,3/

которое получается, если р = 0,5. Аналогично показывается, что любая кривая безразличия представляет собой отрезок прямой на рисунке.

Применим еще раз аксиому (І_), взяв теперь в качестве С альтернативу, соответствующую распределению Ет, и положив р -0,5. Точки Л'-(ЛС)05 и В' = (ВС)05 показаны на рисунке. Согласно (І_), А' ~ В', т.е. А' и В' принадлежат одной кривой безразличия. Эта “кривая” — отрезок А'В'. Очевидно, отрезки АВ и А'В' параллельны. Рассуждая аналогично для других р, мы видим, что классы (“кривые”) безразличия изображаются параллельными отрезками.

Возможно, проще показать то же самое аналитически. Ожидаемая полезность лотереи, дающей выигрыши 0, 50, 100 с вероятностями ргр2,рг, равна

V = ы(0)(1 -р2~ръ) + и(50)р2 + м(100)/?3,

поэтому кривые безразличия (множества вида {V = с}) выглядят как множества точек, описываемых равенством

[м(50)-ы(0)]р2 +[ы(100)-ы(0)]ръ -с-и(0)

с различными с. Написав его, уже нетрудно сообразить, что это параллельные прямые. Но геометрическое представление обладает тем важным преимуществом, что без труда переносится на более общий случай: например, точкам А, В, А', В' можно поставить в соответствие произвольные распределения вероятностей. В частности, если рассмотреть множество распределений не на трех, а на п точках, то семейство кривых безразличия будет представлять собой набор параллельных гиперплоскостей в пространстве R"'.

3.3

Отношение к риску

Большинство моделей, основанных на ожидаемой полезности, используют функции и(х), сохранившие два главных свойства, присущих еще логарифмической функции полезности денег Бернулли. Это, во-первых, возрастание функции полезности денег, во-вторых, ее вогнутость (рис. 3.3). Если функция полезности денег дважды дифференцируема, то полагают и\х) > 0, и*(х) < 0 для всех х.

Возрастание функции полезности денег выражает правило “чем больше, тем лучше”, ее вогнутость — неприятие риска.

и(х)

Рис. 3.3. Возрастающая и вогнутая функция полезности денег Рассмотрим сначала распределения на конечном числе точек, имеющие вид

Значение хх ... хп Вероятность рх ... рп

где лг,<...<л:л. Будем пока предполагать, что точки хх,...,хп равноудалены друг от друга, т.е. хм -хх = const. Такие распределения называются решеточными.

Функция ожидаемой полезности на таких распределениях принимает вид

П (3-5)

т.е. это линейная по вероятностям pj функция. Ее производные



Можно рассматривать эти полезности как линейные коэффициенты в правой части (3-5). Обозначим их через = u(Xj).

Если F0 — некоторое распределение (соответствующие ему вероятности обозначим через p°j), то

V(F)-V(F0) = Xи(Х])(Р] -р“) = Xи{Х])АР], (3-6)

;=1 ;=і

где Арj = рj - р).

Набор коэффициентов м; отвечает за свойства функции полезности. Потребуем, в частности, монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,). Представим, например, что распределение F получено из распределения F0 перенесением некоторой вероятностной массы Д>0 из точки Хк в точку jck+l, т.е. Арк - -А, Арм =Д, а все прочие вероятности совпадают, APj =0. Тогда F доминирует F0 в смысле первого стохастического доминирования, и разность в (3-6) должна быть положительной. Запишем эту разность:

V(F)-V(F0) = uk-(-Д) + и4+1 ¦ Д = Д ¦ (uk+i -ик)>0.

Таким образом, если мы хотим, чтобы функция полезности была монотонной относительно первого стохастического доминирования, должно выполняться неравенство ик+1 >ик, означающее возрастание функции полезности денег.

Верно и обратное, что можно показать с помощью интегрирования по частям. Пусть и возрастает и дифференцируема, и'(Х) > 0. Запишем разность (3-6) в виде

V(F)-V(F0) = j"⁺ u(X)d(F(X)-F0(X)] =

= m(x)(F(x)-F0(x))|^- J m'(*)(F(.x)-F0(*))<& =

= J и\Х)(Р0(Х)-Р(Х))сЬс>0, (3-7)

если F>-,F0. Можно заметить, что это рассуждение пригодно не только для дискретных, а и для произвольных распределений.

Перейдем ко второму стохастическому доминированию. Рассмотрим F, полученное из F0 перенесением вероятностной массы 2Д из точки Х/і поровну в точки Хк_{ и Хк+І. Так как мы предполагаем, что эти точки равноудалены от хк, имеем F>-„F0 (упражнение 1.10). Запишем разность (3-5):

V(F) - V(F0) = • Д - ик ¦ 2Д + мі+1 • Д = Д • (ик+1 - ик) - Д • (ик - uk_t).

Если мы потребуем выполнения (М„), эта разность должна быть отрицательной, т.е.

1 ^Uk ^<‘ ^Uk ^Uk-1>

что соответствует вогнутости функции полезности денег.

Обратное можно показать, продолжая интегрировать по частям ^в (3-7) (упражнение 3.5).

Вернемся к примеру главы 2 с лотереей, в которой с вероятностью 1/2 можно выиграть 1000 долл, и ничего в противном случае. Продадите ли вы право сыграть в такую лотерею за 500 долл.? Если да, то в данной ситуации ваши предпочтения соответствуют принципу неприятия риска. Ожидаемая полезность лотереи должна быть меньше полезности детерминированного выигрыша в 500 долл.:

і[ц(1000) + м(0)]<ц(500).

Если обобщить этот пример, взяв вместо 0 и 1000 произвольные числа л:, и х2, то получим условие

— х + — ? 12 ¹ 2 ²

±и(хі) + ±и(х2)<и

Это и есть условие вогнутости (рис. 3.4). Заметим, что для вогнутой функции и всегда выполнено неравенство

(3-8)

Еи(Х)<и(ЕХ),

т.е. детерминированное получение среднего выигрыша выгоднее участия в любой лотерее. Неравенство (3-8) известно как неравенство Иенсена (Jensen).

Все сказанное можно суммировать следующим образом.

Теорема 3.2. Если V имеет вид ожидаемой полезности (3-1), то (а) для выполнения (М,) необходимо и достаточно возрастания функции полезности денег и(-)\

(б) для выполнения (Мп) необходимо и достаточно возрастания и вогнутости м(-);

(в) для выполнения (RA) необходимо и достаточно вогнутости и(-).

Эти утверждения справедливы для произвольных распределений, а не только для решеточных, рассмотренных выше лишь для наглядности (см. также упражнение 3.5).

Рис. 3.4. Вогнутость функции полезности денег и неприятие риска;

х« _ *1+*2 2 Кроме неприятия риска, возможны другие позиции по отношению к риску (risk attitudes): нейтральность к риску (risk neutrality), “поиск риска” или “любовь к риску” (risk seeking, risk loving). В случае риск-нейтральности предпочтений функция полезности денег должна иметь линейный вид: и(х) = ах+Ь. Чтобы функция возрастала, а должно быть положительным, поэтому существует положительное линейное преобразование, дающее и(х) = х, т.е. ?(Х) = ЕХ. Это означает, что предпочтения определяются только математическими ожиданиями соответствующих величин, т.е. никак не связаны с рисковостью альтернатив.

В случае “любви к риску” функция полезности денег должна быть выпукла, и" > 0.

Как уже отмечалось выше, неприятие риска обычно превалирует в экономике, примером чего может быть финансовый рынок или спрос на страхование. Как инвесторы, так и люди, страхующие имущество, соглашаются платить за избавление от риска. Однако в некоторых ситуациях выбора наблюдается, наоборот, поиск риска (лотереи, азартные игры). Формы функций полезности поэтому могут быть разными. Еще в классической статье Фридмана и Сэвиджа [Friedman, Savage, 1948] была использована S-образная функция полезности денег, выпуклая в области доходов и вогнутая в области потерь, для объяснения поведения человека, одновременно покупающего лотерейные билеты (любовь к риску) и страховые полисы (неприятие риска) (упражнение 3.7). Заметим, что здесь речь идет о крупных потерях/выигрышах. В области более скромных значений, не выходящих, если можно так выразиться, за рамки обычных для данного человека масштабов потерь/приобретений, некоторыми авторами был отмечен противоположный эффект: любовь к риску перед лицом потерь и неприятие риска при перспективе приобретений. Люди могут демонстрировать стремление рисковать, чтобы избежать возможных потерь, и одновременно предпочитать верное получение средних сумм по сравнению с игрой, если в ней нет шанса выиграть очень много. На рис. 3.5 приведена форма функции полезности денег, которая соответствует отношению к риску, выявленному в результате экспериментов Канемана и Твер-ски [Kahneman, Tversky, 1979; Tversky, Kahneman, 1992] (подробнее см. также раздел 6.4). Эта функция более “крута” в области потерь по отношению к некоторой точке отсчета, взятой за ноль на рисунке. Такая форма функции соответствует так называемым “эффекту отражения” (reflection effect) и “неприятию потерь” (loss aversion).

Как отмечал еще Бернулли, люди становятся все более безразличными к получению еще одного рубля по мере того, как заходит речь о получении все больших сумм. Аналогично по мере того, как речь заходит о все больших потерях, люди становятся все более безразличны к потере одного рубля, т.е. происходит такое же “насыщение”. Этот эффект и называют “эффектом отражения”.

“Неприятие потерь” — эффект, состоящий в том, что люди более чувствительны к потерям, чем к приобретениям. Ему соответствует более крутая форма функции в области отрицательных значений (потерь). Один из ранних примеров такого рода появился в одной из работ Самуэльсона (Р. Samuelson). Он спросил своего коллегу, согласится ли тот на игру, в которой можно с равными вероятностями потерять 100 долл, и выиграть 200 долл. Коллега отказался, аргументируя отказ тем, что потеря 100 долл, для него более чувствительна, чем выигрыш 200 долл. Стармер [Starmer, 2000] отмечает, что концепция неприятия потерь приобретает все большую важность в экономике, и число свидетельств в пользу наличия этого эффекта — как при выборе в условиях риска, так и в безрисковых ситуациях, — уже очень велико.

Рис. 3.5. Функция полезности денег, выпуклая в области потерь и вогнутая в области приобретений Приведем один из результатов экспериментов, опубликованных Канеманом и Тверски.

Ситуация 1. Предположим, что вы богаче на 300 долл., чем сегодня. Вам предлагается выбор между (А) получением 100 долл, без риска и

(В) игрой, в которой можно выиграть 200 долл, с вероятностью 50% либо ничего.

Ситуация 2. Предположим, что вы богаче на 500 долл., чем сегодня. Вам предлагается выбор между (А') потерей 100 долл, и (В') игрой, в которой можно потерять 200 долл, с вероятностью 50% либо ничего.

Оказалось, что 72% из 126 респондентов выбрали (А) в ситуации 1. В ситуации (В) из 128 респондентов 64% выбрали (В'). При этом распределения конечного результата одинаковы для (А) и (А'), а также для (В) и (В'). Данный пример демонстрирует явные различия в отношении людей к потерям и приобретениям и важность смещения “точки отсчета”. Кроме того, он может служить примером “эффекта представления” (framing effect). Эти и другие эффекты подробнее рассматриваются в следующих главах.

Другой правдоподобный пример “поиска риска” в ситуации, связанной с потенциальными потерями, такой. Менеджеру компании, которая имеет активы на сумму 1 млрд. долл, и задолженность в размере 1,1 млрд, долл., предлагается реализовать крупный инвестиционный проект, который в случае успеха принесет 1 млрд, долл.; вероятность успеха 1/2. В случае неуспеха вложенные средства будут потеряны. Для реализации проекта требуется инвестировать 0,5 млрд. долл. По-видимому, в данной ситуации многие менеджеры пошли бы на риск, так как его принятие дает шанс спасти компанию от банкротства с вероятностью 1/2, в противном же случае такого шанса не будет вовсе.

3.4

Применения ожидаемой полезности

Модель Барруа (1851). Предположим, что некоторое лицо (страхователь) желает застраховаться от потенциального убытка случайного размера X. Пусть предпочтения страхователя описываются ожидаемой полезностью с функцией полезности денег и. Обозначим через G сумму, уплачиваемую за страховой полис — страховую премию. Здесь речь идет о так называемой брутто-премии, т.е. сумме, действительно уплачиваемой страхователем (подробнее см. раздел 7.1). Критерий приемлемости премии для страхователя выглядит как

u(w-G)> Ем(?? — X),

где w — капитал страхователя. Выражая это словами, полезность при уплате страховой премии и страховании риска должна быть не меньше, чем полезность в ситуации, когда страхования нет.

Если функция полезности денег и непрерывна и возрастает, то максимальная приемлемая для страхователя страховая премия G есть единственное решение уравнения

u(w-G) = Еи(??-X). (3-9)

Если и вогнута, то в силу неравенства Иенсена Еі<(і?- Х)< и(??-ЕХ).

Поэтому для возрастаюшей и вогнутой и выполняется неравенство

G> EX. (3-10)

Таким образом, страхователь готов платить премию, превышающую средний ущерб. Это соответствует практике страхования: премии обычно определяются как ожидаемый ущерб плюс различные надбавки, которые можно рассматривать как “плату за страхование риска”.

Пример 3.1. Возможный ущерб страхователя по некоторому риску, измеряемый в некоторых денежных единицах (допустим, в тысячах долларов), распределен равномерно на [0,100]. Найдем максимальную страховую премию за страхование такого риска, которую готов будет заплатить страхователь, имеющий капитал 100 денежных единиц и руководствующийся правилом максимизации ожидаемой полезности с квадратичной функцией полезности денег и(х) = х - ах², а = 0,005.

Запишем уравнение (3-9), полагая w = 100:

m(ioo-g) = Em(ioo-a:).

Нужно подставить данные условия и решить полученное уравнение. Для упрощения можно положить t = 100-G, У = 100-Х. Если X распределен равномерно на [0,100], то величина Y, как легко видеть, имеет такое же распределение (проверьте). Имеем

t-at² =E(Y-aY²).

Так как

получаем квадратное уравнение

at²-Г + ^ = 0.

Решая его, находим корни

¦u-.00(.±$.

из которых положительному G соответствует только один, г = 100 1 — откуда находим G = 57,735. ^

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения страховщика (страховой компании). Пусть страховщик имеет непрерывную и возрастающую функцию полезности денег й и капитал й>. Тогда минимальная премия G, за которую он готов будет взять на себя ответственность по покрытию риска величиной X, будет решением уравнения

м(??) = Ем(??-X + G). (3-11)

Нетрудно обобщить эту модель на случай п страховых полисов, например страхования автомобилей или другого имущества. Пусть ущерб, покрываемый страховщиком поу'-му полису ( j = 1,...,«), равен Xг а минимальная премия G}. Тогда аналог уравнения (3-11) запишется как

(3-12)

м(??) = Ей

Если функция й возрастает и вогнута, то G > тх (это также следует из неравенства Иенсена, покажите самостоятельно).

Если минимальная премия страховщика G, определенная из уравнений_(3-11) или (3-12), превышает максимальную премию страхователя G, определенную из (3-9), то соглашение между страхователем и страховщиком невозможно; в противном случае соглашение достижимо, т.е. страхование возможно.

Можно заметить, что страховая премия, взимаемая страховщиком, есть (за вычетом сумм на расходы) сумма резерва, достаточная для покрытия риска. Поэтому можно рассматривать величину премии, порождаемую той или иной моделью, как меру риска. Поэтому к премиям применимы рассуждения раздела 2.4. В частности, правило определения премий должно обладать свойством (SA): при совместном страховании рисков суммарная премия должна быть не больше, чем сумма премий по отдельным “изолированным” рискам. В упражнении 3.8 приведена функция й, порождающая аддитивное правило определения премий. Это означает, в частности, что при росте числа полисов п суммарная премия растет пропорционально п. Однако для страховых премий более естественным было бы правило роста с “высвобождением резерва” согласно (SA): допустимая премия на один полис должна сокращаться при росте их числа. Обсуждение этого вопроса будет продолжено в главе 7.

Теорема Эрроу (Arrow) об оптимальной форме страхового контракта описывает теоретически оптимальную форму страхового покрытия в ситуации, когда ущерб страхователя X покрывается не полностью. Предположим, что страхователь готов заплатить за покрытие своего риска лишь сумму Р <тх. В этом подразделе будем считать, что страхователь платит за покрытие риска только чистую премию (средний ущерб), без каких-либо надбавок. Так как суммы Р недостаточно для того, чтобы оплатить покрытие всего убытка X, возникает задача о выборе наилучшей формы страхового покрытия. Введем функцию R(x), выражающую страховое покрытие в зависимости от величины ущерба л;. Теорема Эрроу дает ответ на вопрос о форме функции R(x), теоретически оптимальной для страхователя (передающей риск стороны). Предположим, что страхователь руководствуется критерием ожидаемой полезности и имеет функцию полезности денег и. Тогда задача состоит в выборе функции R исходя из правила

Eu(w-P-X +tf(X))—>max, (3-13)

где w — имеющийся капитал, причем

ER(X) = P. (3-14)

В сущности, эта задача представляет собой задачу о “дележе риска” X между двумя сторонами, но оптимальном лишь для одной из сторон.

Задачи о дележе риска представляют интерес в контексте перестрахования.

Схемы перестрахования

Соглашение о перестраховании между двумя страховыми компаниями означает, что компания-перестраховщик обязуется покрывать определенную часть ущерба первичного страховщика (цедента). Такие соглашения могут заключаться по линиям перестрахования; это означает, что все риски определенного типа, принимаемые цедентом, автоматически перестраховываются по определенной схеме. Общепринятые схемы включают, в частности ;

¦ квотное (quota share) перестрахование, R(x) - (1 - r)x, re [0,1];

¦ перестрахование эксцедента убытка (excess of loss),

R(x) = max(;t-d,0) (3-15)

(при применении к группам рисков (3-15) называют "stop-loss" перестрахованием, или перестрахованием эксцедента убыточности);

¹ См., например: [Страхоіюе дело, 2004[.

¦ эксцедентное (эксцедента суммы, surplus) перестрахование для рисков с максимальным возможным убытком ??:

О, W L.

'i-±' Wj

(V

Крупные риски часто делятся на “слои” (layers), т.е. интервалы возможного ущерба, которые “продаются” перестраховщикам по частям. Например, перестраховщик может покрывать 30% ущерба при условии, что ущерб составит от 4 до 6 млрд. руб.

Таким образом, профиль риска, остающийся на ответственности первичного страховщика (как говорят, на его собственном удержании), может быть очень сложным. В настоящее время риски перестраховываются по многим каналам, через международную перестраховочную сеть.

Оказывается, однако, что из многообразных форм страхового покрытия именно “stop-loss” форма (3-15) является, при сделанных предположениях, оптимальной.

Теорема 3.3 (Эрроу об оптимальном страховании). Если функция и дважды дифференцируема, и'(х) > 0, и"(х) < 0, то решением задачи (3-13)—(3-14) является функция R(x) вида (3-15).

(Доказательство см., например: [Актуарная математика, 2001].)

Эта теорема замечательна тем, что ответ не зависит от конкретного вида функции полезности денег. Какой бы ни была и, оптимальная форма страхового покрытия имеет вид (3-15), при этом d определяется из (3-14).

Интересно также отметить, что страховое покрытие вида (3-15) также оптимально и с точки зрения минимизации дисперсии риска, остающегося на собственном удержании цедента, т.е. R(x) из (3-15) является и решением задачи

D(X-tf(X))->min (3-16)

(см., например: [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994]).

Пример 3.2. Предположим, что суммарный страховой убыток по группе полисов автомобильного страхования распределен экспоненциально со средним, равным 20 денежным единицам. Требуется найти оптимальные условия перестрахования этой группы рисков, если перестраховочное покрытие покупается по цене, равной чистой рисковой премии, и менеджер страховой компании желает перестраховать этот пакет рисков на 60%, т.е. купить перестраховочное покрытие на 60% от суммы чистой рисковой премии. Будем моделировать решения, принимаемые менеджером, при помощи модели ожидаемой полезности с некоторой возрастающей и вогнутой функцией полезности денег и.

Здесь применима теорема Эрроу, и оптимальной формой перестрахования будет “stop-loss”. Вне зависимости от конкретного вида и, вид оптимального договора перестрахования дается (3-15). Остается только определить d из (3-14). Перепишем (3-14) в виде

Р= Г (x-d)fx(x)dx, (3-17)

J <і

где fx — плотность распределения X.

В нашем случае fx(jc) = f}e~^Px (х > 0). Сделав замену z = x-d, получаем

Р= f zfx(z + d)dz= f zj3e~^^/+,I)dz =

Jo Jo

= e'^pd Г~zpe-^pidz.

Jo

Интеграл в этом выражении представляет собой математическое ожидание экспоненциального распределения, равное 1//? = 20. Поэтому

d_ In ФР)

Р

Так как компания тратит на перестрахование Р = 20-60% = 12 денежных единиц, а (3 -1/20, получаем d = 10,217.

Оптимальность stop-loss страхования (перестрахования) выше утверждалась при равенстве страховых премий средним возмещениям. Нужно сказать, что на реальном страховом рынке премии для такого вида страхования выше, чем для других видов, т.е. участники рынка понимают выгодность такой формы страховых соглашений [Daykin, Penti-kainen, Pesonen, 1994].

Выбор портфеля. Вернемся к задаче о выборе портфеля ценных бумаг, сформулированной в разделе 2.1. Применим для решения этой задачи теорию ожидаемой полезности. Задав функцию и, можно искать оптимальные инвестиционные альтернативы как решение задачи

Еи(г.) —мпах, (3-18)

А

где гА — доходность портфеля, соответствующего альтернативе А.

Если задача состоит в оптимальном формировании портфеля из п ценных бумаг, то альтернативы выбора снова будем считать векторами долей вложений (bvb2,...,bn), такими, что bt >0, ^Ь; =1. При этом гА = 'У'рт, где а; — доходность і-го актива. В этом случае (3-18) превращается в задачу на максимум функции (п- 1)-й переменной, как и задачи выбора портфеля, рассмотренные в главе 2.

Пример 3.3. Снова рассмотрим простейший случай всего двух бумаг с независимыми нормально распределенными доходностями г* и г2. Пусть и — экспоненциальная функция полезности денег,

и(х) = l-e^_“.

Если а > 0, эта функция вогнута, возрастает, непрерывна и ограничена, ц(0) = 0. Пусть b — доля инвестиций в первый актив. Задача (3-18) превращается в

1-Ее~"^|Ьг‘*^+(1Ч,)Г2'¹ —> max,

b

или в силу независимости г* и г2*

І-Ее-^'Ее""^11-**' -»max.

ь

Для вычисления левой части этого выражения можно воспользоваться выражением для производящей функции моментов случайной величины ?, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием т и дисперсией а² (см. раздел 12.1),

Ее'⁴ = е^,те°^и1\

Применив эту формулу, получаем задачу 1-ехр(-а?>т, + а²о²Ь²12 - а{\-Ь)т2 +а^г<7І(1-?>)²/2) —> max.

Задача максимизации эквивалентна задаче минимизации показателя экспоненты. Дифференцируя его по b и приравнивая производную к нулю, получаем

mt-m2 — (У^аЬ + <у\а{\ —Ь) = О,

откуда

^ _ щ -т2 + (72а (0? + 0%)а

В частном случае, когда щ-щ-т, что совпадает с решением упражнений 2.2 и 2.15. Этого следовало ожидать, так как в этом случае всегда ЕгА = т, т.е. выбор производится из нормальных распределений с одним и тем же математическим ожиданием. Из таких распределений оптимально распределение с наименьшей дисперсией, поскольку оно стохастически доминирует в смысле доминирования второго порядка другие такие распределения. Найденное же Ь минимизирует дисперсию гА.

Как и следовало ожидать, в этом примере предпочтения, порожденные ожидаемой полезностью, совпадают с порожденными некоторым критерием вида V =?(т,сг). Совместное распределение доходностей г{,...,гп было нормальным. На самом деле, здесь сыграли роль три следующие свойства нормального распределения:

¦ нормальное распределение — двухпараметрическое и полностью характеризуется первыми двумя моментами;

¦ любая линейная комбинация доходностей гг...,гп принадлежит тому же классу распределений (нормальному);

¦ среди альтернатив с фиксированной средней доходностью т альтернатива с наименьшей сг является наилучшей (доминирует остальные в смысле второго стохастического доминирования).

Этот результат можно распространить. Оказывается, например, он справедлив для всех так называемых эллиптических распределений. Эллиптическим будем называть распределение с плотностью вида

/(•*, ? • .,*„)= Д~ 8„ ((* “ (* -™)^Т), (3-19)

Vdet С

где m = [mv...,mn] — вектор-строка средних значений, С — положительно определенная матрица ковариаций, gn — некоторая одномерная функция (вообще говоря, она может быть разной при разных п ), х = [х{,...,хп]. В двумерном случае линии уровня такой плотности, описываемые уравнением f(xl,x2)~ const, представляют собой эллипсы, с чем и связано название. Эллиптические распределения удовлетворяют трем свойствам, перечисленным выше. Нормальное распределение, как легко видеть, является эллиптическим (формула для плотности многомерного нормального распределения приведена в разделе 12.1). Пример эллиптического распределения с тяжелым хвостом — ^-распределение Стьюдента с к степенями свободы. Для него

*.(?) = +

Сформулируем результат в виде теоремы. Как и выше, через тА и аА обозначены соответственно, среднее и среднее квадратичное отклонение доходности портфеля гА.

Теорема 3.4 [Ingersoll, 1987]. Пусть совместное распределение доходностей /],..., г имеет вид (3-19). Тогда решение задачи (3-18) для некоторой возрастающей и вогнутой функции полезности денег м( ) совпадает с решением задачи

YLV(mA,cr А) —> шах

А

для некоторой функции V, возрастающей по первому аргументу и убывающей по второму.

Доказательство использует три свойства эллиптических распределений, указанные выше. Из теоремы следует, что для этих распределений, как и для нормальных, критерий выбора ?(т,а) монотонен в смысле первого стохастического доминирования. Таким образом, теория выбора портфеля, основанная на правиле “среднее — дисперсия”, в этом случае не встречает трудностей, подобных описанным в разделе 2.2. Эллиптические распределения предоставляют несколько большую свободу моделирования доходностей по сравнению с нормальным; например, они могут иметь более тяжелые хвосты. Однако, как следует из формулы для плотности, распределения доходностей г: по-прежнему симметричны, что является существенным ограничением.

^Динамическая задача оптимизации портфеля и потребления. Рассмотрим эту задачу для дискретного набора моментов времени, t = 0,1,...,Г. Обозначим через X, капитал инвестора на момент t, с, — часть капитала, направляемую на потребление в период [г,г + 1); при этом с, <ХГ Предположим, что инвестор не получает других доходов, кроме дохода от вложений средств в различные ценные бумаги. Пусть имеется п таких бумаг; обозначим через bt{t) долю средств, вкладываемых в і-ю бумагу в момент t, через r(t) — случайную доходность і-й бумаги в период [г,Г + 1). Для каждого фиксированного і величины а; (Г) для различных t будем считать независимыми и_одинаково распределенными. Соответствующие_вектора обозначим b (?) и 7(г); тогда совокупная доходность r(t) = b (?) • 7(?) = ^(г)а; (г). Изменение капитала инвестора описывается уравнением

(3-20)

Предположим, что в каждый момент t инвестор выбирает величины с, и b'(t) [bi >0, ^.6. =l), исходя из принципа максимизации полезности потребления и остаточного капитала на момент Т (можно считать, что в этот момент весь остаток капитала потребляется):



(3-21)

Такого типа задачи в общих чертах уже рассматривались в разделе 1.5, где был сформулирован принцип оптимальности Веллмана. Введем функцию

?^Т~'и(Х), t = T, где максимум берется по всем наборам величин с, и bt(t), через Е, обозначено условное математическое ожидание при условии, что все величины для момента t и более ранних, т.е. для моментов 0,...,?, известны. Функцию (3-22) часто называют функцией Веллмана. Она выражает значение полезности при оптимальном поведении инвестора в момент t и после него, если инвестор стартует с капитала X в момент t.

Уравнение, выражающее принцип оптимальности Веллмана, в данном случае записывается в виде

(3-23)

W (Х,_„Г -1) = ma_x [и(с) + vEMW(X„ t)}.

c.b

Пример 3.4. Логарифмическая полезность. Пусть функция полезности денег имеет вид и(х) = ln(x). Запишем уравнение Веллмана (3-23) для t = Т: Таким образом, мы видим, что выражение под знаком максимума разделяется на два слагаемых, первое из которых зависит от потребления с, а второе — от Ъ. Из этого следует, что решения относительно величины потребления не зависят от инвестиционных альтернатив.

Дифференцируя по с выражение под знаком максимума в (3-24) и приравнивая производную к нулю, имеем

откуда получаем оптимальную потребляемую сумму для момента Т -1:

Легко убедиться, что вторая производная отрицательна, поэтому это действительно точка максимума.

Что касается инвестирования, то из (3-24) и сделанного предположения о независимости доходностей для различных интервалов времени следует, что решение b этой задачи совпадает с решением “однопериодной” задачи оптимального инвестирования,

1+5>

(3-25)

Еіп

шах.

ь

Доходность, соответствующую портфелю — решению этой задачи, обозначим г*.

Теперь рассмотрим момент Т -2. Чтобы найти решение для этого момента, нужно найти вид функции W(X, Т-1). Подставляя в (3-22) и (3-23) Хт =[ХГ_,-с*_,](1 + г‘) и найденное значение получаем

-I-?іп + ?, = (1 +?)1п(Х) + /(Гг,

W(X, Г -1) = In

где через условимся обозначать постоянные, не зависящие от X. Принципиально то, что эти константы не влияют на выбор оптимальных решений, так как максимум в уравнении (3-23) не зависит от добавленной константы (например, она исчезает при дифференцировании). То, что найденная функция W(X, Т-1) снова имеет логарифмический вид, позволяет повторить сделанное для момента Т-1 заключение о том, что с не зависит от инвестиционных альтернатив. Запишем уравнение Веллмана для момента Т - 2:

W(Xt_2,T-2) =

1п(с) + ?(1 + ?)Ег_2 In (ХТ_2 - с) + ?(1 + ?)Ег_,

+ K,

In

= max

(,Ь

Отсюда видно, что оптимальный инвестиционный портфель снова является решением “однопериодной” задачи (3-25). Как уже сказано, слагаемые, не зависящие от капитала X, можно не принимать во внимание, поэтому единственное существенное отличие этого уравнения от (3-24) состоит в значении коэффициента перед вторым слагаемым под знаком максимума, который теперь равен ?(1 + ?). Ту же процедуру можно продолжать для моментов Г-3, Г — 4,..., 1,0. При этом единственное существенное изменение уравнения Веллмана будет состоять в изменении указанного коэффициента перед вторым слагаемым (читатель может строго показать это самостоятельно).

Обозначим коэффициент перед вторым слагаемым через ft(v) и попробуем найти его значение, а также вид оптимального потребления. Уже известно, что /г(?) = ?, /г_,(?) = ?(1 +?). Предположим, что у нас есть уравнение Веллмана, записанное для момента г-1. Оно имеет тот же вид, что и уравнение (3-24), только коэффициент перед вторым слагаемым равен не ?, а f,(v). Действуя аналогично вышеизложенному, находим решение:

С* -

1 + /,(?)'

Снова действуя аналогично вышеизложенному, находим вид функции W(X,t-l) и убеждаемся, что

mX,t-l) = (l + f,(v))HX) + K.

Согласно (3-24), значение коэффициента для следующего шага получается умножением на ?, т.е.

/,_,(?) = ?(і + /(?)).

Это рекуррентное соотношение определяет /,(?). Нетрудно убедиться в том, что ft есть геометрическая прогрессия,

f — у ^

JТ—п ’* * *

Подставив это в выражение для с* и преобразовав, имеем

1 — ?

X,.

с. -

Г-г+1

1-

В этом примере мы получили оптимальные стратегии, обладающие следующими свойствами: потребление не зависит от инвестиционных альтернатив, потребляемые суммы составляют фиксированные доли капитала, а оптимальный состав инвестиционного портфеля определяется решением “однопериодной” задачи (3-25). Стратегии с такими свойствами получаются — если функция полезности аддитивносепарабельна — исключительно для случая логарифмической функции полезности денег. Известны и решения этой задачи в случае других функций полезности денег, в частности степенных, и{х) = х^у. Они уже не обладают такими простыми свойствами. Подробнее по этим вопросам см., например: [Ingersoll, 1987]. Непрерывный случай исследовался в известной статье Р. Мертона [Merton, 1971] и последовавших за ней публикациях.

Индексом абсолютного неприятия риска Эрроу — Пратта называется величина



(3-26)

Если и > 0, и*(х)< 0, то ги >0. Величина ги характеризует степень неприятия риска, демонстрируемого лицом с данной функцией полезности денег и. Чем эта величина больше, тем это лицо “сильнее не любит риск”. Это можно проиллюстрировать на рассмотренных выше примерах. Рассмотрим две функции полезности денег м, и м2, такие, что г (х) > г (х) для любого х. Тогда:

' М| ^? ' |«1 ⁴ '

^ их(х2)-щ(хх) < и2(х2)-и2(х,)

^(y2)~^uM и2(У2)~и2(У і)

для любых у, < у2 < л:, < х2,

(б) если G, и G2 — определенные согласно (3-9) максимальные премии за страхование одного и того же риска со случайным ущербом X двух страхователей, имеющих функции полезности денег м, и и2 соответственного G, >G2 при любом распределении Х\

(в) если в примере 3.3 второй актив — безрисковый, т.е. а2 =0, и его ожидаемая доходность строго меньше доходности рискового актива, то доля капитала Ь? инвестированная в рисковый актив инвестором с функцией полезности денег и,, не больше доли Ь2, инвестированной в рисковый актив инвестором с функцией полезности денег и2. Ьх < Ь2.

Эти факты доказаны в статье Пратта [Pratt, 1964] (см. пояснение в разделе 12.3); утверждение (в), по-видимому, впервые получил Эрроу.

Пример 3.5. В ситуации примера 3.3 если сг2 =0, т.е. второй актив — безрисковый, то имеем

Для экспоненциальной функции полезности денег и(х) = 1-е~^м индекс неприятия риска ги(х) = а (упражнение 3.13). Мы видим, что b убывает по а, т.е. чем больше индекс неприятия риска, тем меньше доля средств, инвестируемая в рисковый (первый) актив.

Известен также индекс относительного неприятия риска



(3-27)

3.5

Упражнения к главе 3

Упражнение 3.1. Повесть О. Бальзака “Шагреневая кожа” начинается со следующего эпизода. Некий молодой человек, войдя в казино, ставит свой последний золотой, проигрывает его и уходит в отчаянии. Завсегдатаи и служащие казино обсуждают этот случай, и один из них произносит следующую фразу: “Опытный игрок на его месте разделил бы ставку на три, чтобы увеличить шансы...” Что можно сказать о предпочтениях “опытного игрока”, в частности о его рациональности и отношении к риску? Предложите какую-нибудь функцию полезности, описывающую такие предпочтения.

Указание. Нужно иметь в виду, что “опытный игрок”, хотя и делит ставку на три (неприятие риска), все-таки предпочитает играть (любовь к риску). Поэтому его функция полезности должна выглядеть весьма необычно.

Упражнение 3.2. Критерий Массе был введен в разделе 2.4. Так называется критерий выбора вида

с Покажите, что

(а) критерий Массе порождает те же предпочтения, что некоторая функция ожидаемой полезности (какая?);

(б) для независимых величин критерий Массе обладает свойством аддитивности.

На самом деле, критерий Массе — единственная функция, обладающая этими двумя свойствами одновременно.

^Упражнение 3.3. В главе 1 рассматривались меры риска, для которых неприятие риска выражалось убыванием V по дисперсии. В этой главе неприятие риска выражается вогнутостью функции полезности денег. Покажите, что эти два принципа противоречивы.

Указание. Постройте пример случайных величин X и Y и вогнутой функции м(-), таких, что тх =mY, crx > crY, но Еи(Х) > Еи(У).

Упражнение 3.4. Почему нельзя привести такого примера, как в предыдущем упражнении, с нормально распределенными X и У?

Упражнение 3.5. Пусть и(х) > 0, и’(х) < 0. Продолжите интегрирование по частям в (3-7) и покажите, что если F0 >¦ nF, то V(F0)-V(F) > 0.

Упражнение 3.6. Какие из приведенных ниже функций полезности монотонны относительно первого и/или второго стохастического доминирования, а какие — нет? Поясните свои ответы.

(а) ЩХ) = Е(Х);

(б) U(X) = Е(Х)-0,02-(D(X))³;

(в) U(X) = Ее⁰'⁰¹*;

(г) U(X) = -Ее⁴⁵’⁰¹*;

(д) U(X) = -Ee^^0lx+0'^mx\

где Е — математическое ожидание, D — дисперсия.

Упражнение 3.7. Один и тот же человек регулярно покупает лотерейные билеты, надеясь выиграть автомобиль ценой 10000 долл., и страхует свой собственный автомобиль такой же стоимости от угона. Можно ли объяснить его поведение с помощью модели ожидаемой полезности? Какую форму должна иметь функция полезности? [Friedman, Savage, 1948].

Упражнение 3.8. С точки зрения страховой компании собираемые ею страховые премии должны быть достаточны для формирования страхового резерва, покрывающего выплаты по полисам. Поэтому величина G в (3-11) —денежная мера риска, и к ней должны быть применимы рассуждения раздела 2.4. Покажите, что если функция й в (3-11) — экспоненциальная функция полезности, й(х) - -е'"*, то G, как мера риска, аддитивна по отношению к сложению независимых случайных страховых убытков. Покажите, что G имеет вид, аналогичный функции Массе (раздел 2.4 и упражнение 3.2).

В трех следующих упражнениях денежные суммы измеряются в тысячах долларов.

Упражнение 3.9. Ущерб по некоторому риску распределен равномерно от 0 до 20. Какую максимальную страховую премию за страхование такого риска готов будет заплатить страхователь, имеющий капитал 50 и руководствующийся правилом максимизации ожидаемой полезности с функцией полезности и{х) = х-ах², а = 0,01?

Упражнение 3.10. Рассмотрим страхователя из примера 3.1. Предположим, что ущерб имеет следующее распределение: в случае аварии (с вероятностью 0,02) ущерб распределен равномерно на [0,100]; в противном случае ущерб равен 0. Найти максимальную страховую премию, которую готов заплатить страхователь в этом случае.

Упражнение 3.11. Страховой ущерб в случае пожара распределен равномерно от 0 до 100; вероятность пожара равна 0,02. Найти форму страхового контракта, оптимальную с точки зрения страхователя, имеющего возрастающую и вогнутую функцию полезности, максимизирующего свою ожидаемую полезность и готового заплатить за страхование данного риска сумму Р.

Упражнение 3.12. Инвестор имеет возможность сформировать портфель из двух активов, годовые нормы доходности которых моделируются нормальными случайными величинами со средними тх = 16% и т2- 9% и средними квадратическими отклонениями сг, =30% и а2 =12%, соответственно, и коррелированы с коэффициентом корреляции /? = 0,46. Считая, что инвестор вкладывает 1 ден. ед., имеет функцию полезности и(х) = х-0,02х² и стремится максимизировать ожидаемую полезность стоимости капитала на конец года, найти оптимальные с его точки зрения доли вложений в первый и второй активы.

Упражнение 3.13. Вычислите индексы абсолютного неприятия риска (3-26) для следующих функций полезности денег:

(а) логарифмической и(??) = ln(w);

(б) степенной ы(??) = ??^а, 0<аг<1;

(в) экспоненциальной и(??) = \-e~^nw, а > 0;

(г) квадратической и(??) = w-aw², а > 0;

(д) так называемой HARA (hyperbolic absolute risk aversion) функции, u(w) = (aw + b)^y, 0

a

глава

ПАРАДОКСЫ ВЫБОРА

Экономическое поведение людей может сильно отличаться от предсказываемого теорией ожидаемой полезности. Это подтверждается как данными лабораторных экспериментов, так и примерами из реальной жизни.

4.1

Парадокс Аллэ

Первым примером, показывающим несоответствие теории ожидаемой полезности принципам выбора, признаваемым рациональными, во всяком случае, многими людьми, стал известный парадокс Аллэ [Allais, 1953]. Рассмотрим следующий пример. Предлагается выбрать между А : получением 1 млн. долл, без риска; и В : лотереей со следующим распределением выигрыша:

^г Выигрыш 0 1 млн. долл. 5 млн. долл.^

ч Вероятность 0,01 0,89 0,1 ,

Выигрыш в 1 млн. долл, представляется достаточно большой суммой, чтобы, в погоне за еще большим выигрышем в 5 млн. долл., рисковать не получить ничего даже с такой малой вероятностью, как 0,01. Действительно, большинство людей выбирает А в этой и аналогичных парах альтернатив. С другой стороны, рассмотрим выбор между лотереями

^г Выигрыш ч Вероятность

5 млн. долл.^

0

0,9

С:

ОД

4.1

Парадокс Аллэ

' Выигрыш 0 1 млн. долл.^

^Вероятность 0,89 0,11 J

В этой ситуации выбора большинство предпочтений оказывается в пользу С. Действительно, здесь разница в 0,01 в вероятностях выигрыша уже не кажется столь значительной, как в первой паре.

На рис. 4.1 распределения выигрышей, соответствующие альтернативам, изображены точками на плоскости, аналогично тому, как это делалось в разделе 3.2.

Рис. 4.1. Парадокс Аллэ

Здесь р2 — вероятность выигрыша в 1 млн. долл., ръ — вероятность выигрыша в 5 млн. долл. Легко проверяется, что ABCD представляет собой параллелограмм. Как известно, диагонали параллелограмма пересекаются в их средних точках, поэтому +1 р = — F + ІР

2 а 2 ^с 2 ^в 2

То же самое можно показать и непосредственно (читатель может проделать это самостоятельно). Поэтому должно выполняться равенство

^V(i^F* ⁺ 2^Fc) = ^V(2^F' ⁺ 2^F‘>Y

Но в силу свойства линейности ожидаемой полезности (3-4) ±V(Fa)+±V(Fc)=±V(Fb) + ±V(Fd),

что противоречит выявленным ранее “экспериментальным” предпочтениям V(Fa)>V(Fb) и V(Fc)>V(Fd).

Это противоречие показывает, что никакая модель ожидаемой полезности не может давать такую картину предпочтений: А>- В, С >¦ D. Из рис. 4.1 видно, что невозможно построить семейство параллельных прямых, подобных показанным на рис. 3.2, так, чтобы смоделировать такие предпочтения (убедитесь в этом самостоятельно). Это можно было бы сделать, только отказавшись от параллельности кривых безразличия. Один из способов провести такие кривые показан на рис. 4.1. Две кривые безразличия расположены таким образом, что их продолжения пересекаются в точке М, находящейся за пределами треугольника. При этом кривые безразличия проходят между точками А и В, а также С и D, оставляя точки Л и С справа (глядя из точки М), а В и D — слева от соответствующей кривой.

В связи с этим можно заметить, что о парадоксах типа парадокса Аллэ иногда в литературе говорят как о явлении “расхождения” кривых безразличия (“fanning out”; см., например: [Machina, 1987]). Модель, порождающую такие кривые, можно построить, лишь отказавшись от аксиомы независимости.

Эксперименты

Активно развивается относительно новое направление науки об экономическом поведении — экспериментальное исследование предпочтений . Такие исследования проводятся обычно на группах людей. Иногда используются реальные деньги; чаще, однако, лишь некоторые, случайно выбранные из группы люди получают выигрыши в соответствии с выбранной ими лотереей. В частности, целый ряд исследований экспериментально подтвердили устойчивое соответствие поведения людей примерам типа парадокса Аллэ. Есть и много других интересных результатов, некоторые из которых описаны ниже. Однако вопрос о том, насколько предпочтения, демонстрируемые в лабораторных условиях, соответствуют повседневному экономическому поведению, весьма сложен и нуждается в дополнительном изучении.

Парадоксы типа парадокса Аллэ и его обобщений (включая ситуации выбора без “эффекта определенности”, т.е. когда ни одна из альтернатив не является детерминированной, как альтернатива А в нашем примере) часто называют “эффект одинакового исхода” (common consequence effect). Причину такого названия и идею построения подобных примеров демонстрируют упражнение 6.6 и пример в конце раздела 6.3.

См., например: |Сашегег, 1995; Choices, Values, 2000; Luce, 2000; Starmer, 2000].

Э(!>фект "одинакового отношения "

4.2

Эффект “одинакового отношения”

Эффект одинакового отношения (common ratio effect) — еще один устойчивый пример нарушения аксиомы независимости. Рассмотрим следующий пример [Kahneman, Tversky, 1979]. Предлагается выбор между альтернативами

А: получить 3000 долл, без риска; и

( Выигрыш 0 4000доллЛ



Затем предлагается выбор между



' Выигрыш 0 3000 долл.





Из 95 респондентов 80% выбрали А в первой паре, 65% выбрали D во второй паре, и число тех, кто демонстрировал одновременно такие предпочтения, т.е. (А >- В, D >- С), оказалось больше 50%. В то же время нетрудно видеть, что такая комбинация предпочтений нарушает аксиому независимости. Представим себе двухступенчатую лотерею, в которой с вероятностью 0,25 можно выиграть право участия в лотерее А, а с вероятностью 0,75 — ничего. Распределение выигрыша в такую лотерею совпадает с Fc. Точно так же распределение выигрыша в двухступенчатую лотерею, где можно с вероятностью 0,25 выиграть право участия в лотерее В, ас вероятностью 0,75 — ничего, совпадает с распределением выигрыша в лотерею D, FD. Математически это записывается как



Согласно свойству линейности ожидаемой полезности (3-4), если V(Fa) > V(FB), то должно быть V(FC) >V(FD), т.е. С >- D. Этот пара-доке получил свое название потому, что в парах лотерей АС и BD одинаковы отношения вероятностей выигрыша, 1/0,25 = 0,8/0,2.

Устойчивость данного эффекта, тоже впервые указанного Аллэ (см. упражнение 4.3), многократно проверена и подтверждена рядом исследований (см., например: [Machina, 1987; Epstein, 1992]).

Читатель может заметить, что несомненную роль в приведенном примере, как и в примере раздела 4.1, играет детерминированность одной из альтернатив в первой паре, заставляющая многих отдавать ей предпочтение как “безрисковой”. Влияние определенности на предпочтения отмечалось еще Аллэ; в литературе установилось название “эффект определенности” (certainty effect). Приведенные выше примеры используют этот эффект, но было бы неправильно сводить их лишь к нему. Эффект определенности делает эти примеры более прозрачными, но подобные же примеры предпочтений возникают и в ситуациях, не связанных с детерминированными альтернативами.

4.3

Критика ожидаемой полезности

Никакая теория, конечно, не может предсказывать выбор с абсолютной точностью, и если бы обнаруженные противоречия с теорией ожидаемой полезности были, так сказать, “шумового”, несистематического характера, это вряд ли могло бы подорвать к ней доверие. Однако примеры отклонений от ожидаемой полезности, описанные выше, носят систематический и предсказуемый характер. Они постоянно воспроизводятся в экспериментах.

Аргументация в пользу аксиомы независимости, использующая двухступенчатые лотереи и проиллюстрированная на рис. 3.1, остается, несмотря на приведенные примеры, весьма привлекательной в силу своей логичности. Защищая аксиому независимости, Сэвидж [Savage, 1954] писал, что хотя он сам сперва посчитал в примере Аллэ из раздела 4.1 А более привлекательной, чем 5, но нашел это предпочтение ошибочным после того, как увидел этот пример полностью. Подобная аргументация, состоящая в том, что люди, чьи предпочтения входят в противоречие с аксиомой независимости, обязательно найдут их ошибочными и посчитают необходимым исправить, защищает, по крайней мере, нормативную ценность аксиомы независимости. В некоторых экспериментах респондентам предлагались такие аргументы, как соображения в пользу аксиомы независимости, сообщались средние значения выигрышей, но все это, по-видимому, не оказывало серьезного влияния на предпочтения (по поводу обзора см.: [Machina, 1987; Camerer, 1995; Starmer, 2000]).

Аллэ в своих работах постоянно критиковал аксиому независимости и, в частности, приведенную выше аргументацию, связанную с двухступенчатыми лотереями. Он считал, что подобная аргументация, подразумевая комбинирование лотерей, фактически включает “эффекты представления” (см. ниже, раздел 4.5), способные затемнить некоторые аспекты конечных распределений, которые видны при их прямом сопоставлении.

Тверски и Канеман [Tversky, Kahneman, 1986] говорят не только об аксиоме независимости, но и об аксиоме монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,), что оба эти правила являются нормативно привлекательными, но оба же часто нарушаются в реальных ситуациях выбора. Аллэ, с другой стороны, всегда защищал аксиому монотонности как незыблемый принцип выбора. По-видимо-му, это наиболее распространенная точка зрения среди экономистов. Так, Фишберн [Fishbum, 1988] указывает на существенное различие аксиом (М[) и (1^). Если первая — естественное обобщение правила “чем больше, тем лучше” на вероятностные альтернативы, то вторая, в сущности, только одно из многих возможных правил комбинирования предпочтений при образовании сложных альтернатив. Во всяком случае, все нелинейные теории полезности, описываемые в разделе 5, идут по пути ослабления аксиомы независимости при сохранении аксиомы монотонности (М[). Последняя версия теории проспектов Тверски и Канемана [Tversky, Kahneman, 1992], описанная в разделе 6.4, также соответствует этой точке зрения.

Могут, конечно, быть существенные различия между лабораторными экспериментами и реальными экономическими решениями. В первом случае людям приходится, как правило, принимать решения единожды, сталкиваясь с новыми для них задачами. Реальные же решения принимаются обычно в условиях рынка. Эти решения повторяются, при этом имеет место некоторая обратная связь, или обучение. Люди спрашивают мнения друг друга, обсуждают выбор и т.д. Приводит ли все это к изменению предпочтений в сторону большего соответствия ожидаемой полезности? Стармер [Starmer, 2000] дает обзор существующих результатов. В целом этот вопрос сложен и пока недостаточно изучен, как теоретически, так и экспериментально. Данные небольшого числа проведенных экспериментов с повторяющимся выбором и групповыми обсуждениями в общем не дают оснований считать, что предпочтения эволюционируют в сторону согласия с ожидаемой полезностью, и хотя некоторые “странности” индивидуального выбора при этом действительно сглаживаются, это не относится к описанным выше парадоксам. В одном из экспериментов было, например, отмечено, что обсуждение в группах приводило к повышению процента предпочтений типа примера Аллэ. В целом нет никаких серьезных оснований считать, что индивидуальное поведение в условиях риска должно как-то сходиться к предписанному ожидаемой полезностью.

Ожидаемая полезность используется в экономике для моделирования рынков. В частности, эта теория — важный элемент моделей равновесий. Агентам (участникам экономики) приписываются предпочтения, моделируемые ожидаемой полезностью. Однако даже если можно строить таким образом модели рынков, адекватно отражающие некоторые их свойства (не все, как увидим ниже), из этого вовсе не следует, что поведение агентов действительно должно соответствовать ожидаемой полезности. Данная теория лишь отражает некоторые особенности экономического поведения. Кроме того, важно понимать, что эти особенности этой теорией определенным образом интерпретируются. Так, неприятие риска объясняется только эффектом убывания приращений полезности денег Бернулли (вогнутостью функции полезности денег) — т.е. неприятие риска в этой модели есть свойство отношения к деньгам. Более прямым объяснением кажется предлагаемое некоторыми современными теориями: неприятие риска определяется не только отношением к деньгам, но и отношением к случайности, т.е. к вероятностям. Теории, использующие не только искажения полезности денег, но и искажения вероятностей, рассматриваются в разделах 5.2 и 6.4.

Рассмотрим некоторые примеры, связанные с применением ожидаемой полезности. Для определения индивидуальной функции полезности обычно предлагаются процедуры, подобные следующей. Выбираются два числа, л: и у, и полагается, например, и(х) = 0, н(у) = 1. Субъекта просят указать детерминированный эквивалент (“цену”) ze(x,y) лотереи, в которой х и у выигрываются с вероятностями р

и (1-р) соответственно. Значение u(z) находится из равенства u{z) = ри{х) + {\- р)и(у). Затем аналогично находятся значения и в точках, промежуточных между х и z, z и у и т.д. Опыт применения процедур оценки такого типа показал, однако, их недостаточную надежность. Оказывается, разные варианты процедур дают разные результаты. Любопытно, что искажения тоже носят систематический и предсказуемый характер [Camerer, 1995]. Например, несколькими авторами было отмечено, что использование больших вероятностей р в описанной процедуре приводит к более вогнутым функциям и. Много связанных с этим эффектов описано в работе [Hershey, Kunreuther, Shoemaker, 1982]. Все они противоречат предположению, что функция полезности денег должна быть инвариантна к процедуре ее определения. На практике это часто не так.

Есть важные примеры реального экономического поведения в условиях риска, которые не удается объяснить с помощью модели ожидаемой полезности. Так, в статье [Mehra, Prescott, 1985] было отмечено явление, названное авторами “equity premium puzzle”. Оказалось, что реальные данные о сравнительном спросе на акции и облигации могут быть объяснены классическими моделями равновесия, использующими ожидаемую полезность, только при аномально высоких уровнях неприятия риска (примерно в 30 раз больших, чем можно допустить исходя из разумных оценок и соображений).

Основанная на ожидаемой полезности теория страхования, построенная в разделе 3.4, тоже имеет свои трудности. В качестве простого примера [Mossin, 1968] рассмотрим пропорциональное страхование, при котором страхователь может купить полис на страхование определенной доли ущерба. Например, если X — случайная величина ущерба (потерь) страхователя, то страховая компания покрывает ущерб гХ, где г — число из интервала [0,1]. Предположим, что страховая премия равна г(1 + ?)тх, где ? — так называемая рисковая надбавка (см. главу 7). Пусть страхователь выбирает пропорцию г страхования своего риска исходя из правила максимизации ожидаемой полезности,

Ем (?? - г(1 + ?)тх - (1 - г)Х) —> max

^? ’ rt^O.l]

(здесь, как и в главе 3, ?? — капитал страхователя).

5-Теория риска

Дифференцируя левую часть в точке г = 1, имеем

г(1 + ?)тх -(l-r)X)|r=1 =

= Еи'(\?-г(1 + ?)тх -(l-r)X)[X ~(1 + ?)тх )|r=l =

= Et/(w-r(l + ?)т) = —i/(w- (1 + ?)тх )?тх.

Если ? > О, что всегда бывает в реальном страховании, и и > О, то это выражение отрицательно. Это означает, что при уменьшении г полезность возрастает, т.е. страхователь никогда не может быть заинтересован в полном страховании своего риска. Страхование почти полного ущерба для него предпочтительнее полного страхования. Если бы такое предсказание модели ожидаемой полезности было верно, это давно было бы осознано страховыми компаниями, которые стали бы продавать полисы, обещающие, например, покрытие 95% или 90% ущерба, и такие полисы получили бы гораздо более широкое распространение, чем полисы полного страхования. На самом деле, хотя страховые компании и продают полисы пропорционального страхования некоторых видов, нельзя сказать, чтобы эти полисы доминировали на рынке. В большинстве видов страхования такая практика вообще не распространена. Наоборот, страхователи обычно демонстрируют высокий спрос именно на полное страхование.

Дополнительный свет на этот вопрос проливает исследование Ваккера, Тэйлера и Тверски [Wakker, Thaler, Tversky, 1997]. В этой статье приводятся результаты опросов потребителей в отношении предпочтительных способов страхования. Эти данные однозначно подтверждают предпочтительность полного страхования по сравнению с частичным пропорциональным (в частности, страхованием 99% суммы ущерба). Кроме того, особенно сильные несоответствия с прогнозами ожидаемой полезности были выявлены в отношении “вероятностного” страхования — страхования, при котором покрытие ущерба производится только с некоторой вероятностью (в частности, 0,99). Теория ожидаемой полезности предсказывает, что если вероятность покрытия ущерба снизить на 1%, то и премия, которую готов будет заплатить страхователь, должна снизиться на близкую величину (упражнение 4.4). Однако опросы показали, что людям очень не нравится такой тип страхования. Премия, которую они в среднем готовы были платить, оказывалась меньше премии за полное страхование не менее чем на 25%.

4.4

‘Переворот предпочтений

Все эти примеры говорят о том, что модель ожидаемой полезности является слишком упрощенной. В последующих главах 5 и 6 будут оассмотрены модели, развивающие теорию ожидаемой полезности и, в частности, позволяющие объяснить многие из описанных выше парадоксов выбора.

4.4

*“ Переворот предпочтений”

Явление переворота предпочтений (preference reversal phenomenon) было отмечено рядом авторов и широко обсуждалось в литературе. Речь идет о следующем типичном нарушении аксиомы транзитивности. Рассмотрим две лотереи:

А: Р-лотерея (P-bet), в которой со сравнительно большой вероятностью можно выиграть небольшую сумму денег; и

В : $-лотерея ($-bet), в которой с небольшой вероятностью можно выиграть значительно большую сумму денег, чем в Р-лотерее.

Феномен состоит в том, что при прямом выборе многие люди предпочитают Р-лотерею, однако когда людей просят оценить в деньгах право участия в той и другой игре, они оценивают право участия в S-лотерее выше. Это говорит о нетранзитивности предпочтений. Действительно, обозначим детерминированные эквиваленты, или цены участия в играх А и В, соответственно е(А) и е(В). Обозначим А' и В' альтернативы, состоящие в безрисковом получении е(А) и е(В) соответственно. Набор предпочтений А>- В, А~ А\ В ~ В', А' < В' противоречит транзитивности отношения X.

Фишберн [Fishburn, 1988] описывает проведенный им неформальный эксперимент с двумя лотереями

( Выигрыш 0 ЗОдолл.^





( Выигрыш 0 100 долл.''

В:



При прямом выборе большинство испытуемых предпочитали А. Когда же другой группе испытуемых предлагалось оценить право участия в лотереях, для А оно оказалось в среднем около 25 долл., а для В —21 долл.

Нетранзитивность предпочтений, конечно, не может быть принята как нормативный принцип. Действительно, тогда было бы легко сконструировать цикл альтернатив, “выкачивающий” деньги улица с такими предпочтениями (“money pump”). Так, предположим, что есть человек, готовый обменять право участия в игре В на право участия в игре А из приведенного выше примера, но оценивающий их соответственно в 27 и 25 долл. Тогда кто-нибудь мог бы предложить ему участие в игре В за плату в 27 долл., затем предложить вместо этого сыграть в игру А, на что он согласится, и выкупить право участия в игре А за 25 долл. В результате лицо с циклическими предпочтениями потеряет 2 долл. Вероятно, если действительно произвести с ним все эти операции, этот человек поймет, что с его предпочтениями что-то не так.

4.5

* Эффекты представления

Эффекты представления (framing effects) состоят в изменении предпочтений в зависимости от формы представления альтернатив или формы вопроса. Один из примеров такого рода был описан выше, в разделе 3.3. Там речь шла о различном отношении к потерям и приобретениям. Возможно, еще более отчетливо этот психологический эффект проявляется в другом примере, связанном с человеческими жизнями, впервые приведенном в работе Канемана и Тверски [Kahneman, Tversky, 1979].

Предположим, что 600 человек заразились потенциально смертельной азиатской болезнью. Предлагаются две альтернативные программы лечения. Если будет избрана программа Л, 200 человек будут спасены. Если будет

4.5

Эф<І>екты представления

избрана программа В, с вероятностью 1/3 будут спасены все 600 человек, а с вероятностью 2/3 никто не будет спасен.

72% респондентов, которым предлагалась такая формулировка вопроса, выбрали программу А. С другой стороны, оказывается, что если переформулировать вопрос в терминах количества не спасенных, а потерянных жизней, ответ будет противоположным! Другой группе респондентов была предложена такая формулировка:

Если будет принята программа С, умрут 400 человек. Если будет принята программа D, то с вероятностью 1/3 никто не умрет, а с вероятностью 2/3 умрут все 600 человек.

78% респондентов выбрали программу D, хотя фактически ее результаты совпадают с результатами программы В в первой паре. То же верно для программ С и Л.

Тверски и Канеман [Tversky, Kahneman, 1986] приводят результаты другого эксперимента, где “эффект представления” приводит даже к нарушению аксиомы монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,).

150 участникам эксперимента был предложен выбор между лотереями:

А: получить 240 долл, без риска и

( Выигрыш 0 1000 долл^

В:

Вероятность 0,75 0,25 J

Затем той же группе предлагалось выбрать между

С: потерять 750долл, и

^f Выигрыш -1000 долл. 0 ^

(^Вероятность 0,75 0,25 J

Результаты оказались таковы: 84% респондентов выбрали А в первой паре, 87% выбрали D во второй паре, у 73% наблюдалась комбинация (AD), и только у 3% — комбинация (ВС). Вряд ли можно сомневаться, что если бы речь шла об одновременном участии в одной лотерее из первой пары и одной из второй пары, большинством

была бы выбрана комбинация (AD). Однако распределение выигрыша от одновременного участия в лотереях А и D есть

^г Выигрыш -760 долл. 240 ^ ч Вероятность 0,75 0,25J’

а выигрыш от одновременного участия в лотереях В и С имеет распределение

^г Выигрыш -750 долл. 250 ^ ч Вероятность 0,75 0,25,

(проверьте это самостоятельно). Очевидно, второе распределение стохастически доминирует первое. При таком явном представлении результатов респонденты всегда предпочитают второе распределение.

Этот пример вполне можно объяснить ошибками субъектов, возникающими в результате сложного представления альтернатив.

Нужно заметить, что он, как и упомянутый выше пример из раздела 3.3, представляет нарушение принципа редукции (reduction), принимаемого, однако, большинством специалистов в качестве нормативного принципа.

(R) Выбор определяется только распределением конечного результата и не зависит от способа его получения.

Выше не раз неявно использовался этот принцип, например в рассуждении об аксиоме независимости в терминах двухступенчатых лотерей (раздел 3.2). У этого принципа есть и свои критики. Например, Аллэ, как уже упоминалось, в своей критике аксиомы независимости исходил именно из неприменимости принципа редукции для индивидуального выбора.

Любопытный пример “эффекта представления” дает следующий эффект, отмеченный в нескольких исследованиях, посвященных экономическому поведению в отношении страхования и инвестиционных рисков. Оказывается, что, например, в ситуации, когда предлагается выбрать между детерминированной потерей 10 долл, и потерей 1000 долл, с вероятностью 1%, поведение людей существенно разнится в зависимости от того, как ситуация описана. Если, например, сформулировать вопрос в виде: “Согласны ли вы заплатить 10 долл, в виде премии за страхование от такого риска?” — то гораздо больший процент людей соглашается, т.е. выбирает первую альтернативу [Starmer, 2000].

Вообще, тот факт, что форма представления информации, и в частности статистической информации, влияет на выбор людей, конечно, не нов. Такого рода эффекты слишком широко используются в рекламе, маркетинге или, например, политических кампаниях, чтобы можно было не замечать их наличия.

Привлечение внимания людей к определенным аспектам ситуации (в приведенных выше примерах это возможность приобретений или потерь) влияет на восприятие ситуации и принимаемые решения.

Подробное обсуждение эффектов представления выходит за рамки этой книги. Интересующийся читатель может обратиться к указанным выше источникам. По моему мнению, аксиома редукции (R) остается хорошим нормативным принципом, который может быть принят в большинстве моделей. В тех моделях, однако, где “эффекты представления” могут играть существенную роль, они должны каким-либо образом учитываться, в частности можно пытаться их моделировать. В разделе 6.4 описывается модель, в которой сделана попытка “отсеивать” эти эффекты путем введения некоторых нормативных правил представления лотерей, и уже затем применения математических моделей выбора к таким “очищенным” лотереям.

4.6

^Парадоксы межвременного выбора

Своеобразные парадоксы отмечены в области выбора при разновременном получении доходов (межвременного выбора — intertemporal choice). Это примеры предпочтений, противоречащих модели дисконтированной полезности и ее аксиомам (раздел 1.3). Ниже кратко описаны основные из них.

Дисконтированная полезность (1-10) отвечает требованию стационарности (Р4) теоремы 1.3 из раздела 1.3. Как было сказано там, смысл этого принципа в том, что предпочтения не меняются при одновременном переносе всех платежей во времени, например при их отсрочке. Однако на практике отсрочка платежей вполне может приводить к изменениям предпочтений. Тэйлер [Thaler, 1981] говорит об этом так: “Человек может предпочитать одно яблоко сегодня двум яблокам завтра, но в то же время предпочитать два яблока через 51 день одному через 50 дней”. Действительно, экспериментальные исследования подтверждают, что люди более чувствительны к отсрочкам платежей на один и тот же срок, когда эти отсрочки ближе по времени.

Такой эффект иногда называют “эффектом одинаковой разности” (common difference effect), по аналогии с описанным выше эффектом одинакового отношения для выбора в условиях риска. Этот феномен тесно связан с другим, а именно со снижением дисконтной ставки при оценивании платежей, более далеких по времени. Под дисконтной ставкой понимается, как и в разделе 1.3, процентная ставка г*, по которой вычисляется коэффициент дисконтирования

1

V =-.

1 + г*

Приведенный выше пример с яблоками можно объяснить таким образом (упражнение 4.5). Величина дисконтной ставки выражает предпочтения людей по времени, или то, насколько сильно отличается субъективная ценность денежных доходов для разных моментов времени. Чем она выше, тем эти различия больше. Снижение дисконтной ставки означает, что люди будут придавать меньшее значение одной и той же разнице во времени дохода/потери, если перенести эту разницу на более поздний период. Феномен снижения дисконтной ставки при оценивании людьми более отдаленных платежей был отмечен в ряде исследований, в том числе с реальными деньгами.

Следующий парадокс предпочтений по времени состоит в том, что коэффициент дисконтирования зависит также от денежной суммы. Большие суммы подвергаются меньшему дисконтированию, чем меньшие.

Тэйлер [Thaler, 1981] приводит следующий экспериментальный пример. Испытуемые, в среднем безразличные между немедленным получением 15 долл, или 60 долл, через год, демонстрировали при этом в среднем безразличие между 250 долл, немедленно и 350 долл, через год, а также между 3000 долл, немедленно и 4000 долл, через год.

Еще один пример предпочтений, нарушающих стационарность — несимметричность предпочтений в отношении отсрочек и ускорений доходов. Левенштейн [Loewenstein, 1988] изучал этот феномен на экспериментальных данных. Оказалось, что суммы, признававшиеся достаточными для компенсации отсрочки получения денег, в 2—4 раза превышали суммы, которые испытуемые готовы были заплатить за такое же приближение получения денег. Такие предпочтения — пример эффекта представления в межвременном выборе.

Читатель может заметить, что последний пример близок к рассмотренным выше примерам асимметрии предпочтений в отношении потерь/приобретений. Действительно, сходные явления были отмечены при выборе денежных потоков. Так, будущие поступления (положительные доходы) дисконтируются по более высокой дисконтной ставке, т.е. “сильнее”, чем потери (отрицательные доходы). В работе [Loewenstein, Prelec, 1992] приводится следующий пример. Испытуемые были в среднем безразличны между:

• получением 10 долл, немедленно и 21 долл, через год;

• немедленной потерей 10 долл, и потерей 15 долл, через год;

• получением 100 долл, немедленно и 157 долл, через год;

• немедленной потерей 100 долл, и потерей 133 долл, через год.

К той же статье читатель может обратиться за обзором наблюдаемых в области сравнения денежных последовательностей парадоксов, в частности эффектов представления.

4.7

Упражнения к главе 4

Упражнение 4.1. В эксперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между правом сыграть в игру и

(A) выиграть 1000 долл, с вероятностью 2/3 (0 в противном случае — везде далее опускается) и альтернативой

(B) получить 500 долл, без риска.

Опрошенные в среднем признали альтернативы равнозначными. Затем было предложено выбрать одну из альтернатив:

(C) выиграть 1000 долл, с вероятностью 0,4 и 500 долл, с вероятностью р и

(D) выиграть 500 долл, с вероятностью 0,8.

Каким должно быть р, чтобы выбор во второй паре альтернатив соответствовал теории ожидаемой полезности?

Упражнение 4.2. В некотором эксперименте испытуемым было сначала предложено выбрать между правом сыграть в игру и

(A) выиграть 200 долл, с вероятностью 0,6 и альтернативой

(B) получить 100 долл, без риска.

Большинство опрошенных выбрали (В). Затем было предложено выбрать одну из альтернатив:

(C) выиграть 200 долл, с вероятностью 0,3 и 100 долл, с вероятностью 0,4 и

(D) выиграть 100 долл, с вероятностью 0,8.

Какой выбор во второй паре альтернатив согласуется с теорией ожидаемой полезности?

Упражнение 4.3. Рассмотрим следующий пример [Allais, 1953]. Предлагается выбор между С1: получить 1 млн. франков без риска; и С2: 5 млн. франков с вероятностью 0,8 и 0 с вероятностью 0,2. Затем предлагается выбор между Dl: 1 млн. франков с вероятностью 0,05 и 0 с вероятностью 0,95; и D2: 5 млн. франков с вероятностью 0,04 и 0 с вероятность 0,96. Большинство людей предпочитают О в первой паре и D2 во второй. Покажите, что такие предпочтения нельзя описать моделью ожидаемой полезности.

Упражнение 4.4. Рассмотрим пример вероятностного страхования [Wak-ker, Thaler, Tversky, 1997]. При опросе потребителей задавались следующие вопросы.

A. Предположим, что вы имеете дом стоимостью 125000 долл. Сколько вы готовы заплатить за полное страхование от пожара, если вероятность того, что дом может сгореть, 1/200 (0,5%)?

B. Сколько вы готовы были бы заплатить за вероятностное страхование, которое покроет ущерб в случае пожара с вероятностью 0,99 (99%)? Ответы на первый вопрос распределились с медианой 700 долл. Предположим, что предпочтения страхователя, готового заплатить такую премию, моделируются ожидаемой полезностью с функцией полезности денег и(х) = ln(w + x), где w — число. Оцените w и определите, какую премию будет готов такой страхователь заплатить в случае В. Сравните с медианой полученных ответов опрошенных, равной 500 долл.

Упражнение 4.5. Объясните пример с яблоками из раздела 4.6, введя дисконтную ставку, снижающуюся по мере отдаленности момента платежа.

глава

ОБОБЩЕНИЯ

ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Теории выбора, появившиеся под влиянием открытия парадоксов, логичнее рассматривать как обобщения ожидаемой полезности, чем как совершенно новые теории. Экономическая теория пошла по пути отказа лишь от тех положений теории ожидаемой полезности, которые опыт признал слишком ограничительными. Эти модели представляют собой форму обоснованного, с точки зрения наших сегодняшних знаний, компромисса между устоявшейся парадигмой ожидаемой полезности и противоречащими ей фактами.

5.1

Критерии со свойством “промежуточности”

В этой главе, как и в главе 3, будем считать, что множество альтернатив Л состоит из всевозможных лотерей, исходы которых ограничены по абсолютной величине числом М.

В качестве формального ослабления аксиомы независимости была предложена аксиома промежуточности (betweenness):

(Ву) Дня любых А, Be. А и любого ре (0,1) (А >- В) => (А>- (АВ)р >- д). Другая форма этого свойства:

(В_) Дня любых А, Be А и любого ре (0,1) (А - В) => (А - (АВ)р - д).

Предположим, что лицо, обладающее удовлетворяющими (В_) предпочтениями, безразлично между лотереями А и В. Если предложить ему разыграть право участия в лотерее А или В, то оно должно остаться безразличным к такой “рандомизации”. Смысл (В_) становится особенно прозрачен, если снова, как в разделах 3 и 4, изобразить на рисунке кривые безразличия для множества трехточечных распределений. На рис. 5.1 показаны кривые безразличия, удовлетворяющие (В_). Если А и В принадлежат одной кривой безразличия, то из (В_) следует, что, например, (АВ)Х должна принадлежать той же кривой. Как говорилось выше, точка, соответствующая альтернативе (АВ)Х, есть середина отрезка АВ на рисунке. Значит, середина отрезка' АВ принадлежит той же кривой безразличия; аналогичное рассуждение показывает, что то же справедливо и для любой точки отрезка. Таким образом, кривые безразличия представляют собой отрезки прямых, как и в случае ожидаемой полезности, однако уже не обязательно параллельные.

Аксиома (В_), очевидно, слабее (І_) (чтобы показать это, достаточно взять в первой С = В). (В^) слабее (І_) при дополнительном требовании непрерывности (С) (лемма 12.2 в разделе 12.3). Из двух форм промежуточности (В?) сильнее (В_) (см. в разделе 12.3 обсуждение теоремы 2 этого раздела).

Рис. 5.1. Кривые безразличия, удовлетворяющие аксиоме промежуточности (5-1) Первой моделью со свойством промежуточности была модель так называемой взвешенной полезности, предложенная Чью (S.H. Chew) и

Маккриммоном (К. McCrimmon) в 1979 г. (см., например: [Chew, 1989]). В этой модели функция V имеет вид

[w{x)dFA{x)

?(А) = 4-, (5-1)

y{x)dFA(x)

где w и v — некоторые функции; интегралы здесь и ниже берутся по всей числовой оси. Функция ? принимает положительные значения; она называется весовой функцией.

Аксиоматизация критерия (5-1) основывается на так называемой слабой аксиоме замещения (weak substitution).

(WS) Для любых А, В El Л, таких, что А~ В, и любого р е [0,1] существует qE [0,1], такое, что для любого Се Л (АС)р ~ (BC)q.

Рис. 5.2 иллюстрирует положение кривых безразличия в случае взвешенной полезности. Все они представляют отрезки прямых, расположенные так, что если продолжить их за пределы треугольника, они пересекутся в одной точке. Такое положение кривых определяется аксиомой (WS) (упражнения 5.1, 5.2).

Рис. 5.2. Кривые безразличия в случае взвешенной полезности Назовем А ограниченным по предпочтению >; , если А содержит “наилучший”_элемент А и “наихудший” элемент А, т.е. для всех Ае Л верно АУАУА.

Теорема 5.1. Пусть У — полное упорядочение на А, непрерывное в смысле (С), и пусть А ограничено по предпочтению У. Тогда выполнение (WS) необходимо и достаточно для существования согласованной с предпочтением функции V вида (5-1).

Доказательство теоремы можно найти в работе Чью [Chew, 1989]. Другие варианты аксиом обсуждаются Фишберном [Fishbum, 1988].

По поводу этого критерия, как и каждой другой нелинейной модели, возникают вопросы о монотонности относительно стохастического доминирования (первого и второго) и неприятии риска. Как и в модели ожидаемой полезности, в ее обобщениях эти свойства обеспечиваются теми или иными условиями на участвующие в представлении критерия функции. В разделе 5.3 рассказывается об общем подходе к этим вопросам. В частности, условия монотонности для взвешенной полезности получены в примере 5.1.

Более общий критерий со свойством промежуточности дается следующей моделью. Рассмотрим уравнение относительно у



(5-2)

где г(х, у) — непрерывная функция двух переменных, г(х, х) = 0. В качестве ?ДА) берется решение этого уравнения. Функция г может быть выбрана так, чтобы решение уравнения (5-2) существовало и было единственно для любого распределения. Заметим, что это решение равно детерминированному эквиваленту А. Например, достаточное условие единственности решения — монотонность г по второму аргументу.

Критерий (5-2) порождает кривые безразличия, подобные изображенным на рис. 5.1. Легко видеть, что здесь выполнена аксиома промежуточности (В_). Пусть детерминированные эквиваленты альтернатив А и В одинаковы и равны с. Рассмотрим смешанную альтернативу (АВ) , которой соответствует функция распределения pFA+(l- p)FB. Имеем



т.е. детерминированный эквивалент смешанной альтернативы тоже равен с.

Следующая теорема устанавливает связь между аксиомой промежуточности и критерием (5-2).

Теорема 5.2. Пусть У — полное упорядочение на А. Оно удовлетворяет условиям непрерывности (С), монотонности относительно первого стохастического доминирования (М,) и промежуточности (В?) тогда и только тогда, когда существует функция г(х, у), г(х, х) = 0, возрастающая по первому аргументу, непрерывная по обоим аргументам, такая, что в качестве критерия ?(А) можно взять решение уравнения (5-2) относительно у. Это решение единственно для любой FA (х).

Эта теорема следует из результатов Смоляка [Смоляк, 1983] или Дикеля [Dekel, 1986], как демонстрируется в разделе 12.3.

Условие возрастания г(х, у) по первому аргументу соответствует монотонности относительно первого стохастического доминирования. Можно показать, что для наличия свойства неприятия риска (RA) достаточно потребовать вогнутости г(х, у) по х для любого фиксированного у [Dekel, 1986] (см. упражнение 5.5).

Отметим, что критерий взвешенной полезности (5-1) является обобщением функции ожидаемой полезности. В этом легко убедиться, положив в (5-1) ? = 1. В свою очередь, критерий (5-2) обобщает взвешенную полезность (5-1). Если V — функция взвешенной полезности вида (5-1), то А - В тогда и только тогда, когда

jw(x)dFA(x)- jv(y)dFg(y)- jv(x)dFA(x)- jw(y)dFB(y) О = ?(А) - ?(В) = --Л-

?(х)^д(х) v(y)c(Ffl(y)



что в силу положительности ? равносильно положительности числителя этого выражения,

О = jw(x)dFA(х)• jv(y)dFfl(y)- jv(x)dFA(x)- jw(y)dFB(y) = jj[ w(x)v(y) - w(y)v(x)] dFA (x)dFB (y).

Если считать В альтернативой, состоящей в детерминированном получении денежной суммы у, то FB = Е? (вырожденной в точке у функции распределения), и написанное выражение превращается в

|( wCOv(y) - ??(у)?(л)) dFA СО = 0.

Таким образом, выбор эквивалентен выбору по критерию вида (5-2) с функцией г(х, у) = ??(х)?(у) - ??(у)?(х).

Критерий (5-2) может рассматриваться как частный случай следующей более общей модели [Fishbum, 1988]. Наложим на функцию г еще условие антисимметричности, г(х, у) = -г(у,х). Пусть ХА и Хв — случайные величины, соответствующие альтернативам А и В. Будем считать ХА и Хв независимыми. Определим отношение предпочтения следующим образом:

А У В тогда и только тогда, когда

Ег{ХА,Хв)= ^r{x,y)dFA{x)dFB(y)> 0. (5-3)

Функцию г(х,у) часто интерпретируют как функцию сравнительного огорчения/радости (regret/rejoice function) от получения денежной суммы х по сравнению с суммой у. Представим себе две лотереи с величинами выигрышей ХА и Хв, реализуемые независимо. Левая часть (5-3) представляет собой среднее огорчение/радость лица, выбравшего из двух лотерей А и В первую лотерею и наблюдающего исходы розыгрыша двух лотерей одновременно. Если реализовавшийся выигрыш в выбранную им лотерею А меньше, чем реализовавшийся выигрыш в отвергнутую лотерею В, индивидуум огорчается, испытывает досаду и т.д., — и наоборот в случае, когда выигрыш в А больше.

Очевидно, левая часть (5-2) получается из интеграла в (5-3), если подставить вместо FB распределение Е .

Заметим, что сравнение альтернатив согласно модели (5-3) может порождать и нетранзитивные предпочтения. Естественно, тогда У уже не будет полным упорядочением. Возможность представления нетранзитивных предпочтений приобретает некоторый смысл в свете таких эмпирических феноменов, как описанный в главе 4 “переворот предпочтений”. Прямые на рис. 5.1 соответствуют множествам альтернатив, одинаково оцениваемых в деньгах. Однако при сравнении разных альтернатив из двух таких множеств предпочтение может меняться на противоположное.

Теории со свойством промежуточности привлекательны тем, что кривые безразличия остаются отрезками, как и в случае ожидаемой полезности. Это хорошее аналитическое свойство. В то же время эти теории способны объяснять такие парадоксы, как описанные в разделах 4.1 и 4.2 (см. упражнения). Однако другие эксперименты указывают нарушения промежуточности [Camerer, 1995]. В частности, описанные в этом разделе модели не учитывают важного эффекта искажения вероятностей при восприятии. Они используют “настоящие”, неискаженные вероятности. Модели с трансформациями вероятностей рассматриваются в следующем разделе.

5.2

Ранговая полезность

Исследования, показывающие искажения вероятностей при восприятии лотерей, начали появляться еще с конца 1940-х — начала 1950-х гг. (по поводу обзора см.: [Camerer, 1995]). Типичное заключение таких исследований состоит в том, что люди часто преувеличивают малые вероятности (меньше 0,2) и преуменьшают большие (больше 0,5). (Эти данные, конечно, относятся в основном к обычным людям, а не к профессионалам в области оценки рисков, таким, как специалисты по инвестициям, букмекеры или актуарии.)

Разновидности модели ранговой полезности (rank-dependent utility) используют вместо “настоящих” вероятностей некоторые веса (decision weights), отражающие представление о вероятности, возможности или, шире, “психологическом весе” исходов лотерей. Привлечение внимания к тому или иному исходу увеличивает его “вес”. Теория ранговой полезности предполагает, что на веса может влиять положение, или ранг, исхода среди других возможных исходов.

Например, при оценке лотерей крайние (наибольшие, наименьшие) возможные исходы могут привлекать большее внимание, чем промежуточные. По-видимому, при первичном восприятии какого-либо явления человеческое сознание пытается сначала оценить его потенциальную значимость или масштаб, отнести к категории крупных или мелких, заслуживающих или не заслуживающих внимания. Для этого сознание, так сказать, “ставит флажки”, и крайние исходы играют роль таких флажков. Этим определяется их субъективная важность. Например, рекламы лотерей преподносят самый крупный выигрыш яркой цифрой со многими нулями, фотографией автомобиля и пр. Это и есть флажок.

Такие позиции, как пессимизм/оптимизм, также выражают определенное перенесение внимания на наихудшие/наилучшие исходы, что отражается в придавании большего веса их возможности. Некоторые люди считают себя удачливыми, т.е. придают больший вес возможности наилучших событий из возможных. Другие, наоборот, говорят, что никогда не выигрывают в лотереи.

Рассмотрим альтернативы, для которых соответствующие случайные величины принимают значения х],х2,...,хп с вероятностями р1,р2,...,рп. Будем считать значения хІ,х2,...,хп упорядоченными по возрастанию. Правый предел значений функции распределения

FA(xi+0) = YjPJ

1

тем больше, чем больше ранг і возможного исхода xt (рис. 5.3). Таким образом, значение функции распределения может служить показателем ранга соответствующего исхода.

Рис. 5.3. Значение правого предела функции распределения как показатель положения (ранга) исхода хк среди других исходов Функция ранговой полезности была впервые введена Куиггином [Quiggin, 1982] в виде

?(Л) = 2 и(х, )[* (F, (*, +0)) - g (F„ (*,))] (5-4)

1=1

(так называемая anticipated utility), где g — некоторая строго возрастающая непрерывная функция, определенная на множестве значений функций распределения — отрезке [0,1] — так, что g(0) = 0, g(l) = 1.

Аксиоматические обоснования этого вида критерия довольно сложны и трудны для какой-либо содержательной интерпретации. Мы прибегнем здесь к простой иллюстрации, предложенной Десидью и Ваккером [Diecidue, Wakker, 2001].

Назовем общей моделью взвешивания (general weighting model) модель (1-14), введенную в главе 1,

?(А) = ?>(*,)*„ (5-5)

і=і

где — некоторые неотрицательные веса, такие, что их сумма равна единице. Эта модель при пі = pj дает функцию ожидаемой полезности. Более того, оказывается, что она приводит к критерию ожидаемой полезности и в случае, когда пі есть функции от вероятностей рп пі =л(рі), если дополнительно потребовать монотонности предпочтений относительно первого стохастического доминирования (М,). Другими словами, нельзя ввести веса такого типа — просто пребразо-вания вероятностей р; — так, чтобы критерий остался монотонным (упражнения 5.6, 5.7). С другой стороны, критерий (5-4), оперирующий с накопленными (кумулятивными) вероятностями, является мо-тононным для любых монотонных функций и и g (пример 5.2 ниже). В этом его преимущество.

Оказывается, что если веса исходов определяются, кроме их вероятностей, только характеристикой ранга (функцией распределения), то мы приходим к модели ранговой полезности.

Предположим, что в рамках модели (5-5) выполняется (М,) и следующее требование “зависимости от ранга” (rank-dependence). (RD) Вес пі исхода xt зависит только от его вероятности рі и от характеристики его ранга FA(xi +0) = ^ рг

Тогда нетрудно показать, что (5-5) превращается в (5-4).

Действительно, согласно (RD), вес наилучшего исхода хП лп - лп Pj j = яп(рп,\), т.е. зависит только от его вероятности.

Введем функцию w(p), равную весу исхода хп в том случае, когда он является наилучшим и имеет вероятность р, т.е. w(p) -пп{р,\). Рассмотрим лотереи

Ч • • *ы х,. . х ^

•• ^Лп • Pi-1 Рі • •• Рп; ч ••• х. .. \

^уп ,р> ••• Р,-1 0 0 Рі+- ¦+Рп; Так как сумма всех весов 7ij для первой лотереи равна единице,

Яі+...+яп

Для второй лотереи веса первых /-1 исходов, согласно (RD), совпадают с пх,...,пі_х, а вес наилучшего исхода хп есть

^w(Pi +•••+ Рп) = I^-Я^-,-! -•¦—7Гу

Таким образом,

w(p,+...+ />„) = ЯГ. +...+ 7Гп,

откуда

Щ = w(Pi+...+ pn)~w(pM+...+ рп).

Определив функцию g равенством I-g(p) = ??(І-р), получаем Щ = §(Рі +•••+ Рі)~8(Рі +•¦•+ Pi-1)>

т.е. веса имеют такой же вид, как в модели ранговой полезности (5-4).

Для произвольных распределений функцию ранговой полезности (5-4) можно записать следующим образом. Так как функция g возрастает и взаимно-однозначно отображает отрезок [0,1] в себя, композиция функций g о F(x) - g(F(x)) также является функцией распределения. Поэтому (5-4) можно переписать в виде математического ожидания по этой трансформированной функции распределения:

Л-t-O»

I u(x)d(g°FA(x)).

(5-6)

?(А) =

В таком виде модель применима для оценки любых распределений, в том числе непрерывных и смешанных.

Обобщения этой модели [Green, Jullien, 1988; Segal, 1989] используют следующую аксиому ординальной независимости (ordinal independence).

(ОІ) Для любых А, В, А', В'Е А и любого х0 если FA(x) - FA.(x), FB(x) = FB.(x) для х<х0 и Fa(x) = Fb(x), Fa.(x) = FB.(x) для х>х0, mo(FAhFB)<=>(FA.tFB.).

Вероятно, эту аксиому проще сформулировать словами: если две функции распределения совпадают на некотором множестве, то их одновременное изменение на этом множестве, сохраняющее равенство, не изменяет предпочтения. В сформулированной аксиоме FA и FB — исходные варианты функций распределения, FA- и FB. — измененные на множестве {х: х > х0}.

Для формулировки соответствующего утверждения понадобится еще следующее техническое условие “гладкости”. Обозначим через Аа1 лотерею, в которой возможны два исхода: -М с вероятностью ant с вероятностью 1 -а. Обозначим через c(t,a) детерминированный эквивалент такой лотереи, т.е. сумму, получение которой безразлично с розыгрышем Aal: Аа1 ~c(t,a). Условия нижеследующей теоремы гарантируют единственность c(t,a) (см. по этому поводу обсуждение предыдущей теоремы в разделе 12.3). Условие гладкости заключается в том, что c(t,a) предполагается дифференцируемой функцией двух переменных.

Теорема 5.3. Пусть У — полное упорядочение, удовлетворяющее аксиомам (С), (М,), (ОІ) и условию гладкости. Тогда существует сохраняющая предпочтения функция, имеющая вид



(5-7)

где 1і(х, р) — некоторая непрерывная функция двух переменных, убывающая по второму аргументу.

Доказательство приведено Грином и Джулиеном [Green, Jullien, 1988]. Близкое утверждение доказано в работе Сигала [Segal, 1989]. По поводу этого критерия см. упражнения 5.8, 5.9.

Условие убывания h(x, р) по второму аргументу есть условие монотонности критерия относительно первого стохастического доминирования. Что касается неприятия риска, то Грин и Джулиен приводят следующее условие. Предположим, что функция h(x, р) дважды дифференцируема и имеет непрерывные вторые производные. Тогда необходимые и достаточные условия неприятия риска есть (см. упражнение 5.11)







В разделе 6.4 изучается теория, которую можно рассматривать как развитие ранговой полезности. В частности, пример 6.4 демонстрирует объяснение парадокса Аллэ при помощи модели (5-4).

5.3

* Локальная полезность и стохастическое доминирование

В рамках модели ожидаемой полезности возрастание функции полезности денег и(х) обеспечивало выполнение (М,), возрастание и вогнутость — выполнение (Ми). В отношении моделей выбора в условиях риска, обобщающих ожидаемую полезность, возникает тот же вопрос о свойствах участвующих в них функций, обеспечивающих монотонность порождаемых предпочтений относительно первого и второго стохастического доминирования.

В этом разделе вводится метод, позволяющий дать такой же простой ответ на вопрос о свойствах нелинейных моделей, рассмотренных ранее в этой главе. Этот метод был впервые предложен Мачиной [Machina, 1982]. Оказывается, что рассуждения раздела 3.3 можно обобщить на нелинейный случай.

Рассмотрим, как и в разделе 3.3, решеточные распределения на

конечном числе точек, имеющие вид

Значение

х, ... х„'

Вероятность

Рх ••• Рп)

где х1<...<хп, причем х,,...,хл равноудалены друг от друга, т.е. хі+1 - Х} = const.

Пусть V(F)-V(pl,...,pn) — некоторая нелинейная функция полезности. Из математического анализа известно, что если эта функция дифференцируема, то ее приращение можно представить в виде, аналогичном (3-6) в разделе 3.3,

(5-9)

?(Г)-?(Г0) = ?И/ДР;+о(|Др|),

dV(F )

где Uj =—⁰ , Д pj = Pj - p°j, p] — вероятности, соответствующие

распределению F0, ||Др|| =-у/(Др,)²+...+ (Дрп)².

Для малых Ар знак разности в левой части (5-9) определяется знаком главного линейного члена, или дифференциала, стоящего в правой части. Можно показать, что здесь имеет место та же ситуация, что и в теоремах анализа о монотонности функций. Положительность разности в левой части для всех F и F0, таких, что (например) F доминирует F0, равносильна положительности дифференциала для всех таких распределений.

Вопрос о знаке дифференциала

Е^М;^АЛ

і=1

уже рассматривался в разделе 3.3. Знак этого выражения определяется коэффициентами Uj. Для выполнения (М,) необходимо и достаточно выполнения неравенства uk+i >uk для всех к, а для выполнения (М„) — неравенства ик+1 -ик <ик -ик_г

В случае ожидаемой полезности коэффициенты были равны значениям функции полезности денег в соответствующих точках,

д?Еит

dPj

= и(хк). Тогда первое условие на коэффициенты равно

сильно возрастанию функции полезности денег, второе — ее вогнутости. Обобщая на случай нелинейной полезности, следуя Мачине [Machina, 1982, 1987], определим локальную функцию полезности денег и(х\ F0) равенством

^u(xk',F0).

dV(F0)

дрк

Свойства монотонности предпочтений в нелинейных моделях характеризуются свойствами локальной функции полезности денег точно так же, как свойства монотонности предпочтений в линейной модели — свойствами “обычной” функции полезности денег н().

Локальные функции полезности денег были введены на решеточных распределениях, однако это было сделано только для наглядности. Тот же факт справедлив и для произвольных распределений. Правда, в случае, когда распределения не ограничены дискретными, определение локальной функции полезности денег требует более сложного математического аппарата. Мы перейдем к этим проблемам после примера.

Пример 5.1. Взвешенная полезность. Определим с помощью описанного выше метода условия монотонности для функции взвешенной полезности (5-1). Для дискретных F взвешенная полезность имеет вид

X і^?^р

Продифференцируем:

^ЭР* (І,?(х,)р,)^:

Таким образом, локальная функция полезности денег имеет вид

w(x)-V(F0)-v(x)

I>(*,V

(5-10)

u{x\F0)

Действительно, при подстановке в это выражение х = хк получается выражение для производной, и это верно для любых к. Поэтому так определенная функция удовлетворяет определению как локальная функция полезности денег.

Для монотонности относительно первого (второго) стохастического доминирования нужно выбрать функции w{x) и ?(х) так, чтобы при всех F0 функция и(х; F0) была возрастающей (возрастающей и вогнутой) функцией от х В частности,

u'(x;F0)

u'(x;F0)

w'(x)-V(F0)'v'(x).

W\x)-V(F0)-v\x)

X,^v(x.><°

Поэтому для положительности первой производной и отрицательности второй достаточно выбрать такие положительные функции \?{х) и ? (х), что w >0, ? < 0, w” <0, ?” > 0.

В общем случае, когда распределения не обязательно дискретны, локальную функцию полезности денег можно определить при помощи операции взятия дифференциала в абстрактных пространствах.

Назовем функцию V(F) дифференцируемой по Гато в точке F0, если существует функция и(х\ F0), такая, что для любого распределения F

-^V((l-a)F0+aF) ^ = J u(x-F0)d{F(x)-F0(x)). (5-11)

Именно так определяется локальная функция полезности денег в общем случае. Например, для ожидаемой полезности

-^VEU((l-a)F0(x) + aF(x)) j^(l-flr) ^u(x)d.F0{x) + a ^u{x)dF{x) = J«UW(FU)-F0W). Таким образом, функция ожидаемой полезности дифференцируема по Гато и, как и следовало ожидать, ее локальная функция полезности денег совпадает с и{х).

Величина в правой части (5-11) представляет собой главную часть приращения, или дифференциал в смысле Гато. В случае дискретных распределений этот дифференциал совпадает с дифференциалом в правой части (5-9) (упражнение 5.12).

Сформулируем основное утверждение этого раздела, обобщающее теорему из раздела 3.3.

Теорема 5.4. Пусть функция V дифференцируема по Гато, и пусть и(-; F0) — ее локальная функция полезности денег, определяемая равенством (5-11). Тогда

(а) для выполнения (М,) необходимо и достаточно возрастание «(¦; F0) для любого F0;

(б) для выполнения (М„) необходимы и достаточны возрастание и вогнутость u(-;F0) для любого F0;

(в) для выполнения (RA) необходима и достаточна вогнутость м(-; F0) для любого F0.

Это утверждение, как и его аналог из раздела 3.3, справедливо для произвольных распределений, а не только для решеточных, рассмотренных выше лишь для наглядности. Оно было доказано Мачи-ной [Machina, 1982] при более сильном условии дифференцируемости по Фреше. То, что здесь достаточно дифференцируемости по Гато, было замечено в работе Чью, Карни и Сафры [Chew, Kami, Safra, 1987].

Пример 5.2. Ранговая полезность. Покажем, что если и(х) и g(p) — дважды дифференцируемые, возрастающие и вогнутые функции, то функция ранговой полезности (5-6) монотонна относительно первого и второго стохастического доминирования.

Подставим функцию (5-6) в (5-11), проинтегрируем по частям и продифференцируем.



=-4Au(x)g((\-a)F^x) + aF{x)) -M 8' ((1 - a)F0 (х) + aF(x)) (F(x) - F0 (x)) u\x)dx.

Подставив в последнее выражение для производной or = 0 и интегрируя по частям, получим





(F(x)-Fo(x))0(x)dx= Q(x)d(F(x)-F0(x)),

где ?(х) = g'(F0(x))u'(x),e(x) = J 0(y)dy.

Итак, ?(дг) представляет собой локальную функцию полезности денег, определенную в точке F0. Ее производные

?' = ? = g'u';

?' = & = g'u' + g'u'.

Если функции g и и возрастающие, то g' >0, и > 0, и ?' > 0. Если, кроме того, g и и вогнуты, то g'<0, и'< 0, поэтому ?'<0. Для доказательства монотонности достаточно теперь воспользоваться сформулированной выше теоремой.

5.4

* Нетрадиционное дисконтирование

Среди отмеченных в разделе 4.5 парадоксов выбора среди последовательностей платежей (межвременного выбора) было снижение дисконтной ставки со временем. В связи с этим некоторые авторы предлагали другие формы дисконтирующей функции, отличные от традиционной показательной формы.

Рассмотрим следующее обобщение модели дисконтированной полезности. Пусть хпх2>... — последовательность платежей, происходящих в моменты tvt2,... соответственно. Пусть критерий оценки таких последовательностей имеет вид

У = ?и(**жи (5-12)

/Ы

где ф(і) — некоторая дисконтирующая функция.

В традиционном случае дисконтирующая функция имела показательный вид

n =?\ (5-13)

где г — сила роста, или доходность с непрерывным начислением, ?-е~^г — коэффициент дисконтирования в расчете на период единичной длительности.

В ряде работ предлагались гиперболические дисконтирующие функции. Например, рассматривались функции

т=-\

t

<к о=-

1 + at

(см.: [Шустер, 1969]).

Общая форма гиперболической дисконтирующей функции имеет вид

1

т=

(5-14)

(l + at)^b

где а,Ь> 0. Соответствующая модель была аксиоматизирована Пре-лецем [Ргеіес, 1989].

Рассмотрим модель (5-12) в свете “эффекта общей разности”, описанного в разделе 4.5 и состоящего в том, что люди воспринимают одну и ту же разницу во времени между платежами как более значительную, если она относится к более близкому времени.

Допустим, что некий индивидуум безразличен между получением суммы х немедленно (в момент 0) и получением суммы у, большей х, в некоторый момент s >0. Исходя из (5-12), можно записать

и(х) = u(y)0(s).

Отсрочка обоих платежей на одинаковое время приводит к изменению предпочтения в пользу большего из них, т.е. у. Чтобы сохранить безразличность двух платежей, больший из них должен быть отсрочен на большее время. Если время отсрочки платежа размером х принять за истинное время отсрочки обоих платежей t, то эквивалентное время отсрочки платежа размером у составит некоторую функцию от начальной его отсрочки s и от t. Обозначим ее f(s,t). Как может выглядеть эта зависимость? Простейшее предположение в этом отношении следующее: эквивалентное время отсрочки большего платежа получается из s добавлением времени, прямо пропорционального времени отсрочки меньшего платежа. Это означает, что индивидуум воспринимает оба платежа “в разном времени”, но “часы”, соответствующие обоим платежам, как бы идут с постоянными скоростями. Соотношение этих скоростей выражается некоторым коэффициентом, который обозначим k-k(s). В таком случае функция / линейна,

f(s,t) = s + kt.

Эквивалентность платежей при отсрочках можно тогда выразить условием

(и(х) = u(y)0(s)) => (нЩО = U(y)0(s + k(s)t)). (5-15)

Оказывается, что единственные функции ф, удовлетворяющие этому условию, — это экспоненциальная (5-13), соответствующая крайнему случаю к = 1, и гиперболическая (5-14). (В последнем случае, как нетрудно видеть, & = 1 + as.) Ниже приводится доказательство этого факта, сообщенное автору С.А. Смоляком.

Из (5-15) легко вытекает, что ф{$) - ф($ + k(s)t)/ф{г), или

ф(1)ф(з) = ф(8+ k(s)t). (5-16)

Меняя s и / местами, получим ф{8)ф{г) - ф[г + k(t)s). Поскольку ф — строго убывающая функция, отсюда

s + k(s)t -t + k(t)s,

поэтому

k(s)~ 1 _ k(t)-l s t

Это возможно при произвольных s и (, только если обе части этого равенства являются некоторой константой а. Тогда k(s) = l + as. Но k(s)>0, поэтому а> 0. Рассмотрим два случая.

1. Случай а = 0. Тогда k(s) = 1 ив силу (5-16)


Единственная монотонно убывающая функция, удовлетворяющая этому условию, имеет вид ф($) - e~^b', b > 0 (по поводу доказательства см., например: [Ротарь, 1992]).

2. Случай а> 0. Согласно (5-16),

ф(і)ф{8) = 0(s +1 + ast).

Тогда функция / — убывающая, и

Обозначим f(s) = ф

У ^a J

ф{$) ~ /(ln[l + os]). Теперь имеем

/ (ln[l +a/])/(ln[l +as]) = /(ln[l+ a(s-К + as!)]) = / (ln[l + as] + ln[l + at\).

Так как s и t — произвольные положительные числа, обозначая x = ln[l + as] и y = ln[l + ar], получаем

f(x)f(y) = f(x+y)

для любых положительных дг и у. Следовательно, f(x) = e~^bx, Ь> 0. Тогда 0(s) = /(ln[l + as]) = (l + as)^_i, что согласуется с (5-14).

Левенштейн и Прелец [Loewenstein, Prelec, 1992] предлагают объ* яснение ряда парадоксов, описанных в разделе 4.6, при помощи модели вида (5-12). Теория этих авторов, по-видимому, испытала влияние теории проспектов, излагаемой ниже, в разделе 6.4. В частности, предлагаемая авторами функция и в (5-12) имеет такой же вид, как изображенная на рис. 3.5, и выражает полезность не абсолютных уровней богатства, а приращений/потерь по отношению к некоторому исходному уровню (как правило, уровню статус-кво, т.е. текущему уровню богатства при отсутствии каких-либо перемен).

5.5

Упражнения к главе 5

Упражнение 5.1. Проверьте, что из аксиомы (WS) следует, что кривые безразличия имеют вид, показанный на рис. 5.2.

Указание. Выберите А и В так же, как на рис. 3.2. Задайте произвольные (но не равные) значения р и q. Выбрав две точки С и С', проведите две прямые: одну через точки (АС)р и (BC)q, другую через точки (АС')р и (BC')q. Проверьте, что эти прямые пересекают прямую АВ в одной и той же точке.

^Упражнение 5.2. Покажите, что критерий взвешенной полезности удовлетворяет аксиоме (WS).

Указание. Взяв три функции распределения, F, G, Н, F - G, запишите разность взвешенных полезностей V(pF+(l-p)H)-V(qG+(l-q)H)=0 и преобразуйте, пользуясь тем, что взвешенные полезности F и G равны, так, чтобы все члены с Н сократились. Выраженное из получившегося выражения q будет не зависящим от Н искомым числом.

5.5

Упражнения к главе 5

Упражнение 5.3. Покажите, что критерий взвешенной полезности (5-1) может порождать такие предпочтения, как в примере парадокса Аллэ (раздел 4.1) (подберите соответствующим образом функции и и ??).

Упражнение 5.4. Какие примеры предпочтений из главы 4 можно объяснить моделью (5-2)?

Упражнение 5.5. Частичное неприятие риска для критерия (5-2). Пусть г(х, у) вогнута по х для каждого фиксированного у. Покажите, что тогда лотерея, в которой можно выиграть С - А и С + Л с равными вероятностями, всегда менее предпочтительна, чем получение суммы С без риска.

Упражнение 5.6. Рассмотрим на множестве лотерей с двумя исходами критерий V = и(х1)ж(р1) + и(х2)ж(р2), где хрх2 — исходы лотереи, р? р2 — их вероятности, и — непрерывная возрастающая функция. Покажите, что если ж — нелинейная функция, то критерий не монотонен относительно первого стохастического доминирования. Указание. Предположим, что ж вогнута. Сравните лотереи с детерминированным выигрышем х и выигрышами х-е их, ?>0.

Упражнение 5.7. Рассмотрим на множестве лотерей с тремя исходами критерий V = и(х1)ж(р1) + и(х2)ж(р2) + и(хі)(і-ж(р1)-ж(р2)], где хрх2,х3 — исходы лотереи, р? р2 — вероятности первого и второго исходов, и — непрерывная возрастающая функция. Покажите, что если ж — нелинейная функция, то критерий не монотонен относительно первого стохастического доминирования (используйте предыдущее упражнение).

Упражнение 5.8. Покажите, что аксиома ординальной независимости (01) слабее аксиомы независимости (І?).

Упражнение 5.9. Покажите, что критерий (5-7) обобщает критерий (5-6) и, следовательно, критерий ожидаемой полезности.

Указание. Подставьте мультипликативную форму h(x, р) = w(x)r(p) и используйте интегрирование по частям.

Упражнение 5.10. Покажите, что критерий (5-4) удовлетворяет аксиоме (01).

Упражнение 5.11. Действуя как и в примере 5.2, получите следующее выражение для локальной функции полезности денег критерия

(5-7): u(x',F0)-- I (у,F0(y))dy, где — частная производная h J-M

по второму аргументу. Получите отсюда достаточность условий (5-8) для неприятия риска в модели ранговой полезности.

Упражнение 5.12. Пусть F и F0 — два распределения на конечном наборе точек хг...,хп. Пусть F соответствуют вероятности р?...,рп, а F0 — вероятности р°,...,р°. Тогда смесь (1 -a)F0 + aF характеризуется вероятностями (1-а)р° +ар?...,(1-а)р° + арп. Подставьте это в (5-11) и получите выражение для дифференциала, совпадающее со стоящим в (5-9).

Упражнение 5.13. Докажите следующее утверждение. Пусть У — полное упорядочение на множестве лотерей А, таких, что |ХД|<Л/, удовлетворяющее условиям непрерывности (С) и монотонности (М,). Тогда для каждой лотереи можно указать детерминированный эквивалент, причем единственный.

Указание. См. рассуждение по поводу теоремы 5.2 в разделе 12.3.

глава

выбор в УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Задача выбора при неопределенности — более общая, чем задача выбора в условиях риска. Здесь действительные вероятности событий уже не считаются известными. Их роль играют субъективные вероятности или, в более общем случае, некоторые "веса”.

6.1

Субъективные вероятности при наличии физических

В предыдущих главах были рассмотрены теории выбора в условиях риска. В них исходной информацией для выбора были заданные вероятности (вероятностное распределение) результатов. В этой главе будет использоваться общая схема принятия решений при неопределенности, введенная в разделе 1.6. В этой схеме физические вероятности событий уже не считаются известными. Однако предпочтения субъекта могут соответствовать случаю, когда выбор производится на основе оценки субъектом субъективных вероятностей событий. Теории этого и следующего разделов исследуют условия, при которых структура предпочтений именно такова. Энскомб и Ауманн [Anscombe, Aumann, 1963] предложили подход, позволяющий распространить модель ожидаемой полезности главы 3 на этот случай.

В разделе 1.6 были введены понятия физических (или статистических) и субъективных вероятностей. Предположим, что один и тот же субъект принимает решения в ситуациях двух типов — при известных и неизвестных физических вероятностях. Такие ситуации удобно условно описывать в терминах азартных игр. Назовем лотереей-рулеткой (roulette lottery) экономическую ситуацию, в которой получение дохода (выигрыша) определяется физическими вероятностями (можно рассчитать шансы, как при игре в рулетку). Напротив, беговой лотереей (horse lottery) назовем ситуацию, в которой получение дохода определяется событиями с неизвестными вероятностями. Конечно, эти термины условны, и их можно относить к любым экономическим ситуациям того или иного типа. Очевидно, законы выбора, отношения к риску и прочие должны иметь много общего для ситуаций, когда один и тот же субъект участвует в играх первого и второго типов. Это соображение и является отправной точкой теории Энскомба и Ауманна.

Введем, как и в разделе 1.6, множество состояний природы S = {$} и функции, отображающие S в некоторое пространство результатов X. Эти функции представляют принятые решения или сделанный выбор. Будем считать, что выбор должен быть сделан до реализации того или иного состояния природы и сделанный выбор никак не влияет на возможность реализации того или иного состояния. Множество возможных функций-решений будем обозначать Т, а его элементы — f,g и т.д.

Пример 6.1. В забеге участвуют три лошади с именами Альфа, Бета и Гамма. Фаворитом считается Альфа (выдача 1,5:1, т.е. на 1 руб., поставленный на эту лошадь, в случае ее победы можно выиграть 1,5 руб.). Для ставок на Бету выдача 2,5:1, на Гамму — 5:1. Игрок решает, на какую лошадь поставить 100 руб. Пусть X — множество возможных чистых выигрышей, / соответствует решению ставить на Альфу, g — ставить на Бету, h — на Гамму. Имеется три возможных состояния природы, влияющих на результат: 5, — выигрывает Альфа, s2 — выигрывает Бета, s3 — выигрывает Гамма (какие лошади занимают вторые и третьи места, неважно). Тогда, например, решение ставить на Альфу приводит к следующим результатам: /(s,) = 50, /(s2) = -100, /(s3) = -100. Все возможные результаты игры показаны в следующей таблице:

^2 *3 / 50 -100 -100 g -100 150 -100 h -100 -100 400 В этом примере результаты описываются в денежной форме, т.е. X состоит из чисел, однако это совершенно не обязательно — форма описания результатов может быть любой.

Ниже мы введем на множестве Т отношение предпочтения У, являющееся полным упорядочением, и связанные с ним отношения >- и

Теория Энскомба и Ауманна [Anscombe, Aumann, 1963] основана на требованиях согласованности выбора субъекта в ситуациях первого и второго типа, т.е. в лотереях-рулетках и беговых лотереях. Если предпочтения субъекта действительно согласованы, то можно использовать события с физическими вероятностями для “калибровки” субъективных вероятностей, предполагаемых субъектом.

Например, пусть в приведенном выше примере с лошадьми субъект безразличен между альтернативами (А) поставить 100 долл, на Альфу и (В) в игре в рулетку поставить 50 долл, на первые 12 номеров¹ и 50 долл, на следующие 12 номеров. Тогда, если выигрывает один из первых 24 номеров, чистый выигрыш составляет 50 долл., как и в случае ставки на Альфу. Это означает, что субъективную вероятность победы Альфы можно считать равной 24/37 (всего в рулетке 37 номеров, считая 0). Разумеется, вовсе не обязательно сопоставлять беговой лотерее именно игру в рулетку для “калибровки” вероятностей; можно вообразить себе любой другой, сколь угодно сложный вероятностный эксперимент.

Обозначим через 7Z множество лотерей-рулеток, т.е. лотерей с распределением выигрыша вида

V Р\ Рі • • • Рп) где — суммы денежных выигрышей, принадлежащие некоторому числовому интервалу [a,b~\, pt — вероятности соответствующих выигрышей.

' При станке на дюжину, если выигрыш падает на один из этой дюжины номеров, то играющий получает утроенную сумму ставки — в данном случае чистый выигрыш 100 долл.

Будем считать, что предпочтения на множестве 1Z определяются ожидаемой полезностью так, как это описано в главе 3, т.е. полезность лотереи вида (6-1) определяется формулой

П І=1 (6-2)

где и — некоторая функция полезности денег. Будем считать, что эта функция принимает свои минимальное и максимальное значения, равные соответственно нулю и единице, в крайних точках интервала значений х: и(а)-0, и(Ь)-1.

Будем считать, что беговая лотерея может иметь конечное число N возможных несовместных между собой исходов (состояний природы), которые обозначим Рассмотрим беговые лотереи, выигры

шами в которых являются лотереи-рулетки или, строго говоря, случайные величины выигрыша в лотереи-рулетки. Введем обозначение



(6-3)

для такой беговой лотереи, в которой в случае реализации состояния природы выигрыш представляет собой случайную величину с распределением Fr Можно считать, что в зависимости от реализации того или иного из состояний природы происходит розыгрыш билетов на участие в той или иной лотерее-рулетке. При этом считается, что розыгрыши призов во всех лотереях всех этапов происходят независимо один от другого.

Далее рассмотрим еще и множество 7Z* лотерей-рулеток, в которых происходит розыгрыш билетов на участие в лотереях типа (6-3). Такие лотереи будем обозначать



В лотереях этого типа сначала происходит розыгрыш типа рулетки с вероятностями р[,...,рП, приводящий к одной из лотерей типа (6-3), затем реализуется одно из состояний природы slf...,sN и определяется исход беговой лотереи, указывающий на одну из лотерей-рулеток с распределениями выигрыша F^k, и наконец, определяется окончательный выигрыш путем розыгрыша этой последней лотереи-рулетки.

Введем отношение предпочтения >:* на множестве TV. Естественно отождествлять лотереи, в которых все исходы совпадают, с самими этими исходами. Например, лотерею вида

f[F,F,...,Ff|

естественно отождествлять с лотереей-рулеткой с распределением выигрыша F. Таким образом, отношение предпочтения >:* порождает предпочтения на множестве “обычных” лотерей-рулеток TZ. Это отношение предпочтения обозначим У.

Следующие два условия описывают согласование предпочтений при комбинировании лотерей.

(А1) Если F:>z F-, то [F^,...,^,..., FN] У' [F„...,^.,...,FW].

То есть если заменить в сложной лотерее один исход на более предпочтительный, то лотерея станет более предпочтительной.

(А2) Для любых комбинированных лотерей выполняется условие

Р\



/г¹ р^п'

^г\ ¹\ F¹ Fⁿ)

^rN ¦¦¦ ^rN 1 Рі Рп . Pi ••• Рп , _ Смысл последней аксиомы в следующем. Рассмотрим сложную лотерею, стоящую в левой части соотношения безразличия. К лотерее-рулетке с распределением выигрыша F/ приводит сначала реализация j-го исхода в лотерее-рулетке с вероятностями р1,...,рп, а затем реализация г-го исхода в беговой лотерее, т.е. реализация состояния природы sr В сложной лотерее, стоящей в правой части соотношения, к лотерее-рулетке с распределением выигрыша FT приводят те же события, но в обратном порядке: сначала происходит реализация г-го состояния природы, а уже потом — реализация j-го исхода в лотерее-рулетке с вероятностями р?.р„. Аксиома утверждает, что такие сложные лотереи должны быть безразличны. Две сложные лотереи, участвующие в формулировке условия, отличаются тем, что в одной из них сначала разыгрывается лотерея-рулетка, затем беговая лотерея, а в другой — наоборот, сначала беговая лотерея, а затем лотерея-рулетка. Условие утверждает, что с точки зрения предпочтений должно быть неважно, в каком порядке разыгрываются лотереи.

Если допустить существование субъективных вероятностей q, то, поскольку реализация лотерей происходит независимо, вероятность получить на последнем этапе лотерею F/ равна qisj- pj для обеих рассматриваемых сложных лотерей. Тогда требование (А2) можно словесно переформулировать так: предпочтения зависят только от распределения окончательного результата и не зависят от приводящего к нему пути. Это фактически требование редукции, о котором уже была речь в главе 4.

Пусть существует согласованная с предпочтением У* функция V на TV. В силу (А1) беговая лотерея Я, дающая при любом состоянии природы выигрыш а, является наихудшей, а беговая лотерея Я, дающая при любом состоянии природы выигрыш Ъ_ — наилучшей. Без ограничения общности положим ?*(Н) = 0, ?*(Н) = 1.

Основной результат Энскомба и Ауманна [Anscombe, Aumann, 1963] состоит в том, что в сделанных предположениях существуют субъективные вероятности состояний природы д(5,),...,^(5л,), такие, что

N (6-4)

где V — ожидаемая полезность, определяемая (6-2).

В частности, если каждая лотерея-рулетка имеет только один возможный выигрыш Xj, то в этом случае V* оценивает беговую лотерею, в которой при реализации состояния Sj выигрывается Опишем, как и выше, выбор среди таких лотерей функциями-решениями /, полагая Xj = f(Sj). Из формулы (6-4) получается представление

N (6-5)

Критерий (6-5) представляет собой прямое обобщение критерия ожидаемой полезности для выбора в условиях риска. В случае известных физических вероятностей эти критерии совпадают.

Пример 6.2. Продолжение примера 6.1. В ситуации приведенного выше примера с тремя лошадьми положим и(-100) = -60, ц(50) = 40, м(150) = 160, ц(400) = 500. Читатель может убедиться самостоятельно, что эти точки лежат на выпуклой кривой, т.е. имеется “любовь к риску”. Предположим также, что можно каким-либо образом определить субъективные вероятности: выигрыша лошади по кличке Альфа q(s{) = 0,6, выигрыша лошади по кличке Бета q(s2) = 0,3 и выигрыша лошади по кличке Гамма q(s2) = 0,1. Тогда

у (/) = 40- 0,6+ (-60) • 0,3 + (-60) • 0,1 = 0;

V(g) = (-60)• 0,6 +160• 0,3 + (-60) 0,1 = 6;

V(h) = (-60) • 0,6 + (-60) • 0,3 + 500 • 0,1 = -4.

Поэтому индивидуум, имеющий такие денежные и вероятностные предпочтения, будет ставить на вторую лошадь (Бету).

Итак, теория Энскомба и Ауманна [Anscombe, Aumann, 1963] позволяет построить аксиоматизацию критерия (6-4) и (6-5), как его частного случая, путем добавления всего двух аксиом, (А1) и (А2), к аксиомам ожидаемой полезности раздела 3.2. Другой, более сложный, подход рассматривается в следующем разделе.

6.2

* Субъективные вероятности без физических

Сэвиджем [Savage, 1954] была построена теория выбора при неопределенности, где существование субъективных вероятностей и форма критерия выбора выводятся непосредственно из условий (аксиом) на предпочтения. Такой подход позволяет строить теорию независимо, как бы с нуля, без обращения к теории выбора в условиях риска и понятию физических вероятностей.

Ниже формулируются две основные теоремы Сэвиджа. Первая теорема дает условия возможности определить субъективные вероятности. Проблема состоит в следующем. Рассмотрим суждения некоторого лица (эксперта) о вероятности наступления тех или иных событий, например результата выступления той или иной команды в футбольном чемпионате. Допустим, команд всего три: А, В и С. Мы можем задать рассматриваемому лицу вопросы о том, что правдоподобнее из возможных событий: например, то, что в чемпионате победит команда А или команда В. Могут быть вопросы и более сложной формы, например, такой вопрос: что правдоподобнее — С займет место выше А или А выше В. Нужно сказать, что букмекерские конторы принимают ставки и на такие события; притом ясно, что выигрыш прямо зависит от правдоподобности или вероятности того или иного события. Букмекер, в частности, должен быть своего рода экспертом, который определяет эти вероятности.

Рассматриваемая же нами проблема заключается в том, чтобы по совокупности суждений о сравнительной вероятности на парах событий установить, являются ли эти представления рациональными в том смысле, чтобы можно было математически правильно задать вероятности всех событий. При этом, конечно, эти субъективные вероятности должны соответствовать представлениям о сравнительной вероятности событий.

Таким образом, наша проблема в том, чтобы с каждым событием связать число (вероятность) так, чтобы величина этого числа соответствовала представлению о вероятности наступления события. Ясно, что это не всегда можно сделать. Так, если победа команды А в чемпионате представляется более вероятной, чем победа В, победа В — более вероятной, чем победа С, а победа С — более вероятной, чем победа Л, то этого сделать, очевидно, нельзя.

Внимательный читатель заметит, что в этом примере происходит нарушение свойства транзитивности и что рассматриваемая проблема имеет много общего с проблемой исчислимости отношений предпочтения, решавшейся в главе 1. Однако проблема отыскания вероятностей более сложна. Речь теперь идет о сопоставлении числовых оценок всевозможным подмножествам некоторого множества, причем сама функция вероятности должна отвечать определенным вероятностным свойствам. Перейдем к формулировкам.

Пусть снова S — множество состояний природы (сценариев). Подмножества S будем называть событиями. Введем отношение сравнительной вероятности Ур на событиях: утверждение “событие 5, не менее вероятно, чем событие S2 ” будем записывать как 5, >ipS2. Будем считать, что отношение У задано на всех событиях. Считая Ур полным упорядочением, свяжем с У отношения >-р и ~р обычным образом, как описывалось в главе 1.

Нижеследующая теорема устанавливает условия, при которых существуют согласованные с Ур субъективные вероятности событий, т.е. для каждого события S может быть определено единственное число q(S)e [0,1], такое, что выполнены следующие условия.

(а) (5, ypS2 ) <=> (q(S,) > q(S2)).

(б) q(S) = \.

(в) для непересекающихся событий S, и S2 q(SluS2) = q(Sl) + q(S2).

Если для всех событий заданы q, отвечающие условию (в), то говорят, что на событиях задана конечно-аддитивная мера q. Для того чтобы конечно-аддитивная мера q была вероятностной мерой (вероятностью), нужно, помимо (б), чтобы условие (в) выполнялось не только для конечных, но и для счетных наборов событий (так называемая счетная аддитивность). При этом вероятность определяют обычно не на всех подмножествах, а лишь на некотором наборе (так называемой сигма-алгебре) множеств, где удается определить ее так, чтобы выполнялось условие счетной аддитивности.

Теорема 6.1 (Сэвиджа о субъективной вероятности). Пусть отношение Ур удовлетворяет следующим условиям. Для любых S,, S2, Si G S (G1) 5^0;

(G2) S, tp0;

(G3) >р — слабое упорядочение;

(G4) ((5, uS2)nS3 = 0) => ((5, >pS2) <=> (S, uS3 ^52uS3));

(G5) если S, Ур S2, то существует конечное разбиение 1Z множества S, такое, что для любого Rg 7Z S, > S2^jR.

Тогда существует единственная согласованная с Ур система субъективных вероятностей q. При этом для любого события S и любого числа (XG [0,1] можно указать событие S, такое, что q(s) = ttq{S).

Доказательство можно найти в ряде работ: [Savage, 1954; Фишберн, 1978; Fishburn, 1988].

Основной содержательной аксиомой в этом представлении является (G4). Условие (G4) говорит о том, что если S, кажется более вероятным, чем S2, то событие (5, или 53) должно казаться более вероятным, чем (S2 или S3) для любого 53, не пересекающегося с S, и S2. Обратите внимание на сходство этого условия с условием аддитивной сепарабельности функций полезности на векторах, приводившимся в главе 1. В данной теореме условие (G4) обеспечивает аддитивность вероятности.

Последнее утверждение теоремы говорит о бесконечности множества S. Более того, мера q не может быть атомической, т.е. сосре-

доточенной на счетном множестве С S. Это является след

ствием условия (G5) теоремы.

Например, предположим, что q приписывает состояниям {5,,...,s,,,...} вероятности 1/2,1/4,1/8,...,1/2'',... Тогда имеет место отношение s3 yps4. Для выполнения (G5) необходимо разбить множество S на события, мера каждого из которых была бы меньше 1/16, что невозможно. Легко видеть, что такое же рассуждение справедливо в случае, когда веса иные. Таким образом, S должно быть более чем счетным, а мера q — не атомической.

В практических задачах выбора часто множество состояний природы конечно. Сэвидж указывал, что конечное пространство S всегда можно подходящим образом расширить. Другой путь — аксиоматизация субъективной вероятности непосредственно для конечного пространства S, которую можно найти в работе Крафта, Пратта, Зейден-берга [Kraft, Pratt, Seidenberg, 1959].

То, что построенная в теореме 1 мера q не является счетно-аддитивной, вызывает определенные сомнения в ее трактовке как вероятностной меры. Однако, в сущности, это технический вопрос. В работе Виллегаса [Villegas, 1964] было предложено дополнить аксиомы Сэвиджа условием монотонной непрерывности: для любых 5, С S2 С... и S = U( S-

(s0 ypS, ДЛЯ всех г) => (S0 У S).

Тогда мера q становится вероятностью (однако в этом случае уже нельзя определять ее на всех подмножествах S).

Перейдем ко второй теореме Сэвиджа. Пусть, как и в главе 1, принимаемые решения описываются функциями, отображающими S в некоторое множество результатов X. Теорема Сэвиджа устанавливает условия существования на S, во-первых, субъективных вероятностей q, во-вторых, функции полезности результатов и, определенной на X, таких, что критерий выбора имеет вид субъективно взвешенной ожидаемой полезности. Для функции-решения /

V(f) = Eq(f)= jsu(f(s))q(ds). (6-6)

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства — так называемый интеграл Лебега по мере q. Его можно понимать как среднее или математическое ожидание по этой мере. Это значение подчеркивается обозначением Е^. Мера q обладает всеми основными свойствами вероятностного распределения, за исключением того, что, вообще говоря, она является не счетно-аддитивной, а конечно-аддитивной. Интеграл по такой мере тоже обладает основными свойствами интеграла.

Читателю, не желающему вникать в математические тонкости, можно ограничиться следующим частным случаем, достаточным для большинства практических приложений. Предположим, что каждая функция-решение может принимать лишь конечное число различных значений. Пусть множество значений функции-решения / есть {jc,, х2,...,хп}. Обозначим Sk ={s 6 S: f(s) = xk), k = l,...,n. Заметим, что в этом случае события Sk составляют разбиение множества «5. Это означает, что SknSj=0 при k*jvi uⁿk=lSk =S. Тогда (6-6) превращается в

V(f) = Eq(f) = fdu(xk)q(Sk). (6-7)

*=і

Таким образом, в этом случае критерий имеет вид “обычного” математического ожидания по дискретному распределению, сосредоточенному в конечном числе точек.

Введем следующие обозначения:

/ =s х, если для любого s 6 S f(s) = х;

/ =s g, если для любого s6 S f(s) = g(s).

Событие 5 будем называть нулевым, если любые /, g е Т, различающиеся только на S, обязательно безразличны: / ~ g.

Для любого события 5 6 S определим отношение >-s на Т следующим образом: f >sg, если для любых /' и g, таких, что f'=sf, g'=s8>f'=S'8> ^БУД^ем писать f >sx в смысле / >sg, где

g=s^x-

Аксиомы Сэвиджа представляют собой следующие семь условий, выполнение которых предполагается для любых f,g,f',g'e.!F, S,A,BeS, х,у,х',у'еХ.

(Р1) >--слабое упорядочение.

(Р2) Если / =s/', g =sg, f =seg, f =srg', mo(fyg)&(f'y g'). (P3) Если событие S — ненулевое, f -sx, g-sy, mo (x >- y) <=> (/'' g для любых /', g таких, что /' =sf, g =sg, f =r g'j.

(Р4) Если х>~у, х'>~у', / -Ах, f ~Л.у, g -вх, g =вг у, f'=Ax', f'=Ar/, g'=B^x‘8=вгУ'< mo(f ^gdf'yg').

(P5) Существуют xrx2e X такие, что x] > x2.

(P6) Если f >- g, то для каждого x можно указать такое конечное разбиение S, что для любого события Н из этого разбиения

(/'^/'У)^(/'^); (s' =H^x>g' =Hrg) =>(/>-*')•

(Р7) Если f >~sg(s) для любых seS, то f>zsg\ если f{s)>sg для любых se S, то f >zsg-

Теперь сформулируем теорему Сэвиджа о представлении предпочтений ожидаемой полезностью.

Теорема 6.2 (Сэвиджа о субъективной ожидаемой полезности). Пусть выполнены аксиомы (Р1) — (Р7). Тогда существуют субъективные вероятности q и ограниченная функция м( ), заданная на X, такие, что критерий выбора имеет вид (6-6). При этом q удовлетворяет условиям теоремы 6.1 этого раздела и q(S) = 0 для любого нулевого события S. Функция и(-) определяется с точностью до положительного линейного преобразования.

Доказательство можно найти в ряде работ: [Savage, 1954; Фишберн, 1978; Fishburn, 1988].

Основную роль в аксиоматизации Сэвиджа играет аксиома (Р2) — так называемый sure thing principle. Эта аксиома фактически утверждает следующее: предпочтения между функциями-решениями определяются только их несовпадающими значениями. Рис. 6.1 иллюстрирует этот принцип. Функции-решения / и g отличаются только на событии S, а на 5' совпадают. Если изменить их значения на S^c, сохраняя при этом равенство, то предпочтение не изменится. Измененные функции названы /' и g'. Если / предпочтительнее g, то и /' предпочтительнее g'. Эта аксиома напоминает (G4) из первой теоремы, условие аддитивной сепарабельности функций полезности из главы 1 и аксиому (01) из раздела 5.2. Все эти условия носят смысл независимости предпочтений от совпадающих исходов. См. также упражнения 6.1 — 6.3.

Теория Сэвиджа весьма привлекательна в качестве теоретического обобщения теории принятия решений (в данном случае, ожидаемой полезности) на случай неопределенности. Однако аксиомы Сэвиджа, как мог убедиться читатель, достаточно сложны.

Рис. 6.1. Иллюстрация аксиомы Сэвиджа (sure-thing principle) 6.3

Зависимость от состояний и парадоксы

Во многих ситуациях обоснованным выглядит предположение о том, что оценка того или иного результата может быть разной в зависимости от состояния природы, приведшего к этому результату. Так, в рассмотренном выше примере с тремя лошадьми довольно логично предположить, что проигрыш может оцениваться по-разному в зависимости от того, какая лошадь выиграла. Если реализовалось 5, (выиграл фаворит) и вы проиграли 100 долл., это означает, что вы ставили против фаворита, а значит, сознательно рисковали, и потеря не должна быть слишком неожиданной; если же реализовалось s3 и вы проиграли 100 долл., это означает проигрыш при победе аутсайдера, т.е. неожиданный и неоправданный. Можно предположить, что во втором случае огорчение от потери будет больше (по крайней мере, для некоторых людей).

Такие предпочтения можно учесть с помощью модели полезности с зависимостью от состояний (state-dependent utility). В этой модели функции полезности денег могут быть разными в зависимости от реализовавшегося состояния природы,

П (6-8)

По поводу аксиоматического построения этой модели см., например: [Kami, 1993; Mas-Colell, Whinston, Green, 1995].

Пожалуй, наиболее известные примеры предпочтений, противоречащих аксиомам Сэвиджа, были приведены Эллсбергом [Ellsberg, 1961]. Этих примеров (парадоксов Эллсберга) два. Можно соотнести их с двумя результатами Сэвиджа, приведенными выше — теоремой о субъективных вероятностях и теоремой о линейной полезности. Первый пример — ситуация, когда невозможно определить субъективные вероятности событий.

Предположим, что есть две урны, в каждой из них по 100 шаров. Известно, что в первой урне 50 черных и 50 красных шаров. Во второй урне тоже находятся только черные и красные шары, но в неизвестной пропорции. Предоставляется выбор между альтернативами: (R,) получить 1000 долл., если из первой урны будет извлечен красный шар, и (R2) получить 1000 долл., если из второй урны будет извлечен красный шар. В такой ситуации большинство людей делает выбор в пользу (R,) (т.е. предпочитают вытащить шар из первой урны). Очевидно, это связано с “большей определенностью” этой альтернативы. Такие предпочтения возможны лишь в случае, если событие “красный шар будет извлечен из первой урны” (назовем его 5,) кажется более вероятным, чем событие S2: “красный шар будет извлечен из второй урны”. Однако в точности то же самое справедливо в отношении черных шаров: поскольку люди предпочитают ставить на событие S': “черный шар будет извлечен из первой урны”, следует сделать вывод, что оно кажется им более вероятным, чем S': “черный шар будет извлечен из второй урны”.

Очевидно, однако, что невозможно определить субъективные вероятности q этих событий так, что g(S,) + <7(S,) - 1 и q(S2) + q(S2) = 1, но q(Sl)>q(S2) и q(S')>q(S2).

Второй парадокс Эллсберга — пример решений, которые нельзя описать моделью субъективной ожидаемой полезности (6-6). Имеется одна урна, в которой 90 шаров. Из них 30 красных, а остальные 60 — черные или желтые в неизвестной пропорции. Сначала предлагается выбор между /,: получить 1000 долл., если вынутый шар красный, и /2: получить 1000 долл., если вынутый шар черный. Большинство людей предпочитают /,. Далее предлагается выбор между gt: получить 1000 долл., если вынутый шар красный или желтый, и g2: получить 1000 долл., если вынутый шар черный или желтый. В этой ситуации большинство людей выбирают g2. Можно оправдать такой выбор теми же соображениями большей определенности. Решения и выигрыши приведены в таблице.

Красный Черный Желтый /. 1000 0 0 Л 0 1000 0 1000 0 1000 s2 0 1000 1000 Видно, что g\ и g2 отличаются от и /2, соответственно, только для одного состояния природы “вынутый шар желтый”, для которого g\ ⁼ g2 ^и /і = /2- Согласно аксиоме Сэвиджа (Р2) (sure thing principle), предпочтения должны определяться только теми состояниями, где значения не совпадают, т.е. если ft>- /2, то и g, >- g2. Однако здесь это не так. Поэтому предпочтения не могут описываться субъективной ожидаемой полезностью (упражнение 6.1).

Интересный пример нарушения (Р2) приводят Тверски и Кане-ман [Tversky, Kahneman, 1992].

Группе из 156 финансовых менеджеров во время семинара были предложены альтернативы, зависящие от разности d значений индекса Доу — Джонса при закрытии биржи для сегодняшнего и завтрашнего дней. Выигрыши (в долларах) представлены в следующей таблице.

d< 30 30 < rf < 35 d >35 Выбрали, % / 25000 25000 25000 68 Ситуация 1 8 25000 0 75000 32 Г 0 25000 25000 23 Ситуация 2 g 0 0 75000 77 В ситуации 1 предлагался выбор между / и g, в ситуации 2 — между /' и g'. В последней колонке приведены процентные доли выбравших ту или иную альтернативу. Видно, что изменение функций-решений для одного события d < 30 приводит к изменению предпочтения. Из 156 испытуемых 53% демонстрировали одновременно предпочтения f > g, f‘ ’*g'> противоречащие (P2). Сами авторы интерпретируют этот пример как еще одну демонстрацию “эффекта одинакового исхода” (common consequence effect), или парадокса Аллэ. Упражнение 6.6 показывает связь между такого рода примерами и парадоксом Аллэ.

6.4

*Теория проспектов

В заключение этой главы остановимся на теории, которая позволяет объяснить многие примеры выбора при неопределенности и риске, — так называемой теории проспектов (prospect theory), предложенной Тверски и Канеманом [Kahneman, Tversky, 1979; Tversky, Kahneman, 1992]. Многие идеи, положенные в основу этой теории, не новы. Теория проспектов аккумулирует в себе находки множества предшествовавших исследований — и экономических, и математических, и психологических. Основной ценностью этой теории является именно эмпирический элемент — объяснение экспериментально наблюдаемых фактов.

Ниже будет описана так называемая кумулятивная теория проспектов (cumulative prospect theory). Эта теория вобрала в себя идеи ранговой полезности (раздел 5.2), впервые предложенной Куиггином [Quig-gin, 1982; 1993]. Впоследствии было развито строгое аксиоматическое построение теории [Wakker, Tversky, 1993; Chateneauneuf, Wakker, 1999]; сходная модель была аксиоматически построена Льюсом и Фишбер-ном (Luce, Fishburn, 1991]. Аксиоматическое построение теории проспектов выходит за рамки этой книги; интересующийся читатель может обратиться к указанным работам.

Проспекты понимаются как альтернативы выбора с неопределенными денежными исходами. Проспекты отличаются от лотерей, рассматривавшихся выше. Если лотереи просто характеризовались распределениями выигрышей, то проспекты — альтернативы, включающие в себя еще и способ описания или постановки вопроса. Можно указать следующие основные моменты теории.

¦ Двухэтапный процесс принятия решений. На первом этапе производится “редактирование” (editing) проспектов, а уже на втором — оценивание лотерей, соответствующих отредактированным проспектам, при помощи математической модели.

¦ Различная трактовка приобретений и потерь по отношению к некоторой отправной точке (reference point).

¦ Искажение вероятностей.

Этап редактирования включает, во-первых, установление отправной точки и “кодирование” исходов как приобретений и потерь относительно ее. Это ключевой момент в объяснении эффектов представления из раздела 4.5. Другие операции, производящиеся на этой стадии, фактически сводятся к упрощению лотерей. В частности, одинаковые исходы объединяются, например, проспект с выигрышами х, у, х с вероятностями рх, р2, р3, соответственно, должен быть преобразован в лотерею с распределением выигрышей вида

' * /

.Л + Рэ Рі'

Первая версия модели (1979 г.) включала также некоторые не столь ясные моменты, а именно отсеивание на этапе редактирования совпадающих и доминируемых исходов двух сравниваемых проспектов в случае их распознания субъектом. Формальной и даже сколько-нибудь устоявшейся теории редактирования не существует, во всяком случае, в настоящее время. Однако накопленные эмпирические данные о влиянии различных представлений (фреймов) альтернатив на процесс принятия решений дают некоторое представление о поправках, которые они могут вносить в оценки. Такой подход кажется реалистичным, так как по крайней мере позволяет отделить формализуемый элемент процесса принятия решений от неформализуемого с точки зрения наших сегодняшних знаний. Если мы не можем пока моделировать некоторые вещи математически, можно, по крайней мере, описать их. Ясно, что “красивые” формальные модели принятия решений всегда слишком многое оставляют “за кадром”.

Что касается второй фазы — фазы оценивания, то теория проспектов использует модель (5-5), которая была названа в разделе 5.2 общей моделью взвешивания, с рядом особенностей, продиктованных опытом. Как уже говорилось, денежные потери и приобретения оцениваются относительно некоторой отправной точки. Как правило, в качестве такой точки берется статус-кво. Функция и(х) называется функцией ценности (value function) и выбирается в виде, подобном показанному на рис. 3.5, т.е. она возрастает, вогнута в области приобретений, выпукла в области потерь и более крута в области потерь. Это позволяет учесть эффекты “отражения” и “неприятия потерь”. Кроме того, и(0) = 0. Характерная черта этой теории состоит в том, что “веса”, указывающие значимость результатов, могут быть разными для приобретений и потерь.

Рассмотрим сначала применение теории проспектов для случая выбора в условиях риска, т. е. при известных физических вероятностях.

Пусть, как и выше, S — множество состояний природы, на котором определены вещественные функции-решения, или проспекты f(s). Пусть f⁺(s) = max(/(s),0) — положительная часть f(s), f~(s) = min (0, f(s)) — отрицательная часть.

В этом разделе рассматриваются только функции-решения, принимающие конечное число различных значений. Такие функции уже рассматривались в разделе 6.2. Будем считать, что отрицательные результаты имеют отрицательные номера, нулевой исход — нулевой номер, положительные исходы — положительные номера. Обозначим минимальный отрицательный номер через -т, максимальный положительный номер через п. Будем считать, что функция-решение f(s) принимает значения jc_m,...,0,...,jc„ на множествах S_m,...,0,...,Sn соответственно. Обозначим St ={se S :f(s) = xt], k--m,...,n. Как было замечено в разделе 6.2, события Sk составляют разбиение множества S, т.е. SknSj=0 при кФ j и u"=_m5<: = S.

В теории проспектов предпочтение среди функций-решений определяется критерием вида

?(Л='?и(хІ)я; +?и(х,)я; =?(Г) + ?(Г), (6-9)

і=~т /=0

где величины п — некоторые веса. Таким образом, проспект разбивается на положительную и отрицательную части (относительно статус-кво), представляющие соответственно приобретения и убытки. Эти части оцениваются по-разному в том смысле, что при определении весов учитывается знак хг Это связано с тем фактом, что люди по-разному искажают вероятности благоприятных и неблагоприятных событий.

В случае выбора в условиях риска (известных физических вероятностей) веса определяются так же, как в модели ранговой полезности раздела 5.2. В разделе 5.2 уже рассматривалась функция w(p), связанная с g(p) соотношением 1- g(p) - ??(1- р) и определявшая веса равенством

я-. = w(Pi +...+ pn)-w{pM +...+ рп).

Пусть вероятность события 5( есть р: =Р(5(). Определим веса следующим образом. Положим для і = 0,...,п-1

(6-10)

(6-11)

п\ = і?⁺(р,.+...+ pn)-w\pM+...+ рп),

Щ = w~ (р_т +...+ pi) - і?" (р_т +...+ рм).

Для максимального и минимального исходов, соответственно, ⁷¹ п ^{= w}*(Рп)> ^п~-т ~ ^w (Р-т)- Если в проспекте имеются и отрицательные, и положительные исходы, то для і - 0 вес определяется как сумма соответствующих весов, л* + я0. Для приобретений и потерь, как сказано выше, используются разные функции, обозначенные ??⁺ и ??”.

Веса в теории проспектов при известных вероятностях определяются так же, как в теории ранговой полезности: они представляют собой “искаженные” вероятности, причем на искажения влияет не абсолютное значение результата, а только ранг (порядок) результата среди всех результатов проспекта.

Формулы определения весов (6-10) и (6-11) характеризуют кумулятивную теорию проспектов. В более ранней версии теории проспектов (1979 г.) веса определялись путем преобразования вероятностей событий, я(. = г{рх) (г — некоторая функция), а не накопленных вероятностей, как в (6-10) и (6-11). Эта теория способна объяснить парадоксы выбора (см., например, упражнение 6.8), однако получаемый при этом критерий не монотонен относительно первого стохастического доминирования (упражнения 5.6 и 5.7).

Рассмотрим некоторые конкретные параметрические версии теории проспектов и объяснение с их помощью разнообразных экспериментально наблюдаемых примеров выбора.

Тверски и Канеман [Tversky, Kahneman, 1992] предложили функцию ценности и(х) вида

х^а при х>0 (6-12)

и(х) = -

Если Л> 1, то функция имеет форму, подобную показанной на рис. 3.5.

Для весовой функции w(p) в той же работе была предложена форма

Р^Г

(Г-Ні-рУ)'"

(6-13)

w(p) =

Вид этой функции показан на рис. 6.2. Рассмотрим, например, лотерею, в которой можно выиграть положительную сумму с вероятностью р и ничего с вероятностью 1 - р. Для таких проспектов вес выигрыша равен х?{р). Поэтому весовая функция (6-13) преувеличивает малые вероятности и недооценивает средние и большие вероятности выигрыша.

Предлагались и другие формы весовой функции, например

w{p) = e-ⁱ-'^npY (6-14)

[Prelec, 1989]. Форма графика этой функции очень похожа на кривую рис. 6.2. Она пересекает линию w-p в фиксированной точке р = і/е = 0,37. В (6-13) и (6-14) предлагалось использовать разные значения у для ??⁺ и ??”, т.е. для весов приобретений и потерь. Обозначим их, соответственно, у⁺ и у~.

Посмотрим, как ведут себя эти веса в случае простейших лотерей. Рассмотрим, например, лотерею с выигрышами 0 (вероятность 1 - р) и 50 долл, (вероятность р). Если р мало, вес выигрыша тг50 больше вероятности выигрыша. Например, возьмем функцию (6-13) с у* =0,6; тогда при р-0,05 имеем = ??⁺ (0,05) = 0,145. При р = 0,005 имеем пх - ??⁺ (0,005) = 0,0659. Если р- 0,8, то ;г50 =0,67. Таким образом, малые вероятности преувеличиваются, а большие преуменьшаются. Теперь возьмем отрицательный проспект с выигрышами -50 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1 — р. Положим у~ =0,7; тогда вес потери = w~(p) принимает значения 0,116 при р = 0,05 и 0,0402 при р = 0,005. Вес нулевого исхода в обоих случаях равен

Для лотерей с выигрышами -50 и 50 веса вычисляются по отдельности и точно так же — как функции от вероятностей. Рассмотрим, например, проспект с тремя исходами: -50, 5 и 50 с вероятностями 0,15, 0,7 и 0,15 соответственно. При таких же ??⁺ и w~, как выше, имеем л_5о=иг(0,15) = 0,209; ях= w⁺ (0,15) = 0,230; ??⁺(0,85)-??⁺(0,15) =

= 0,715-0,230 = 0,485. Видно, что сумма весов меньше единицы.

Рис. 6.2. Весовая функция (6-13) (у - 0,69) Рассмотрим чуть более сложный пример.

Пример 6.3. Пусть положительный рисковый проспект приписывает вероятности 0,1 некоторым положительным результатам x,,...,x10. Согласно формуле (6-10), веса для і = 1,...,9 вычисляются по формуле



а л-,; = иЛ(0,1).

Веса, вычисленные для функции ??⁺ вида (6-13) с ^ = 0,69 (график ее показан на рис. 6.2), приведены в следующей таблице.

Номер (ранг) исхода і Вероятность pt Вес пі 1 0,1 0,225 2 0,1 0,106 3 0,1 0,081 4 0,1 0,070 5 0,1 0,064 6 0,1 0,062 7 0,1 0,064 8 0,1 0,071 9 0,1 0,087 10 0,1 0,170 Сумма 1 1 Из этой таблицы мы видим, что при таком равномерном распределении вероятностей функция (6-13) имеет тенденцию переносить веса на крайние по рангу исходы (в частности, максимальный и минимальный), что соответствует приводившимся в разделе 5.2 соображениям о повышенной важности крайних исходов.

Пример 6.4. Парадокс Аллэ (раздел 4.1). Возьмем ту же функцию w⁺ = w, что и в предыдущем примере. Для лотереи А (получение 1 млн. долл, без риска) имеем

V (А) = и (1) ??(1) = и (1)

(денежные суммы в млн. долл.).

Для лотереи В с распределением выигрыша

х2 = 5 ^ Ръ ⁼⁰>¹.

^f Выигрыш хх = 0 х2 = 1 Вероятность р, = 0,01 р2 = 0,89

имеем

я3⁺ = w(p3) = 0,170,

Яз = ??(р2 + Рз)^{- w}(p3) = 0,945-0,170 = 0,775, я,⁺ = w(p, -I- р2 -I- Рз) — w(p2 + р3) = 1 — 0,945 = 0,055.

Для лотереи С, в которой можно выиграть 5 с вероятностью 0,1 и ничего с вероятностью 0,9, веса уже фактически посчитаны и равны 0,17 для выигрыша 5 и 1—0,17=0,83 для нулевого выигрыша.

Наконец, для лотереи D, в которой можно выиграть 1 с вероятностью 0,11 и 0 с вероятностью 0,89, вес выигрыша 1 равен w⁺ (0,11) = 0,180.

Чтобы объяснить парадокс Аллэ, теперь нужно подобрать значения функции и в точках 1 и 5 (м(0) = 0, как было выше сказано). Если взять и(1) = 1, н(5) = 1,25, то это позволяет объяснить парадокс. Если кого-то из читателей не удовлетворяет, например, слишком маленькое значение и(5), он может попробовать лучше подогнать модель, подобрав более подходящее у.

Красивый пример объяснения данных теорией проспектов — еще один эксперимент Тверски и Канемана [Tversky, Kahneman, 1992]. В эксперименте каждому из 25 испытуемых предлагалось оценить (указать денежные эквиваленты) 28 рисковых проспектов, каждый из которых представлял собой лотерею с двумя возможными выигрышами (в долларах), например: 0 и 400, 0 и —400, 50 и 100, —50 и —100 и т.д.

Все проспекты были такого типа, т.е. не было проспектов с исходами противоположного знака. Выбор каждого испытуемого классифицировался по признаку отношения к риску (неприятия риска/любви к риску), затем для каждого вычислялся индивидуальный процент случаев того или иного отношения к риску. Этот процент, усредненный по всем испытуемым, показан в таблице ниже, из которой видно, что, если речь шла о возможном выигрыше, наблюдается любовь к риску при малых вероятностях и неприятие риска при больших вероятностях. Если речь идет о проигрыше, поведение меняется на противоположное. То же поведение было характерно и для большинства испытуемых, взятых в отдельности. Упражнение 6.11 предлагает объяснить такие предпочтения при помощи описанной выше модели. В частности, это можно объяснить эффектом преувеличения малых вероятностей и преуменьшения больших.

Несколько исследований было посвящено подгонке (оценке параметров) моделей теории проспектов по экспериментальным данным. Если функция и(х) задана равенством (6-12), а функция w(p) — (6-13) либо (6-14), то модель описывается всего четырьмя параметрами: а, Л, у⁺, уБыли получены интересные результаты, обнаруживающие определенную устойчивость. В частности, значения у попадали в интервал от 0,56 до 0,75 (именно такие у использовались выше). По поводу обзора см., например: [Neilson, Stowe, 2002].

Приобретения Потери р<0,1 р>0,5 р<0,1 р >0,5 Любовь к риску 78 10 20 87 Нейтральность к риску 12 2 0 7 Неприятие риска 10 88 80 6 Кумулятивная теория проспектов была применена не только для объяснения данных экспериментов, полученных в лабораторных условиях, но и в исследованиях реального экономического поведения. Бернарци и Тэйлер [Bemartzi, Thaler, 1995] показали, что упомянутый в разделе 4.3 парадокс “equity premium puzzle” может быть объяснен с помощью этой теории и предположения о том, что инвесторы оценивают свои портфели не непрерывно, а периодически, например ежегодно, т.е. используют “близорукую” (myopic) стратегию. Ваккер, Тэйлер и Тверски [Wakker, Thaler, Tversky, 1997] применили теорию проспектов для объяснения парадоксов спроса на страхование, о которых шла речь в 4.3 и которые нельзя объяснить ожидаемой полезностью (в частности, низкой оценки “вероятностного страхования”).

Веса могут быть формально определены следующим образом. Определим неотрицательную функцию W(S) на подмножествах S (которые, как и выше, будем называть событиями), такую, что (Щ0) = О, W'(S) = 1, 5, cS2)=>(W(S,)
Пусть, как и выше, функция-решение f(s) принимает значения 0,•••,*„ на событиях S_m,...,0,...,Sn соответственно. Положим

v:m=w-(s_m),...,

^¦=W-(5.mu...u5I)-W-(5_mu...u5,._1),...; <=W⁺(5J,..„

;r;=r(S,u...uSJ-r(SI+1u...uSJ,... (6-15)

Обратите внимание на то, что одному и тому же событию могут быть приписаны разные веса при оценке двух разных функций-решений, но только в случае, если одна функция-решение дает положительный исход для этого события, а другая — отрицательный. По поводу суммы весов см. упражнение 6.7.

В случае, когда истинные вероятности событий известны, т.е. в ситуации принятия решений в условиях риска, веса определяются некоторым искажением вероятностей. Положим для этого случая

W~(S) = W (Р(5)); W⁺(S) = w⁺ (P(S)),

где w~ и w* — возрастающие непрерывные функции, такие, что ??⁺'(0) = 0, и>⁺“(1) = 1. Веса определяются так, как описано выше. Пусть вероятность события 5, есть р. =Р(5, ). Тогда

Р(5,- u...uS„) = Р' +...+ рп,

откуда

W⁺(S,v...vSn) = w⁺(pi+...+ pn).

Подставляя это в (6-15), получаем (6-10). Аналогично получается (6-11).

6.5

Упражнения к главе 6

6.5

Упражнения к главе 6

Упражнение 6.1. Проверьте, что если множество результатов решений X конечно и предпочтения определяются критерием (6-7), то выполнена аксиома Сэвиджа (Р2) (sure thing principle).

^Упражнение 6.2. Пусть лицу, осуществляющему выбор, известны физические вероятности событий и выбор определяется только распределением результата, т.е. имеет место выбор в условиях риска. Пусть множество результатов решений X конечно. Покажите, что в этом случае аксиома Сэвиджа (Р2) из раздела 6.2 сильнее аксиомы независимости фон Неймана — Моргенштерна из раздела 3.2.

Указание. Воспользуйтесь представлением альтернатив выбора в виде двухступенчатых лотерей, как делалось в разделе 3.2. В качестве S можно взять отрезок числовой прямой.

^Упражнение 6.3. Покажите, что аксиома (Р2) раздела 6.2 сильнее аксиомы (G4) из того же раздела.

Указание. Рассмотрите функции-решения, принимающие только значения ноль и единица.

Упражнение 6.4. Покажите, что первый из парадоксов Эллсберга представляет нарушение аксиомы (G4) из раздела 6.2.

Упражнение 6.5. Проверьте, что пример Лившица с блондинкой и брюнеткой, описанный в разделе 1.7, противоречит аксиоме (РЗ) раздела 6.2, если событие “вынут зеленый шар” считать ненулевым.

Упражнение 6.6. Представьте ситуацию выбора для парадокса Аллэ из раздела 4.1 в виде ситуации принятия решений при неопределенности. Введите состояния природы (в данном случае достаточно трех, причем с известными вероятностями: 0,01, 0,89 и 0,1) и представьте альтернативы выбора в виде таблицы, аналогичной таблице примера 6.2. Убедитесь, что парадокс Аллэ представляет нарушение аксиомы Сэвиджа (Р2). Сравните построенную таблицу выигрышей и таблицу для примера с индексом Доу — Джонса из раздела 6.3.

После выполнения этого упражнения вам должно стать понятно, почему парадоксы типа парадокса Аллэ часто называют эффектом одинакового исхода (common consequence effect).

Упражнение 6.7. Покажите, что сумма весов л в (6-15) равна единице для положительных проспектов, т.е. таких, что f(s) >0 для всех s, и отрицательных, а для проспектов, допускающих и положительные, и отрицательные исходы, сумма весов может отличаться от единицы в ту или другую сторону.

Упражнение 6.8. Положим для дискретной случайной величины ХА, принимающей значения хі с вероятностями р.,

?(А) = ^хАРі)>

І

где s(p) = C[((a + 0-2)р + (3-2а-0)) p + a~jp, коэффициент С выбирается из условия нормировки ^J.s(pi) = 1. Покажите, что при а = И2, 0 = 3 такая модель предпочтений объясняет примеры парадоксов разделов 4.1 и 4.2. Является ли такой критерий монотонным относительно первого стохастического доминирования?

Упражнение 6.9. Объясните при помощи теории проспектов парадокс раздела 4.2. Веса исходов вычисляйте, пользуясь функцией ??, график которой показан на рис. 6.2.

Упражнение 6.10. Объясните при помощи теории проспектов парадокс из упражнения 4.3, вычисляя веса исходов согласно функции ??, график которой показан на рис. 6.2.

Упражнение 6.11. Объясните данные об отношении к риску при больших/малых вероятностях приобретений/потерь при помощи кумулятивной теории проспектов с весовой функцией вида, показанного на рис. 6.2.

Часть II

МОДЕЛИРОВАНИЕ

РИСКА

глава

МОДЕЛЬ ИНДИВИДУАЛЬНОГО РИСКА В СТРАХОВАНИИ

Здесь рассматривается простейшая модель применения вероятностных методов в страховании. Как часто бывает, нормальное распределение дает хорошее первое приближение для моделирования случайных флуктуаций. Пример применения — рекомендованная в Российской Федерации методика расчета страховых тарифов. Более “продвинутая” модель страховых выплат рассматривается в главе 10.

7.1

Страхование: основы и терминология

В главе 3 уже были рассмотрены примеры из экономической теории страхования, основанной на ожидаемой полезности, и введены некоторые термины.

Страховой контракт может трактоваться как акт перераспределения риска между двумя или более участвующими сторонами. Исторически одной из первых форм страхования было взаимное страхование, известное с древних времен. Оно представляет собой форму взаимопомощи. Например, купцы образовывали объединения, или гильдии. В них иногда создавались (за счет взносов членов) “страховые фонды”, из которых члены, потерпевшие убытки вследствие несчастных случайностей, могли получить возмещение.

Рассмотрим простую математическую модель такого объединения. Предположим, что п участников договорились о взаимном возмещении некоторых убытков. Пусть убыток і-го участника описывается случайной величиной Хг Для примера предположим, что эти величины одинаково распределены и независимы. Пусть убыток каждого участника возмещается всеми п участниками (в том числе потерпевшим) в равных долях. Тогда каждый участник договора будет должен выплатить в покрытие убытков

!(х, +...+ *„).

п

Нетрудно видеть, что дисперсия этой величины равна о\іп, т.е. в п раз меньше дисперсии Хп а математическое ожидание равно математическому ожиданию Хг Таким образом, за счет взаимного страхования каждый участник получает более стабильное — по крайней мере, с меньшей дисперсией — распределение выплат. При больших п оно все более приближается к вырожденному, т.е. участник платит фактически неслучайную сумму. Это не что иное, как действие закона больших чисел.

Риск может быть уменьшен путем его перераспределения. Количество риска, если можно так выразиться, не является постоянным. Участники соглашения о взаимном перестраховании объединяют свои риски, тем самым риск каждого индивидуального участника перекладывается на всех, или диверсифицируется в соответствии с принципом “не класть все яйца в одну корзину”. Каждый из них передает каждому I/п своего риска — “одно яйцо”. В результате каждый знает более определенно, сколько “яиц” он потеряет.

Аналогичный принцип объединения рисков работает в современных страховых компаниях, функционирующих на основе заключения страховых договоров (продажи страховых полисов). Такой договор состоит в том, что одна сторона (страховая компания — страховщик) принимает, а другая (страхователь) — передает риск. При этом страхователь платит страховщику некоторую сумму — цену страхового полиса или страховую премию. В обмен на это страховщик принимает на себя обязательство полного или частичного возмещения потенциального ущерба страхователя в случаях, когда такой ущерб может быть оценен (например, в имущественном страховании), либо же его обязательства могут состоять в выплате определенных сумм при наступлении определенных обстоятельств (например, в страховании жизни — в случае смерти застрахованного лица). Факт наступления обстоятельств, влекущих страховую выплату, называется страховым случаем. Сумма выплаты называется страховым возмещением. Для страховщика

Страхование: основы и терминология

(страховой компании) суммы выплаченных возмещений составляют страховые убытки.

Суммарный риск крупного страховщика состоит из множества рисков, связанных с отдельными полисами. Чем более “распределен” риск компании, тем она стабильнее. Для еще большего улучшения структуры риска страховщики заключают договоры перестрахования, основные формы которых рассматривались выше, в разделе 3.4.

Виды страхования можно в общем подразделить на долгосрочные и краткосрочные. К первым относят страхование жизни (life insurance), краткосрочные же виды страхования называют рисковыми (non-life, general insurance). Исторически сложилось так, что эти области имеют несколько различную терминологию и методы расчетов. Эти расчеты называются актуарными. К актуарной математике страхования жизни примыкает актуарная математика пенсионного страхования и пенсионных схем.

Чистая рисковая премия + Рисковая надбавка (нагрузка безопасности) + Надбавка на расходы Нетто-премия Брутго-премия

Рис. 7.1. Структура страховой премии Основной чертой страхоюго бизнеса является то, что страховщик собирает средства в виде страховых премий за страхование определенных рисков вперед, т.е. до наступления момента возможных выплат. Поэтому основную роль в страховании играет необходимость создания резервов, предназначенных для покрытия будущих страховых убытков. Определение премий и резервов — традиционные задачи страховой математики и теории риска.

Рис. 7.1 иллюстрирует теоретическую структуру страховой премии, взимаемой страхователем со страховщика. Фактически вносимая сумма называется брутто-премией. Она состоит из трех основных частей: чистой рисковой премии (pure risk premium), равной среднему возмещению по риску, или математическому ожиданию убытка страховщика; рисковой (гарантийной) надбавки (safety loading) и надбавки на расходы страховщика. Первые две части в сумме составляют нетто-премию — премию, идущую на формирование страхового фонда {резерва) — фонда, предназначенного для выплат страховых возмещений. Рисковая надбавка предназначена для погашения возможных нежелательных отклонений страхового возмещения от его среднего уровня.

Такие флуктуации всегда возможны, хотя, как будет показано ниже, при высоком уровне “распределенности” риска рисковая надбавка может быть теоретически очень малой. Тем не менее, согласно центральной предельной теореме, распределение суммарного страхового убытка для группы из большого числа независимых рисков приближенно нормально, а это означает, что вероятность превышения суммарным убытком среднего уровня примерно равна 1/2. Поэтому необходимы некоторые дополнительные суммы для коррекции таких отклонений.

В накопительном страховании жизни иногда подразделяют рисковую премию на взнос, предназначенный для покрытия выплат по риску смерти, и “сберегательный взнос”, предназначенный для покрытия выплаты накопленных сумм в случае дожития застрахованным до окончания срока страхования. В то же время в расчетах нетго-пре-мий обычно не фигурирует в явном виде рисковая надбавка. Вместо этого она фактически появляется за счет использования “консервативных” расчетных данных (так называемого актуарного базиса).

Актуарные расчеты в страховании жизни традиционно ведутся на фактически детерминированной основе, сводясь к вычислению ожидаемых дисконтированных стоимостей денежных потоков по полисам. В этой книге рассматриваются модели рискового (non-life) страхования, существенно использующие элементы вероятностного моделирования. Введение таких элементов в модели страхования жизни, конечно, тоже представляет интерес и практическую значимость (см. по этому поводу, например: [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994, ch. 15, 16]). Некоторые примеры введения вероятностных элементов в долгосрочные актуарные модели можно найти в главе 11.

К краткосрочным, или рисковым, видам страхования относятся, например, страхование имущества, автострахование, медицинское, транспортное, страхование туристов и др. В отличие от долгосрочных видов страхования, при обычных актуарных расчетах в рисковом страховании обычно не учитывается процентная доходность на страховые резервы, так как речь, как правило, идет о сравнительно коротких интервалах времени. Срок полисов большинства видов рискового страхования не превышает одного года. Впрочем, при необходимости можно ввести в модели и инвестиционную доходность, и инвестиционный риск, см., например, упражнение 7.6 и раздел 8.4. С другой стороны, в рисковом страховании, по сравнению со страхованием жизни, большее значение приобретают случайные отклонения от планируемых результатов, поэтому здесь необходимо использовать вероятностные модели. Простейшая из таких моделей описывается ниже.

7.2

Очерк модели индивидуального риска

Представим себе условную группу из п застрахованных объектов (например, автомобилей, домов и т.п.). Эти объекты будем называть рисковыми единицами; в страховании часто употребляют термин “риски”. Будем для начала считать, что все рисковые единицы обладают одинаковыми характеристиками, такими, как вероятность страхового случая и распределение возможного страхового убытка. Это естественное предположение в том случае, когда все объекты в достаточной степени однородны (например, автомобили одной марки и года выпуска), или, во всяком случае, нет статистической информации, позволяющей подразделить их на более мелкие группы; кроме того, условия и сроки страхования всех объектов совпадают.

Обозначим случайный страховой убыток по і'-й рисковой единице Z( (/ = 1,2,...,п). Согласно сделанным предположениям, Z( одинаково распределены. Кроме того, будем считать эти случайные величины независимыми. Такое предположение можно сделать в случае, когда страховые убытки по каждой рисковой единице можно считать обусловленными различными, не связанными между собой причинами. Таким образом, эта модель не принимает в расчет факторов, которые могут влиять одновременно на многие риски в группе. Отметим, что во многих видах страхования эти факторы присутствуют всегда, например, это могут быть погодные условия, влияющие на вероятности таких страховых случаев, как автомобильные аварии или пожары (см. по этому поводу раздел 10.3).

Итак, считая все Z, одинаково распределенными и независимыми, запишем выражение для суммарного страхового убытка S по группе из п рисков:

П (7-1)

При большом п, согласно центральной предельной теореме, распределение S можно считать приближенно нормальным с параметрами, равными соответственно математическому ожиданию и дисперсии S:

(7-2)

S = N(ms,al).

7-Теория риска

Большинство убытков Z,, как правило, равны нулю. Если обозначить вероятность того, что отдельный убыток будет отличен от нуля (т.е. по данному риску будет страховой случай), через q = P(Z > 0), то ожидаемое число отличных от нуля слагаемых в (7-1) будет равно щ. Собственно говоря, именно величина щ, а не п, служит критерием применимости нормальной аппроксимации. В качестве грубого эмпирического правила можно указать, что нормальная аппроксимация применима при щ > 10.

Важным понятием теории риска является понятие капитала под риском, аналогичное понятию VaR, введенному в разделе 2.3 — “убытка в наихудшем случае”. Определим капитал под риском как наименьший капитал U, достаточный для покрытия суммарного страхового убытка S с вероятностью, не меньшей фиксированного уровня ?. При этом вероятность ?, как правило, выбирается достаточно большой (типичное значение 0,95). Таким образом, U определяется из неравенства

Р(5 ?.

Так как в силу (7-2) функция распределения S непрерывна, для наименьшего U должно выполняться равенство

P(S
Пользуясь обычным приемом нормирования нормального распределения, вычтем из S его математическое ожидание и разделим на среднее квадратическое отклонение:

= ?,

V ^as

's у

или

V °s у

где Ф — функция стандартно нормального распределения. Отсюда

U = ms+aecrs, (7-4)

где ас — квантиль уровня ? стандартно нормального распределения. Например, для ? = 0,95 ае =1,645. Мы видим, что, как и следовало ожидать, капитал под риском возрастает при росте среднего убытка ms и среднего квадратичного отклонения убытка <т5.

Теперь рассмотрим задачу об определении так называемой относительной рисковой надбавки (нагрузки безопасности, safety loading) ?. Эта величина связывает негго-премию Р, т.е. премию, идущую на формирование страхового резерва, со средним убытком по одному полису (чистой рисковой премией) т2:

Р = (І + ?)т2. (7-5)

Правило (7-3) может быть использовано для вычисления ?, если считать, что необходимый капитал под риском образуется за счет собранных страховых премий для данной группы рисков, U = пР, и надбавка ? для всех полисов одинакова. Подставляя U = (1 + ?)т5 в (7-3), получаем



= ?,

S-т,

--
ИЛИ



т5

Подставляя в (7-6) т5 = п- т2, <т5 - у/п ¦ <т2, получим



уіп пг2

Важный аспект этой формулы — уменьшение рисковой надбавки при росте п. При очень больших количествах рисков ? приближается к нулю. Это означает, в частности, что более крупные страховые компании более стабильны и могут позволить себе взимать меньшие рисковые надбавки или же иметь меньший страховой резерв в расчете на один полис, чем их более мелкие конкуренты. Этот факт иллюстрирует также упражнение 7.1. Такой эффект аналогичен эффекту диверсификации финансового риска (раздел 2.1). Когда риск распределяется между большим числом независимых рисковых единиц (страховых полисов, ценных бумаг), случайные флуктуации отдельных единиц взаимно “компенсируют” друг друга, поэтому в среднем (на одну единицу) риск становится малым. С теоретической точки зрения это объясняется действием закона больших чисел.

В более общем случае можно предположить, что рассматриваемая группа рисков состоит из т однородных групп с числом рисков в каждой, равным пк (к = 1,...,т). Обозначим Zik убыток по t-му риску в к-й группе. Тогда

т

S=I L^z«-

Если убытки по отдельным рискам Zjk независимы и число рисков в каждой группе велико, в этой ситуации по-прежнему справедлива центральная предельная теорема и применима аппроксимация (7-2). Поэтому ? — если считать ее одинаковой для всех полисов — можно вычислять по формуле (7-6).

Для применения нормальной аппроксимации и полученных формул требуется вычислить математическое ожидание и дисперсию суммарного убытка S. Так как все риски считаются независимыми, это делается простым суммированием средних и дисперсий по отдельным рискам.

Пример 7.1. Отправителям срочных почтовых отправлений фирмы “АВС Worldwide, Inc.” предлагается возможность застраховать их на следующих условиях: в случае утери отправления отправитель получает компенсацию 500 долл., а в случае нарушения сроков доставки — 50 долл. Согласно статистическим данным, на каждые 10000 отправлений в среднем 16 не доставляются по назначению, а 263 доставляются с нарушением сроков. Найдем рисковую надбавку и нетто-премию, т.е. стоимость такой страховки без учета расходов страховщика. Положим е = 0,95, тогда ае = 1,1645.

Находим математическое ожидание страхового убытка Z на один риск (одно застрахованное отправление)

1 ?\ ozq

mz =500-+ 50-= 2,115

^z 10000 10000

(вместо вероятностей используем их оценки — частоты убытков). Находим дисперсию

аі =EZ²-nd = 500² ——+ 50²-^—(2,115)² =461,277 ^{2 2} 10000 10000

и среднее квадратическое отклонение

аг =21,477.

Подставляя эти значения в формулу (7-7), получим

16,

Например, если в течение года предполагается застраховать п = 1200 почтовых отправлений, то 0 = 0,4822 (48,22%). Тогда нетто-премия за страховку Р = (1 + ?)т2 =3,13 долл.

Заметим, что промежуток времени в один год взят в этом примере условно, как и вероятность е. Если взять меньший промежуток, например месяц, то и число п должно соответственно уменьшиться; однако логично было бы и изменить е. Из (7-7) очевидно, что значения е должны быть меньше для меньших интервалов времени. Действительно, ? представляет вероятность покрытия убытка суммой собранных премий; если в каком-либо месяце наблюдается дефицит, он может быть покрыт в другие месяцы года. Читатель может самостоятельно найти соответствующую математическую зависимость (упражнение 7.2).

Статистика страховых компаний часто организована таким образом, что позволяет извлечь данные о проданных в течение какого-либо времени полисах, а также (в отдельных файлах) о страховых выплатах. Для простоты здесь и далее будем предполагать, что по каждому риску возможно не более одного страхового случая. Это допущение можно ввести, если вероятность повторных страховых случаев достаточно мала. Взяв отношение числа полисов, по которым были страховые выплаты, к общему числу полисов, можно найти частоту страховых случаев. Если выборка достаточно велика, эту частоту можно рассматривать как оценку вероятности наступления страхового случая на один полис, которую обозначим q. Ошибка оценки определяется стандартными статистическими методами.

По данным о выплатах страховых возмещений также можно (если выборка достаточно велика) оценить распределение величины убытка при условии, что убыток произошел. Эту величину обозначим У. Тогда Z = У с вероятностью q и Z = 0 с вероятностью 1 - q.

Пусть А — событие, состоящее в том, что по данному риску произошел убыток. По формуле полного математического ожидания (см. раздел 12.1),

mz = EZ = E(Z I A)P(A) + E(Z | д)(і-Р(Д)) = дЕУ. (7-8)

Аналогично

EZ² =E(Z²| A)P(A) + E(z²|A)(l-P(A)) = gET² = q(a²+m²). Поэтому

сг² =DZ=E(Z²)-m² = m²q(l-q) + qa². (7-9)

Пример 7.2. Страховая компания планирует застраховать на 1 год 800 автомобилей ВАЗ-2105. Из них 200 автомобилей застрахованы только от угона, 450 автомобилей — только от ущерба (повреждения), 150 автомобилей — от автогражданской ответственности. В случае угона владельцу выплачивается 2400 долл. В случае повреждения ущерб распределен равномерно на [0, 2400 долл.]. Выплаты по страхованию автогражданской ответственности распределены экспоненциально со средним 800 долл. Вероятности страхового случая по первой группе (угон) qx =0,04, по второй (повреждение) <72=0,12, по третьей (ответственность) д3=0,05. Найти рисковую надбавку ?, полагая е = 0,975 (аг0975 = 1,96).

Обозначим через mt и сг соответственно математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение убытка по одному риску из і-й группы. Имеем т1 =2400, сг, =0. Для равномерного распределения на [0,а] среднее равно all дисперсия — а²/12. Поэтому тг =1200, сг² =480000. Для экспоненциального распределения с параметром Д среднее равно 1/Д дисперсия 1/Д² (см. раздел 12.1). Так как по условию среднее пц =800, дисперсия а² =т% = 640000.

Теперь, пользуясь (7-8) и (7-9), получаем:

ms = 200<7,m, + 450<72m2 + lSOq^rr^ = 90000; сг² = 200<7, (1 - <7, )т² + 450 (q2 (1 - q2 )т\ + q2
+150(<73(1 — q^ttij + <73cr3

откуда crs =12163,3.

Подставляя эти значения в формулу (7-6), вычисляем ответ:

? = 1,96 •¹²¹-⁶— = 0,2649 = 26,49%.

90000

Отметим еще одно допущение модели этого раздела, а именно, предположение о том, что число рисков известно заранее. В действительности страховщики никогда не знают точно, сколько именно полисов им удастся продать. Логичнее было бы считать число полисов в рассматриваемой условной группе случайным. Это ограничение будет несколько смягчено в главе 10, где рассматривается модель, в которой число полисов не фиксируется.

7.3

* Расчет страховых тарифов по методике Росстрахнадзора

Практическим примером применения модели индивидуального риска служат Методики расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования, рекомендованные Росстрахнадзором в 1993 г. Методики Росстрахнадзора употребляются при лицензировании страховых продуктов. Здесь будет рассмотрена так называемая Методика (I), основанная на модели индивидуального риска. Изложение в основном следует статье Суркова, Шоргина и Шухова [Сурков, Шоргин, Шухов, 1994].

Методика (I) применима в случае так называемого пропорционального страхования. Суть его заключается в следующем. Предположим, что некто имеет автомобиль стоимостью 6000 долл, и желает его застраховать, например от ущерба (повреждения в случае аварии). Тогда максимальный ущерб составляет 6000 долл, (при полном разрушении автомобиля). При пропорциональном страховании страхователь может выбирать страховую сумму, т.е. сумму, на которую страхуется автомобиль. Например, если он решит застраховать его на 50% стоимости, т.е. на 3000 долл., то покрытие ущерба составит 50% от полной суммы. Например, в случае аварии, ущерб от которой составил бы 800 долл., страховщик возместит страхователю 50% суммы ущерба, т.е. 400 долл. При этом премия за такое страхование тоже составит 50% от премии в случае страхования на полную стоимость. Пропорциональное страхование уже рассматривалось в разделах 3.4 и 4.3.

Страховой тариф взимается при этом с 1 руб. страховой суммы. Различают нетго-тариф и брутто-тариф. Второй отличается от первого тем, что включает в себя нагрузку на расходы страховщика. Методика (I) Росстрахнадзора содержит формулы для вычисления ставки негш-та-рифа Т". Если страховую сумму по риску обозначить через С, то нетго-премия составит Тп ¦ С. Остановимся на простейшем случае, когда п рисков в группе однородны, т.е. распределение ущерба страхователей одно и то же. Однако суммы С, (/ = 1,...,и), на которые эти риски застрахованы, могут быть разными. Будем считать случайные величины С, независимыми и одинаково распределенными. Как и в разделе 7.2, будем предполагать, что все риски независимы между собой и по каждому риску возможно не более одного страхового случая. Пусть Х( — страховое возмещение, выплачиваемое по /-му риску при условии, что был страховой случай; /( — случайная величина, равная единице, если по /-му риску был страховой случай (с вероятностью q), и нулю, если нет. Тогда возмещение, выплачиваемое по /-му риску, равно X,/,.

Условие достаточности собранных негш-премий для покрытия суммарного убытка, аналогичное (7-3), теперь запишется как



или



(7-10)

Если положить Z( = XiJj - TnCt, получается модель, аналогичная рассмотренной в предыдущем разделе. Случайные величины Z( независимы и одинаково распределены, поэтому распределение их суммы приближенно нормально. Вычислим математические ожидания и дисперсии Zr Обозначим Sb = ЕХ., S = ЕС(. Имеем

EZ,=E(X,y,-r„C,).

По формуле полного математического ожидания (см. раздел 12.1)



поэтому

EZ,=«S,-r„S.

Аналогично второй момент

EZ² = Е(X ²J² - 2Г„ XJC + Т²С²) =

= qEX² - 2TnqE(XC) + Т„²ЕС² =

= Я И + ^sl) - 2Т„яЦХС) + т; (оі + S¹),

где <7Х и <7С — средние квадратические отклонения страхового убытка на один полис X и страховой суммы С соответственно (индексы опущены для краткости).

Для вычисления Е(ХС) потребуется одно предположение. Рассмотрим величину V - Х/С — относительное страховое возмещение по риску. Логично предположить, что величины ?: и С, независимы. Действительно, первая из них описывает ущерб, причиненный застрахованному объекту. Например, если V - 0,25, то это означает, что объект поврежден на 25% его полной стоимости. С другой стороны, величина С описывает сумму, на которую застрахован объект. Если V определяется свойствами объекта (риска), то С — свойствами страхователя (его предпочтениями, финансовыми возможностями и т.д.). Хотя V и С независимы, X и С являются зависимыми величинами.

В силу сделанного предположения о независимости

Е(ХС) = Е (X Л /¦ —с² = Е {С J V Кроме того,

Е (X\ - ¹ Е ЕС = ¹ Е f ^ХС] U’J ЕС [с) ЕС { с ) _ Дй.

S Все эти формулы дают возможность выразить математическое ожидание и дисперсию Z, mz и а\, через математические ожидания и дисперсии X и С. Применяя к (7-10) прием стандартизации и нормальной аппроксимации, аналогично описанному в разделе 7.2, имеем



Г ^mz

откуда —v п —- = ас.
Читателю предоставляется самостоятельно подставить выражения для mz и az и решить получающееся квадратное уравнение для Тп. Выпишем решение — выражение для ставки тарифа:



(7-П)

где гь - crx/Sb — коэффициент вариации убытков по одному полису Хп г - (Tc/S — коэффициент вариации страховых сумм Сг В (7-11) первое слагаемое представляет чистую рисковую (или “основную”, как в Методике) часть тарифной ставки Т0 (упражнение 7.8), а второе — рисковую надбавку Т .

Собственно говоря, как указано Сурковым, Шоргиным и Шуховым [Сурков, Шоргин, Шухов, 1994], формула Методики (1) является упрощенным вариантом (7-11), получающимся, если положить в ней г = О,



(7-12)

Такое упрощение, по-видимому, допустимо во многих практических случаях. Когда q мало, а п велико, “добавочные” члены qr² и а²г²/п, на которые соответственно числитель и знаменатель дроби под корнем в (7-11) отличаются от (7-12), малы по сравнению с другими членами. Однако в практике могут встретиться случаи, когда разница будет достаточно ощутимой.

Величины математических ожиданий и дисперсий, необходимые для расчета входящих в формулы (7-11) или (7-12) коэффициентов вариации гь и г, должны оцениваться по статистическим данным. Это делается с помощью стандартных статистических оценок.

Пример 7.3. Предположим, что страховая компания намерена застраховать от повреждения (ущерба) 100 однотипных автомобилей, полная стоимость каждого из которых оценивается в 6000 долл. Имеются статистические данные о страховании 74546 автомобилей такого типа; всего произошло 6111 страховое событие.

Данные об относительных страховых выплатах и страховых суммах представлены в таблице.

Относительное

возмещение Страховая сумма Всего 1500 3000 4500 6000 0,1 312 443 298 616 1669 0,2 176 280 188 354 998 0,3 153 221 142 321 837 0,4 129 202 124 266 721 0,5 93 148 103 197 541 0,6 94 128 87 181 490 0,7 86 88 54 115 343 0,8 43 64 36 78 221 0,9 34 44 32 76 186 1,0 21 29 17 38 105 Всего 1141 1647 1081 2242 6111 Гистограмма распределения величины страхового убытка по одному полису при условии страхового события приведена на рис. 7.2 (для сравнения дана кривая гамма-плотности). Математическое ожидание этой величины равно 1439,7; среднее квадратическое отклонение равно 1230,8. Это модельный пример; он построен так, что предположение о независимости относительного возмещения и страховой суммы выполнено. Для данных таблицы проверка на независимость тестом хи-квадрат дает р-зна-чение 0,91, т.е. гипотезу о независимости нет оснований отвергать.

Требуется найти нетто-тариф Тп, соответствующий ? = 0,95.

Для распределения страховой суммы, согласно таблице, среднее равно

1500+ 3000^- +4500^-+ 6000 = 4085,9,

6111

6111

6111

6111

среднее квадратическое отклонение

(1500 - 4085,911)² + (3000 - 4085,911)² +

6110 6110

+(4500 - 4085,911)² + (6000 - 4085,911)² = 1715,0.

6111 6111

Подставляя в формулу (7-11) эти значения вместе со средним и средним квадратическим отклонением X, а также оценку

= 0,0820

6111

74546

и ас =1,645, получаем Тн =0,0502, основная часть То =0,0289, рисковая надбавка Тр =0,0213.

Рис. 7.2. Распределение величины страхового убытка по одному полису (для сравнения дана кривая гамма-плотности) Интересно сравнить значения, полученные по точной формуле (7-11) и по упрощенной формуле (7-12) из Методики. Рисковая надбавка, рассчитанная по формуле (7-11), равна 0,02127, а рассчитанная по формуле (7-12) равна 0,02131. Таким образом, при страховой сумме 6000 долл, разница в премиях составит около 3 долл. Нетго-премия же, как нетрудно подсчитать, составит чуть больше 300 долл. Малое различие (около 1%) определяется параметрами этого примера (малое q, сравнительно небольшое г и большое п).

Несколько более существенным источником ошибки оказывается неточность нормальной аппроксимации. В этом примере щ = 8,2. На рис. 7.3 приведены результаты численного моделирования суммарного страхового возмещения для 100 независимых рисков с такими распределениями убытка, как у величины X. Распределение имеет положительную асимметрию и плохо приближается нормальным, что и видно визуально, и подтверждается статистическими критериями. Квантиль уровня 0,95 этого распределения превышает квантиль нормального распределения с теми же средним и дисперсией на 3,6%, а для квантиля уровня 0,975 превышение составляет уже 7,4%. Следовательно, реально нужный страховой резерв будет на 7,4% больше рассчитанного по Методике. Заметим, что в этом примере распределение X является “не слишком плохим”: оно имеет не слишком большую асимметрию и не обладает тяжелым хвостом. Для “плохих” распределений убытка по полису ошибка могла бы оказаться значительно больше.

Однако Методика (I) не содержит каких-либо ограничений по своему применению и, тем самым, обязательна для расчета в любом случае.

140 Рис. 7.3. Распределение величины суммарного страхового убытка по 100 полисам (результаты моделирования методом Монте-Карло: выборка из 1000 значений) в сравнении с кривой нормальной плотности 7.4

Упражнения к главе 7

Упражнение 7.1. Рассмотрим две страховые компании А и В, страхующие большие группы независимых и однородных рисков. Предположим, что компании А и В намерены объединиться, образовав компанию С. Обозначим и^д5,и^д5,и^95 величины резервов, необходимых, соответственно, компаниям А, В и С для покрытия своих обязательств с вероятностью 0,95. Покажите, что



Объясните эту формулу с позиций раздела 2.4.

Упражнение 7.2. В ситуации примера 7.1 рассмотрим интервал времени в один месяц вместо одного года. Тогда п = 100 (приближенно считаем все месяцы одинаковыми по длительности). Найдите е, оставляющую ? на том же уровне, что и найденный в примере.

Упражнение 7.3. Компания страхования жизни продает полисы краткосрочного (на 1 год) страхования жизни двух типов: типа А и типа Б. По полису типа А в случае смерти застрахованного выплачивается 50000 долл.; по полису Б — 100000 долл. В случае смерти от несчастного случая эти суммы удваиваются. Предположим, что компания предполагает продать полисы людям возрастных групп 1 и 2 в количестве: людям группы 1 — 100 полисов типа А и 40 — типа Б; людям группы 2 — 60 полисов типа А и 35 — типа Б. Вероятность смерти в течение года застрахованного группы 1 равна 0,02; застрахованного группы 2 — 0,04. В группе 1 в среднем 20% смертей происходят от несчастных случаев, в группе 2 — только 10%. Найти относительную рисковую надбавку, считая ее одинаковой для всех полисов, при е - 0,95.

Упражнение 7.4. Страховая компания страхует 1000 автомобилей стоимостью 3000 долл, каждый. 200 автомобилей застрахованы только от угона, 300 — только от ущерба в случае аварии, 500 — от угона и ущерба. Согласно статистическим данным, в течение срока страхования для одного полиса вероятность угона равна 0,02, вероятность аварии — 0,1, вероятность повторных страховых случаев пренебрежимо мала. Ущерб в случае аварии распределен равномерно от 0 до 3000 долл.; в случае угона выплачивается 3000 долл. Найти относительную рисковую надбавку, если она одинакова дтя всех полисов, при е - 0,95.

Упражнение 7.5. Пусть страховая компания имеет п независимых рисков с одинаковыми распределениями убытков. Нетто-премия по каждому риску равна Р. Предположим, что все риски перестрахованы пропорционально (см. раздел 3.4) с одинаковым коэффициентом собственного удержания с. При этом плата за перестрахование одного риска пропорциональна 1-с и равна (1-с)/’(1 + <^), где ?>0 — перестраховочная нагрузка. Выпишите выражение для капитала под риском U как функции от с.

Упражнение 7.6. Модель с инвестиционным риском. Рассмотрим условную группу из п полисов с независимыми одинаково распределенными убытками, каждый из которых имеет математическое ожидание т и среднее квадратическое отклонение (7. Предположим, что все полисы начинают действовать в момент времени 0 и имеют срок 1 год. Пусть годовая доходность инвестиционного портфеля страховой компании имеет нормальное распределение с параметрами тг и <тг и не зависит от убытков по рискам. Пусть U — резерв, инвестируемый в момент 0. Найти величину U, такую, чтобы сумма убытков по рискам за год не превысила U плюс инвестиционный доход на конец года.

Упражнение 7.7. Завершите вывод формулы (7-11).

Упражнение 7.8. Проверьте, что если тариф ТП равен первому слагаемому в формуле (7-11), Т" =Т0 =qSb/S, то страховые премии в среднем равны страховому убытку, т.е. EZ( = 0.

глава

МОДЕЛИ

СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Следующий шаг в развитии моделей риска по сравнению с главой 7 — описание риска при помощи случайных процессов. Эта

Случайное блуждание

В главе 7 была описана статическая модель страхового риска, где риск моделировался всего одной случайной величиной, а именно суммарным страховым убытком по группе рисков S. Однако статические модели могут дать только ограниченное представление о риске. В этой и следующих главах рассматриваются более совершенные динамические модели, позволяющие изучать картину рисковых колебаний во времени.

Случайные флуктуации во времени моделируются при помощи случайных процессов. По определению, случайный процесс представляет собой множество случайных величин {?}, определенных для всех или некоторых значений параметра времени t,t> 0. Процессы, определенные для некоторого промежутка времени, ге[0,Г], называются процессами с непрерывным временем; определенные для какого-то дискретного набора моментов времени — процессами с дискретным временем. Какой-либо конкретный набор значений ? называется траекторией или реализацией этого случайного процесса (см. раздел 12.1). Приращением процесса на интервале времени [/,,/₂] называется разность его значений в конечных точках интервала, ^

Например, можно задать процесс суммарного страхового убытка по группе рисков 5,, положив его равным сумме произошедших убытков за промежуток [О, г] для каждого t > 0.

Случайным блужданием называют процесс ^ с дискретным временем, определенный для моментов t -Q,At,2At,2>At,..., такой, что его приращения независимы и одинаково распределены.

Обозначим функцию распределения этих приращений через F. Рисунок 8.1 иллюстрирует случайное блуждание: это процесс, каждое очередное значение которого выбирается случайно, в соответствии с распределением F, и независимо от предыдущей “истории” процесса. Таким образом, значение процесса представляет собой сумму константы и независимых одинаково распределенных случайных слагаемых; полагая для удобства At -1, можно записать

& =и + Л?і + Л?₂ +...+ Д^,

где и = — начальное состояние процесса.

Величину At называют шагом блуждания.

Случайный процесс с дискретным временем всегда можно превратить в процесс с непрерывным временем, соединив точки его значений — точки плоскости с координатами (kAt,%_kLt) — отрезками. Такая случайная ломаная изображена на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Случайное блуждание Страхование: модель де Финетти

Обозначим через V_t величину баланса резервного фонда (капитала) некоторой страховой компании, образующегося за счет разницы между собираемыми нетто-премиями (премиями после вычета надбавок на расходы компании) и выплаченными страховыми возмещениями. Пусть начальный фонд ?₀ = и.

Предположим, что за единичный период времени от t до t +1 страховая компания собирает нетто-премии в постоянном объеме Р и покрывает страховые убытки в размере Х_І+? Тогда резерв изменяется как

?_І+І=?, + Р-Х_І+Г (8-1)

Если случайные величины X, независимы и одинаково распределены, то процесс V_t — случайное блуждание.

Предположение о независимости убытков за отдельные промежутки может приближенно выполняться для крупного страховщика. Но в целом это, конечно, очень упрощенная модель страхового бизнеса. Она, во-первых, не учитывает денежных потоков от инвестирования резерва. Кроме того, процесс (8-1) стационарен, что, конечно, на практике вряд ли когда-либо выполняется. Модель де Финетти — “первое приближение”, которое позволяет, однако, сделать некоторые теоретические заключения.

На примере процесса V_t введем важное в теории риска понятие вероятности разорения (ruin probability). Разорением будем называть событие, состоящее в том, что баланс V_t становится отрицательным, т.е. резервов недостаточно для покрытия обязательств. Определим вероятность разорения за время Т как величину

ф_т{и)~ Р(для некоторого t? [О,Г] V_t < О),

где и = ?₀ — резерв в начальный момент времени.

Термин “разорение” в теории риска возник исторически. Более точно было бы называть это событие, например, “дефицитом”. Недостаточность резерва не означает разорения страховой компании в смысле приостановления ее операций или банкротства; термин “разорение” теории риска следует понимать как технический. Если баланс резервного фонда У, отрицателен, это еще не означает отрицательности баланса компании в целом, так как компания может иметь и иные источники погашения дефицита (например, собственные средства, займы и др.). С другой стороны, даже при положительном V_t компания может испытать финансовые трудности, если часть активов, в которые вложен резервный фонд, имеет низкую ликвидность (объекты недвижимости, драгоценные металлы и пр.). Таким образом, не следует смешивать вероятность разорения и с вероятностью неликвидности.

Событие разорения следует понимать скорее как некоторый аналитический индикатор, сигнализирующий о финансовом неблагополучии. Можно рассматривать также события, состоящие в снижении уровня резерва не до нуля, а до некоторого положительного минимума. Такой подход можно применять, например, для моделирования страхового бизнеса в условиях нормативного регулирования, предписанного в странах ЕС [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994]. В этом случае тот минимум, ниже которого не должен опускаться суммарный резерв, представляет собой минимальный нормативный уровень резерва — если резерв окажется ниже, операции страховщика будут приостановлены регулирующими инстанциями. Другой пример, иллюстрирующий ту же идею, приводится в следующей главе в связи с моделированием неплатежеспособности компаний (так называемые структурные модели кредитного риска). Легко заметить, однако, что задача о достижении процессом V_t (?₀ = и) некоторого положительного уровня и< и математически эквивалентна задаче о достижении нулевого уровня процессом V_t - и, т.е. задаче о разорении для такого процесса.

Вероятность разорения за бесконечное время

ф{и) = Р(для некоторого t > О V, < 0).

Вероятность обратного события, т.е. того, что разорение не наступит, будем называть вероятностью неразорения.

Де Финетти сформулировал следующий парадокс теории риска.

Если капитал (резерв) страховой компании ограничен, то вероятность ее разорения равна единице.

Действительно, предположим, что V_t не может превышать числа К. В нетривиальном случае, когда вероятность того, что V_l+l < V_t положительна, существует число т, такое, что ф_т{К)> 0. Рассмотрим п интервалов времени длиной т. Каждый такой интервал страховая компания начинает с резервом, не большим К, поэтому вероятность разорения в течение интервала не меньше ф_т(К). Так как приращения процесса независимы, вероятность неразорения в течение п интервалов равна произведению вероятностей неразорения в течение отдельных интервалов. Поэтому для и< К можно написать

Отсюда

ф(и) = lim ф_Т(и) = 1.

На основании этого парадокса де Финетти критиковал вероятность разорения за бесконечное время как нереалистичную меру риска. Нужно сказать, что до него изучение этих вероятностей было для математической теории страхования определяющим (эта так называемая классическая теория риска излагается ниже в разделе 10.1). Одна из моделей, использующих другие, нежели вероятность разорения, критерии, описана в следующем примере.

Пример 8.1. Задача о выплате дивидендов [Borch, 1974а]. Предположим, что, кроме страховых выплат, страховая компания может выплачивать излишки резервного фонда в виде дивидендов своим акционерам. Обозначим дивиденды, выплачиваемые в моменты времени t = 0,1,2,..., через s₀,s_rs₂,... соответственно. Динамика резерва теперь описывается уравнением

V_l+i=V_l+P-X_l+l-s_r (8-2)

Здесь ?_г обозначает капитал (резерв) на момент t после подведения итогов периода, т.е. учета поступивших премий и вычета оплаченных убытков, но до принятия решения о выплате дивидендов. Величины X, по-прежнему независимы и одинаково распределены. Будем считать, что их общее распределение имеет плотность /(х).

Методы решения динамических задач выбора такого типа рассматривались в разделе 1.5. Найдем оптимальную, с точки зрения акционеров, стратегию, или решающее правило, выплаты дивидендов. Пусть их предпочтения на последовательностях $₀,$,,$₂,... описываются средней дисконтированной стоимостью (раздел 1.3). Тогда задачу можно сформулировать в виде

¦И»

S'V —> шах.

/=0

Определим функцию Веллмана Щ?) как дисконтированную сумму дивидендов при оптимальной стратегии выплат, начиная с некоторого момента, если резерв в этот момент равен V. Обратите внимание, что эта функция одинакова для всех моментов времени; этот факт существенно упрощает решение задачи. Положим ІТ(?) = 0 для ?<0, т.е. в случае разорения операции компании прекращаются и дальнейшие выплаты дивидендов прекращаются.

Предположим, что компания выплатила дивиденд s в некоторый момент времени т, имея при этом капитал V. Тогда баланс по прошествии одного периода равен

V-s + P- х,

где х — величина страховых убытков в течение периода. При оптимальной стратегии выплат дисконтированная сумма дивидендов, начиная с момента т +1, будет равна WXV-s + P-jt). Ее математическое ожидание

-s + P-x)f(x)dx. Чтобы привести к моменту т, нужно умножить это на ?. Таким образом, можно записать уравнение Веллмана:

?Т(?) = max

?е|0,?| -s + P-x)f(x)dx (8-3)

Введем функцию

w(V-s + P)= f W(V-s + P-x)f(x)dx.

Jo

Требуется найти максимум функции g(s) = s + vw(V-s + Р). Будем предполагать, что эта функция дифференцируема, имеет единственный экстремум — максимум в точке s*, возрастает для s < s* и убывает для s > s*. Дифференцируя и приравнивая производную к нулю, имеем уравнение для s*

w(y-s* + P) = -.

V

Рассмотрим два случая, в зависимости от значения V: либо s*e [О, V], либо 5*g[0,V]. В первом случае V-s’ + P = z\ где z* — число, такое, что vv'(z') = 1/?. Так как s* единственно, z* тоже единственно. Тогда

j* = V-(z*-P).

Во втором случае предположим, что s*< 0. Тогда максимум достигается на краю интервала, и оптимальный дивиденд равен нулю. Если, наоборот, s"> V, то оптимальный дивиденд равен V, т.е. надлежит выплатить весь резерв в качестве дивиденда.

Все это приводит к выводу: оптимальная стратегия выплат — пороговая. Выплачиваемый дивиденд равен превышению капиталом некоторого постоянного уровня Z, т.е.

s,=[V,-Z]\

Итак, оптимальная стратегия состоит в том, чтобы выплачивать в качестве дивидендов излишки сверх некоторого фиксированного уровня резерва. В случае, если резерв ниже этого уровня, не следует выплачивать ничего.

Тривиальной стратегии, когда весь капитал выплачивается в виде дивидендов, формально соответствует случай Z = 0.

8.2

Винеровский процесс

Нормальное распределение часто служит моделью для случайных возмущений в разного рода системах. Популярность этого распределения объясняется его универсальностью. Как известно, множество разнородных процессов в природе, технике, экономике описывается нормальной моделью. Математически этот факт объясняется центральной предельной теоремой, утверждающей, что суммарное воздействие многих “мелких” возмущений должно давать флуктуации, распределенные “почти” нормально. Экономические системы являются сложными, как правило, характеризуются взаимодействием большого числа экономических агентов, и к ним эти соображения относятся в полной мере. Поэтому применение нормальных моделей (и связанных с ними, как, например, модель доходностей раздела 8.3) в экономике опирается на серьезную теоретическую базу.

Если у нас нет достоверной статистической информации о колебаниях какого-либо экономического показателя, то априори есть больше оснований предполагать их нормальными, чем какими-либо другими.

При построении экономических моделей нормальность часто бывает хорошим “первым приближением” для введения в модели случайности, или “риска”. Впоследствии, при развитии этих моделей, может возникать нужда в построении более точных приближений, учитывающих, например, асимметричность построенных по данным распределений, в противоположность симметричному нормальному распределению. Однако первые результаты, часто наиболее важные, во многих случаях удается получить уже в нормальной модели.

Для моделирования нормальных случайных флуктуаций в непрерывном времени широко используется так называемый винеровский процесс*, или процесс броуновского движения. Стандартный винеровский процесс w_t (>?₀ =0) определяется как процесс, обладающий следующими свойствами:

¦ траектории непрерывны;

¦ приращения на непересекающихся интервалах независимы: для любых t_l2l< s₂ случайные величины (??, - ?? ) и (w₍ - ??_Л) независимы;

¦ приращения w_r нормальны: величина (??, - и> ) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией t₂~t_r

Винеровский процесс со сносом, или обобщенный винеровский процесс — процесс вида

? =^₀+Mt + crw„ (8-4)

где ?₀, /л и а — некоторые числа, сг> 0.

Приращения обобщенного винеровского процесса,

= ptAt + crAw, (8-5)

независимы и распределены нормально со средним /лАt и средним квадратическим отклонением СГу[аІ.

Винеровский процесс можно приближенно представлять следующим образом. Ось времени разбивается на достаточно малые проме-

¹ Н. Винер (Wiener) — американский математик XX в.

жутки А Г, приращение процесса (8-4) на этих промежутках моделируется случайной величиной вида

//A t + ?<Т\/аІ,

где ? — стандартно нормальные случайные величины, независимые для различных интервалов. Чем меньше At, тем точнее это приближение винеровского процесса.

Рис. 8.2. Две траектории обобщенного винеровского процесса

pit + <т??, На рис. 8.2 показаны две траектории процесса (8-4), смоделированные таким образом. Величины ? моделировались при помощи датчика случайных чисел. Таким образом, рисунок представляет лишь приближения траекторий винеровского процесса. В действительности всегда приходится довольствоваться приближениями, так как траектории винеровского процесса невозможно изобразить графически. Эти траектории представляют собой непрерывные, но нигде не дифференцируемые функции, т.е. должны иметь “бесконечно частые изломы”, что, конечно, невозможно изобразить на графике.

То, что Аt входит в приведенное выражение в степени 1/2, объясняется следующим образом. Из того, что приращения процесса для непересекающихся интервалов времени независимы, следует, что дисперсия его должна расти линейно по времени. Действительно, если и (7?₂л/Af₂ — приращения, соответственно, на соседних интервалах Аг, и Аt₂, то приращение на объединенном интервале имеет дисперсию <т(Дг, + Дг₂), равную сумме дисперсий величин <те_іУ[К^ и <Т?_2Л/АТ₂.

Винеровский процесс — математическая модель, впервые сконструированная для описания броуновского движения — движения маленькой частицы в жидкости под воздействием ударов молекул. Этим объясняется название “процесс броуновского движения”. Если удары молекул “очень часты” и независимы, винеровский процесс будет хорошей моделью изменения одной из координат частицы во времени. Этот процесс можно использовать как модель любой величины, подвергающейся “очень частым” независимым воздействиям. Например, страховой убыток по группе из п однородных рисков 5, будет приближаться обобщенным винеровским процессом тем лучше, чем больше п, и тем самым, чем чаще наступают “воздействия”, т.е. происходят отдельные страховые убытки. Если группа состоит из нескольких видов рисков, ожидаемое число ненулевых убытков по рискам каждого вида должно быть достаточно велико, в противном случае распределение приращений может быть далеко от нормального. В частности, это может быть так, если в группе присутствуют отдельные крупные риски, вероятные убытки по которым приводят к отличиям распределения суммарного убытка от нормального.

Принцип инвариантности

Если взять случайное блуждание с очень маленьким шагом At, то такой случайный процесс окажется близким к винеровскому процессу.

Начнем бесконечно “измельчать” время: положим At = At(n) = Tin. Рассмотрим случайные блуждания ?^(|),?^(2,,...,?^<л),..., стартующие из нуля (т.е. ?₀⁽¹⁾ =0) и такие, что ?^(л) имеет шаг At (гг). Обозначим их приращения, Д?^(л) = ?,^<л) - ¦

Тогда, если выполнены условия нормировки

Е[Д?^л)] = 0,

0[Д^^(Л,] = ДГ, (8-6)

то при л —> °о вероятность попадания случайных ломаных блуждания ?₍^(л) в прямоугольник [t_vt₂]y.[a,b], Г,,Г₂ ? [0,7], на плоскости (г,?) стремится к соответствующей вероятности для траекторий винеровского процесса:

Р(?,^(л) ? [a,b] для любых Г? [Г,,Г₂]) —> Р(??, ? [a,b\ для любых Г?[Г,,Г₂]). (8-7)

Таким образом, можно говорить о тождественности (в пределе) вероятностного поведения обоих процессов .

Соотношение (8-7) можно распространить с прямоугольников на многие другие множества (фактически произвольные, кроме множеств очень сложной структуры). Если оно выполнено, то говорят, что распределение случайных ломаных процесса ?,^(л) для ге [О, Г] слабо сходится к распределению винеровского процесса w_r

Предположим теперь, что случайное блуждание можно линейным преобразованием, положив

е«_?,~ЖО

' а

привести к такому виду, чтобы для нормированного процесса выполнялись условия (8-6). Поскольку ?₍* приближается винеровским процессом w_t, будет приближаться процессом

fi{t) + aw_r (8-8)

Из условий (8-6) получаются условия приближения таким процессом:

Е[Д?] = Ди(0,

D[A? ] = Е[Д? - Д и(іг)]² = а¹ At (8-9)

(см. упражнение 8.1). Более общая версия условий, которая будет использоваться в следующей главе, дана в упражнении 8.2.

Принцип инвариантности является обобщением центральной предельной теоремы (ЦПТ). Условия (8-6) играют такую же роль, как условия нормировки в ЦПТ (требования равенства нулю математического ожидания и единичности дисперсии суммы).

Винеровский процесс является предельным в схеме случайного блуждания, как нормальное распределение — предельным в схеме суммирования независимых случайных величин.

В следующих разделах будут необходимы некоторые факты стохастического дифференциального исчисления, или стохастического ана-

¹ Этот важный факт называется принципом инвариантности', его часто называют принципом Донскера — Прохорова. М. Донскер (Donsker) — американский математик XX в., Ю.В. Прохоров — русский математик современности. См., например: | Прохоров, 1956; 1999, с. 194|.

лиза. Ниже они описаны кратко. Понятие стохастического дифференциала не определяется, но вводятся правила обращения с этим “оператором”. По поводу полной теории можно обратиться к специализированной литературе; некоторые источники указаны в конце раздела.

В “обычном” (нестохастическом) математическом анализе вводится понятие дифференциала неслучайной функции одной или нескольких переменных. Операцию взятия дифференциала функции обозначают строчной буквой d. Дифференциал df функции /, взятый в точке t₀, является некоторой функцией. Здесь букву d можно понимать как обозначение “оператора дифференциала”, ставящего в соответствие функции / и точке t₀ функцию df. Задаются определенные правила действий с дифференциалами, которых достаточно для решения прикладных задач. Уравнение, связывающее дифференциалы, называют дифференциальным уравнением. Если некоторая функция удовлетворяет такому уравнению, она называется его решением.

Рассмотрим теперь случайные процессы, т.е. случайные функции от времени. В этом случае мы введем операцию взятия стохастического дифференциала как некоторую математическую операцию. Взятие дифференциала от случайного процесса в фиксированной точке t₀ дает некоторый случайный процесс d?_t, называемый дифференциалом процесса %_г Строгого определения операции взятия дифференциала дано не будет. Можно считать, что d есть обозначение некоторого оператора, который ставит в соответствие процессу %_t и точке t₀ некоторый случайный процесс dg_r Ниже будут указаны только некоторые правила действий с дифференциалами, которых окажется достаточно.

Уравнение, включающее стохастические дифференциалы, называется стохастическим дифференциальным уравнением. Его решением будем называть такой процесс, который при подстановке его в уравнение и взятии дифференциалов приводит уравнение к равенству. Так же, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, решения стохастического дифференциального уравнения обычно представляют собой некоторое множество процессов. Чтобы выделить одно конкретное решение, задают краевые условия — например начальное условие, фиксируя значение процесса в начальный момент времени.

Введем некоторые формальные правила обращения со стохастическими дифференциалами и дифференциальными уравнениями.

Во-первых, результат взятия стохастического дифференциала от неслучайного процесса (функции) совпадает с обычным дифферен-йиалом.

Во-вторых, операция взятия стохастического дифференциала является линейной. Если и 77, — два случайных процесса, то

d{a^_t+b7]_t) = ad^_t+bd7]_r (8-10)

Из этих двух правил легко следует, что обобщенный винеров-ский процесс (8-4) является решением стохастического дифференциального уравнения

d%_t = /xdt + t. (8-11)

Нетрудно увидеть аналогию между этим уравнением и (8-5). В-третьих, введем основное правило оперирования со стохастическими дифференциалами — так называемую формулу Ито. Процесс, определяемый как решение уравнения

d% = /г(г, %)dt + a(t, ^)dw, (8-12)

(индекс t здесь и иногда ниже мы для краткости опускаем) называется процессом Ито. В отличие от (8-4), здесь ц и а уже могут быть функциями от t и

Лемма (Ито). Пусть — процесс Ито, заданный уравнением (8-12). Пусть f = f (t,?) — дважды дифференцируемая функция. Тогда

df -dt ⁺ jkdZ + ±-^CJ²dt. (8-13)

dt dg 2 dg

Эта основная формула позволяет переходить от дифференциалов случайных процессов к дифференциалам функций от них и обратно. Отметим ее отличие от формул “обычного” анализа. Если бы речь шла о дифференциале функции от двух детерминированных переменных / = f(x, у), по хорошо известной формуле было бы

Э/ Э/

df =-f-dx + ^-dy. dx dy

Формула (8-13) отличается от этой последним членом, который поэтому называют “стохастическим”, подчеркивая отличие стохастиче-

ской ситуации. Если подставить в (8-13) выражение для d.% из (8-12), получим

Э/ Э/ о-² Э²

— + ——і---

Эг 2 Э?²

dt + — adw.

4f —

(8-14)

Эту формулу обычно и называют формулой Ито. Из нее видно, в частности, что процесс /(г,?₍) тоже является процессом Ито, т.е. решением уравнения вида (8-12). Это говорит о том, что класс процессов Ито весьма широк, если произвольная функция от такого процесса и времени не выводит за пределы этого класса.

Эвристический вывод формулы Ито, проливающий свет на происхождение “стохастического” члена, приведен в разделе 12.3.

Описанные правила позволяют выполнять простейшие операции со стохастическими дифференциалами. Попробуем эвристически пояснить их.

Как уже было сказано, приращение винеровского процесса на интервале времени длиной At можно представить в виде Д??, = ?у[Кі, где ? — стандартно нормальная случайная величина. Стохастический дифференциал dw_n так же, как в “обычном” анализе, можно понимать как случайную величину, являющуюся приближением Д??,. Различия в свойствах этих величин являются исчезающе малыми при At —? 0, т.е. при малых At.

Эвристически можно понимать эти обозначения по аналогии с соответствующими концепциями “обычного” анализа. Перейдя от (8-5) к (8-11), мы перешли к бесконечно малым приращениям при At —> О, обозначив такие приращения знаком дифференциала d. В “обычном” анализе оказывается, что для восстановления значения функции путем интегрирования достаточно главной (линейной) части ее приращения. Все прочее может быть отброшено, т.е. приращение может быть “упрощено”. То же самое делается в случае стохастических переменных. Дифференциалы случайных процессов d? или dw следует понимать как главную часть их приращений Д? и Д?? при At —» 0, т.е. на малых отрезках времени. Чем At меньше, тем дифференциал d? точнее воспроизводит приращение Д?

Приведенных “отрывков” из стохастического анализа будет достаточно для приложений, которые мы намереваемся рассмотреть ниже. Читатель, желающий более полно познакомиться со строгой математической теорией стохастических дифференциальных уравнений, может обратиться к специальной учебной и монографической литературе, например, к книгам Вентцеля [Вентцель, 1996], Ширяева [Ширяев, 1989; 1998], Оксендаля [Оксендаль, 2003].

8.3

Модель цен финансовых активов

Попытки построить вероятностные модели цен и доходностей ценных бумаг предпринимались еще с начала XX в. Французский ученый Л. Башелье, опубликовавший свою работу в начале 1900-х гг., предложил нормальную модель для цен финансовых активов и товаров. Соображения в пользу нормальности распределения были изложены выше: они основаны на центральной предельной теореме.

Пусть А₀ и А_т — цены некоторого актива, соответственно, в моменты 0 и Г. Будем считать, что владение активом не приносит денежных доходов (актив бездивидендный), т.е. весь доход состоит в повышении цены актива. Доходность за период [0, Т] есть



Нетрудно заметить, что если цена А_т распределена нормально (цену Л₀ считаем известной), то и доходность г" нормальна. Разобьем интервал [0,Г] на п малых промежутков длиной Т/п. Если считать, что изменения цены актива на каждом из промежутков независимы и одинаково распределены, то А_т должно быть приближенно нормально.

В течение XX в. предположение о нормальности цен и доходностей использовалось во многих моделях; в частности, мы видели примеры выше в разделах 2.1 (модель выбора портфеля Марковица — Шарпа) и 2.3 (методика RiskMetrics [Introduction, 1995]).

Оказывается, однако, что гипотеза о нормальности цен и доходностей приемлема только на очень небольших интервалах времени. При увеличении интервалов она обычно плохо соответствует данным. Лучше соответствует данным так называемая логнормальная модель. Оказывается, что лучше считать независимыми и одинаково распределенными не изменения цен, а доходности или относительные изменения цен на “малых” интервалах времени. Это связано с тем, что цены акций или, скажем, товаров не имеют каких-то “номинальных” значений, которые можно было бы использовать для их, так сказать, калибровки. Можно рассуждать так: допустим, некоторая компания выпустила 1 млн. акций, которые сегодня стоят по 100 за акцию. Это значит, что сегодня рыночная капитализация компании равна 100 млн. Та же компания с тем же успехом могла бы выпустить 10 млн. акций, которые стоили бы по 10 за акцию. Ясно, что количество акций никак не должно влиять на рыночную капитализацию компании и ее колебания. Поэтому изменение цены акции в первом случае на 10 руб. означает то же, что изменение на 1 руб. во втором. Важны только относительные изменения, или доходности.

Пусть опять интервал [0,Г] разбит на п малых промежутков длиной Tin. Обозначим г* доходность актива на і-и промежутке. Тогда

1 + г* =(1 + <)(1 + ^).. .(1 + 0.

Логарифмируя, имеем

іп(і + г*) = Хіп(і + »;*).

1

Поскольку г’ — независимые и одинаково распределенные случайные величины, величины 1п(1 + т;*) также независимы и одинаково распределены. Поэтому в силу центральной предельной теоремы их сумма при большом п приближенно нормальна. Это означает, что величина (1 + г*) распределена приближенно логнормально. Поэтому г* имеет логнормальное распределение со сдвигом, А_Т — логнормальное распределение.

Опишем ту же логнормальную модель в случае, когда цены активов описываются случайными процессами. Пусть 5, — цена безрисковой бескупонной облигации. Пусть цена меняется по закону

Я,=?> (8-15)

где г — безрисковая ставка с непрерывным начислением, т.е. рост цены облигации реализует начисление сложного процента с постоянной

силой роста г. Как показывает упражнение 9.1, именно так и должна расти цена облигации на “идеальном” финансовом рынке. При этом В' есть решение обыкновенного дифференциального уравнения



Смысл его в том, что для “малого” промежутка времени можно считать, что доход начисляется по правилу простого процента, т.е. только на сумму В, но не на проценты на нее (процент на процент — бесконечно малая более высокого порядка, чем процент на основной капитал).

Пусть теперь А_т — цена некоторого рискового (со случайной доходностью) актива на момент t > 0. Будем снова считать, что владение активом не приносит каких-либо дополнительных денежных доходов.

Если задать уравнение для цены актива в виде



(8-16)

то инвестор, владеющий активом, будет получать от роста его стоимости постоянную доходность с непрерывным начислением //.

Для “малого” промежутка времени At можно приближенно написать



снова считая доходность с непрерывным начислением приближенно равной “обычной” доходности.

Наложим на доходность актива случайные возмущения (случайный “шум”), которые будем моделировать нормально распределенной случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Будем считать, что “шумовые” возмущения для непересекающихся интервалов времени независимы. Описанная выше модель для таких возмущений — винеровский процесс ??₍. Итак, запишем

ДА л

— = uAt + oAw,.

А

Это дает идею того, как должно измениться дифференциальное уравнение (8-16). Введем следующую модель для процесса цены актива А_Т: будем определять его как решение стохастического дифференциального уравнения

dA

— = /J.dt + adw_r (8-17)

Здесь а — положительное число, называемое волатильностью цены актива. Как видно из уравнения, волатильность характеризует степень случайной изменчивости цены актива: чем она выше, тем “более рисковым” является актив. Обратите внимание на то, что “шум” добавляется к величине относительного приращения цены актива; это означает, что случайные колебания приносимой активом доходности не зависят от цены актива. Если цена актива задается уравнением (8-17), то ц играет роль средней доходности.

Переписав стохастическое дифференциальное уравнение (8-17) в виде

dA = fiAdt + crAdW', (8-18)

мы видим, что А_Т является процессом Ито. Чтобы найти решение (8-18), т.е. выразить А_т в явном виде, применим формулу Ито к функции / = 1п(Л). Имеем:

^ _{= 0} і?=І

dt дА А’ дА² А²

Подставляя это в (8-14), получаем

Лп( А) = — + - ~ a²S²dt = А 2 S

<7

"-т

dt + <7dw.

Это уравнение аналогично уравнению (8-11), написанному для обобщенного винеровского процесса (8-4), с точностью до констант. Это, согласно сказанному в предыдущем разделе, указывает решение уравнения: это обобщенный винеровский процесс. Для того, чтобы полностью его задать, нужно указать начальное условие. Зафиксируем цену актива в момент 0, считая ее равной А₀. Тогда

< а^ ц--

V 2,

А₀ ехр t + aw_t ^1п(Л) = ^1п(Л))

откуда

(8-19)

Процесс вида (8-19) называется геометрическим броуновским движением (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Две траектории процесса геометрического броуновского движения (8-19) Заметим, что при решении стохастического дифференциального уравнения можно взять вместо начального момента t = О произвольное t = t₀\ тогда в качестве начальной цены вместо А₀ нужно взять А . Приращение логарифма цены актива на интервале [г₀, г] имеет нормаль

('“О ИД^ИС-

ное распределение с математическим ожиданием

_2

Персией о²

(8-20)

1п(а,)-1п(а,_о) = ЛГ

Следовательно, сама цена актива A_t имеет логнормальное распределение, описанное в разделе 12.1. По этой причине описываемую модель цен активов называют логнормальной моделью. Кривая плотности логнормального распределения изображена на рис. 8.4. Это распределение с положительной асимметрией; по сравнению с нормальным, мода (максимум плотности) смещена влево, а правый хвост более тяжел.

Пользуясь формулами для математического ожидания и дисперсии логнормального распределения (см. раздел 12.1), выпишем выражения для математического ожидания и дисперсии А,:

'⁰⁾ -і].

г(и

(8-21)

DA, = А

ЕЛ, = А. е

¹ ч

0,30 0,24 0,18 0,12 0,06 0,00

0 2 4 6 8 10

Рис. 8.4. Плотность логнормального распределения

8.4

* Модель страхования, включающая инвестиции

Выше рассматривалась модель денежного резерва страховой компании в случае только одного источника неопределенности — страхового риска. В действительности страховые компании держат лишь небольшую часть резервных средств в денежной форме; основная часть средств инвестируется в различные активы (ценные бумаги различных эмитентов, банковские депозиты, недвижимость и др.). Посмотрим, как с помощью модели предыдущего раздела можно ввести инвестиционный риск в модель страхования, и попробуем сделать некоторые выводы о соотношении этих типов риска.

Не принимая пока во внимание инвестиционный риск, положим

У, =V₀+^t + (7W,,

или

dV_t = fldt + <7 dw_r (8-22)

Это модель изменения резерва за счет “чисто страхового” денежного потока — страховых премий и убытков. Нормальная модель применима, если поток поступлений и выплат подвержен действию многих “мелких” независимых случайных возмущений. В главе 7 обсуждалась применимость нормальной аппроксимации для суммарного страхового убытка S_t. Здесь мы применяем ее для потока убытков в сумме с потоком поступлений страховых нетго-премий. При этом предполагается, что этот поток моделируется обобщенным винеровским процессом. Это означает, что в среднем он обладает постоянной интенсивностью //, которая представляет собой разность между средней суммой нетго-премий и средним суммарным убытком в единицу времени. Случайные колебания при этом независимы и нормальны.

Приращение фонда начальной величины А в течение малого промежутка времени длиной dt описывается (8-18). Предположим, что резервный фонд страховой компании, имеющий объем V, инвестирован в актив со средней доходностью // и волатильностью <7*. Тогда его приращение за счет изменения стоимости актива составит f/Vdt + а*Vdw. Это, так сказать, “инвестиционная” составляющая приращения фонда. Кроме того, имеется “страховая” составляющая приращения, описываемая (8-22). Поэтому полное приращение можно записать в виде

dV = f/Vdt + <т *Vdw* + fidt + odw. (8-23)

Это стохастическое дифференциальное уравнение описывает процесс ?_г Он, как видно из уравнения, принадлежит к классу процессов Ито. Здесь w_t и w* — два различных стандартных винеровских процесса, которые будем считать независимыми. Иначе говоря, предполагается, что инвестиционный и страховой риск не связаны друг с другом. Чтобы задать процесс полностью, нужно определить также некоторое начальное значение ?₀ = и.

Для малого Дt можно приближенно записать

ДV - f/VAt + о*?Ае* + fiAt + стАе,

где ? и е" — независимые стандартно нормальные случайные величины. Пучок смоделированных траекторий такого процесса, выходящих из точки = и - 1, показан на рис. 8.5. Этот пучок представляет результат имитационного моделирования. Каждая из траекторий процесса получена при помощи датчика случайных чисел. С помощью имитационного моделирования можно оценивать различные характеристики риска. Например, вероятность разорения в течение какого-то промежутка времени [О,Г] можно оценить, подсчитав относительное число траекторий, хотя бы раз зашедших в область отрицательных значений в течение [О,Г]. При помощи имитационного моделирования можно исследовать гораздо более сложные и реалистичные процессы в страховании, финансах и других областях. Эта тема далее обсуждается в главе 11.

Рис. 8.5. 100 траекторий процесса (8-23) Модель (8-23), конечно, представляет собой упрощенную модель капитала страховой компании. Однако она включает уже два источника неопределенности и представляет некоторый шаг вперед по сравнению с рассмотренной в разделе 8.1. Введение инвестиционного риска иллюстрирует важный принцип пошагового усложнения моделей.

Начав с простых схем и вводя новые факторы (в частности, новые факторы риска) шаг за шагом, можно добиваться все большей реалистичности построенных моделей.

Более полная схема денежных потоков страховой компании описана в разделе 11.1. Модель этого раздела имеет то преимущество, что в ней удается получить некоторые аналитические результаты, описанные ниже.

Приведем без доказательства один общий результат [Norberg, 1996]. Вероятность разорения за бесконечное время для процесса (8-23)

h{z)dz

ф{и) =

(8-24)

f h(z)dz

Jo

Z// +//

-²f

С — нормирующая константа.

где h{z) = С exp

¦dz

2/ ¦*ч2

Z (сг )

Ее можно выбирать из условия, чтобы интеграл от функции h равнялся единице, т.е. h была плотностью вероятности.

Рассмотрим три частных случая: отсутствие инвестирования (//*=0, а* = О); безрисковое инвестирование (//>0, <7*=0j; наконец, рисковое инвестирование (//* > 0, а* >0).

В случае отсутствия инвестирования резерва, когда ji- 0, о*- 0, процесс (8-23) превращается в “обычный” обобщенный винеровский процесс, выражение для которого совпадает с (8-4). При этом (8-24) дает

+ cr

ІЕ

(У¹ J

ф{и) = ехр

(8-25)

Это выражение для вероятности того, что обобщенный винеровский процесс (8-4) с начальным значением и когда-либо окажется в области отрицательных значений. Аналогичную формулу можно найти, например, в справочнике [Borodin, Salminen, 1996].

В случае безрискового инвестирования >0, о* =о) выражение для h превращается в

h(z) = С ехр \-2 f

= С ехр { J (7 J V

Выделяя полный квадрат в выражении в показателе экспоненты и учитывая, что С выбирается из соображений нормировки, можно видеть, что h — плотность нормального распределения со средним -ц!2ц* и дисперсией a¹ !2fi. Поэтому интегралы, стоящие в (8-24),

вычисляются по формуле

JL

2//*

л/2/7

1-Ф Наконец, в случае /л* > О, а* > 0 интегрирование приводит к формуле [Paulsen, 1993]

h(z) = С (о* ^,1 -р’Цт*² 2ц |? — Z +1 •ехр . arctg — Z ) аа )\ (8-26)

Интересно использовать эти результаты для изучения влияния инвестирования на страховой риск. Приведем асимптотические оценки для ф(и) при и —» +°°, т.е. при больших значениях начального капитала. При /л" - 0, а* = О

ф{и) = о\е-^2миІ,т1\

Аналогичная экспоненциальная асимптотика получается в классической модели Лундберга, где тоже лишь один источник неопределенности — страховой риск, но модель для него другая (см. раздел 10.1). При /л > 0, а* = 0

ф{и)<е-^м'^и1іа1-е-^1ми1а\

т.е. мы видим, что инвестирование в безрисковый актив существенно улучшает асимптотику вероятности разорения. В третьем случае, при /л* >0, <7* > 0, имеем

0(ц) = о(м"^?/(<т‘⁾²).

Таким образом, в случае наличия инвестиционного риска асимптотика намного хуже. Интересно, что асимптотическое поведение вероятности разорения целиком определяется параметрами инвестиционного риска. Это значит, что при больших и, т.е. для страховой компании, имеющей большие денежные запасы, инвестиционная неопределенность является основным фактором риска.

Изучение вероятностей разорения будет продолжено в главе 10.

8.5

ARMA процессы

Процессы, описанные выше, обладали свойством независимости приращений. Часто, однако, возникает потребность в моделях, дающих более богатый ассортимент картин случайных флуктуаций, в том числе с зависимостью. В этом разделе очень кратко описываются так называемые процессы авторегрессии — скользящего среднего (autoregressive moving average, ARMA), очень распространенные в практике статистического моделирования. При простоте своей “конструкции” эти процессы представляют удобный и достаточно гибкий инструмент для моделирования многих видов случайных колебаний.

Подробное изложение теории ARMA процессов выходит за рамки настоящей книги. По этому поводу читатель может обратиться к руководствам по теории временных рядов и эконометрике, например: [Hamilton, 1994; Айвазян, Мхитарян, 1998; Магнус, Катышев, Пересецкий, 2001; Канторович, 2002].

Авторегрессионный процесс первого порядка — AR( 1) процесс ? определяется соотношением

(8-27)

? =8 + у?,_₁+о?„

где S, у, а — некоторые постоянные, e_t — последовательность независимых (для разных t) одинаково распределенных случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Величины e_t называют “остатками”, они представляют случайные помехи, или, как говорят, “шум”. Таким образом, параметр а (будем считать его положительным) представляет собой среднее квадратическое отклонение “шума”. Чаще всего в качестве ?_t используют независимые стандартно нормальные случайные величины. Однако нередки случаи, когда распределения остатков обнаруживают асимметрию; в этих случаях можно использовать, например, гамма- или логнормальные распределения.

Процесс (8-27) можно представить в виде

(8-28)

= 1-/0 + ОЕ,,



Этот вид записи показывает, что при ІТІ<1 процесс обладает следующим свойством: если на (Г-І)-м шаге процесс отклонился от своего среднего ц на Д = - /х, то на следующем шаге это откло

нение будет в среднем равно у А, что по модулю меньше Д. Это свойство называется возвращением к среднему. Условие | у |< 1 обеспечивает стационарность AR(1) процесса; если у> 1, то процесс “расходится”, т.е. его траектории уходят в бесконечность. Такие процессы при моделировании экономических временных рядов обычно не используют.

Последовательно применяя (8-28), можно получить

?-М = У^і[€о-м\ + <т'Е_іУ^і-^І?г

(8-29)

і=і

Отсюда видно, что при | у\< 1 процесс приближается к равновесному распределению, т.е. распределению, на которое не влияет начальное состояние ?₀. Если считать = ц, то влияние начального состояния вообще “не ощущается”. Теоретически равновесное распределение достигается при t — Из (8-29) можно оценить близость распределения к равновесному. Величина отличается от “равновесной” величины на

к=п

где е_к — та же последовательность остатков, но в измененной нуме-рации. Как легко подсчитать, дисперсия “ошибки”



Так как Т] распределена нормально с нулевым математическим ожиданием, с вероятностью 0,95 ее значение попадает в интервал ±1,96^/D(A) = ±l,96oyⁿ/yJl^ у², где 1,96 — квантиль уровня 0,975 стандартно нормального распределения. Это неравенство позволяет оценить близость распределения к равновесному.

Например, ниже AR процессы используются для моделирования таких показателей, как уровень инфляции и инвестиционная доходность. При этом характерные значения о меньше единицы. Легко подсчитать, что при у = 0,5 и <7 = 0,1 отличие уже 8-го члена от “равновесной” величины с вероятностью 0,95 не превысит 0,001. Впрочем, скорость сходимости сильно зависит от величин параметров, в особенности параметра у.

Как можно видеть, вычисляя математические ожидания и дисперсии обеих частей (8-29) и устремляя t к бесконечности, характеристики равновесного распределения таковы: математическое ожидание

ML) = m = -^-

1-у



дисперсия

Предельная (при достаточно больших t) автокорреляционная функция, т.е. коэффициент корреляции ^ и g_l+k,

У-

p(k) =

1-Г

При у = О AR(1) процесс вырождается в белый шум — процесс, в котором значения независимы и нормальны. Такой процесс часто используют как модель “абсолютно хаотических” возмущений. При у = 1 процесс превращается в случайное блуждание с нормально распределенными приращениями — дискретный аналог обобщенного ви-неровского процесса. При промежуточных значениях у процесс (8-27) генерирует случайные колебания “псевдопериодического” характера. При возрастании у процесс становится более стабильным (рис. 8.6).



Рис 8.6. 10 траекторий AR(1) процесса с /г = 0,1, <7 = 0,05: (а) у = -0,6; (б) у = 0,2; (в) / = 0,8

Авторегрессионный процесс первого порядка, являясь обобщением случайного блуждания, сохраняет присущее последнему так называемое марковское свойство, состоящее в том, что значение E,_t зависит только от , но не от значений процесса в более ранние моменты времени. Если зависимость от прошлого процесса хотят сделать более “глубокой”, используют процессы авторегрессии более высокого порядка,

?,-М = Гі{?,-і-М) + Гг{1-г-М)+-+Г_Р(?-_р-м) + Юг (8-30)

Такой процесс называется авторегрессионным процессом порядка р — AR( р ) процессом.

Чтобы лучше представлять себе авторегрессионные процессы, полезно выяснить, как они ведут себя при <7 = 0, т.е. в детерминированном случае. На рис. 8.7 показаны четыре примера. Видно, что во всех случаях начальное отклонение от среднего порождает затухающие флуктуации. В структуре колебаний прослеживается периодичность, соответствующая порядку процесса, которая может быть достаточно сложной. Например, в случае (б) каждые три идущие подряд точки образуют форму, подобную образованной предыдущими тремя, но с зеркальным отражением. AR процессы (8-30) представляют собой суперпозиции, т.е. наложения такого рода затухающих колебаний, порождаемых случайными возмущениями на каждом шаге, моделируемыми “шумовыми членами” e{t).

(а)' 5 Л J , 0 ?, » Л •, * Л к ¦J * * V ? w' V • (б), 0 5 10 15 20 25 30 -Л

• , * > ч * -1 ? ¦* (В) 1

0 О' 5 10 15 20 25 30 'V -1

-2 ;/ ^? Э 5 10 »5 20 25 30 (Г)'

0 . 1 д * ₉ V «

' А * А -1 ? * *’ V ? ) Я 10 15 20 25 30 Рис 8.7. Авторегрессионные процессы с ц = 0, а = 0:

(a) AR(1) процесс с у_{ = -0,8; (б) AR(2) процесс с у_{ = 0,8, у₂=-0,8;

(в) AR(3) процесс с у = -0,8, у₂ = -0,8, у₃ = -0,6;

(г) AR(3) процесс с у_{ =0,8, у₂= 0,8, у₃ =-0,7

Процессом авторегрессии — скользящего среднего — ARMA( p,q) процессом называется процесс

? -м=К(?-. -м)+Гг(?-2-и) +• • -+У_Р(?.„-м) +
Процессы, получающиеся из него при отсутствии “авторегрессионных” членов, т.е. ARMA(0,g) процессы, называются процессами скользящего среднего порядка q — MA(g) процессами. Ясно, что чем выше порядок такого процесса, тем больше зависимы его соседние значения и тем больше “глубина” зависимости от прошлого.

Пример использования авторегрессионных процессов для моделирования рисков дает известная модель Уилки [Wilkie, 1986; Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994; Financial Economics, 1998]). Эта модель была разработана для применения в актуарных целях, т.е. для практически-ориентированного моделирования инвестиционных рисков страховых компаний и пенсионных фондов в Великобритании. Аналогичные модели были созданы для других стран, в частности Канады и США.

Пример 8.2. Модель Уилки представляет собой группу взаимосвязанных моделей финансовых временных рядов: уровня инфляции, цен и доходностей акций и государственных облигаций Великобритании (так называемых Consols), цен на недвижимость, рентных доходов от недвижимости и др. Модель имеет “каскадную” структуру: вначале моделируется один из показателей, затем, с использованием первого, другой, затем следующий показатель может моделироваться с использованием первых двух и т.д. В модели Уилки таким “первичным” показателем является инфляция, а остальные уже “привязываются” к нему. Чтобы проиллюстрировать идеи, в этом примере рассмотрим модели инфляции и привязанные к ней модели цен и доходностей акций.

Обозначим через /₍ значение индекса потребительских цен на момент t = 0,1,2,... (время измеряется в годах). Годовой уровень инфляции потребительских цен

Уилки использовал простую AR( 1) модель для логарифма 1 + i_t,

In (l +1₍₊₁) — і =у[\п(і + і')-і~\ + сг_і?_І, (8-32)

где і, сг и у — некоторые числа, e_t — последовательность независимых стандартно нормальных случайных величин. Эта модель показывает хорошее согласие с данными; в частности, оно не хуже, чем для моделей большей глубины авторегрессии. Оказывается, что инфляция в Великобритании зависит от прошлого только через индекс цен предыдущего года (этому есть свои экономические причины, см. [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994]).

Модель подгонялась по данным для разных стран и за различные периоды времени. Например, значения параметров, предложенные Уилки для данных по Великобритании за 1919—1982 гг., таковы:

і =0,05; у, =0,6; сг. =0,05.

Рассмотрим модель для доходности акций. Доход от инвестиций в акции имеет две составляющие: доход от роста цен акций и денежный доход в виде дивидендов. В модели Уилки цены и дивиденды моделируются отдельно.

Пусть Б, — индекс акций, т.е. цена одной денежной единицы, инвестированной в портфель акций в начальный момент 0, без реинвестирования доходов; d_t — индекс дивидендов, т.е. полная сумма дивидендов, полученных в течение периода от г -1 до г на портфель акций стоимостью 1 денежная единица в момент t\ y_t — дивидендная доходность,



Любые две из этих величин однозначно определяют третью. В модели Уилки моделируются y_t и d_r Процесс для у_: задается как

In у, =n_t +<у_у1п(і + і,), (8-33)

где второй член “отвечает” за влияние инфляции, а первый представляет собой авторегрессионный процесс первого порядка,

п, = In Му + Гу [ V, - In Му ] + <т,?, > (8-34)

остатки rj_t независимы и стандартно нормальны.

Процесс для d_t выглядит таким образом:

= co_dm_t + a In (1 + і,) + //,, + ?<ХД-, + Ya<*A-. + <*A> ^8-35)

где ? независимы и стандартно нормальны,

т_І =<Уіп(і + і₍) + (і —(8-36)

Эти модели были подогнаны по данным для индексов британских акций за различные периоды. Так, использовался Financial Times-Actuaries All-Share Index. Предложенные Уилки значения параметров для периода 1919-1982 гг.:

М_у =0,04; у_у =0,6; со_у =1,35; а_у =0,175; со, = 0,8;? = 0,2;<эг = 0,2; ? = -0,2; //, =0; у, =0,375; сг, =0,075.

Модели, подобные модели Уилки, ориентированы на моделирование сильно диверсифицированных портфелей страховых компаний и пенсионных фондов. Именно поэтому для подгонки параметров брались данные по индексам акций. Конечно, можно использовать и данные подругам портфелям акций. Одно из возражений против подгонки по длинным временным рядам состоит в том, что эти данные содержат шоковые падения цен, связанные с кризисами. Возможно, более правдоподобную картину можно получить, моделируя инвестиционные показатели отдельно для “спокойных” периодов и тем или иным образом накладывая на эти данные шоки, задаваемые сценарно либо генерируемые стохастически (например, рис. 12.1).

Модель Уилки является далеко не единственной прикладной моделью такого рода. Предлагались и другие модели, связывающие различные индексы и использующие для этого авторегрессионные процессы. Более подробный обзор можно найти в упомянутой книге [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994].

Одним из подходов к моделированию инвестиционных показателей является моделирование индекса с реинвестированием (roll-up index), где рост индекса включает в себя и дивидендный доход. Это позволяет получить более простые (но, конечно, не обязательно более адекватные) модели. В качестве такого рода инвестиционных показателей с включением дивидендного дохода могут быть использованы цены паев паевых инвестиционных фондов. Этот подход применим и для российского рынка инвестиций.

Моделирование инфляционных и инвестиционных рисков ARMA процессами рассматривается далее в главе 11 в применении к моделированию денежных потоков пенсионного фонда.

8.6

Упражнения к главе 8

Упражнение 8.1. Подставив в (8-6) вместо процесса процесс

_г _ 5 -жо

а

где ju(t), а — некоторые неслучайные величины, получите соотношения (8-9).

^Упражнение 8.2. Покажите, что условия (8-9) приближения случайного блуждания обобщенным винеровским процессом можно обобщить до

(8-37)

ЕД?, = Aju(t) + a(At), DA?, = а² At + P{At),

где a(At) - o(At), P{At) - o(At) — бесконечно малые, зависящие только от At.

Указание. Достаточно построить процесс |^<л), удовлетворяющий условиям (8-9) и такой, что sup_(?T | |₍^<л)-?/^л) |—> 0.

Упражнение 8.3. Приращения винеровского процесса со сносом I;, = /j.t + aw_l независимы, поэтому ковариация



если интервалы [Г,,Г₂] и [s,,s₂] не пересекаются. Чему равна эта ковариация для пересекающихся интервалов?

Упражнение 8.4. Цена акции сегодня равна 60 долл. Предположим, что ее средняя годовая доходность ц, = 0,16, годовая волатильность а - 0,3. Какова вероятность того, что цена акции через полгода:

(а) окажется больше 70 долл.;

(б) окажется в интервале от 55 до 65 долл.?

Найдите ожидаемое значение цены акции через полгода.

Упражнение 8.5. Остается ли парадокс теории риска де Финетти (раздел 8.1) верным в модели страхового резерва с инвестициями раздела 8.4?

глава

ДЕРИВАТИВЫ

Технологии управления риском в экономике на современном этапе трудно себе представить без деривативов — производных финансовых инструментов. Компании самых разных отраслей используют их для управления рыночным риском.

9.1

Рынки производных

Деятельность фирм, финансовых институтов, индивидуальных предпринимателей в различных отраслях бизнеса подвержена рыночному риску — риску изменений цен. Инвестор, вкладывающий деньги в акции, подвергается риску падения цен на фондовом рынке. Авиакомпания, продавшая билеты на три месяца вперед, подвергается риску повышения цен на авиатопливо. В современном мире получили широкое распространение такие инструменты защиты от рыночного риска и его перераспределения, как производные ценные бумаги (derivative securities), или просто производные (деривативы, derivatives).

Рассмотрим в качестве примера опционы на поставку зерна, известные еще, по крайней мере, с XIX в. Производители зерна часто бывают заинтересованы в том, чтобы гарантировать продажу своего урожая заранее, возможно еще “на корню”, по определенной цене. Можно, пользуясь современной терминологией, заключить форвардный контракт, договорившись о поставке определенного количества зерна в определенное будущее время по определенной цене. При этом, однако, производитель рискует не выполнить свои обязательства в случае неурожая. С развитием торговли, когда сделки о поставках стали заключаться через биржи, появился инструмент, обеспечивающий потребности таких поставщиков — опцион (контракт с опционом). Это контракт, согласно которому определенное количество товара (зерна) при поставке в определенные сроки будет принято по определенной цене. Однако, в отличие от форвардного контракта, поставщик свободен от обязательств по поставке. Английское слово “option” переводится как опция — условие контракта, выполнение которого зависит от воли одной из сторон.

Этот пример показывает, как возникает спрос на производные: они удобны в том смысле, что соответствуют “профилю потребностей” отдельных участников рынка и их “профилю риска”. Начиная с 1970-х гг. наблюдается бурный рост рынков производных, в частности опционов, как по объему торгов, так и по разнообразию бумаг. Движущей силой этого процесса является спрос участников рынка на бумаги, обеспечивающие возможность гибкого видоизменения профиля денежных потоков, получаемых от их портфелей инвестиций.

Предположим, что инвестор имеет акции, которые в настоящий момент котируются по 60 долл, за акцию. Инвестор надеется получить прибыль от повышения цены, но опасается ее понижения. Тогда он может купить опцион, дающий право продать акции по цене, например, 52 долл. Однако предположим, что при повышении цены до 70 долл, инвестор намерен зафиксировать прибыль, продав акции. В случае такого повышения опцион ему уже не будет нужен. Для такого инвестора наилучшим решением будет так называемый барьерный опцион, прекращающий свое существование при достижении ценой акции уровня 70 долл., потому что такой опцион дешевле “стандартного” опциона.

Изменение финансовых рынков (рост их волатильности и распространение деривативов как “реакция” на этот рост) происходило параллельно с развитием финансовых технологий. Наиболее очевидные черты произошедших с начала 1970-х гг. изменений — компьютеризация рынков: мгновенная передача информации, быстрое заключение сделок, алгоритмизация торговли на фондовых рынках и управления портфелями, а также их (рынков) глобализация. Сегодня крупные финансовые компании имеют портфели, включающие тысячи бумаг, и оперируют одновременно на десятках торговых площадок по всему миру. Эффективно управлять операциями такого масштаба невозможно без “подсказок” компьютера. Неудивительно, что создание программного обеспечения для финансовых задач само по себе уже стало целой индустрией.

Теория деривативов — одно из самых плодотворных и практически востребованных направлений экономической науки XX в. Его развитие было начато в 1970-х гг. работами Блэка (Black) и Шоулза (Scholes), Мертона (Merton), Кокса (Сох), Росса (Ross), Рубинштейна (Rubinstein) и других ученых. Многие даже полагают, что развитие этой теории отчасти стимулировало развитие рынков производных, дав в руки инвесторов достаточно надежные инструменты анализа таких бумаг и уменьшив недоверие к ним. Так это или не так, но сегодня работу многих инвесторов — в особенности, конечно, крупных финансовых институтов — просто невозможно представить без использования моделей и результатов этой теории, в частности без компьютерных программ, реализующих основанные на этих моделях алгоритмы.

Непрерывная модель

Термин хеджирование означает, в его наиболее широком смысле, обеспечение нужного профиля денежного потока инвестора. Хеджировать риск означает защититься от него при всех возможных обстоятельствах — как при повышениях, так и падениях цен. Некоторые примеры решений этих задач с помощью производных приводятся в следующих разделах. Хеджеры составляют, так сказать, основу финансового рынка. К их числу относятся, например, пенсионные фонды и страховые компании, преследующие в своих инвестиционных стратегиях прежде всего цели осуществления “планового” погашения своих обязательств. Объем инвестиций хеджеров огромен, хотя их торговая активность значительно ниже, чем активность других групп участников рынка — спекулянтов и арбитражеров.

Производным контрактом (деривативом) называется контракт, предусматривающий операции купли-продажи по определенному базовому активу. Опцион call (колл) — контракт, дающий право купить одну единицу базового актива (например, одну акцию) по определенной цене исполнения (strike price, exercise price). Использование опции контракта называется его исполнением. В случае колл-опциона, например, исполнение состоит в покупке акции. Срок действия опциона называют сроком исполнения. Простейшие типы опционов — европейский (может быть исполнен только в момент исполнения) и американский (может быть исполнен в любой момент в течение срока исполнения). Опционом put (пут) называют бумагу, дающую право продать одну единицу базового актива по цене исполнения.

Форвардным контрактом называют контракт о поставке актива в некоторый будущий момент с оплатой в момент поставки. Фьючерсный контракт, или фьючерс, — стандартизированный контракт типа форвардного, заключаемый при посредстве биржи, тогда как форвардный контракт заключается напрямую между покупателем и поставщиком. Фьючерс требует от участников внесения денежных сумм на их счета для поддержания так называемой маржи — залоговой суммы, гарантирующей выполнение сторонами условий контракта. В отличие от форварда, прибыли/убытки по фьючерсам фиксируются ежедневно (это делает биржа путем перечисления средств между маржевыми счетами участников такого контракта). См. пример ниже в этом разделе.

Понятия короткой и длинной позиций соответствуют позициям сторон в форвардном контракте: короткую позицию занимает сторона, несущая обязательства по поставке, длинную — сторона, “ждущая” поставки актива. Так, занять короткую позицию по акции значит коротко ее продать, т.е. продать акцию, взятую взаймы; занять длинную позицию значит купить акцию. В отношении опционов занятие короткой позиции означает продажу опциона (получить деньги, но иметь потенциальные обязательства), длинной позиции — покупку опциона. Короткие опционные позиции также требуют поддержания маржи.

Ниже рассматривается идеализированная модель рынка ценных бумаг, которая характеризуется следующими предположениями:

¦ инвесторы могут осуществлять продажи/покупки, в том числе короткие, ценных бумаг бесплатно (с нулевыми комиссионными, без налогов и других платежей), в любые моменты времени и в любых (в том числе дробных) количествах;

¦ на рынке присутствует безрисковый актив, доходность которого с непрерывным начислением постоянна и равна г,

¦ на рынке отсутствуют арбитражные возможности, т.е. “нельзя получать прибыль из ничего” без риска потерь;

¦ на маржевые счета начисляется сложный процент по ставке г.

Первое предположение вводится для исключения ненужных сложностей. Второе предположение означает, что участники рынка могут занимать/давать взаймы деньги по безрисковой ставке, осуществляя, соответственно, короткие продажи или покупки безрискового актива. В принципе, не важно, как именно реализуется безрисковая доходность. Для определенности можно считать, как и в разделе 8.3, что безрисковый актив — дисконтная облигация, цена которой B_t меняется по закону (8-15),

В, = В_І/⁽'~'^о), (9-1)

реализуя начисление сложного процента (1-6). Соображения в пользу “естественности” правила сложных процентов в условиях “идеального” рынка облигаций иллюстрируются упражнениями 9.1 и 9.2. На практике роль безрискового актива обычно играют надежные государственные облигации таких стран, как, например, США.

Третье предположение — условие отсутствия арбитража — можно формализовать таким образом: если портфель стоимостью, равной нулю в момент t₀, имеет в момент t >t₀ положительную стоимость при некоторых из возможных изменений цен, то при других возможных изменениях цен он обязательно должен иметь отрицательную стоимость.

Это условие должно приближенно выполняться на финансовых рынках, где есть инвесторы — арбитражеры, извлекающие прибыль путем продажи переоцененных бумаг и покупки недооцененных. В результате их деятельности спрос на недооцененные бумаги возрастает, поэтому их цена растет; для переоцененных бумаг возрастает предложение, поэтому их цена падает; таким образом, арбитражные возможности исчезают. Их отсутствие соответствует равновесному состоянию рынка.

Условие отсутствия арбитража имеет простые, но важные следствия, которые будут часто использоваться ниже. Первое из них состоит в следующем.

Любой безрисковый портфель должен давать доходность, в точности равную доходности безрискового актива, г.

Действительно, предположим, что в момент t₀ есть возможность сформировать безрисковый портфель, доходность которого за период от t₀ до некоторого t выше г. Тогда инвестор мог бы занять по безрисковой ставке 1 долл., затратить его на покупку активов такого портфеля и в момент t продать эти активы по цене выше, чем 1-е^г('~'^о). Разница составила бы его чистую прибыль, полученную на портфель нулевой начальной стоимости без риска, а это противоречило бы условию отсутствия арбитража. Если, наоборот, можно сформировать безрисковый портфель, доходность которого ниже г, то арбитраж строится обратным образом: нужно коротко продать активы портфеля на 1 долл, и инвестировать этот доллар в безрисковый актив.

Второе важное следствие.

Пусть в момент t₀ известно, что портфель А будет стоить не меньше портфеля В в некоторый момент времени t>t_Q при любых возможных изменениях цен активов. Тогда в момент t₀ цена портфеля А должна быть тоже не меньше цены портфеля В.

В самом деле, если это не так, то легко строится арбитраж: переоцененный портфель нужно коротко продавать, а недооцененный — покупать. Читатель может проделать это упражнение самостоятельно.

Аналогично из равенства цен портфелей в момент t при любых возможных изменениях цен активов следует равенство цен в момент t₀.

Четвертое предположение — о начислении процентов на марже-вые счета — выполняется не всегда. Но оно удобно тем, что позволяет, в условиях постоянства ставки процента г и возможности занимать по этой ставке, фактически пренебречь маржевыми платежами при расчетах. Эти платежи становятся эквивалентны покупкам/продажам безрискового актива.

Как и выше, ограничимся иллюстрацией методов оценки и использования деривативов для бездивидендных базовых активов. Как правило, для определенности будем считать базовый актив акцией.

Приведем два несложных, но важных примера применения сделанных предположений.

Пример 9.1. Форварды и фьючерсы. Предположим, что два участника рынка в момент t₀ согласились о поставке одной единицы некоторого базового актива в некоторый будущий момент Т. Форвардный контракт в момент заключения не требует никаких платежей от сторон (имеет нулевую стоимость). Какова должна быть цена поставки F, если единица базового актива в момент г₀ стоит 5?

Эта справедливая цена поставки (форвардная цена), очевидно, есть

F = e^r(T-'°⁾-S, (9-2)

иначе существует арбитраж (покажите самостоятельно).

В случае заключения форвардного контракта никаких платежей до момента исполнения Т не производится: стороны просто ждут наступления этого момента, чтобы закрыть свои позиции и тем самым зафиксировать прибыли/убытки. В отличие от форварда, фьючерс требует от сторон ежедневной (как правило) фиксации прибылей/убытков. Эта процедура называется marking-to-market или клирингом и производится, как правило, по ценам закрытия биржи на каждый торговый день.

Можно показать, что в сделанных идеализированных предположениях о рынке справедливая цена поставки во фьючерсном контракте (фьючерсная цена) равна форвардной цене F, найденной выше. Подробнее по этому поводу см., например: [Hull, 2002]. Деятельность арбитражеров на финансовых рынках в основном связана с отслеживанием соотношения (9-2) между текущими ценами (ценами спот) и фьючерсными ценами и использованием отклонений в ту или иную сторону.

Если в момент заключения форвардный контракт имеет нулевую стоимость, т.е. является взаимовыгодным, то по прошествии времени он может стать невыгодным для одной стороны и выгодным для другой, поскольку цена базового актива изменится.

Предположим, что заключается форвардный контракт сроком на 6 месяцев на поставку 1000 баррелей нефти, которая на момент заключения контракта стоит 29 долл, за баррель. Предположим, что г = 0,09 (9%) и что через три месяца после заключения контракта нефть поднялась в цене до 32 долл, за баррель.

Сначала вычислим форвардную цену:

F = 1000 • е⁰'^{09 6/12} • 29 = 30334,801.

Если через три месяца нефть стоит на рынке 32 долл, за баррель, то владелец короткой позиции в заключенном форварде мог бы поставить свои 1000 баррелей по соответствующей форвардной цене 3-месячной поставки, равной

F = 1000- е⁰'^{09 3/12} • 32 = 32728,161.

Таким образом, он несет потери, а владелец длинной позиции, соответственно, выигрывает.

Найдем рыночную (безарбитражную) цену длинной позиции. Ее владелец может, например, вступить в 3-месячный форвард на поставку 1000 баррелей нефти по цене 32728,16 долл. Когда он получит нефть по цене 30334,80, он закроет свою короткую позицию и, таким образом, его безрисковая прибыль составит 32728,16 — 30334,80 = 2393,36 долл. Значит, за три месяца до поставки цена его позиции есть просто дисконтированная стоимость этой суммы: 2393,36 • _е~°^ттг = 2340,11.

Общая формула, как теперь легко увидеть, такова: если К — цена поставки в контракте, заключенном ранее, F — текущая форвардная (фьючерсная) цена, S — цена спот, то цена длинной позиции в форвардном контракте с моментом исполнения Т на момент t₀ есть

/ = e'^r{T4o)(F -K) = S- Ке~^г(ТЧо). (9-3)

Что касается фьючерсного контракта, то процедура marking-to-mar-ket поддерживает его цену на нулевом уровне. При этом платежи, очевидно, равны изменениям фьючерсной цены в течение биржевого дня, AF.

Отметим, что найденная в этом примере цена — рыночная. Ничто не может подсказать владельцу конкретной позиции, следует ли ему зафиксировать прибыль или, например, ждать еще три месяца, ничего не предпринимая. Это же относится ко всем ценам деривативов, находимым ниже: это цены, по которым их (теоретически) должен оценивать рынок. Отдельные инвесторы могут считать эти активы более или менее выгодными, в соответствии со своими целями и своими прогнозами цен, и, соответственно, покупать их или продавать.

Далее применим сделанные предположения о рынке для получения так называемого паритета цен (put — call parity) европейских пут- и колл-опционов на бездивидендные акции. Рассмотрим два ев-ропейких опциона, пут и колл, с одинаковым периодом действия [t₀,T] и одинаковой ценой исполнения X. Пусть цена единицы базового актива (акции) на момент t₀ равна S. Составим портфель А из 1 колл-опциона и денежной суммы, достаточной для его исполнения, вложенной в безрисковый актив, т.е. суммы, равной Хе~^г(Г~'^о). Портфель В состоит из 1 пут-опциона и 1 акции. Тогда, если цена акции в момент исполнения выше X, то владелец портфеля А исполняет свой опцион и остается с 1 акцией, владелец портфеля В не исполняет своего опциона и тоже остается с 1 акцией. Если же цена акции в момент исполнения ниже X, то владелец портфеля А не исполняет свой опцион и остается с денежной суммой X, владелец портфеля В исполняет свой опцион и тоже остается с такой же суммой. Итак, поскольку при любых изменениях цен портфели А и В имеют одинаковую стоимость в момент Т, в момент t₀ они должны стоить одинаково. Если с — цена колл-опциона, р — цена пут-опциона, то

с + Хе~^п'~'^о) =p + S. (9-4)

В этом примере мы видим, что комбинация пут-опциона и акции воспроизводит колл-опцион (с точностью до денег). Другой вариант составления портфелей дан в упражнении 9.3.

Это один из примеров того, как соотношения для цен производных устанавливаются путем рассмотрения портфелей из производных, базового актива (в дальнейшем будем считать его акцией) и безрискового актива. Такую модель рынка, где всего два первичных актива — безрисковые облигации (bonds) и рисковые акции (stock), часто называют (5,5)-рынком.

9.2

Биномиальные деревья

Начнем с простейшей ситуации. Рассмотрим дериватив со сроком действия [t₀,T] на акцию, стоящую S в момент t₀. Пусть этот дериватив “европейского типа”, т.е. не может быть исполнен прежде момента Т. Будем считать, что в момент Т цена акции может принимать всего два значения, S и и S d, где и >1, d <1 — некоторые числа. Таким образом, цена может либо повыситься, либо понизиться. Цену дериватива в момент Т обозначим, в зависимости от изменения цены акции, /_ц и f_d (рис. 9.1).

S и Рис. 9.1. Простейшее дерево цен (1 шаг) Оказывается, что в таком простом случае можно построить безрисковый портфель из базового актива и короткого дериватива. Обозначим количество базового актива в таком портфеле, приходящееся, на один дериватив, через Д. Выберем Д так, чтобы стоимость портфеля была одинаковой при повышении и понижении цены:

А-S -и- f_u = A- S ¦ d - f_d,

откуда

А = ¦. (9-5)

Su-Sd

Итак, портфель из А длинных акций и 1 короткого дериватива — безрисковый. Как утверждалось в разделе 9.1, такой портфель должен давать доходность г, т.е. его цена должна расти в е^г(Т~'^о) раз за период от t₀ до Т. Запишем:

[AS-f]e^riT-^^ASu-f_u,

где в левой части стоит цена портфеля в момент t₀, в правой — цена в случае повышения цены акции. Цена в случае понижения такая же. Отсюда, подставив выражение для А, нетрудно выразить /:

/ ₌ fu-fn ₊ “fd.Z^L _е-г*_? (9-6)

и-d u-d

где At = Т -t₀. Это дает цену дериватива на момент t₀.

Пример 9.2. Рассмотрим европейский колл-опцион со сроком исполнения через месяц и ценой исполнения 28 долл, на акцию, которая сегодня стоит 27 долл., а через месяц может стоить 30 или 25 долл. Тогда /_ц =2, f_d= О,

0,4.

2-0

30-25

Стоимость портфеля из А акций и одного короткого опциона на момент исполнения равна 0,4-30-2 = 0,4-25 = 10. Предположим, что г = 0,08, тогда стоимость портфеля сегодня равна 10 •е“^0,08/|2= 9,934. Так как этот портфель состоит из 0,4 акции ценой 27 и короткого опциона ценой с, записываем уравнение для его сегодняшней стоимости:

27-0,4-с = 9,934,

откуда с = 0,866 (долл.).

Предположение о том, что цена акции может иметь только два возможных изменения, конечно, очень неточно. Можно уточнить его, построив двухступенчатое биномиальное дерево цен. Разделим промежуток [Г₀,Т] пополам, положив At = (Т-t₀)/2. Будем считать, что в течение каждой половины интервала цена акции может либо возрастать, умножаясь на и, либо убывать, умножаясь на d. Тогда в момент t₀+Al цена акции может принимать два значения, 5м и Sd, а в момент Т — уже три значения: 5м², Sud, Sd². Это уже чуть более точно описывает возможные изменения цен. Соответствующие цены дериватива обозначим f_uu, f_url, f_M. Двухступенчатое дерево цен изображено на рис. 9.2. Описанный выше способ дает возможность вычислять цены производных в прошлые моменты времени по будущим ценам. Так вычисляются цены дериватива в узлах дерева на момент t₀ + At, обозначенные ниже как f_u и f_d. По ним уже тем же методом вычисляется цена в момент t₀.

24,2 Рис. 9.2. Дерево цен для примера 9.3 Пример 9.3. Рассмотрим американский колл-опцион на бездивидендную акцию ценой 5 = 20 долл, в момент t₀= Ос периодом исполнения 6 месяцев (7 = 0,5) и ценой исполнения X =18 долл. Будем оценивать такой опцион при помощи двухступенчатого дерева цен, считая и = 1,1, d = 0,9. Пусть безрисковая норма доходности г = 0,1.

Цена акции через 3 месяца (в момент t₀ + At = 0,25) может составить 20-1,1 = 22 либо 20-0,9 = 18, еще через 3 месяца (в момент г = 0,5) — 20-1,1-1,1 = 24,2, или 20-1,1-0,9 = 19,8, или 20-0,9-0,9 = 16,2. В первом из этих трех случаев опцион выгодно исполнить, что принесет 6,2 долл, чистой прибыли, следовательно, цена опциона /_ии =6,2. Во втором случае, аналогично, /_шІ = 1,8. В третьем случае опцион невыгодно исполнять, и цена его равна нулю. Соответствующее дерево цен приведено на рис. 9.2. Сверху над узлами дерева показаны цены базового актива, под ними — цены дериватива.

Начнем вычислять цены опциона в узлах дерева по формуле (9-6).

В узле В

_е-о,м,25 _ 4 444

6,2-1,8 1,11,8-0,96,2 1,1-0,9 1,1-0,9

Это цена, которую имеет опцион, если его держатъ. Так как опцион американский, его можно немедленно исполнить. Немедленное исполнение принесло бы 22—18 = 4 долл. Поэтому выгоднее держать опцион до конца периода исполнения.

Вообще, правило определения цен производных в узлах дерева состоит в том, что за цену дериватива принимается максимальная из цен, которые он имел бы при исполнении возможных опций, т.е. цена при наилучшем решении инвестора. Почему это так, достаточно очевидно.

В узле С



Здесь тоже невыгодно исполнять опцион, так что эта цифра дает его цену. Теперь для узла А



4,444-1,1 1,1-1,1-0,9 4,444

1,1-0,9 ⁺ 1,1-0,9

Немедленное исполнение дало бы только 2, поэтому цена опциона с = 3,116 долл.

В этом примере оказывается, что раннее (т.е. до момента Т) исполнение опциона невыгодно. Можно показать, что для американского колл-опциона это всегда так. Для этого рассмотрим портфель А (1 американский колл-опцион плюс Хе^г(Т~'^о) денег) и портфель 5(1 акция). Если держать опцион до конца срока исполнения — момента Т, то цена портфеля А в этот момент составит max(5_r, X), что всегда не меньше цены портфеля В, равной S_T. С другой стороны, если предположить раннее исполнение в некоторый момент т, то цена портфеля Л в этот момент составит S_T - X + Хе^ф~'^о) < S_T, т.е. меньше цены портфеля В. Так как в момент т известно, что портфель А будет стоить не меньше портфеля В в момент Т, цена А на момент г тоже должна быть не меньше.

Таким образом, рыночная цена американского колл-опциона должна быть выше прибыли от его раннего исполнения, т.е. такой опцион всегда выгоднее продать на рынке, чем исполнять. Поскольку раннее исполнение никогда не оптимально, американский колл-опцион должен стоить столько же, сколько европейский. Для американского пут-опциона это, однако, неверно: раннее исполнение может быть выгодно. Нетрудно догадаться, почему это так. Американский колл-опцион есть право купить актив по определенной цене; нет смысла реализовывать это право раньше, т.е. раньше платить. Для пут-опциона ситуация обратная: это право продать, и его исполнение может быть выгодно, т.к. выгоднее получить деньги раньше.

После перехода от одноступенчатых деревьев к двухступенчатым уже ясно, как можно получать еще более точные оценки. Будем дробить интервал [г₀,Г] на все большее число отрезков. Длину одного такого отрезка обозначим At и назовем шагом дерева. Соответствующие многоступенчатые деревья цен будут все точнее приближать возможные движения цен базового актива. Для каждого такого дерева путем пересчета от конца к началу согласно описанному алгоритму можно получать оценку для /.

Чтобы применить этот способ к реальным данным, нужно решить вопрос о калибровке параметров нашей модели, а именно о выборе и и d. Изменения цен реальных акций описываются вероятностыми моделями, параметры которых оцениваются по данным статистическими методами. Такова модель геометрического броуновского движения для цен акций, введенная в главе 8. Свяжем модель биномиальных деревьев с этой моделью.

В главе 8 было установлено, что процесс броуновского движения (винеровский процесс) является приближением для случайного блуждания, если шаг случайного блуждания мал. При измельчении шага At приближение становится все более точным.

Определим случайное блуждание по биномиальному дереву цен. Для этого зададим вероятность изменения цены за один шаг, обозначив ее через р. Будем считать, что если в некоторый момент t цена акции равна S_t, то в момент t + At она повышается до S_l+&t - Su с вероятностью р и понижается до 5_(+Л( =Sd с вероятностью 1 — р.

Так как такой процесс S_t задает не абсолютные, как обычное случайное блуждание, а относительные изменения цен, он называется геометрическим случайным блужданием.

Рассмотрим величину In S_l+il. Она принимает значение In S, + In и с вероятностью р и значение lnS,+lnd с вероятностью 1 - р. Поэтому процесс для величины In S, — “обычное” случайное блуждание,

lnS,_+i, =lnS, +?, (9-7)

где время t принимает значения t - 0, At,2At,..., величины независимы для разных t и каждая из них принимает значения In м с вероятностью р и In d с вероятностью 1 — р.

В главе 8 была введена модель для цены актива, являющейся решением стохастического дифференциального уравнения (8-18) и подчиняющейся геометрическому броуновскому движению (8-19). Для удобства читателя перепишем еще раз эти уравнения, подставив в них процесс цены акции S_r Цена акции является решением стохастического дифференциального уравнения

(9-8)

(9-9)

dS_l = juS'dt + crS'dW' и описывается процессом

s,=s₀e^[ '

или

In S' = In S₀ + t + (9-10)

где W' — стандартный винеровский процесс.

Итак, построены два формально различных случайных процесса для In S', а именно модель случайного блуждания (9-7) и модель обобщенного винеровского процесса (9-10). Однако при малых At эти модели эквивалентны, если предположить выполнение условий (8-37). Осталось подобрать параметры случайного блуждания и, d, р так, чтобы эти условия выполнялись при At —> 0.

В (8-37) следует приравнять параметры:

а

м~—

Aju(t) =

At, а -о.

(9-11)

Соотношения (8-37) дают два условия на три параметра случайного блуждания и, d, р. Поэтому возможны разные способы выбора этих параметров. Приведем здесь два наиболее распространенных.

Первый набор параметров появляется, если наложить дополнительное условие ud = 1. Тогда

г г е^' -d

U — € у и — € , р —-. (У-12)

u-d

Другой набор параметров соответствует случаю, когда вероятности повышений и понижений цен равны,

(9-13)

• d = е'

Читателю предоставляется самостоятельно проверить, что эти наборы параметров удовлетворяют требуемым условиям (упражнения 9.4 и 9.5).

При выборе параметров согласно (9-12) или (9-13) модели геометрического случайного блуждания и геометрического винеровского процесса в пределе (при малых At) эквивалентны.

Все сделанное уже дает возможность оценивать опционы и другие деривативы. Для этого можно пользоваться описанным выше методом, рассчитывая Д в каждом узле дерева. Оказывается, однако, что этот метод можно существенно упростить.

9.3

Риск-нейтральное оценивание

Будем пользоваться параметрами (9-12). Обратим внимание на следующее интересное обстоятельство: процедура оценки производных, описанная в предыдущем разделе, зависит только от вида биномиального дерева, но не от вероятностей прийти в тот или иной его узел. Так, в формуле (9-6) из параметров (9-12) участвуют только и и d, но не р. Величина Д, определяющая безрисковый портфель, не зависит от вероятностей. Это естественно, так как портфель этот строится так, чтобы изменение его цены соответствовало изменениям цены опциона во всех узлах дерева. Поэтому вероятности р можно задать иным образом — так, чтобы упростить расчеты.

Покажем, как можно упростить уравнение (9-6) для цены дериватива. Перепишем его в виде

у _ Л ~ /гі і ^ufа ~ ^df_u .-гы ₌

u-d u-d

u-d



(9-14)

где



Если e^r“>d, то величина р лежит между нулем и единицей. Если придать р смысл вероятности, то равенство (9-14) приобретет очевидный смысл: цена дериватива равна ожидаемой дисконтированной стоимости денежного потока, даваемого деривативом. Это свойство очень удобно для расчетов.

Определим случайное блуждание, обладающее этим свойством для одноступенчатых “поддеревьев”. Зададим такое блуждание, вместо вероятностей р в (9-12), вероятностями р, оставив и и d неизменными. Посмотрим, каковы свойства такой “модифицированной” модели.

Оказывается, что отмеченное выше удобное свойство одноступенчатых деревьев распространяется на деревья любого размера и любые деривативы. Это можно пояснить следующим образом. Рассмотрим, например, двухступенчатое дерево для некоторого дериватива, изображенное на рис. 9.3. Треугольниками отмечены моменты исполнения дериватива. Буквами D с соответствующими индексами обозначим денежные потоки от дериватива в тех узлах, где “жизнь” дериватива кончается (либо он исполняется, либо срок его “жизни” кончается без исполнения). Когда дериватив конвертируется в другой актив, то денежный поток считается по текущей рыночной стоимости этого актива очевидным образом. Оценим дериватив по методу, описанному в пре-

дыдущем разделе; еще раз подчеркнем, что цены в узлах, величины D и моменты исполнения не зависят от вероятностей повышения и понижения цен.

У' Рис. 9.3. Дерево цен (треугольниками отмечены моменты “окончания жизни” дериватива) Цена дериватива в узле В, f_B, равна прибыли от исполнения, D_B. То же справедливо для узлов Е и F. Пути после узла В отмечены пунктиром, так как дериватив должен быть исполнен раньше, следовательно, эти пути не нужно принимать во внимание. Цена в узле С, согласно (9-14),

/с=^е~^ГЛ,[р/Е + Я/р]>

где <7 = 1- р. Снова согласно (9-14), цена в узле А

/д = ^е~"'Мв + ^е~^ШЯІс = ^е~^ШМв + ^е~^2Шя[ Me + QIf ) =

= pD_B + е~^2гы qpD_E + е‘^2гл' q ²D_F.

Теперь можно заметить, что вероятности p,qp,q², входящие в это выражение, как раз равны вероятностям того, что случайное блуждание, начавшись из точки А, приведет в узлы В, Е и F соответственно, т.е. что “жизнь” дериватива закончится в этих узлах, породив, соответственно, денежные потоки D_B, D_E и D_F. Поэтому полученное выражение для /_д есть действительно математическое ожидание дисконтированной стоимости денежного потока дериватива.

Аналогично (действуя по индукции) можно показать то же самое для дерева с произвольным числом шагов п. Если обозначить через D(0 случайный чистый денежный поток (прибыль от исполнения) дериватива в момент t, можно написать:

П (9-15)

где тильда над знаком математического ожидания указывает, что ожидаемое значение вычисляется по вероятностям р, At-T/n.

Для деривативов “европейского типа”, т.е. не допускающих раннего исполнения, эта формула упрощается и превращается в соотношение



(9-16)

поскольку цена дериватива в момент его исполнения равна чистому денежному потоку (прибыли) от исполнения.

Замечательный факт состоит в том, что обобщения этим отнюдь не ограничиваются. В частности, свойство (9-15) сохраняется, если мы перейдем от геометрического случайного блуждания к “предельному” для него геометрическому броуновскому движению.

Современная теория чрезвычайно широко обобщает свойство (9-15). В частности, оно обобщается на случай, когда процентная ставка г непостоянна и даже случайна, а также на широкий класс других вероятностных моделей цен базового актива. Фундаментальная теорема оценки активов утверждает следующее: для существования такой вероятностной меры, что цена любого финансового инструмента представима как ожидаемая дисконтированная стоимость его денежного потока, необходимо и достаточно условие отсутствия арбитражных возможностей на рынке. Если же рынок полон (т.е. любой актив воспроизводим комбинацией других), то эта вероятностная мера единственна. Эти глубокие экономически и математически красивые результаты выходят, к сожалению, за рамки этой книги; читатель, желающий ознакомиться с ними, может обратиться, например, к книгам: [Ширяев, 1998; Financial Economics, 1998].

Модель цен, обладающую свойством (9-15), называютриск-нейт-ральной моделью. В частности, риск-нейтральными называют соответствующие процессы, их распределения и вероятности. Так, р будем называть риск-нейтральными вероятностями.

9-Теория риска

Итак, построены две разные модели случайного процесса цен. Во-первых, реальная модель, в которой параметры случайного блуждания задаются (9-12), а параметры предельного геометрического броуновского движения есть ц и ег. Во-вторых, риск-нейтральная модель, в которой параметры случайного блуждания выглядят как

гЫ _ 1

(Т?д/ . I -(Т?д/ ~ (Z Cl /Л 1*7\

и -е \ а - е ; р --. (9-17)

и- d

Набор параметров (9-17) определяет так называемую модель Кокса — Росса — Рубинштейна.

Сравнивая выражения для р и для р из (9-12), легко понять, каковы параметры предельного риск-нейтрального геометрического броуновского движения: вместо //ид параметрами будут гид. Таким образом, средняя доходность любых акций в риск-нейтраль-ной модели равна безрисковой доходности г. Все это можно подытожить следующим образом.

Риск-нейтральная модель представляет собой искусственное построение, упрощающее расчеты. В этой модели выполняется удобное свойство (9-15) — (9-16): цены деривативов равны средним дисконтированным стоимостям соответствующих чистых денежных потоков. Риск-нейтральная модель может использоваться для оценки производных, так как их цены в риск-нейтральной модели совпадают с ценами в модели “реальной” динамики цен. В риск-нейтральной модели средние доходности всех финансовых инструментов равны безрисковой доходности г.

Смысл названия “риск-нейтральная” можно понять так. В реальном мире средняя доходность активов тем выше, чем выше волатильность. Инвесторы в среднем демонстрируют неприятие риска, поэтому спрос на рисковые активы ниже, соответственно их цена ниже, а доходность выше. Высокая средняя доходность является “компенсацией за риск”. Пользуясь образным выражением Дж. Халла [Hull, 2002], можно сказать, что риск-нейтральная модель соответствует “риск-нейт-ральному миру”, в котором инвесторы оценивают активы только по их средней доходности и не требуют никакой компенсации за риск.

Пример 9.4. Американский пут-опцион. Оценим американский пут-опцион на бездивидендную акцию с ценой спот S = 18 долл. Пусть цена исполнения опциона X = 20 долл., срок до исполнения 8 месяцев, г = 0,1. Пусть годовая волатильность базового актива <г = 0,3, или 30%.

Пользуясь (9-17), находим параметры случайного блуждания, и = 1,189; d =0,841; р = 0,554.

Построим двухступенчатое дерево так же, как в предыдущих примерах. Примем те же обозначения для его узлов, что на рис. 9.3. В узле D цена актива 5м²= 25,45, цена опциона /_ци =0. Для узлов Е и F, соответственно, находим цены актива, Sud-lS и Sd² -12,73, и цены опциона, f_ud = 2 и f_M=l,21.

Для узла В найдем цену актива, 5м = 21,40, и вычислим дисконтированное математическое ожидание

^е'^ы [ P.f_uu + ЧІші ] = 0,86

(здесь At - 4/12). Это цена опциона, если его не исполнять. Так как исполнение опциона невыгодно, /_и =0,86.

В узле С цена актива 15,14. Цена опциона, если его не исполнять,

e~^r“[~Pf_ul,+if,u] = 4,21.

Так как немедленное исполнение приносит 4,86, оно выгодно. Поэтому цена в этом узле f_d = 4,86.

В узле А находим

e-^ru[pfu+qf_d] = 2.56.

Так как немедленное исполнение принесло бы только 2, цена опциона /=2,56.

В этом примере мы видим, что, в отличие от американского колл-оп-циона, раннее исполнение пут-опциона на бездивидендный актив может быть выгодно. Цена его поэтому должна быть выше цены соответствующего европейского опциона (упражнение 9.6).

Концепция риск-нейтрального оценивания находит самые широкие применения в моделях фондовых рынков, в частности для оценивания различных финансовых инструментов. Отметим один из самых мощных методов оценки деривативов.

Метод Монте-Карло

В принципе, любой дериватив можно оценить на основе равенства (9-15) или (9-16) путем имитационного моделирования риск-нейтрального процесса цен. Единственным ограничением является мощность компьютера. Такой подход применяется обычно для оценки деривативов "европейского типа" (с фиксированным моментом исполнения). Если г постоянна, то (9-16) превращается в

f =_e-'«-^t[D(T)]. (9-18)

Моделируется достаточно большое число траекторий изменений цен, для каждой из них получается величина денежного потока, затем она усредняется по числу траекторий. В общем случае нужно моделировать все процессы, оказывающие влияние на цены дериватива, например в случае случайной процентной ставки — процесс для нее. Так можно получать, в том числе, оценки цен деривативов, зависящих от нескольких базовых активов. Несколько подробнее метод Монте-Карло описан в разделе 12.1.

Что касается деривативов “американского типа’’, то основная трудность состоит в имитации “правильных" (оптимальных) моментов исполнения. В принципе, конечно, можно осуществить достаточное число имитаций для каждой из всевозможных комбинаций моментов исполнения в узлах дерева, а потом взять максимальную из соответствующих оценок цены дериватива. Однако число имитаций при этом будет слишком велико. Поэтому нужно применять те или иные методы его сокращения. Постоянное повышение производительности компьютеров позволяет думать, что метод Монте-Карло будет получать все большее применение на практике.

9.4

Непрерывная модель

Применяя концепцию риск-нейтрального оценивания в логнормальной модели с непрерывным временем, можно прийти к известной формуле Блэка — Шоулза. Рассмотрим европейский опцион на бездивидендную акцию ценой в момент t₀ S_t = S, с моментом исполнения Т и ценой исполнения X. Найдем его цену с. Для такого опциона денежный поток может быть отличен от нуля только в момент исполнения Т. В этот момент он равен

D(T) = max (S_T-X,0).

Подставим это в равенство (9-16):

с = е~^г(Г~'^о)Ётах(5₇. - Х,0).

Риск-нейтральный процесс для S, — это геометрическое броуновское движение с параметрами г и <т. Поэтому величина S_T имеет логнормальное распределение. Такая величина может быть представлена в виде S_T = егде ?, — нормальная случайная величина с параметрами: средним гп = ^г--^-^(Г-Г₀) + In S и средним квадратическим отклонением <т* = (T^jT -1₀ (это следует из (8-20) с заменой fj, на г).

Поэтому

Ётах(5_г-Х,0) = Ётах(^-Х,0)= Г (е^у-Х)ф( y)dy =

' JlnX '

= f e^y(y)dy-X f (y)dy, (9-19)

J In X J In X

где ф{у) =--

2a*²

>[2Я<Т*

и <7*. Вычислим первый интеграл в этой формуле.

(?-т*)² ' + >

— нормальная плотность с параметрами т

(*+“ . (*+“ -(у-"» )' _{+ ?}

I e^y2cr*² dy -

Jmx урЫо Jmx

+oo y--2m*y-2&*-y+m' 2a*²

4

na J in

dy = |у-(т*+<т*²)|²

/*+<*

jn _ла*^г/2 1 Г

= г e - y—-¦ ^ I e \12ясг* JlnX

2 cr*²

„m" „cr'²l2/h I ^ ІПХ * = e e Ф ---+ <7

где O(jc) — функция стандартно нормального распределения. Второй интеграл, очевидно,

Г ф{у)(1у = ф{я^^Х

JinX V <7

Подставив эти выражения в (9-19), умножив на е~^г(Т '^о) и преобразовав, получаем знаменитую формулу Блэка — Шоулза,

c = S O(d_l)-Xe~^r(T~'⁰^(d₂),

m'-lnX

a <7,jT-t₀

d\ ~d₂+<7 - r-——

<7ylT-t₀

(9-20)

d₂ =

где

Цену р европейского пут-опциона можно вычислить, воспользовавшись паритетом цен (9-4). Из последнего и формулы Блэка — Шоул-за легко получается выражение

р = 5Ф(d,)-Хе~^г(Т~^,а)Ф{d₂) + Хе~^г(ТЧо) -S = = Х<Г [і - Ф (d₂)] - S [l - Ф (4)] =

(9-21)

= Х<Г^(Г-'^о)Ф (-d₂) - 5Ф (-4).

Формулы (9-20) и (9-21) широко применяются для оценки опционов. Функция стандартного нормального распределения Ф имеет вид



Эта функция не вычисляется явно. Для получения ее значений традиционно используются таблицы значений и приближенные формулы. Одна из таких формул приведена в разделе 12.1. Вычисление Ф реализовано во многих программных пакетах (например, MS Excel).

Поскольку раннее исполнение американского колл-опциона никогда не выгодно, этот опцион должен стоить столько же, сколько европейский колл-опцион, и тоже может оцениваться по формуле (9-20).

Американский пут-опцион, как уже говорилось, обычно должен стоить дороже европейского. Для расчета цены используется метод биномиальных деревьев или другой численный метод. Так, расчеты с помощью программы DerivaGem показывают, что цена полугодового американского пут-опциона на акцию с S = X при г = 9% выше цены соответствующего европейского опциона примерно на 10—15%, в зависимости от параметров волатильности и цены исполнения. Например, при <7 = 20%, S = X = 50 цена европейского опциона по формуле Блэка — Шоулза 1,79, а американского 2,01 для дерева с 20 шагами и 2,02 для дерева с 200 шагами. Для опционов с большей длительностью периода исполнения разница в ценах увеличивается (для годового опциона с теми же параметрами она равна примерно 25%). Эта разница, например, больше, чем в упражнении 9.7 при переходе от 2-сту-пенчатого дерева к 100-ступенчатому.

Пример 9.5. В январе 2003 г. российские биржи ММВБ и РТС объявили о начале торгов паями паевых инвестиционных фондов (ПИФов). Паи

ПИФов — бездивидендный актив, интересный как индекс фондового рынка. Фактически динамика их цен может рассматриваться как “индекс с реинвестированием дивидендов” (roll-up index), а также учитывающий управление активами. Оценим волатильность цены такого пая, чтобы получить некоторое ориентировочное представление о волатильности российского рынка акций.

В нижеследующей таблице приведены недельные данные о ценах паев ПИФа “ЛУКОЙЛ Фонд Третий”, портфель которого состоит из акций российских компаний, за период со 2 августа 2002 г. по 31 января 2003 г. (в порядке убывания дат) . Брались данные за пятницу каждой недели; если пятница была нерабочим днем, брался ближайший день.

Г 5. 1 f ^S ) f ⁵' ] і 5, , руб. In і 5,, руб. In 1 i S,, руб. In ?°/+і J \ °i+i J ^ °І+1 J 1 2035,86 0,04917 10 2045,80 0,04220 19 1742,65 0,03557 2 1938,18 -0,03524 11 1961,26 -0,00432 20 1681,76 -0,03816 3 2007,70 -0,01266 12 1969,75 0,03555 21 1747,17 0,01772 4 2033,28 0,04008 13 1900,95 -0,01407 22 1716,48 -0,03791 5 1953,39 -0,01192 14 1927,89 0,07179 23 1782,80 -0,01324 6 1976,82 -0,00321 15 1794,34 -0,01466 24 1806,56 0,03394 7 1983,18 0,00992 16 1820,83 0,04560 25 1746,27 0,02530 8 1963,60 -0,02286 17 1739,67 -0,01643 26 1702,65 -0,01504 9 2009,01 -0,01815 18 1768,49 0,01472 27 1728,45 Недельная волатильность оценивается средним квадратическим отклонением ряда чисел в третьей колонке: <5w = 0,030568. Чтобы перейти к годовой оценке, нужно умножить это число на >/52=7,211, поэтому
Предположим, что некоторый банк решил выпустить опционы на паи этого ПИФа. Оценим такой опцион на 11 февраля 2003 г., если срок до исполнения — полгода (T-t₀ =0,5). Текущая цена пая на эту дату была S = 2003,38 руб. Рассчитаем безрисковую доходность по доходности гособлигаций. 5 февраля 2003 г. состоялся аукцион по размещению ГКО серии 21166 с погашением 6 августа 2003 г.; ГКО были размещены по цене 95,255% к номиналу. Поэтому коэффициент дисконтирования на полгода равен 0,95255= е^_0’^5г. Отсюда годовая доходность с непрерывным начислением г = -21п(0,95255) = 0,0972.

Оценим пут-опцион с ценой исполнения X = 2000. Подставляя все числа в формулу (9-21), получаем цену 78,50 руб. Колл-опцион с ценой исполнения X =2100 должен стоить 125,84 руб.

В примере волатильность G оценивалась по данным о ценах за какой-то период времени. Волатильность, вычисленная таким образом, называется исторической волатильностью. Обычное эмпирическое правило состоит в том, что для ее расчета берется прошлый период такой же длительности, как период “жизни” дериватива.

Другой подход — вычисление так называемых подразумеваемыех (implied) волатильностей по рыночной цене какого-либо торгуемого опциона. Для этого нужно подставить в формулу Блэка — Шоулза г и все параметры опциона: T — t_Q, X, S. Тогда цена опциона с или р — строго возрастающая функция от о (упражнение 9.9). Поэтому существует единственное значение волатильности, соответствующее цене опциона, и его можно вычислить численно (фактически достаточно построить график с или р по <т). Подразумеваемая волатильность соответствует оценке рынком волатильности базового актива. Этот метод хорош тем, что дает “мгновенную”, “на сегодняшний день” оценку волатильности. Обычно выбирают наиболее часто торгуемый опцион и по нему рассчитывают подразумеваемую волатильность для оценки других опционов.

В логнормальной модели, поскольку о постоянна, подразумеваемые волатильности тоже должны быть постоянными по времени и одинаковыми для разных опционов. Однако на практике это не совсем так. В частности, часто наблюдается характерная зависимость подразумеваемой волатильности от цены исполнения опционов, называемая “смайл” (улыбка, smile) (рис. 9.4). Другой “стандартный” эффект — некоторое увеличение подразумеваемой волатильности в зависимости от срока исполнения опциона, T — t₀.





Рис. 9.4. Типичные “смайлы” — зависимости подразумеваемой волатильности а от цены исполнения X: слева — для валютных опционов; справа — для опционов на акции

Такие эффекты связаны с тем, что логнормальная модель описывает динамику цен лишь приблизительно. В частности, волатильность для различных периодов времени колеблется. Периоды низкой волатильности сменяются периодами более высокой волатильности. Реальные распределения логарифмов относительных приращений, например курсов валют и цен акций, имеют типичные отличия от нормальных. На рис. 9.5 приведена гистограмма логарифмов соотношений дневных цен паев российского ПИФа из последнего примера. Насколько можно судить, такой вид распределения вполне типичен для акций. Обратите внимание, что выборочная плотность более остро-вершинна, чем нормальная. Левый хвост кажется более тяжелым в области небольших отклонений от среднего, однако правый хвост длиннее. Коэффициент асимметрии для выборки положителен и равен 0,13. Волатильность в течение года действительно колеблется: например, дневная волатильность для первого полугодия 0,0199, а для второго — 0,0146, т.е. разница весьма существенная. То, что левый хвост тяжелее, а правый легче, соответствует картине “смайла” для акций (рис. 9.4). Например, если на самом деле отклонения цен в отрицательную сторону более вероятны, чем в рамках логнормальной модели, то это наибольшим образом сказывается на ценах опционов с низкой ценой исполнения. Можно грубо учесть этот хвост, повышая волатильность в формуле Блэка — Шоулза. Для валютных курсов распределения обыкновенно более симметричны (см., например: [Ширяев, 1998]) и “смайлы” более симметричны. Впрочем, все это достаточно условно; для тех или иных реальных данных картины могут отличаться, и очень сильно.



Источник:

Рис. 9.5. Логарифмы дневных относительных изменений цен пая ПИФа “ЛУКОЙЛ Фонд Третий” поданным за период с 1.02.2002 г. по 31.01.2003 г. (всего 252 дневных значения цен) в сравнении с нормальной плотностью

В настоящее время созданы более совершенные модели, способные отражать многие особенности поведения финансовых временных рядов, в частности колебания волатильности. Это, например, ARCH модель и ее обобщения или модели стохастической волатильности. Тем не менее, несмотря на наличие определенных искажений, модель Блэка — Шоулза является хорошим первым приближением. В частности, ряд исследований на реальных данных подтвердил, что она в основном правильно позволяет идентифицировать пере- и недооцененные деривативы, т.е. верно указывает арбитражные возможности. Обзор этих исследований можно найти, например, в книге Халла [Hull, 2002].

Об оценке разнообразных деривативов можно подробнее прочесть в специализированных учебниках [Там же]. Практически-ориентиро-ванные модели оценки процентных деривативов описаны, в частности, в книге Шведова [Шведов, 2001]. Широкий обзор моделей и методов расчетов деривативов можно найти, например, в книгах: [Financial Economics, 1998; Musiela, Rutkovsky, 1997; Ширяев, 1998].

Следующий пример дает одну идею распространения “опционных” методов.

Пример 9.6. Оценка корпоративных обязательств с учетом кредитного риска.

Этот пример был приведен Р. Мертоном для иллюстрации предложенного им метода учета кредитного риска в ценах корпоративных бумаг.

Активы холдинговой компании Berkeford Holdings (ВН) состоят из 1000 акций корпорации Teledyne, цена одной такой акции на текущий момент равна 127 долл. Других активов у ВН нет. ВН выпущены собственные бумаги: 1000 акций и 120 бескупонных облигаций номиналом 1000 долл, с погашением через полгода. Сколько стоят эти бумаги?

Ясно, что суммарная стоимость бумаг ВН равна стоимости фирмы, т.е. 127000 долл. Требуется определить, какую долю в этой стоимости составляют акции, а какую — облигации.

Будем предполагать, что:

(а) ВН может покрывать долговые обязательства за счет продажи активов;

(б) в случае дефолта по облигациям фирма объявляется банкротом и право собственности на ее активы переходит к держателям долговых обязательств; акции при этом аннулируются.

Обозначим через V стоимость активов ВН через полгода. Дефолт наступает в случае ?< 120000 долл. Стоимости бумаг ВН через полгода показаны в следующей таблице (суммы в тыс. долл.).

?<120 ?> 120 Облигации ВН V 120 Акции ВН 0 ?-120 Легко заметить, что акции ВН через полгода будут стоить столько же, сколько европейский колл-опцион на портфель активов ВН с ценой исполнения 120000 долл. Так как всего акций 1000, одна акция ВН будет стоить столько же, сколько колл-опцион на одну тысячную портфеля ВН, т.е. одну акцию Teledyne, с ценой исполнения 120 долл. Поэтому цена акции на текущий момент тоже должна быть равна цене этого колл-опциона.

Предположим сначала, для простоты, что именно такой опцион имеется на рынке, и его текущая цена 21 долл. Тогда текущая цена всех акций ВН должна быть равна 21 1000=21000 долл., а облигаций 127000—21000=106000 долл., поэтому цена одной облигации 106000/120 = 883,33 долл.

Конечно, такое точное совпадение вряд ли вероятно. Однако если на рынке есть европейский опцион с другими параметрами, например с другими ценой и сроком исполнения, его цену можно использовать для расчета подразумеваемой волатильности, а затем вычислить цену нужного опциона по формуле Блэка — Шоулза.

Кредитный риск: структурные модели

Подход к измерению кредитного риска, использованный в предыдущем примере, можно суммировать следующим образом.

¦ Сумма активов фирмы ?_: моделируется случайным процессом (в данном случае — обобщенным броуновским движением).

¦ Дефолт по обязательствам наступает в случае, если на момент Т погашения долга значение V_t оказывается меньше суммы долга D_T.

Модели, основанные на этих принципах, называют структурными моделями кредитного риска. Они используют, по сути, ту же идею, что и моделирование "разорений” страховых компаний в главе 8. Использование этого подхода применительно к кредитному риску восходит к Р. Мертону. Он получил развитие, например, в таких прикладных методиках, как CreditMetrics, CreditMonitor (по поводу обзора этих методик см., например: [Crouhy, Galai, Mark, 2000]).

Итак, в построенной модели облигации могут рассматриваться как “деривативы” от “базового актива” — стоимости фирмы. Поскольку эта стоимость есть стоимость акций фирмы, денежный поток от облигации может быть воспроизведен или хеджирован портфелем из акций фирмы и безрискового актива. Тогда справедливы все те соображения, которые выше привели нас к равенству (9-15). В это равенство в качестве D(t) следует подставить денежный поток от облигации.

Модели оценки кредитного риска обычно имеют своей целью получение оценок вероятностей дефолтов и “справедливых” кредитных спрэдов, что дает возможность оценивать “справедливые” цены облигаций. Часто пользуются следующей упрощенной конструкцией, которую мы опишем в виде примера.

Пример 9.7. Кредитный спрэд как “премия за риск”. Рассмотрим бескупонную (дисконтную) облигацию. Обозначим S(t₀,T) стоимость на момент t₀ одного рубля капитала, вложенного в облигацию и подлежащего выплате в момент Т Предположим, что риск-нейтральная вероятность дефолта p_d и доля выплаты в случае дефолта равны R. Тогда в риск-нейтральной модели денежный поток принимает значения единица и R в момент Т с вероятностями 1 - p_d и p_d соответственно. Подставляя в (9-15), имеем

S{t₀,T) = (l-p_d + p_dR_ll)e-^r(T-'°⁾.

Как уже говорилось в главе 1, кредитным спрэдом называется разность между доходностью облигации и безрисковой доходностью. В моделях оценки кредитного риска его часто используют по аналогии с “рисковой премией” в составе дисконтной ставки.

Предположим, что инвесторы дисконтируют денежные потоки от облигаций по более высокой дисконтной ставке, чем безрисковая, с учетом кредитного риска. Пусть у — кредитный спрэд, добавляемый к величине безрисковой доходности г. Тогда современная стоимость на момент t₀ одного рубля капитала, вложенного в облигацию и подлежащего выплате в момент Т, есть

S(t₀,T) = e-^(r+y)(T-'^o).

Из написанных формул можно выразить спрэд как

у = ^г—'^п(^[-р<_і + рЛ)- <⁹~<sup>22)

1</sup> ‘о

Однако нужно сказать, что эта зависимость лишь весьма приближенно описывает отношение рынка к кредитному риску. Например, из нее следует, что спрэды для дисконтных облигаций не должны зависеть от безрисковой ставки. Некоторые авторы, однако, отмечают, что наблюдаемые спрэды обычно отрицательно коррелированы с безрисковыми процентными ставками. Это говорит о том, что реальная оценка риска инвесторами сложнее, чем следует из сделанных предположений. Последнее относится как к предположению о риск-нейтральной оценке кредитного риска, так и к предположению о дисконтировании денежного потока по постоянной, но “поправленной на риск” ставке дисконта (что мы уже отчасти видели из примеров раздела 4.6).

9.5

Деривативы и риск-менеджмент

В главах 2 и 3 уже рассматривались некоторые подходы к решению задачи выбора инвестиционного портфеля. “Оптимизационные” подходы, такие, как основанные на моделях САРМ или ожидаемой полезности, можно суммировать следующим образом. Строится некоторый агрегированный критерий эффективности инвестиций V, зависящий от параметров портфеля и отражающий желательность для инвестора тех или иных его качеств; затем производится выбор оптимального портфеля исходя из максимизации критерия. Используемые критерии, конечно, не ограничиваются описанными выше простейшими формами и могут быть самыми разными.

Оптимизационный подход теоретически весьма привлекателен, но применение его в практике финансового менеджмента связано с трудностями. Одной из основных трудностей является та, что построить сбалансированный критерий, который хорошо бы отражал интересы инвестора в постоянно меняющейся ситуации финансового рынка, нелегко, а может быть, и не всегда возможно. По крайней мере, это потребовало бы серьезной аналитической работы. Поэтому оптимизационный подход наиболее применим в долгосрочном, стратегическом управлении инвестициями.

Конечно, обычно финансовые менеджеры пользуются своей интуицией. Однако управлять сложными портфелями, включающими производные, без дополнения интуиции аналитическими методами тяжело.

Для решения более “локальных” задач средне- и краткосрочного управления инвестициями часто используется подход, который выше был обозначен как “оптимизация по частным критериям”. Не пытаясь строить каких-то агрегированных критериев, исследуют поведение отдельных характеристик портфеля, так или иначе показывающих его “рисковость” в ее отдельных аспектах. Ниже описываются некоторые характеристики и методы, обычно используемые при работе с портфелями, включающими деривативы. Часто методы анализа характеристик портфеля дополняются другими, в частности анализом сценариев.

Первой характеристикой, одной из наиболее важных, является дельта. С этим понятием тесно связано понятие дельта-хеджирования.

Инвестор, продавший опцион, принимает на себя риск. Однако он может построить “зеркальный” к своим обязательствам, т.е. хеджирующий, портфель (хедж). Оценивание опционов методом биномиальных деревьев выше основывалось на построении безрискового портфеля из короткого опциона и Д единиц базового актива. Фактически это и означает построение хеджа.

Пример 9.8. Дельта-хеджирование. Построим портфель, хеджирующий опцион из примера 9.4. Предположим, что опцион короткий, т.е. проданный. От его продажи инвестор получил 2,56 долл. Рассмотрим два портфеля: первый, состоящий из короткого опциона (О), и второй, формируемый инвестором в качестве хеджа (Н) на полученные от продажи опциона 2,56 долл.

В узле А

-0,639.

_ 0,86-4,86 Su-Sd 21,40-15,14

Поэтому в портфеле Н должно быть 0,639 коротко проданных акций. Вырученная сумма плюс изначально имевшиеся 2,56 долл., т.е. всего 0,639-18 + 2,56= 14,062 долл., инвестируются в безрисковый актив.

Предположим, что цена акции повысилась, т.е. траектория цены акции привела в узел В. В узле В опцион стоит 0,86 долл. Выигрыш владельца портфеля О составляет 2,56—0,86=1,70 долл. Цена портфеля Н 0,639-21,40 + 14,062-е^О1/3=0,86 долл., что равно цене опциона, поэтому убыток владельца портфеля Н тоже 1,70.

Найдем дельту в узле В:

-0,268.

0-2

21,40-18

Таким образом, если траектория цены акции привела в узел В, то нужно переформировать хеджирующий портфель таким образом: купить 0,639 — 0,588 = 0,371 акции по цене 21,40. Итак, портфель Н в этом узле состоит из —0,268 акции и 14,062-е^01/3-21,4-0,268 = 6,609 денег, инвестированных в безрисковый актив.

В узле С стоимость опциона составляет 4,86 долл. Цена портфеля Н 0,639 • 15,14 +14,062 • 1/3= 4,86.

_ 2-7,27 _ ^с 18-12,73

Это понятно: поскольку в этом узле опцион оптимально исполнить, хеджирующий портфель должен был бы содержать 1 короткую акцию. В более реальных, многоступенчатых деревьях так и происходит: по мере приближения к узлам, где исполнение пут-опциона оптимально, дельта приближается к — 1.

Описанная в этом примере схема называется дельта-хеджированием. Мы видим, что цена хеджирующего портфеля повторяет цену опциона во всех узлах. Хедж строится из Д единиц базового актива и некоторого количества безрисковых облигаций. Величина Д изменяется в каждом узле дерева, т.е. происходит покупка/продажа акций — портфель перебалансируется. Теоретически, когда шаг дерева стремится к нулю, перебалансировка должна быть непрерывной. При этом цена активов в портфеле такова, что ее в точности достаточно для формирования хеджа на следующий шаг. Хеджирующий портфель, будучи раз сформирован, уже не требует новых денежных вливаний. Портфель с таким свойством называется самофинансируемым. Самофинансируе-мость хеджа как раз и обеспечивает защиту от риска.

Дельта-хеджирование обязательств есть метод построения самофинан-сируемого портфеля — хеджа, стоимость которого зеркально отражает принятые на себя обязательства. Такой портфель должен периодически перебалансироваться (в идеале — непрерывно).

Схему дельта-хеджирования можно обобщить, сделав следующее замечание. Приведенное выше выражение для Д,

Su-Sd’ можно интерпретировать следующим образом: дельта есть изменение цены дериватива, Af - f_u- f_d, отнесенное к соответствующему изменению цены базового актива, AS = Su-Sd,

AS Переходя к непрерывному случаю, естественно положить



Эту величину, радную производной цены опциона по цене актива, называют дельтой опциона. Аналогично для произвольного портфеля стоимостью П положим



Дельта является первой важной характеристикой портфелей, включающих деривативы. Она измеряет чувствительность цены портфеля к изменениям цены базового актива.

Полезное свойство дельты портфеля — линейность. Если портфель включает несколько различных производных в количествах Ь_{, то дельта портфеля



(9-24)

где Д, — дельта і'-го актива.

Найдем величины дельта для рассмотренных выше активов.

г) С

1. Дельта базового актива равна единице: Д = = 1.

оЬ

2. Дифференцируя (9-3), видим, что дельта форвардного контракта тоже равна единице.

3. Прибыль/убыток инвестора, занимающего позицию во фьючерсе, равняются изменениям фьючерсной цены F (9-2). Дифференцируя эту цену по S, получаем, что дельта фьючерса равна е^г(Т~'°\

4. Пользуясь (9-19), для европейского колл-опциона можно найти

(9-25)

л = | = ф(4).

где

Іп(М)+ г + Л_ (Г-г₀)

W^r-'o

(упражнение 9.14).

5. Для пут-опциона можно вычислить, дифференцируя (9-21),

^д = ^ = ^фЦ)-1- (9-26)

Безрисковый портфель, использовавшийся для оценки деривативов выше, состоял из одного короткого дериватива и длинных акций в количестве, равном дельте дериватива. Как легко видеть, дельта такого портфеля равна нулю.

Для безрискового портфеля Д = 0. Чтобы сделать портфель нечувствительным к изменениям цены базового актива, нужно поддерживать его дельту на нулевом уровне. Портфель с нулевой дельтой называют дельта-нейтральным.

Нужно заметить, что дельта-хеджирование означает покупку базового актива при повышении его цены и продажу при ее понижении. Это было видно в примере 9.7. Это связано с тем, что дельта монотонно возрастает в зависимости от S (упражнения 9.15, 9.16). Поэтому схемы дельта-хеджирования приводят к “плановым” убыткам (хедж имеет цену). Кроме того, при массовом применении эти схемы могут приводить к “раскачиванию” рынка, вызывая “цепную реакцию” продаж при падении цен и покупок при повышении.

Страхование портфелей

"Имитирующие" опционы стратегии называют синтетическими опционами. Портфель Н из примера 9.7, фактически, представляет собой синтетический пут-опцион. Вместо того, чтобы страховаться от падения цен активов путем покупки пут-опционов, можно динамически поддерживать дельту портфеля на уровне, равном дельте портфеля с включенным в него таким опционом. Такие схемы страхования портфепей особенно широко применялись в США до 1987 г. Считается, что их широкое применение способствовало кризису рынка в октябре 1987 г., вызвав “цепную реакцию" падения цен за счет массированных продаж акций, когда рынок пошел вниз. При таком резком падении цен синтетические опционы неэффективны, так как не удается осуществлять плановые продажи активов по предусмотренным ценам, а только по значительно низшим. После этого кризиса популярность схем страхования портфелей в США значительно упала.

Следующая часто используемая характеристика — гамма портфеля. Она определяется как

(9-27)

ЭЛ _ Э²П dS ~ dS² '

Гамма показывает чувствительность дельты к изменениям цены базового актива. Если портфель близок к гамма-нейтральности (т.е. его гамма мала), то только относительно крупный сдвиг цены базового актива может привести к серьезным изменениям стоимости портфеля П.

Единственные активы из перечисленных выше, гамма которых отлична от нуля, это опционы. Дифференцируя (9-25), получаем выражение для гаммы европейского колл-опциона:

ЭД

(9-28)

42л Scr^T -t₀

dS

Как видно из (9-26), гамма европейского пут-опциона такая же.

Из-за трансакционных издержек частая перебалансировка портфеля для поддержания его дельта-нейтральности бывает невыгодной. Поэтому в дополнение к дельта-нейтральности стремятся поддерживать на нулевом уровне и гамму портфеля. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример 9.8. Вернемся к примеру 9.8, где речь шла об оценке опционов (реально не существующих) на паи ПИФа “ЛУКОЙЛ Фонд Третий”. Предположим, что инвестор занимает следующие позиции:

(а) 1000 коротких колл-опционов с ценой исполнения 2150 и сроком исполнения 3 месяца;

(б) 600 длинных колл-опционов с ценой исполнения 2100 и сроком исполнения 6 месяцев;

(в) 500 коротких пут-опционов с ценой исполнения 2000 и сроком исполнения 6 месяцев.

Пользуясь формулами, приведенными выше, получаем: дельта колл-опциона из пункта (а) равна 0,35743; его гамма равна 0,00169. Для колл-опциона из пункта (б) дельта равна 0,53488, гамма равна 0,00127.

Гамма этого опциона, очевидно, такая же, как и гамма колл-опциона. Подставляя в эту формулу параметры пут-опциона из пункта (в) выше, получаем, что его дельта равна —0,34436, а гамма равна 0,00118.

Полная дельта позиции инвестора

-1000-0,35743 + 600-0,53488 - 500 • (-0,34436) = 135,675; гамма позиции

-1000-0,00169+ 600-0,00127-500-0,00118 = -1,516.

Для того чтобы сделать портфель гамма-нейтральным, нужно занять позицию по какому-либо торгуемому опциону. Например, можно увеличить длинную позицию по колл-опциону из пункта (б) выше. Количество опционов, которые нужно купить, равно 1,516/0,00127=1191,21. Предположим, что куплено 1200 опционов (т.е. опционы на 1200 паев). Тогда гамма портфеля станет равной

-1000-0,00169 +1800-0,00127-500-0,00118 = 0,011, т.е. очень небольшой, а его дельта

-1000-0,35743 + 1800- 0,53488 - 500 • (-0,34436) = 777,528.

Теперь, чтобы сделать портфель дельта-нейтральным, нужно продать (возможно, коротко) именно такое количество базового актива, т.е. примерно 778 паев.

Часто для изменения позиций вместо базового актива используют фьючерсы. Это связано, в частности, с тем, что трансакционные издержки в этом случае ниже. Читателю предоставляется самому вычислить дельту фьючерса (с каким-либо сроком) и число контрактов, в которых нужно занять короткую позицию.

Для европейских опционов дельта и гамма вычисляются явно, благодаря формуле Блэка — Шоулза. Для других деривативов, цены которых вычисляются только численно, численно же вычисляют их дельта и гамма. Задавая малые изменения цен AS, приближенно оценивают Д как -^2.. Аналогично вычисляют гамма.

LЛО

В управлении риском портфелей используют также другие характеристики, такие, как тэта, ро и вега, измеряющие, соответственно, чувствительность цены портфеля к изменениям времени, безрисковой доходности и волатильности,

_ эп эп „ эп

? = —; /0 = —; ? = —.

ot_n or осг

В реальном управлении инвестиционными портфелями, конечно, далеко не всегда можно сделать портфели дельта-, гамма- и т.п. нейтральными. Сама по себе, такая нейтральность далеко не всегда преследуется, особенно учитывая то, что частая перебалансировка портфеля связана с высокими трансакционными издержками.

Внимание инвестиционных менеджеров сосредоточено обычно скорее на оценке риска. Риск портфеля может оцениваться различными методами; если он оказывается неприемлемо большим, портфель пере-балансируется. В качестве агрегированных показателей риска могут быть использованы различные меры риска. В 1990-е гг. большое распространение в самых разных областях, связанных с финансовым менеджментом, получила такая мера риска, как VaR.

В главе 2 уже были приведены примеры применения основанной на VaR методики RiskMetrics™. Приведем еще один пример — пример оценки риска портфеля, включающего деривативы.

Пример 9.9. В методике RiskMetrics™, как говорилось в разделе 2.3, оцениваются дневные показатели VaR (так называемые DEaR). Доходность базового актива в течение дня считается нормально распределенной с нулевым средним,

S А5 S где е — стандартно нормальная случайная величина, a_d — дневная волатильность цены, At равно одному дню.

Рассмотрим оценивание риска позиций, включающих деривативы, в связи с колебаниями цен базовых активов. Обозначим цену дериватива на момент t через f(S_t) = f(S). Учитывая только два первые члена тейлоровского разложения, можно приближенно написать:

Af = f{S_l+iI)-f{S,) = S-AS + ±y{AS)²,

Д Л 2

где 8 = / — дельта дериватива, у = -2— /

— его гамма (вычисленные

дБ

dS

на момент t). Заменив в этой формуле AS на Sa_d?, получим приближение так называемым “дельта-плюс-гамма эквивалентом” (delta-plus-gam-ma equivalent) изменения цены дериватива,

Д/ = S-Sa_d? + ±y-S²(J²?².

Будем считать Д/ тоже приближенно нормальным. Чтобы оценить VaR (относительную, см. упражнение 2.22), найдем дисперсию этой величины. Учитывая, что

Ег = 0, Ее²=і Е?³=0, Е?⁴=3,

второй момент

Е(Д/)² = S²S²a_dE?² +2SScr_d -^y-S²(7_dE?² +^y²S^cr_dE?^ =

= S²S²a²+ly²S*a*.

Математическое ожидание

ЕД f = \y-S²a²d.

Поэтому

0(д/) = Е(Д/)²-(ЕД/)² = 8²S²a] +±y²sw_d.

Тогда 0,95-VaR позиции из 1 опциона оценивается как VaR = 1,645S^8²a] +±y²S²a_d.

Оценки VaR различных позиций агрегируются согласно правилу (2-10). При этом возникают задачи оценки корреляций цен деривативов и других активов.

Сделанные в этом примере аппроксимации применимы, однако, лишь для опционов с ценами исполнения, близкими к текущей цене базового актива (т.е. когда опцион “у денег” или “около денег”). В других случаях RiskMetrics™ применяет процедуру оценки методом Монте-Карло. Подробнее см., например: [Phelan, 1995].

VaR портфеля, как было отмечено в разделе 2.3, представляет собой лишь один его показатель, не всегда хорошо отражающий риск, особенно в средне- и долгосрочной перспективе. Для более тщательного анализа финансовых рисков применяется также моделирование денежных потоков и цен портфеля в различных сценариях цен активов, процентных ставок и т.д. Сценарии могут задаваться детермини-рованно или стохастически. Общие методы такого анализа риска описаны в главе 11. Эту методологию часто связывают с понятием динамического финансового анализа (DFA).

Как говорилось выше, появление таких деривативов, как опционы, напрямую связано с потребностью участников рынка обеспечить себе защиту требуемой формы от риска колебаний цен. Пут-опцион можно рассматривать как фактически страхование против понижения цены актива ниже определенного уровня. Купив такой опцион, инвестор, занимающий длинную позицию по активу, страхует себя от риска падения цен. При этом возможность получать прибыль от повышения цены актива остается. Этим опцион отличается от форвардного (фьючерсного) контракта.

Инвестор, желающий фиксировать не только нижний, но и верхний предел колебаний цены актива, может сочетать покупку пут-опциона с ценой исполнения X, с покупкой колл-опциона с ценой исполнения Х₂, Х₂> Х_? Такая комбинация называется коллар и часто используется для управления риском обменных курсов и процентных ставок.

Опционы могут самым различным образом комбинироваться для обеспечения желаемого профиля стоимости портфеля в зависимости от цен. Рассматриваемые как “строительный материал”, они обеспечивают значительную гибкость в его формировании.

В качестве примера формирования того или иного профиля стоимости рассмотрим некоторые опционные стратегии.

Стратегии, основанные на опционах одного типа (колл- или пут-опционах), называются спрэдами (spreads). Один из простейших и популярных спрэдов — “спрэд быка”, состоящий из длинного (купленного) колл-опциона с некоторой ценой исполнения X, и проданного (короткого) колл-опциона на тот же актив с ценой исполнения Х₂, Х₂ > Х_і (см. пример ниже).

Стратегии, основанные на опционах разного типа, называются комбинациями. Одна из простейших комбинаций — так называемая “straddle”, т.е. длинный колл-опцион и длинный пут-опцион с одинаковыми ценами и датами исполнения.

Пример 9.10. Простейшие опционные стратегии. Пусть в настоящий момент цена акции S = 25. На рис. 9.6 изображены профили прибыли/ убытка, точнее, изменения стоимости портфеля, к моменту исполнения опционов Т (одному и тому же для всех опционов; все опционы европейские) в зависимости от цены базового актива S_T, при следующих стратегиях.

(а) Инвестор, владеющий 1 акцией, купил пут-опцион с ценой исполнения 20. Если цена акции упадет ниже 20, опцион исполняется, поэтому прибыль/убыток не может быть меньше -5 - р, где р — цена опциона. Обратите внимание, что по форме этот профиль совпадает с профилем прибыли/убытка для колл-опциона, т.е. можно сказать (с точностью до денежных сумм), что “1 длинная акция + 1 длинный пут-опцион = 1 длинный колл-опцион”. Этот факт уже использовался при выводе паритета цен (9-4).

(б) Инвестор, владеющий 1 акцией, построил коллар, т.е. купил пут-опцион с ценой исполнения 20 и продал колл-опцион с ценой исполнения 30. Как только что было замечено, “ 1 длинная акция + 1 длинный пут-опцион = 1 длинный колл-опцион”. Поэтому такая комбинация дает профиль, аналогичный портфелю “1 длинный колл-опцион с ценой исполнения 20 + 1 длинный колл-опцион с ценой исполнения 30”, т.е. спрэду быка.

(в) Пример более сложного спрэда: “спрэд-бабочка” (butterfly spread). Инвестор создал портфель из 1 длинного колл-опциона с ценой исполнения 20,2 коротких колл-опционов с ценой исполнения 25 и 1 длинного колл-опциона с ценой исполнения 30. Положительная прибыль получается, когда S_T не слишком отклоняется от S\ в противном случае будет небольшой убыток, вызванный разностью цен проданных и купленных опционов.

(г) Комбинация “straddle”: длинный колл-опцион и длинный пут-опцион с одинаковыми ценами исполнения 25. Эта комбинация, наоборот, прибыльна в случае значительных колебаний цен, т.е. отклонений S_T от S.

Читателю рекомендуется самостоятельно воспроизвести графики рис. 9.6. Дальнейшие примеры см. в упражнениях 9.11—9.13. Описание использования различных комбинаций можно найти, например, в книгах: [McMillan, 1993; Галиц, 1998].







Рис. 9.6. Зависимость прибыли Р от цены актива на момент исполнения S_T для опционных стратегий из примера 9.10

9.6

* Активы с дивидендами

В этом разделе кратко описывается одно практически важное распространение методов этой главы и приводятся соответствующие формулы. Предположим, что базовый актив обладает постоянной дивидендной доходностью с непрерывным начислением, которую обозначим q. Эта модель охватывает следующие случаи.

¦ Базовый актив — индекс акций. В этом случае в качестве q берется предполагаемая дивидендная доходность от инвестирования в индексный портфель. Так как такой портфель обычно очень диверсифицирован, можно приближенно считать, что он приносит постоянную дивидендную доходность.

¦ Базовый актив — иностранная валюта. Инвестор, имеющий валюту, вкладывает ее в инструменты, приносящие безрисковую доходность в данной валюте. В этом случае q = r_f, где r_f — безрисковая доходность в иностранной валюте.

¦ Базовый актив — фьючерс. Для оценки таких опционов применяется так называемая модель Блэка. Оказывается, что для оценки

9.6

Активы с дивидендами

деривативов (например, опционов на фьючерсы) нужно брать q-r (подробнее см., например: [Hull, 2002]).

Оценка деривативов в данном случае опирается на следующее соображение. Выше неоднократно использовался тот факт, что риск-нейтральная средняя доходность активов равна безрисковой доходности г. Если считать, что активы приносят доходность не только в виде повышения их цены, но и в виде денежных дивидендов, то безрисковой доходности должна равняться суммарная средняя доходность актива. Поэтому средняя доходность от повышения цены актива должна быть равна г - q .

Таким образом, в формулах (9-17) следует заменить р на

(9-29)

e^ir-^q)“ -d u-d

оставив и и d без изменений. С такими параметрами применима модель случайного блуждания по биномиальному дереву цен, описанная выше. Соответственно модель риск-нейтрального геометрического броуновского движения будет той же, что и выше, с заменой параметров {г, (Г) на (r-q,(T).

Формула паритета цен (9-4) принимает вид



(9-30)

Читатель может самостоятельно попытаться построить соответствующие портфели, аналогично тому, как было сделано выше при доказательстве (9-4).

Формулы Блэка — Шоулза (9-20) и (9-21) также можно вывести аналогично тому, как это было сделано выше, используя риск-нейт-ральный процесс с заменой г на r-q. Формула для цены колл-оп-циона принимает вид

с = 5е“'^7<г_,о)Ф(^₁) - Хе~^г(Т-‘^о)Ф (d₂), (9-31)



где

Формулу для цены пут-опциона можно получить из этой формулы и паритета цен (9-30).

Изменятся также прочие формулы. В частности, для дельта европейского колл-опциона имеем

Д _{= е}-^-'о)ф (d,),

пут-опциона

Соответственно гамма этих опционов отличается от гамма опционов на бездивидендный актив множителем e~^q(r~'^a>.

9.7

Упражнения к главе 9

Упражнение 9.1. Представим себе “идеальный” рынок безрисковых облигаций, на котором имеются две бескупонные облигации со сроком 1 год, “тождественные” в том смысле, что цена каждой облигации от выпуска к погашению эволюционирует одинаково. Обозначим эту цену В_п где t — время с момента выпуска облигации. Пусть одна из этих облигаций выпущена в момент 0, а другая — в момент 1/2. Покажите, пользуясь соображениями отсутствия арбитража, что В± - yjВ₀В_?

Покажите, что если на рынке имеются такие “тождественные” облигации со всевозможными моментами выпуска, то цена должна расти в соответствии с правилом сложного процента (1-6) и (8-15).

Упражнение 9.2. Выведите правило сложных процентов (1-6) для роста цены бескупонной безрисковой облигации из такого предположения: доходности инвестиций в облигацию для двух любых промежутков времени одинаковой длительности должны совпадать.

Упражнение 9.3. Составьте портфель, воспроизводящий европейский пут-опцион, из колл-опциона, акции и безрискового актива. Выведите отсюда соотношение паритета цен (9-4).

Упражнение 9.4. Покажите, что выбор параметров и, d и р согласно (9-12) удовлетворяет условиям (8-37) при подстановке pi(t) и а из (9-11).

Упражнения к главе 9

Упражнение 9.5. Сделайте то же самое, что в предыдущем упражнении, для параметров (9-13).

Упражнение 9.6. Найдите цену европейского пут-опциона с параметрами, равными параметрам американского опциона из примера 9.4, пользуясь построенным там деревом цен.

Упражнение 9.7. Постройте 2-ступенчатое дерево и найдите с его помощью цену американского пут-опциона на бездивидендную акцию со следующими параметрами: t-t= 0,5, S = 30, <т=0,4, г = 0,12, X = 30. Сравните с ценой, рассчитанной по 3-ступенчатому дереву. Используйте программу “DerivaGem” или другое программное обеспечение для расчета цены по 100-ступенчатому дереву.

Упражнение 9.8. Покажите, что параметры (9-13) для получения риск-нейтральной модели нужно изменить на



(9-32)

Упражнение 9.9. Покажите, что цены опционов, рассчитанные по формулам (9-20) и (9-21), растут с ростом волатильности <7. Верно ли то же самое для американских опционов? Проверьте это

¦ вручную, на модели 2-ступенчатого дерева;

¦ с помощью программы “DerivaGem”.

Упражнение 9.10. По формуле (9-21) найдите цену европейского пут-опциона со следующими параметрами: t-t₀ = 0,333, 5=40, <7 = 0,25, г = 0,12, X =45. Сравните с ценой, рассчитанной по 2-ступенчатому дереву.

Упражнение 9.11. Постройте стратегии с графиками прибыли, зеркальными к графикам рис. 9.6, т.е. с прибылью -Р.

Упражнение 9.12. Реализуйте стратегии из примера 9.10 при помощи других инструментов; в частности, используйте опционы типа пут вместо колл-опционов.

Упражнение 9.13. Постройте графики прибыли, аналогичные приведенным на рис. 9.6, для следующих опционных стратегий: (б) комбинации “strangle”: 1 длинный колл-опцион с ценой исполнения 30 и 1 длинный пут-опцион с ценой исполнения 20.

Упражнение 9.14. Получите формулы (9-25).

Упражнение 9.15. Постройте графики дельты в зависимости от цены актива S для европейских опционов (можно воспользоваться программой “DerivaGem”). Убедитесь в том, что дельта растет с ростом S.

Упражнение 9.16. Рассмотрите инвестора, который имеет некоторое количество акций, стоящих в настоящий момент по 40 долл, за акцию. Для защиты от риска падения цен ниже 35 долл, за акцию инвестор создает пут-опцион синтетически. Для этого он поддерживает дельту портфеля на том же уровне, какой бы она была, если бы в портфель были включены пут-опционы с ценой исполнения 35 долл. Покажите, что при росте цен акций такой инвестор должен покупать акции для поддержания дельты на нужном уровне (воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения).

10

глава

МОДЕЛЬ

КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА

Это более совершенная модель страхового риска по сравнению с моделью индивидуального риска главы 7. Она рассматривает процесс наступления страховых убытков по группе рисков, не связывая отдельные убытки с конкретными полисами.

10.1

Классическая теория риска

Модель коллективного риска берет свое начало с теории, предложенной шведским математиком Ф. Лундбергом (Lundberg) в начале XX в. Рассмотрим некоторый “коллектив” (группу) рисковых единиц, например застрахованных объектов, и будем рассматривать процесс появления страховых убытков. В теории коллективного риска не играет роли, с какой из рисковых единиц связан конкретный страховой убыток — этим она отличается от теории индивидуального риска. “Коллектив” можно рассматривать просто как “генератор” страховых убытков. “Генерируемые” им убытки имеют случайные размеры и происходят в случайные моменты времени. Состав “коллектива” рисков может быть непостоянным. Единственное, что важно — это порождаемый “коллективом” процесс убытков.

Время появления страховых убытков в классической теории моделируется пуассоновским процессом с некоторой постоянной интенсивностью Л. Пуассоновский процесс — широко используемая статистическая модель последовательного наступления “абсолютно случайных”, никак не связанных друг с другом отдельных событий (см. раздел 12.1). Обозначим через N(t) число страховых убытков, появившихся за период [О,Г]. Эта величина имеет распределение Пуассона с параметром Л-t,

P(N(t) = k) = ^f-e-*. (10-1)

Согласно известным формулам для математического ожидания и дисперсии пуассоновского распределения

EN(t) = Xt, DN(t) = At. (10-2)

Обозначим через Х_х, Х₂,...,Х_п... случайные величины убытков в порядке их появления. Будем считать эти величины одинаково распределенными с некоторой общей функцией распределения F_x, а также независимыми между собой и относительно процесса N{t). Величины X_t будем называть единичными или отдельными страховыми убытками.

N0)

Суммарный убыток за период [0, Г] обозначим S_t=^X_r

і=1

Предположим, кроме того, что страховые нетто-премии поступают с постоянной интенсивностью с (т.е. сумма нетто-премий, поступивших за время At, составит с At). Тогда процесс для резервного фонда V\ страховщика имеет вид

N0)

V^u + ct-^X,, (10-3)

і=і

где, как и в разделе 8.1, и = ?₀ — начальный резерв.

Процесс (10-3) называется процессом риска. Вид его траекторий изображен на рис. 10.1. Убытки появляются в случайные моменты времени В каждый из моментов г. величина V_t совершает

скачок вниз случайного размера Х_п а в промежутках между моментами убытков — линейно по времени растет. Коэффициент наклона прямых отрезков роста резерва на рисунке равен интенсивности поступления премий с. Распределение времени между моментами двух убытков (т.е. времени “ожидания” очередного убытка) для пуассоновского процесса, как известно, экспоненциальное с параметром Л. Поэтому среднее время ожидания очередного убытка равно 1/ Л. Чем интенсивность процесса Л выше, тем убытки в среднем чаще.

Классическая теория риска изучает вероятности разорения, введенные выше в разделе 8.1, в особенности вероятности разорения за бесконечное время ф(и). Как уже отмечалось там, термин “разорение” в теории риска носит технический смысл и не означает действительного разорения страховщика. Вероятность разорения следует рассматривать скорее как некоторый аналитический показатель, измеряющий риск страховых операций.

Ф. Лундберг был первым, кто ввел ф(и) в качестве меры риска. Впоследствии его труды развивались другими учеными, из которых наибольший вклад в развитие классической теории принадлежит Г. Крамеру (Cramer) и его школе. Нередко описанную выше модель называют моделью Лундберга — Крамера. Ниже приводятся некоторые результаты классической теории риска.

Для вероятности разорения ф(и) имеет место следующее равенство (см., например: [Актуарная математика, 2001]):

-Ru

е (10-4)

где Т* — момент разорения, V . — резерв в момент разорения (он отрицателен), R — так называемый подстроечный коэффициент или коэффициент Лундберга. Этот коэффициент определяется как положительный корень уравнения относительно переменной г

U *1

?₂ h t₄ t₅

Рис. 10.1. Процесс риска (10-3) (Ю-5)

Л + сг = Ag_x(r),

где g_x = Е^е^гХ ) — производящая функция моментов случайной величины единичного убытка X. (Свойства производящей функции моментов более подробно описаны в разделе 12.1.)

Напомним, что рисковая надбавка ?, введенная в разделе 7.1, связывает средний страховой убыток (чистую премию) т и нетто-пре-ми ю Р равенством

Р = (1 + ?)т.

В рассматриваемой модели аналогичное соотношение должно выполняться для страхового убытка и собранной премии за период времени t,

ct = (1 + 0)m_xAt,

т.е. ? определяется из равенства

с = (\ + ?)т_хА. (10-6)

Уравнение (10-5) всегда имеет тривиальное решение г = 0. Покажем, что если ? > 0, то у него есть единственное положительное решение. Вычислим средний суммарный убыток за период [0,г], пользуясь формулой полного математического ожидания:

то

Z*. =Е^Е р(вд=л)=

(N(1) \

V 1 У п V 1 У

=Z^n-m* •p(w(o=rc)=™*X^nP(^Aw=ⁿ)=

(10-7)

= m_xEN(t) - m_xAt,

где m_x — математическое ожидание случайной величины единичного убытка X. Разделив обе части (10-5) на А, имеем

1 + (1 + 0)m_xr = g(r)

(здесь и ниже для краткости пишем g(r) вместо g_x(r)). На рис. 10.2 изображены графики правой и левой частей этого уравнения. График правой части имеет вид возрастающей выпуклой функции, поскольку

g'(r) = E[Xe^rX^>0, так как X >0, и g"(r) - Е[х²е^гХ) > 0. Графикле-

вой части — прямая вида у - 1 + (1 + ?)т_х г. Так как g'(0)-m_x, касательная в точке 0 к графику функции y-g_x(r) имеет уравнение

у = 1 + т_хг. Угловой коэффициент прямой вида у = 1 + (1 + ?)т_хг больше, чем угловой коэффициент этой касательной. Таким образом, в области г > О должна иметься точка пересечения графиков правой и левой частей уравнения. Соответствующее этой точке положительное решение уравнения (10-5) и называется подстроечным коэффициентом R. Оно единственно.

Рис. 10.2. Определение подстроечного коэффициента R В общем случае математическое ожидание в знаменателе (10-4) не удается вычислить в явном виде, однако его можно оценить. Так как

?_г <0,е(

Го

^ЯІ/’’^{1 гт}’* j > 1 из (10-4) следует неравенство Лундберга

ф(и) < е

¦Ru

(10-8)

Хотя это неравенство дает лишь оценку сверху для вероятности разорения, можно показать, что при достаточно общих условиях на распределение величины единичного убытка X эта оценка асимптотически (при больших и ) дает верную скорость сходимости ф(и) к нулю, т.е.

ф(и) = при и—>+оо.

Напомним, что экспоненциальная асимптотика вероятности разорения при больших и была получена и в разделе 8.4 для случая, когда процесс риска был обобщенным броуновским движением.

Если распределение X такою, что \Х\< const, т.е. величина единичного убытка ограничена, то такая оценка следует непосредственно из (10-4) (упражнение 10.3).

Пример 10.1. Экспоненциальное рапределение единичных убытков. Пусть распределение единичного убытка экспоненциально с параметром /3, т.е. F_x (х) - 1 - e~^fix для х > 0 , F_x (х) = 0 для х < 0. Плотность распределения единичного убытка f_x (х) = (5е~^Рі (х > 0).

В этом частном случае удается явно вычислить математическое ожидание, стоящее в знаменателе правой части (10-4). Обозначим через X* убыток, причиняющий разорение, U — резерв непосредственно перед разорением. Тогда для произвольного у можно написать

Р^-?_г > у| = U, в момент Т* происходит разорение j = р|х* > у+ [/|х* >t/|j.

Для вычисления этой вероятности воспользуемся свойством отсутствия последействия, присущим экспоненциальному распределению (см. раздел 12.1). Так как X* распределен экспоненциально с параметром /3,

Эта величина не зависит от U, поэтому

P^-Vj.. > у| в момент Г* происходит разорение^ = е~^^у.

Теперь ясно, что условное распределение величины -V при условии, что разорение произойдет, тоже экспоненциальное с параметром /3. Нетрудно вычислить нужное математическое ожидание интегрированием по плотности этого распределения (Зе~^^у\



Подстроечный коэффициент для случая экспоненциального распределения X предлагается вычислить в упражнениях 10.1, 10.2. Он равен где рисковая надбавка ? определяется из равенства (10-6). Подставив полученные формулы в (10-4), получаем



(Ю-9)

Вероятность разорения ф{и) обычно не удается вычислить в явном виде. В общем случае можно получить интегральное уравнение для вероятности ф(и) или, эквивалентно, вероятности неразорения

ф(и) = 1-ф(и).

Пусть г, — момент появления первого убытка, Х_і — величина первого убытка. Обе этих величины случайны, причем первая имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. При условии, что г, = t, X, = х и что первый убыток не привел к разорению, т.е. и + сг-л:>0, вероятность неразорения есть ф (u + ct-x). (Можно считать, что процесс как бы “заново стартует” с начального капитала u + ct- х). Если же и + ct - х < 0, то вероятность неразорения нулевая. Вероятность неразорения при условии, что t_i = t можно вычислить по формуле полной вероятности, интегрируя по распределению X,, в результате чего получим

u+ct

u + ct- x)dF_x (х). о Интегрируя по плотности распределения t_v вычисляем полную вероятность неразорения

+» U+Ct

(10-10)

ф(и)= j ф (u+ct- x)dF_x (x)dt.

Таким образом, получилось интегральное рекуррентное уравнение для вероятности неразорения. После некоторых преобразований (подробнее см. [Grandell, 1991, р. 5]) можно привести его к виду

и

ф(и) = ^^т>< +— j*0(u-z)(\-F_x{zj)dz. (10-11)

^С о

Хотя это уравнение в общем виде не решается, оно позволяет исследовать свойства вероятности разорения, в частности получать различные оценки.

10.2

Суммарный убыток: сложно-пуассоновская модель

Теория риска Лундберга — Крамера не получила практического применения в страховании. Выше уже рассказывалось, в частности, о парадоксе теории риска, показывающем нереалистичность такой меры риска, как вероятность разорения за бесконечное время. К тому же модель является слишком идеализированной. Основные ее недостатки — те же, что уже были отмечены по поводу модели раздела 8.1.

Однако идея моделирования страховых убытков таким процессом, как выше, оказалась плодотворной и практически значимой. Рассмотрим задачу моделирования суммарного убытка (ущерба) 5, по “коллективу” рисковых единиц за фиксированный промежуток времени [0,/]. В этом и следующем разделах будут описаны модели коллективного риска для суммарного убытка и их подгонка по статистическим данным. Пример применения теории коллективного риска приводится в разделе 10.5, где описывается модель добровольного медицинского страхования.

Поскольку промежуток времени [0,г] теперь фиксирован, будем обозначать число страховых убытков и суммарный убыток через N и S соответственно. Положим, для простоты, t = 1 (обычно время будем измерять в годах). Таким образом, модель убытка выглядит как

N і=і (10-12)

Полезно сравнить (10-12) с аналогичным выражением для модели индивидуального риска (7-1), также описывающим суммарный убыток по группе однородных рисков (страховых полисов). Эти суммы построены по разному принципу. В (7-1) фигурируют убытки Z- по отдельным полисам (j— номер полиса). Распределение Z_} таково, что с большой вероятностью величина убытка равна 0 (страховых случаев по полису не происходит). В (10-12), напротив, все слагаемые положительны, так как они соответствуют только появившимся страховым убыткам. Если по каждому полису возможен только один страховой случай, модель (10-12) можно свести к (7-1) простым переобозначением,

ПОЛОЖИВ N = I (Zj >0), где /(•) — индикатор события, и взяв в

качестве X_t г-й по счету отличный от нуля убыток. Распределение X будет совпадать с распределением величины Z/(Z > 0). Например, если речь идет о страховании некоторых объектов от полного разрушения, такая схема приемлема. Чаще, однако, на практике полисы страхования не прерываются после первого страхового случая, и существует возможность повторных страховых убытков. В этом случае для подгонки модели индивидуального риска по статистическим данным нужно знать “историю” выплат по каждому полису. Как правило, на практике приходится работать с большими объемами данных, из которых трудно, а иногда невозможно, извлечь “историю” каждого отдельного полиса (см., в частности, пример с реальными данными в разделе 10.5). Часто, применяя на практике модель индивидуального риска, пренебрегают возможностью повторных страховых убытков, если вероятность страхового случая q достаточно мала (это, например, делается в Методике (I) Росстрахнадзора, описанной выше).

Модель коллективного риска избавлена от этого недостатка. В этой модели убытки рассматриваются вне связи с тем, какой именно рисковой единицей они порождены. Мы говорим о “коллективном” риске (в противоположность “индивидуальному”) в том смысле, что здесь источником риска является “коллектив” рисков (например, застрахованных объектов) в целом. Можно считать, как уже говорилось, что этот коллектив порождает убытки как некоторые “импульсы” случайного времени наступления и случайного размера.

Модель индивидуального риска рассматривает условную статичную группу рисков. Мы не можем соотнести суммарный убыток S с каким-либо реальным промежутком времени. Это было бы возможно только в том случае, если бы все риски были застрахованы одновременно и на один и тот же срок. Реально страховые полисы продаются компаниями непрерывно, и в каждый момент времени все полисы страховщика имеют разные сроки до своего окончания. Таким образом, происходит непрерывная “ротация” состава страхуемых рисков, каждый день сроки одних полисов истекают, другие полисы начинают действовать. Реально такой постоянной по составу группы рисков, к которой можно было бы применить модель индивидуального риска, не существует. Модель же коллективного риска, в основе которой лежит поток страховых убытков, никак не связана с составом группы рисков, порождающих этот поток. Таким образом, эта модель более прямо применима к реальности.

Модель коллективного риска математически сложнее модели индивидуального риска, но лучше соответствует реальным данным. В настоящее время она фактически является стандартом теории риска для практического моделирования убытков в краткосрочном страховании.

Распределения сумм случайного числа случайных слагаемых, таких, как сумма в (10-12), называются сложными (compound) распределениями. В случае, когда процесс появления страховых убытков — пуассоновский и, следовательно, N имеет пуассоновское распределение, распределение S называется сложным пуассоновским (compound Poisson). Пользуясь формулой полной вероятности, функцию распределения можно представить в виде

F_s(x) = ?p(5 <^1(МЗ)

ІС=о к=0 к!

где F_x^k — к -я свертка функции распределения F_x с собой, т.е. функция распределения суммы к независимых случайных величин с распределением F_x.

Вероятности сложного пуассоновского распределения трудновычислимы. Для них существуют численные процедуры, рекуррентные и приближенные формулы, некоторые из которых обсуждаются ниже, в разделе 10.4. Однако можно вывести явные формулы для производящей функции моментов, а также для математического ожидания и дисперсии 5, выражающие их через соответствующие характеристики І? и X.

Производящая функция моментов

g_s(0 = Ee^fs = 2 ^EfV = и]^р№ = Я) =



m=n)=Y,{sAC))’m=n)=

П

_e"^_P(N = n) = _gN(\ng_x(C)).

(10-14)

Пользуясь этой общей формулой, выпишем выражения для производящей функции моментов сложного пуассоновского распределения. Пусть N имеет пуассоновское распределение с параметром At. Тогда

8ЛО=ы р(ж[у-і]),

поэтому

*₅(0 = ехр(Л/[*ЛО-і])- (Ю-15)

Формулы для математического ожидания и дисперсии S (а также, если нужно, старших моментов) можно получить дифференцированием g_s. В частности,

ES = EN-EX,

DS = EN-m+DN-(EX)². (10-16)

Для сложно-пуассоновского случая EN = DN = At, поэтому

Е5 = Atm_x,

T)S=At{a²x+m²x), (10-17)

где т_х — математическое ожидание, <г_х — среднее квадратическое отклонение величины единичного убытка Х_г

Пользуясь (10-15), можно также установить следующий важный факт: сумма независимых сложных пуассоновских величин — снова сложная пуассоновская величина. Пусть 5, и S₂ — две сложные пуассоновские величины, первой из которых соответствует интенсивность появления убытков А, и производящая функция моментов одного убытка g_v а второй — соответственно, А₂ и g₂. Тогда производящая функция моментов суммы

8s_]+Sl (О = 8s, (О • Ss_: (О = ехр(Л,Г[si(О -1]) • exp(Aj[_gl(О -1]) =

⁼ ехр'І(Л₁ +A₂)t

(10-18)

Ay + А^

Ay +A₂

Эта формула имеет простой смысл: сумме 5, + S₂ соответствует пуассоновский процесс появления убытков с интенсивностью А₁+А₂. При этом функция распределения единичного убытка имеет вид, соответствующий производящей функции моментов

Это “смесь” производящих функций моментов g, и g₂, взвешен-

4 К

ныхс положительными весами —*-=- и —Чг-, сумма которых равна

/4] +^2 /4] +^2

единице. Как нетрудно видеть (упражнение 10.6), распределение единичного убытка при этом представляет собой соответствующую смесь распределений. Это распределение соответствует ситуации, когда очередной убыток как бы выбирается наугад из двух групп, причем вероятности выбора пропорциональны соответствующим Л — интенсивностям убытков для двух групп (средним числам убытков в единицу времени).

10.3

* Смешивание

На практике часто оказывается, что группы (коллективы) рисков, к которым применяется теория коллективного риска, не вполне однородны. Степень подверженности риску объектов в группе, выражающаяся в вероятности появления страхового случая, может испытывать изменения во времени. Могут существовать факторы, влияющие на степень подверженности риску всех или многих объектов в коллективе. Временные изменения делят на долгосрочные тенденции (тренды), сезонные и краткосрочные колебания. Так, например, если мы будем изучать распределение числа страховых случаев на один полис автомобильного страхования в Москве, то нам придется взять статистические данные по некоторому типу автомобилей за определенный период. При этом неизбежно окажется, что некоторые из полисов в изучаемой совокупности будут относиться к более ранним, другие — к более поздним срокам страхования в пределах исследуемого периода. В связи с ростом интенсивности дорожного движения существует тренд повышения степени подверженности риску, в частности частоты аварий; поэтому ожидаемое число страховых случаев типа “авария” для более “поздних” полисов будет несколько выше, чем для более “ранних”. Зимой вероятности аварий выше, чем летом. Погодные условия (например, гололед, снегопад) могут приводить к краткосрочным (несезонным) “всплескам” вероятности аварии. Кроме временных неоднородностей, существуют еще неоднородности внутри группы, связанные с мастерством и физическим состоянием водителя, техническим состоянием автомобиля и т.д. Отчасти таких неоднородностей можно избежать, подразделяя полисы на более подробные категории, однако эта возможность ограничивается объемом имеющихся статистических данных и подробностью их классификации. Аналогичная картина наблюдается и во многих других видах страхования (хотя характер неоднородностей может быть разным и в каждом случае требует специального изучения).

Имея дело со статистическими совокупностями, мы не можем изучать каждый отдельный полис, а вынуждены иметь дело с распределением числа страховых случаев, усредненным по совокупности. Такое распределение соответствует случайно выбранному из совокупности полису. Предположим, что каждый отдельный полис “генерирует” в точности пуассоновский поток страховых случаев, возможно, с переменной интенсивностью. Можно показать, что распределение случайной величины числа страховых случаев для каждого отдельного полиса даже при переменной интенсивности пуассоновского потока остается пуассоновским (простейший случай в упражнении 10.7). Однако распределение числа страховых случаев на один случайно выбранный полис не будет в точности пуассоновским, даже если считать, что каждый полис “генерирует” в точности пуассоновский поток страховых случаев. Дело в том, что при выборе случайного полиса из совокупности мы “выбираем” и соответствующую интенсивность пуассоновского потока, которую обозначим Л\ отличая ее от интенсивности Л потока страховых случаев по всему коллективу рисков. Таким образом, при случайном выборе полиса его Л" тоже случайна, т.е. может испытывать случайные отклонения. Это возможно, повторим, в том случае, когда имеются неоднородности в совокупности, т.е. Л* для разных полисов могут быть разными в связи как с разными сроками действия полисов, так и с прочими неоднородностями.

Математически это описывается следующим образом. Пусть N* — число страховых случаев на один случайно выбранный полис. Распределение N* задается смешанными пуассоновскими вероятностями





(10-19)

где Н — функция распределения случайного параметра Л*. Смешанная пуассоновская вероятность (10-19) представляет собой математическое ожидание пуассоновской вероятности со случайным Л*. Распределение N* в этом случае называется смешанным пуассоновским (mixed Poisson).

Наиболее часто в теории риска используется одно из класса смешанных пуассоновских распределений — так называемое отрицательное биномиальное распределение или распределение Пойа¹, вероятности которого задаются формулой

р_П=С:_+П._іР^г(1-_РУ, (10-20)

где п, г и р — положительные параметры, р< 1. Заметим, что г и п не обязаны быть целыми; для нецелых параметров “число сочетаний”, входящее в (10-20), определяется при помощи гамма-функций (см. раздел 12.1). Если в (10-19) в качестве смешивающего распределения Н взять гамма-распределение с плотностью

В^а

h(x) = Н'(х) = х^а_1 е~^рх (х > 0), Г (а)

то получим вероятности (10-20). Таким образом, смешивание пуассоновского распределения со смешивающей гамма-плотностью дает отрицательное биномиальное распределение. При этом параметры связаны формулами

(10-21)

г = а, р =

Доказательство этого факта можно найти, например, в книге [Актуарная математика, 2001].

Часто бывает удобно записывать (10-19) в виде

(-Щ

Р,= Е

(10-22)

ехр

п\

где Л* = ЕЛ’\ Г] = ЛІЛ* — случайная величина, принимающая положительные значения и имеющая математическое ожидание, равное единице. Эту величину будем называть смешивающей случайной величиной.

Как и выше, нас интересует величина N количества страховых случаев или появившихся убытков по группе рисков. Например, предположим, что мы исследовали статистические данные по большому

' Г. Пойа (Polya) — венгерский математик XX в.

количеству уже окончившихся полисов страхования определенного типа и определили, что распределение числа убытков на один случайно выбранный полис N* можно считать смешанным пуассоновским. Как моделировать поток убытков по группе, например, из 100 полисов?

Предположим, что N* и — случайные величины количеств страховых случаев по двум различным рискам, имеющие одинаковое смешанное пуассоновское распределение (10-19). Какой вид может иметь распределение величины N = N* + N* — количества страховых случаев по “группе” из двух рисков? Пусть rj_x, rj₂, Г] — смешивающие величины для N*, N₂, N соответственно. Будем предполагать, что N* и N₂ зависят между собой только через смешивающие величины. Точнее говоря, будем считать N* и независимыми при условии (Т]_х =jc_p Г]₂ =х₂), где (jc,,jc₂) — произвольная пара чисел¹. Это предположение достаточно естественно. Например, числа аварий для двух групп автомобилей можно считать независимыми, если зафиксированы, скажем, погодные факторы, одновременно влияющие на вероятности аварий. Тогда при условии rj_x=x_x, Г]₂ = х₂ величина Л? = Л?* +N* есть_сумма независимых пуассоновских величин с параметрами Л*х_{ и Л*х₂ и, следовательно, имеет пуассоновское распределение с параметром Л^,х₁+Л*х₂. Поэтому, обозначая через р{х_?х₂) совместную плотность распределения 0]_Х,Т}₂), имеем



Из (10-19) можно видеть, что ЕN* = Л* (упражнение 10.8). Поэтому EN = EN_X +ENl =2/1*. Приводя (10-23) к виду (10-22), записываем

Такие случайные величины называются условно независимыми. ных величин представляет собой смешанно-пуассоновскую случайную величину, причем смешивающая величина суммы представляет собой среднее арифметическое смешивающих величин слагаемых. Аналогично можно показать, что смешивающая величина суммы к слагаемых есть

Ъ+?г

2

Таким образом, сумма смешанно-пуассоновских случай

где Т] =

(10-24)

iy,+iy₂+...+ 7_t к

Простейшим частным случаем является случай, когда смешивания нет. Тогда все Г]_і равны единице, = 1, и имеем r/ = 1. Это ситуация, когда сумма независимых пуассоновских случайных величин N* дает пуассоновскую величину N.

Вообще же говоря, вид распределения смешивающей величины (10-24) определяется зависимостью слагаемых. Рассмотрим два крайних случая.

(а) Смешивающие величины Т]_і в (10-24) независимы. Тогда при больших к, согласно закону больших чисел, величина г/ с большой вероятностью близка к математическому ожиданию одного слагаемого, т.е. к единице. В этом случае можно сказать, что смешивание вырождается. Это происходит потому, что случайные отклонения параметров различных рисков, при их взаимной независимости, “компенсируют” друг друга. При этом сг —> 0.

(б) Смешивающие величины rj_i одинаковы, Tj_i = rj₀ для любого і, где Т]₀ — некоторая случайная величина. Тогда (10-24) превращается в равенство т/ = т/₀, т.е. смешивающая величина остается той же при любом числе слагаемых. Это может быть в случае, когда все риски испытывают какое-либо общее влияние, так что случайные отклонения степени подверженности риску для всех объектов одинаковы. В этом случае о_ц - о_ц - const.

В практических ситуациях должны наблюдаться те или иные “промежуточные” варианты между случаями (а) и (б). Во всех случаях, однако, как следует из (10-24), среднее квадратичное отклонение смешивающей величины для N не превышает среднего квадратичного отклонения смешивающей величины, найденной для одного слагаемого, или для N*:

а_п<а_п>. (10-25)

Случай (б) представляет собой, таким образом, случай “максимального риска”, когда смешивание полностью сохраняется при суммировании.

Рассмотрим теперь случай отрицательного биномиального распределения N*. Так как среднее гамма-распределенных случайных величин уже не обязательно имеет гамма-распределение, rj в (10-24) может уже не быть гамма-распределенной и, строго говоря, N не будет иметь отрицательного биномиального распределения. Исключение составляет случай (б) выше, когда все смешивающие величины равны. На практике, однако, часто используют отрицательное биномиальное приближение как для N\ так и для N.

Для реальных данных о распределении числа убытков на один полис характерно то, что дисперсия больше среднего. Это говорит о “непуассоновости” N* и о наличии смешивания. Такой пример с реальными данными приведен ниже, в разделе 10.5.

Пример 10.2. Предположим, что число убытков на один полис страхования имущества N*, согласно имеющимся статистическим данным, имеет среднее m =0,0341 и дисперсию (<т*)² = 0,0483. Требуется построить отрицательные биномиальные приближения для распределения N* и величины N числа убытков по к - 100 полисов.

Вначале оценим параметры распределения N*. Для отрицательного биномиального распределения (10-20) математическое ожидание и дисперсия выражаются формулами (см. также раздел 12.1):

(10-26)

га 2 Щ

т = —, о =-4,

Р Р

где <7 = 1- р.

Используя метод моментов, получаем для параметров г* и р* (q*) распределения N’ систему уравнений

Разделив первое уравнение на второе, находим

0,706.

Подставив это в первое уравнение, получаем

г* = 0,0818867.

1-Р

Теперь, пользуясь (10-21), находим оценки параметров смешивающего гамма-распределения в (10-19)

« = г* =0,08189,

Р = —— = 2,40136.

1-р

Это оценки параметров распределения Л*, а нам требуются параметры а_п и Р распределения нормированной величины Г] = Л*ІЛ*. Гамма-плотность величины Л* имеет вид

/ =-@—х^а-^х e^fix.

^л Г(«)

Пользуясь формулой изменения плотности при линейном преобразовании случайной величины, получаем формулу для плотности г]\

/„(¦*) = Л*/_л {Л*х) = ^~ ^| ехр(~рЛ*х).

Это гамма-плотность с параметрами а_п = а = 0,08189 и Р = Л* р = т Р = 0,08189. Равенство параметров соответствует тому, что математическое ожидание г] равно единице. Попутно мы установили, что при умножении гамма-распределенной случайной величины на число масштабный параметр делится на то же число, а существенный параметр не изменяется.

Теперь перейдем к случаю к рисков. Воспользуемся правилом “максимального риска” (ситуация (б) выше), т.е. будем считать смешивающую величину г] той же, что для величины_ЛГ. Среднее число убытков для к рисков будет в к раз больше, Л=кЛ*. Если Л: = 100, то среднее число убытков станет равным кт* = 100 0,0341 = 3,41. Поскольку Г] = Л*ІЛ*, распределение Л* в (10-19) будет совпадать с распределением величины 3,41 • 77. Это гамма-распределение с параметрами « = 0,08189 и Р = 0,08189/3,41 = 0,0240. Согласно (10-21), параметры отрицательного биномиального распределения для N есть

/- = « = 0,08189,

= 0,02344.

Р

Кроме отрицательного биномиального распределения, и другие смешанные пуассоновские распределения могут давать хорошие приближения для N* и N. Например, для этой цели используют простейшее смешанное распределение — смесь двух пуассоновских распределений с некоторыми весами.

10.4

Распределение единичного убытка и общая модель

В предыдущем разделе было рассмотрено моделирование числа страховых убытков N для группы (коллектива) рисков. Как было сказано выше, если N моделируется пуассоновской величиной, суммарный страховой убыток S, определяемый (10-12), имеет сложное пуассоновское распределение. Если N, как в предыдущем разделе, имеет смешанное пуассоновское распределение, распределение S называется сложным смешанно-пуассоновским. В частности, если распределение N — отрицательное биномиальное, то распределение S — сложное отрицательное биномиальное.

Для того чтобы моделировать суммарный убыток S, необходимо промоделировать, кроме N, единичные страховые убытки Х_г Обозначим, как и выше, через X случайную величину с таким же распределением, как у всех Х_г Типичный вид гистограммы распределения X приведен на рис. 10.3 в следующем разделе. Это, как правило, асимметричное распределение с положительной асимметрией, нередко с тяжелым хвостом. Конкретная форма распределения единичного страхового убытка зависит, конечно, от вида страхования. Тем не менее есть несколько стандартных и часто применяемых моделей для распределения X.

Одна из таких моделей — уже знакомое читателю гамма-распределение со сдвигом, или трехпараметрическое гамма-распределение, плотность которого

8М = -^т-Лх-сГ¹е-^/Нх-^с\ х>с, (10-27)

(ог-1)!

математическое ожидание и дисперсия

а

т_? = — + с,

^Х Р

2 ОС X 01-

(10-28)

Кроме трехпараметрического гамма-распределения, для аппроксимации распределения единичного убытка часто используют также логнормальное распределение и распределение Парето. Иногда вместо аналитических приближений пользуются плотностью, просто воспроизводящей гистограмму наблюденных значений убытка (так называемым табулированным по данным распределением). Вопросы моделирования распределения единичного убытка подробно рассмотрены, например, Дэйкином, Пентикайненом и Песоненом [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994], а также в работе Хогга и Клагмена [Hogg, Klugman, 1984].

Перейдем к общей модели для суммарного убытка. Одна из наиболее часто используемых в приложениях моделей S — сложное отрицательное биномиальное распределение. Выпишем выражения для производящей функции моментов, математического ожидания и дисперсии в этом случае. Если N имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г и р, то

1 -qe^s

(10-29)

(здесь, как и выше, q = 1- р), поэтому, согласно общей формуле (10-14),

8 s (С)

(10-30)

U-Я8х(0)

Формулы для математического ожидания и дисперсии можно получить как дифференцированием (10-30), так и с помощью формул (10-16). Имеем

rq

m_s =

(10-31)

₂ rq ₂ rq ₂

s= — <⁷x ⁺~T^mx

Варианты этих формул для случая, когда распределение N записано в виде (10-22), т.е. через смешивающую величину т], приведены в упражнении 10.10.

Обычно функцию или плотность распределения суммарного убытка (10-12) вычисляют численно. Для этого существуют различные методы. В частности, можно воспользоваться методом Монте-Карло. При этом случайные величины N и Х₍ моделируются при помощи датчиков случайных чисел. Получив достаточно большую выборку значений S, можно оценить нужные параметры распределения и другие характеристики статистическими методами. В частности, вероятность P(S < jc) = F_s(jc) приближенно равна относительному числу смоделированных значений S, меньших х.

Другой метод основан на численном вычислении сверток в выражении

F_s(х) = ? р;^п(дг)Р(N = n). (10-32)

k=0

Математические пакеты, такие, как “Mathematica”, позволяют делать такого рода вычисления, однако для ограниченного набора F_x. Метод Монте-Карло, лишенный этого недостатка, имеет здесь преимущество (как и во многих других случаях).

Численные методы позволяют вычислить F_s с большой точностью. Однако их применение требует некоторого времени и умения программировать. Часто бывают приемлемы приближенные формулы для F_s(x). Простейшая из них — нормальная аппроксимация для F_s,

F_s(x) = Ф

х-т_с

V ^as J которая уже применялась в главе 7. Нормальная аппроксимация, однако, может быть слишком неточна в случаях, когда убытки редки, а распределение одного убытка сильно асимметрично и имеет тяжелый хвост, что типично для данных в рисковом страховании. Оказывается, что можно улучшить нормальную аппроксимацию, учитывая, кроме первых двух, еще и третий момент распределения. Формула

F_s(*) = 0 Vs (10-33)

(9 , 6 х-Шг

—+ 1 +----

Vs определяет так называемую степенную нормальную аппроксимацию для F_s. Эта аппроксимация применима для правого хвоста F_s тогда, когда асимметрия y_s не превосходит единицу.

Интересно сравнить формулы для капитала под риском, возникающие как результат этих аппроксимаций. Напомним, что капитал под риском U определяется из равенства (7-3). Как мы уже неоднократно видели выше (главы 2, 7), для случая нормальной аппроксимации

U = m_s +a_scr_s,

где а_с — квантиль стандартно нормального распределения уровня е.

Для случая степенной нормальной аппроксимации капитал под риском имеет несколько иной вид:

U =m_s+ a_ea_s + ^y_s(,а² -1 )cr_s. (10-34)

о

Третий член, зависящий от коэффициента асимметрии y_s, равен нулю для нормального распределения и отличен от нуля для асимметричных распределений. Поэтому формулу можно рассматривать как полезное уточнение оценки капитала под риском (или VaR) с учетом асимметрии распределения. Типичное распределение убытка в страховании обладает положительной асимметрией и в целом имеет форму, подобную гамма-распределению (плотность показана, например, на рис. 2.2). Мы видим, что оценка капитала под риском для асимметричных распределений должна быть несколько скорректирована. Формула (10-34) говорит также и о том, что при наличии асимметрии недостаточно для оценки риска пользоваться только средним квадратическим отклонением. Все это относится и к другим случаям, например к оценке VaR в финансовых задачах, если данные говорят о наличии асимметрии.

Другой вариант аппроксимации — все то же трехпараметрическое гамма-распределение. Эта аппроксимация проста и очень хорошо “работает”, когда распределения единичного убытка тоже не слишком асимметричны.

Например, в магистерской диссертации М.Ю. Нехина¹ были с высокой точностью методом Монте-Карло промоделированы распределения суммарного убытка с коэффициентами асимметрии 0,53 и 1,18. Число убытков моделировалось отрицательной биномиальной случайной величиной, единичные убытки предполагались гамма-распреде-ленными. В нижеследующей таблице приводятся данные об относительной ошибке (в процентах) оценки квантилей функции распреде-

Защищена и ГУ ВШЭ it 2000 г.

ления F_s уровня е для трех аппроксимаций: нормальной, степенной нормальной (NP) и аппроксимации трехпараметрическим гамма-распределением.

е = 0,85 е = 0,90 е = 0,95 е = 0,99 Нормальная -0,58 -1,20 -2,50 -5,85 ^ = 0,525 NP -0,46 -0,19 -0,07 -0,43 Гамма -0,58 -0,29 -0,15 0,24 Нормальная 1,73 -2,03 -6,52 -14,90 У = \Л 8 NP 2,09 -2,00 -2,91 -2,24 Гамма -0,68 -0,08 2,10 5,69 Как правило, все приближенные формулы начинают “плохо работать”, когда распределения единичного убытка “плохие”, т.е. сильно асимметричны, имеют тяжелые хвосты. В этих случаях ничего не остается, как применять численные методы.

Подробнее по поводу описанных и других существующих аппроксимаций и их сравнения см., например: [Daykin, Pentikainen, Ре-sonen, 1994].

10.5

* Модель выплат

добровольного медицинского страхования

В качестве примера применения описанных выше методов приведем стохастическую модель выплат по договорам добровольного медицинского страхования (ДМС), разработанную в 1998 г. по данным одной из крупных российских страховых компаний — РОСНО [Шоломиц-кий, Рассказов, 1998]. Это поможет читателю познакомиться с проблемами, возникающими при таком моделировании, на примере реальной задачи.

Добровольное медицинское страхование осуществляется, как правило, компаниями — работодателями с целью обеспечения медицинским обслуживанием их сотрудников. Для этого страхователь заключает договор со страховой компанией, на основе которого работники компании-страхователя становятся обладателями полисов ДМС, гарантирующих их медицинское обслуживание в тех или иных лечебнопрофилактических учреждениях (ЛПУ). Как известно, стоимость услуг в различных ЛПУ разная. В рассматриваемой здесь схеме страхования застрахованные лица “прикреплялись” к тем или иным ЛПУ. Такая схема является простейшей; в более сложных схемах медицинского страхования застрахованным предоставляется ограниченная или даже неограниченная возможность самим выбирать ЛПУ. Мы ограничимся простейшей схемой, более того, лишь в той ее части, которая касается оплаты страховой компанией пребывания застрахованных лиц в стационарах (больницах). Эти случаи представляют, по сравнению с оплатой услуг поликлиник и других ЛПУ, наиболее “рисковую” часть страховых выплат. Страховые случаи происходят относительно редко, однако выплаты по ним могут достигать больших значений.

Для анализа использовалась база данных, содержавшая сведения о 28072 полисах ДМС, действовавших в течение одного года каждый в период 1996—1997 гг. Из этого количества по 1651 полису были страховые случаи интересующего нас типа (обращения в стационар). Данные содержали также информацию о числе дней пребывания в стационаре и выплаченной страховщиком сумме.

В первую очередь рассмотрим распределение числа страховых случаев на один полис. Это распределение, а также пуассоновское и отрицательное биномиальное приближения для него, приведены в нижеследующей таблице.

Число обращений в стационар Число

полисов Пуассоновское

приближение Отрицательное

биномиальное

приближение 0 26421 26186,3 26431,6 1 1411 1820,1 1387,2 2 197 63,3 206,5 3 29 0,60 37,4 4 11 0,03 7,4 5 2 0,00 1,5 6 1 0,00 0,3 Среднее число обращений в стационар на один полис равно 0,069535, выборочная дисперсия числа обращений 0,092130. Как уже отмечалось, то, что дисперсия больше среднего, характерно для страховых данных и указывает на наличие неоднородностей (смешивания). Для построения пуассоновского приближения пуассоновский параметр оценивается выборочным средним. Отрицательное биномиальное распределение подогнано методом моментов, аналогично тому, как это делалось в примере 10.2 (упражнение 10.13).

Из таблицы можно видеть, что отрицательное биномиальное распределение гораздо лучше приближает данные, чем пуассоновское распределение. Это подтверждают и статистические тесты. Видно, что реальное распределение имеет более тяжелый хвост, чем пуассоновское приближение. Это типичная картина для данных из различных областей страхования. Впрочем, основная масса выплат приходится на полисы с числом обращений, равным единице. Размеры относительной ошибки пуассоновского приближения предоставляется оценить читателю.

Приблизив таким образом распределение числа страховых случаев на один полис N*, мы можем переходить к любому числу полисов. Моделировать число N страховых случаев по группе полисов можно, например, так, как это делалось в примере 10.2, где мы предполагали смешивающую величину одной и той же для любого числа полисов (это соответствует максимальному риску). Чтобы действовать более тонко, можно было бы оценить уменьшение дисперсии смешивающей величины в зависимости от количества полисов в группе. Вопросы оценки смешивающих величин относятся к самым сложным.

Для моделирования суммарного страхоюго убытка S в виде (10-12) теперь нужно промоделировать распределение величины единичного страхового убытка. В рассматриваемом случае это распределение зависит от группы ЛПУ, к которой прикреплен застрахованный. Всего было выделено четыре таких группы, выбранные в зависимости от средней стоимости одного дня пребывания в том или ином ЛПУ. Таким образом, если в моделируемой группе рисков будут застрахованные, прикрепленные к ЛПУ различных групп, то суммарный убыток будет иметь вид суммы нескольких слагаемых вида (10-12). Опуская излишние детали, остановимся на проблеме моделирования распределения величины единичного убытка Х_і для какой-либо одной из выбранных групп ЛПУ.

При моделировании единичного убытка возникает еще одна проблема, характерная для многих областей страхования. Оказалось, что распределение единичного убытка для каждой из групп ЛПУ хорошо приближается гамма-распределением, за исключением области “самых больших” значений, т.е. реальное распределение имеет более тяжелый хвост, чем гамма-распределение. Ситуацию иллюстрирует рис. 10.3, где приведена гистограмма для одной из четырех групп ЛПУ (картины в других группах аналогичны). Из гистограммы видно, что гамма-приближение не позволяет верно оценить вероятности “очень больших” страховых убытков. Гамма-распределение приписывает таким убыткам практически нулевые вероятности, однако систематическое появление таких крупных убытков говорит о том, что их вероятности более существенны. Так как величины этих убытков могут быть достаточно велики, нужно уделить внимание их моделированию.

Число дней

Рис. 10.3. Выплаты на один случай пребывания в больнице для одной из групп ЛПУ с приближением гамма-плотностью Здесь можно было бы использовать методы теории экстремальных значений, описанные в разделе 2.5. Однако в данном случае “проблема хвоста” не настолько серьезна, чтобы прибегать к таким сложным методам. В ДМС вряд ли могут быть случаи убытков, которые можно считать “катастрофическими”, а суммарный вклад “хвоста” в общий убыток невелик. Кроме того, для решения проблемы оказывается возможным привлечь дополнительную информацию, а именно, данные о числе дней пребывания в стационаре. Дело в том, что почти все самые крупные страховые убытки относятся к случаям, когда застрахованный находился в стационаре достаточно долго. Однако оказывается, что разброс стоимости одного дня пребывания в стационаре уменьшается по мере увеличения продолжительности пребывания. Типичный график приведен на рис. 10.4 (читатель может самостоятельно объяснить это явление).

Рис. 10.4. Зависимость стоимости одного дня пребывания от продолжительности пребывания для одного из ЛПУ Кроме того, оказывается, что распределение числа дней пребывания больного в больнице гораздо лучше поддается приближению, чем распределение стоимости лечения. Сама по себе статистика здесь довольно любопытна. Оказывается, что распределение до срока пребывания, равного примерно 22—23 дням (рис. 10.5а), практически равномерно'. После же этого отчетливо заметного “рубежа” начинает действовать совершенно иной закон. Если, например, построить гистограмму для сроков пребывания, больших 24 дней (рис. 10.56), то мы увидим, что распределение ведет себя достаточно регулярно и может быть надежно приближено некоторой гладкой аналитической кривой (детали здесь опущены). Для целей нашего моделирования важны именно эти большие сроки пребывания в больнице.

Число дней (а)

(б) Рис. 10.5. Время пребывания в больнице:

(а) для случаев, когда оно не превышает 22 дней (вверху);

(б) для случаев, когда оно превышает 24 дня (внизу) Итак, распределение величины единичного убытка X (отдельно для каждой из четырех групп ЛПУ) моделировалось в виде

F_x (х) = (1 - p)F_x (л) + pF₂ (х),

где через р обозначена вероятность того, что срок пребывания в больнице превысит R дней. Рубеж R выбирался для каждой из групп ЛПУ из эмпирических соображений (как правило, 25—30 дней). Распределение F, — это условное распределение убытка при условии, что застрахованный пробудет в больнице не более R дней. Вид его гистограммы практически такой же, как на рис. 10.3, только имеющиеся там “выбросы” (очень большие убытки) почти исчезают. Статистические тесты подтверждают согласие с гамма-распределением.

Распределение F₂ строилось как распределение случайной величины ?•//, где ? — число дней, проведенных в больнице, ц — некоторое число, несколько большее средней стоимости одного дня пребывания в больнице при условии, что срок пребывания превысит R. Число ц оценивается по графикам типа 10.4. Для надежной оценки хвоста можно брать в качестве /л максимальное из наблюденных значений. Можно заменить ц случайной величиной, но это не приведет к существенному изменению модели в целом. В качестве кривой плотности распределения Е, (числа дней пребывания в стационаре) при условии Е, > R можно взять любую кривую, хорошо приближающую данные (рис. 10.56).

10.6

Упражнения к главе 10

Упражнение 10.1. Пусть случайная величина одного убытка X имеет экспоненциальное распределение с параметром /3 (как в примере 10.1). Покажите, что производящая функция моментов

g_x(^s) = -^—

P-s

Упражнение 10.2. Воспользовавшись результатом упражнения 10.1, покажите, что в случае экспоненциально распределенных единичных убытков

R-4-.

1 + ?

Упражнение 10.3. Покажите, что если |х| < 1, то из (10-4) следует, что ф{и) = 0{e~^Ru) при и —> -и».

Упражнение 10.4. Получите формулы (10-16) при помощи дифференцирования (10-14)в нуле.

Упражнение 10.5. Согласно статистическим данным, среднее число страховых случаев по некоторой группе рисков составляет 88,3 в год. Выпишите выражение для производящей функции моментов S для случаев:

(а) экспоненциального распределения X с т_х - 360 долл.;

(б) равномерного отОдо 1900 долл, распределения X.

Упражнение 10.6. Пусть F_x и F₂ — две функции распределения единичного убытка, g, и g₂ — соответствующие им производящие функции моментов. Покажите, что функция распределения единичного убытка, соответствующая производящей функции моментов

_А_

Aj + /%2

8(0 =

8,(0 +

8г( О.

стоящей в (10-18), имеет вид смеси

F(x) = тF, (х)+-Ь— F₂ (х).

Aj +/^2 Aj +/^2

Покажите, что такое же распределение имеет случайная величина, с вероятностью . ^ . равная X,, невероятностью . ^. равная Х₂, где Л^ + Л2 Л^ + Л2

X, и Х₂ — случайные величины с функциями распределения F, и F₂ соответственно.

Упражнение 10.7. Полис автомобильного страхования действует один год. Наступление страховых случаев в течение первого полугодия описывается пуассоновским процессом с интенсивностью Л,*, в течение второго полугодия — пуассоновским процессом с интенсивностью Л^. Оба процесса независимы. Покажите, что общее число страховых случаев в течение годового срока действия полиса имеет пуассоновское распределение с параметром, равным среднему Л,* и Л^.

Упражнение 10.8. Выведите из (10-19) равенство

т' =л\

где Л* — ожидаемое значение параметра Л*, имеющего функцию распределения Н.

Упражнение 10.9. Получите формулы (10-31).

Упражнение 10.10. Пусть S имеет вид (10-12), где распределение N задается смешанными пуассоновскими вероятностями (10-22). Покажите, что

m_s = Л * •т_х,

<7_S² = Л'' • а\ + Л'* • т^гх + (Л * )² • т²х • <7².

Упражнение 10.11. Получите рекуррентную формулу для вероятностей пуассоновского распределения

Рп-

Рп+І

Упражнение 10.12. Получите рекуррентную формулу для вероятностей отрицательного биномиального распределения

Рп+1

где р₀ = р^г.

Упражнение 10.13. Оцените параметры методом моментов и постройте пуассоновское и отрицательное биномиальное приближения для числа страховых случаев (обращений в стационар) в примере раздела 10.5. Для вычисления вероятностей воспользуйтесь рекуррентными формулами упражнений 10.11 и 10.12.



МОДЕЛИ

ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ

Моделирование денежных потоков — перспективный практический метод анализа рисков корпораций, финансовых институтов, различных проектов.

11.1

Модели бизнеса

В предыдущих главах этой части были рассмотрены некоторые модели страховых и инвестиционных рисков. В этой главе мы рассмотрим некоторые подходы к решению более масштабной задачи — построению модели бизнеса в целом. Под бизнесом будем понимать либо деятельность некоторой корпорации, либо, как частный случай, какое-то отдельное направление такой деятельности — например, какой-то новый инвестиционный проект или будущее поведение существующего инвестиционного портфеля и др. Бизнес может относиться к реальному сектору, финансовой сфере или быть каким-то иным.

Основной принцип моделирования и анализа рисков заключается в построении моделей денежных потоков бизнеса. Для этого бизнес представляется в виде своих финансовых результатов. Конкретная специфика бизнеса, конечно, учитывается при построении моделей, но принципиальная форма модели денежных потоков одна и та же для любого вида бизнеса. Задача такой модели — позволять анализировать финансовые результаты бизнеса на кратко-, средне- или долгосрочный период.

Один из ранних примеров попытки построить модель денежных потоков для случая страховой компании — классическая теория риска

Лундберга, рассмотренная в главе 10. К сожалению, как там уже было отмечено, эта модель содержит слишком много упрощений, чтобы служить адекватной моделью реального бизнеса страховщика. Такие упрощения неминуемо должны были быть сделаны, так как иначе модель оказалась бы слишком сложна для исследования аналитическими методами. Как мы видели, даже в том виде, как она описана в разделе 10.1, классическая модель Лундберга непроста для исследования. Аналитические результаты, которые в ней удается получить, в основном имеют форму оценок для вероятностей разорения. На этом примере мы видим вторую причину ограниченности моделей: есть определенный предел их усложнения, связанный со сложностью моделей.

Во времена Лундберга указанный барьер был непреодолим: не существовало иных путей анализа моделей, кроме аналитического исследования. Без преувеличения можно сказать, что модель, не дававшая явных аналитических формул или хотя бы приближенных оценок, была в те времена просто бесполезной.

Ситуация, однако, кардинально изменилась с появлением мощных и общедоступных компьютеров. Компьютер позволяет человеку, немного умеющему программировать, реализовать программно и численно просчитать ту же модель Лундберга или другую модель с различными усложнениями. При этом, как правило, используется метод имитационного моделирования. Он состоит в том, что при помощи датчиков случайных чисел получаются траектории нужного процесса. Удобно представлять их визуально, в графической форме. Пример такого моделирования был приведен выше для процесса страхования с инвестициями (рис. 8.5).

Построение модели бизнеса начинается с того, что бизнес представляется в виде денежных потоков. Выделяются составляющие (блоки) денежных потоков и разрабатывается их общая схема.

Пример 11 Л. Модель денежных потоков страховой компании. В книге [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994], приводится общая модель денежных потоков страховой компании рискового (non-life) страхования. Страховая компания создает резервы, необходимые для будущего покрытия обязательств по страховым договорам. Эти резервы инвестируются в активы, стоимость которых может меняться во времени. Таким образом, средства страховой компании можно представить себе в виде некоего “резервуара”, поступления — в виде “втекающих” в него потоков, выплаты — в виде “вытекающих”. Изменения рыночной стоимости активов, в которые инвестированы резервы компании, можно учитывать, включая их в инвестиционный доход (который, в таком случае, может быть отрицательным).

Входящие денежные потоки страховой компании (все — за период от t -1 до t):

¦ поступления премий Pit)-,

• инвестиционный доход, включая процентный доход, дивиденды, рентные доходы с недвижимости, а также, как сказано выше, с включением сюда изменений стоимости активов;

¦ перестраховочные покрытия, полученные с перестраховщиков,

х„И)\

• новый капитал, полученный от выпуска и размещения акций,

u_new(ty,

¦ новый капитал, полученный от размещения и выпуска облигаций,

W_nw(t).

Исходящие денежные потоки:

¦ выплаты по покрытию страховых убытков, X (t)\

• выплаченные комиссионные, административные, операционные и прочие расходы, E(t)\

• премии перестраховщикам за риски, переданные в перестрахование, Р_ге(0;

¦ дивиденды акционерам и бонусы держателям полисов, D(t).

Тогда уравнение, выражающее изменение стоимости активов V страховой компании за период от t -1 до г, выглядит таким образом:

V(t) = V(t -1) + P{t) + J(t) + X_nit) + U_newit) +

+W_im it) -ХЦ)- Eit) - P_rt it) - Dit). (11-1)

Для моделирования следует построить “подмодели” каждого из участвующих в этом уравнении денежных потоков. При этом следует учитывать наличие “обратных связей”. Так, например, повышение/понижение страховых премий должно приводить к соответствующим изменениям спроса на страховые продукты компании. Другие обратные связи могут возникать в форме управленческих решений. Например, при ухудшении финансового положения компании может быть принято решение о сокращении расходов. В случае хорошего положения, наоборот, могут быть предприняты расширения бизнеса, рекламные кампании и пр. Конечно, эффекты таких мер наиболее трудно поддаются моделированию. Все их промоделировать просто невозможно; поэтому модели, как правило, в значительной мере отражают условия сохранения “статус-кво” по многим параметрам. Как и всякие модели, они условны и имеют границы своего применения.

Задача построения такой модели довольно амбициозна, но нельзя сказать, что необозрима. Читатель, уже знакомый по предыдущим главам с некоторыми методами моделирования, в частности величин страховых убытков и инвестиционных поступлений, может в общих чертах представить себе необходимый объем работы, хотя бы в идеальных условиях, когда все нужные данные легко доступны. На успех в построении такого рода моделей можно, по-видимому, надеяться в основном в компаниях, имеющих автоматизированные системы учета и сбора внутренней информации, иначе получение данных становится серьезным препятствием.

Читателю, интересующемуся этими вопросами, предлагается самостоятельно подумать над тем, как можно моделировать различные входящие в (11-1) величины и каковы зависимости между ними.

Методы анализа моделей такого типа, как в последнем примере, описываются в следующем разделе. Применение моделей может быть разным. Модель может использоваться, например, для отыскания оптимальных управленческих решений в кратко-, средне- или долгосрочной перспективе. В этом случае либо следует ввести некоторый критерий оптимальности принимаемых решений, либо пользоваться какими-то методами эмпирического анализа модели. Примером первого (“оптимизационного”) подхода может служить задача об оптимальной выплате дивидендов страховой компанией, рассмотренная в примере 8.1. В этой главе в основном идет речь о втором подходе — эмпирическом исследовании моделей, реализованных на компьютере.

Выше мы рассматривали вопрос о вероятностях разорения страховых компаний. Именно вопрос о платежеспособности страховщиков стимулировал серьезные исследования в направлении моделей типа (11-1), проводившиеся на протяжении ряда лет рабочими группами британских и финских актуариев [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994].

Вопрос о платежеспособности на практике достаточно сложен. Скажем, в ряде стран (например, в странах Европейского союза) действуют нормативы на резервные фонды страховых компаний. Последние не должны опускаться ниже определенного уровня, в противном случае деятельность компании будет приостановлена. Поэтому может быть интересна для изучения вероятность пересечения процессом V_t не нулевого, а некоторого другого уровня и₀ > 0. Даже если этот уровень не предписан законом, для управления компанией может быть полезно установить его как некий “предупредительный рубеж”, пересечение которого процессом V_t указывает на тревожно низкий уровень резерва. В таком случае руководством компании могут приниматься те или иные меры, направленные на исправление положения.

Динамический финансовый анализ

Следует отметить еще две проблемы в связи с уравнением (11-1). Во-первых, не всегда ясно, к какому периоду времени относить те или иные поступления и выплаты. Например, в страховании различают объемы подписанных (written) за период (например, год) премий и фактически полученных (earned) премий. Та же проблема возникает в связи со страховыми убытками. Как уже отмечалось выше, в главе 10, страховой убыток можно относить к разным периодам времени, в зависимости от того, сопоставляем ли мы этому убытку момент его физического появления, момент предъявления претензии страховой компании, момент принятия решения о выплате возмещения или момент фактической его выплаты.

Во-вторых, написанное уравнение характеризует изменение рыночной стоимости активов страховой компании. На самом деле, рыночная стоимость не всегда является хорошей характеристикой финансового состояния и платежеспособности компании, т.е. не всегда подходит для учета риска. Например, во время экономического кризиса середины 1970-х гг. рыночная стоимость активов многих европейских страховых компаний упала так низко, что их можно было считать, в техническом смысле, неплатежеспособными. Однако их лицензии не были отозваны, и со временем стоимость активов восстановилась.

Последний пример указывает, кроме того, на необходимость динамического подхода (подхода динамического финансового анализа) к оценке платежеспособности. То же можно сказать и о риске неплатежеспособности (дефолта) фирм других отраслей. Оказывается, что в различных экономических условиях риск неплатежеспособности фирм с одинаковыми показателями может быть очень разным. Этот риск зависит не только от современного состояния, но и от тенденций конкретных рынков. По-видимому, именно с этим связаны трудности предсказания неплатежеспособности страховых компаний при помощи различных систем экономических коэффициентов. Попытки разработать подобные системы предпринимались, например, Американским обществом страховых представителей (NAIC).

Динамический финансовый анализ

Динамический анализ денежных потоков — относительно новое направление прикладного анализа рисков, начавшее развиваться с наступлением компьютерной эры — начиная с 1980-х гг. и преимущественно в 1990-х гг. Построение и анализ моделей денежных потоков — направление, которое имеет некоторые особенности, не присущие более традиционному моделированию. Все эти особенности определяются одним фактором — на порядок большим объемом информации, который

можно обрабатывать при помощи такого рода моделей. Часто такие модели связывают с понятием динамического финансового анализа (dynamic financial analysis — DFA). Динамический финансовый анализ отличается от традиционного тем, что учитывает не только современное состояние финансовых показателей, но и его тенденции. Это естественно приводит к необходимости их моделирования.

Модели денежных потоков могут иметь разный уровень сложности. Хорошим подходом к их построению, как уже отмечалось, является пошаговое усложнение моделей. Сначала строится простейшая модель бизнеса. Такая модель может учитывать только несколько основных факторов, модели изменения которых могут быть упрощенными — как правило, детерминированными. Именно такой подход обычно используется при бизнес-планировании. Затем модель может постепенно развиваться и усложняться. Например, добавляются возможности анализа сценариев тех показателей, которые ранее задавались детерминированно.

Важным эффектом, делающим поведение моделей бизнеса нетривиальным, а зависимости от входных параметров — не всегда предсказуемыми, является управление. Действительно, при отклонениях параметров от расчетных, особенно если эти отклонения значительны, следует учитывать, что менеджерами будут приняты некоторые корректирующие меры. Другими словами, управление бизнесом будет различным в зависимости от условий, которые определяются смоделированными параметрами. Такие “самокорректирующие” воздействия называют “обратными связями” в системе.

Управление (обратная связь) — наиболее важный элемент в моделях экономических систем, часто приводящий к неочевидным зависимостям выходных характеристик от входных.

Можно выделить четыре уровня последовательного развития моделей.

¦ Модели бизнес-планирования (бюджетирования) порождают лишь один детерминированный прогноз. Расчеты ведутся по одному набору параметров, для которых, как правило, закладываются “умеренно-пессимистические” значения.

¦ Сценарные модели. Как правило, на первом этапе рассматриваются три сценария — “расчетный”, “оптимистический” и “пессимистический”. Этот метод уже позволяет учесть разброс результатов, однако он весьма субъективен (всегда остается вопрос, насколько, собственно, оптимистичны/пессимистичны были те, кто делал оценки). Далее могут анализироваться другие сценарии, например разного рода шоки и др.

¦ Стохастические модели более объективны, так как позволяют уже оценить отклонения не только качественно (пессимистически/оптимистически), но и количественно — получить вероятности.

¦ Модели с управлением (обратными связями) — наиболее сложные и реалистичные.

Вообще, процесс работы над такими моделями трудоемок, занимает, как правило, много времени и требует систематического подхода. Уровень сложности, до которого доводится разработка модели, определяется в каждом конкретном случае как целями ее построения, так и возможностями (интеллектуальными, финансовыми, временными) ее разработчиков.

11.2

Анализ моделей

Подход к анализу моделей, выше названный “оптимизационным”, состоит, как мы видели, в выборе решений по принципу максимизации некоторой функции-критерия (целевой функции) V. Функцию V следует определить таким образом, чтобы ее максимизация отражала цели управления бизнесом. Например, в разделе 8.1 был рассмотрен пример модели управления дивидендами страховой компании. Функция V выражала дисконтированную стоимость выплаченных дивидендов, а решением задачи оказалось “пороговое” правило выплаты дивидендов в зависимости от состояния резерва страховой компании. Более подробную модель страховой компании примера 11.1 предыдущего раздела также можно попытаться использовать для моделирования оптимальных управленческих решений в страховой компании. В принципе, модели можно оптимизировать по самым разным параметрам. В примере раздела 8.1 оптимизация производилась по стратегиям (“решающим правилам”) выплаты дивидендов. В более простом случае модель может оптимизироваться по отдельным числовым параметрам. Например, одной из простейших такого рода задач может быть

11.2

Анализ моделей

задача оптимального выбора размера страховых премий и надбавок, поставленная в главе 7. В этом случае в модели денежных потоков страховой компании должны присутствовать “обратные связи”, отражающие последствия повышения/понижения страховых премий, например соответствующие изменения спроса на страхование.

Однако на практике оптимизационный подход встречается с двумя фундаментальными трудностями, уже, вероятно, ясными читателю из изложенного выше. Первая из них состоит в условном и ограниченном характере любой модели. Во многих случаях реальность слишком сложна, чтобы можно было надеяться построить полностью адекватную ей модель. Во всяком случае, любая модель несет в себе определенную долю идеализации и применима только в рамках определенных условий. Вторая причина состоит в трудности определения критерия, который мог бы отражать представления об оптимальности во всех возможных ситуациях.

По этим причинам для анализа моделей денежных потоков применяются обычно эмпирические подходы. Аналитик, работающий с моделью, старается извлечь из нее максимум информации, которую она может дать. Модель используется, таким образом, не только и не столько для анализа конкретных решений, но и для обучения человека особенностям конкретной ситуации, конкретного бизнеса. Одним из подходов является тот, который выше был условно назван “оптимизацией по частным критериям” — анализ и сравнение альтернатив решений по ряду показателей, отражающих отдельные их аспекты, и принятие решения исходя из конкретной ситуации.

Наряду с этим используется такой метод, как исследование отдельных сценариев (сценарное моделирование). Нужно отметить, однако, что анализ современных моделей денежных потоков имеет некоторые технические особенности.

Традиционные модели “жесткой” структуры, основанные на расчете нескольких показателей, могут дать в лучшем случае несколько оценок таких показателей в числовой форме. В современных компьютерных моделях бизнеса, как правило, для вывода информации применяются графики и некоторые автоматизированные средства извлечения из них нужной информации. Например, вместо одной траектории компьютерная модель может выдавать целый “пучок” траекторий, соответствующих отдельным реализациям исходных процессов, которыми моделируются источники неопределенности. Щелкнув мышью по графику, аналитик может запросить нужную ему информацию более подробно и каким-то образом ее проанализировать, сопоставить с

другой и т.д. Таким образом, модели динамического финансового анализа уже не являются “жесткими” схемами, а скорее рабочими инструментами аналитика, помогающими лучше понять ситуацию и выбрать решение с учетом различных альтернатив. Соответственно, их анализ — в большой степени эвристический, творческий процесс. Такая модель обычно не строится для разового применения — решения какой-то оптимизационной задачи. Эти модели разрабатываются и ведутся группами аналитиков, служа инструментом их повседневной работы. Они становятся частью технологий анализа решений (обычно долгосрочных) в бизнесе и консультирования управленческого персонала. Например, известно, что одной из первых крупных компаний, успешно использовавших моделирование и анализ сценариев для стратегического анализа бизнеса, была нефтяная компания “Shell”, делающая это еще с 1980-х гг.

Ниже описаны некоторые общие методы исследования компьютерных моделей денежных потоков.

Основной метод их исследования — “анализ чувствительности” (sensitivity analysis). Сначала, как правило, моделируют поведение бизнеса при некоторых детерминированных (расчетных, ожидаемых) значениях параметров. Затем, зафиксировав все прочие входные параметры системы, “возмущают” или изменяют один параметр. Возмущения могут иметь самый разный характер. Обычно они задаются либо детерминированными сценариями, либо стохастически, либо с наложением случайных колебаний на сценарий (пример такого возмущения см. на рис. 12.1). Изучают реакции системы на такие возмущения/изменения на фоне “стабильной” ситуации. Затем усложняют анализ, добавляя колебания/изменения другого параметра. Так можно изучать поведение системы при различных рисках, т.е. ее чувствительность к этим рискам, а также внутренние взаимосвязи, порождающие реакции на них.

Разновидностью этого метода является так называемое тестирование на шоки (stress-testing). При этом возмущения одного или нескольких параметров носят “кризисный” характер, т.е. имеют вид шоков. Целью анализа является изучение устойчивости бизнеса к возможным шокам, прежде всего к невыгодным изменениям экономической ситуации. Например, могут изучаться различные резкие изменения, кризисы, которые могут сопровождаться ростом цен на сырье, сокращением спроса на продукцию, обесцениванием инвестиций и пр.

Еще один метод — так называемый ситуационный анализ, часто называемый анализом “что — если” (“what — if” analysis). Различные ситуации “проигрываются” или “просчитываются”. Обычно при этом преследуется цель анализа тех или иных управленческих решений. Модель позволяет сформировать более широкую картину возможного развития бизнеса в различных ситуациях, накопить информацию и сформировать интуицию. На том же принципе построены разнообразные деловые игры, также предназначенные для интенсивного “генерирования” всевозможных ситуаций.

Анализ моделей денежных потоков представляет собой задачу, которая сама по себе сродни научному исследованию. Динамические модели такого рода — сложный объект анализа. Они допускают экспериментирование и “проигрывание" различных ситуаций. Они — инструмент в руках аналитика, использование которого само по себе требует систематического (научного) подхода, умения и навыков.

В следующих двух разделах делается попытка проиллюстрировать сказанное выше на примере модели рисков пенсионной программы (пенсионного плана, пенсионной схемы).

11.3

Модель пенсионной программы

Рассмотрим анализ рисков на примере модели денежных потоков пенсионной программы — финансовой схемы, создаваемой с целью обеспечения пенсиями определенного контингента людей. Ими могут быть, например, служащие некоторой компании (в корпоративной пенсионной программе) или люди определенной профессии (в профессиональной программе). Пенсионные программы называют также пенсионными планами, схемами, системами.

Пенсионные схемы представляют собой естественный и интересный объект для моделирования рисков, прежде всего из-за их прозрачности и наличия четких и даже формализованных обратных связей. Здесь рассматривается анализ рисков в пенсионной схеме, организованной по “западным” принципам. Эти принципы, например в США, определенным образом стандартизованы и предписываются законодательством. Аналогичной системы стандартов в России пока нет, но, вероятно, какой-тр ее вариант рано или поздно возникнет.

Институционально пенсионные схемы обычно реализуются в виде пенсионных фондов, хотя бывают и другие их формы. Участники схемы делятся на работающих (работников) и пенсионеров. Взносы в пенсионную схему могут делаться как участниками, так и спонсором схемы (обычно в качестве такового выступает работодатель). Рассмотрим пенсионную схему без учета налогов и расходов на ее деятельность, а только в виде схемы чистых платежей: пенсионных взносов, накопления резерва и выплат пенсий. С этой точки зрения не важно, кто вносит взносы в схему, кто имеет права собственности на пенсионный резерв и пр.

Основу конструкции (дизайна) пенсионной схемы составляет метод финансирования (funding method, actuarial cost method). Под ним понимают бюджетный план формирования накоплений пенсионного резерва, или принципиальную схему взносов, предназначенных для финансирования пенсий. При накопительных методах финансирования создается пенсионный резерв, куда поступают взносы и откуда выплачиваются пенсии. При распределительном (pay-as-you-go — PAYG) финансировании пенсионных резервов не создается; средства, необходимые для выплаты пенсий, собираются с работающих участников и сразу выплачиваются в виде пенсий. Накопительные (фондируемые) схемы, в принципе, должны быть выгоднее для участников и дешевле для спонсоров, чем распределительные, так как аккумулируемый пенсионный резерв вкладывается в некоторые активы, приносящие инвестиционный доход. Однако накопительному финансированию, очевидно, сопутствуют риски, в частности инвестиционные. Рассмотрим модель накопительной пенсионной схемы. Накопительные схемы делятся на схемы с определенными выплатами (defined benefit — DB) и с определенными взносами (defined contribution — DC).

Структура денежных потоков накопительной пенсионной схемы довольно проста: входящие денежные потоки состоят из пенсионных взносов и инвестиционного дохода на инвестированный пенсионный резерв, и, так как не учитываются налоги и расходы, исходящий поток состоит только из выплачиваемых пенсий.

Рассмотрим упрощенную модель пенсионной схемы. Будем считать, что все платежи осуществляются в моменты времени t - 0,1,2,... (время в годах). Пусть все участники вступают в схему в начальном возрасте а лет и выходят на пенсию в пенсионном возрасте R лет. Пусть s{t,x) — число участников пенсионной схемы, в момент t на-холящихся в возрасте х. Все возраста также целые и измеряются в годах. Смертность членов пенсионной схемы восполняется ежегодным вступлением s(t,a) новых членов возраста а. Будем предполагать, что единственная причина выбытия из популяции — смертность, единственный вид пенсий — пенсии по старости, выплачиваемые начиная с возраста R (одинакового для мужчин и женщин). В реальных пенсионных схемах, кроме пенсий по старости, обычно выплачиваются пенсии по нетрудоспособности (инвалидности) и потере кормильца, кроме того, есть миграция работников.

Будем считать для простоты, что все работники (участники возрастов a,...,R-1) возраста х в каждый момент времени t получают одинаковую годовую зарплату w(t,x), а все пенсионеры (участники возрастов R,...,E, где Е — некоторый предельный возраст) одинакового возраста х — одинаковую годовую пенсию b{t,x). Если c{t,x) — норма пенсионных отчислений с зарплаты работника возраста х, то сумма пенсионных взносов, поступающих в год t, составит

C(t) = Y_dc(t,x)w(t,x)s(t,x). (11-2)

х=а

Суммарная пенсия, выплачиваемая в год t, составит

Я(0 = |>(Г,*МГ,*). (11-3)

x=R

Пусть F(t) — объем пенсионного резерва на момент t, до выплаты пенсий и поступления взносов. Основное уравнение, определяющее динамику резерва, следующее:

F{t +1) = (1 + r_l+l)(F(t) + C(t) - B(t)), (11-4)

где r_l+l — норма инвестиционной доходности по портфелю активов, в который инвестирован пенсионный резерв, за период от Г до Г+ 1.

Основным элементом управления (обратной связи) в модели является подмодель или блок актуарного оценивания. Актуарное оценивание производится специальным лицом — актуарием, который производит оценку активов и обязательств пенсионной схемы, расчет пенсий и взносов. На практике актуарное оценивание пенсионной схемы производится регулярно, обычно ежегодно. Во многих странах процедура актуарного оценивания регламентируется теми или иными нормативными актами. Например, в России для негосударственных пенсионных фондов предписано актуарное оценивание не реже одного раза в год.

Здесь будем предполагать, что актуарное оценивание производится в моменты t = 0,1,2,... Пока не вдаваясь в подробности актуарных расчетов, определим только входные и выходные параметры расчета. Производя расчеты в момент t, актуарий пользуется следующими параметрами:

¦ значением резерва F(t)\

¦ состоянием популяции участников s(t,x)\

¦ величинами зарплат для данного года w{t,x)\

• нормой инфляции за период от t -1 до Г, /,;

¦ прогнозными годовыми нормами: инвестиционной доходности г_?; инфляции /_?; прироста зарплат w_v.

Эти нормы, используемые актуарием для расчета, будем называть актуарными (valuation rates).

Зарплаты и нормы повышений зарплат нужны в том случае, когда пенсионные отчисления рассчитываются как процент от зарплаты, как в большинстве случаев бывает на практике; норма инфляции используется, если предполагается индексация пенсий по инфляции.

Будем считать, что результатом актуарного расчета, проведенного в момент г, являются:

¦ величины пенсий b(t,x)\

¦ величины ставок пенсионных отчислений c(t,x) или суммарные взносы С(г).

Методы актуарных расчетов зависят от дизайна пенсионной схемы и метода финансирования. Эти методы стандартны; они кратко изложены в разделе 12.2. Здесь они не излагаются, так как для некоторых типов схем они довольно сложны, и, главное, для понимания материала этой главы достаточно знать их основные принципы. В самом кратком изложении эти принципы таковы.

В схеме с определенными взносами (DC) актуарий вычисляет пенсии исходя из размеров взносов. В схеме с определенными выплатами (DB), наоборот, размеры взносов вычисляются исходя из размеров предполагаемых пенсий. Во всех случаях актуарий вычисляет эти величины, руководствуясь уравнениями “актуарного баланса” прогнозируемого потока будущих пенсий, с одной стороны, и потока будущих поступлений взносов плюс имеющийся резерв с инвестиционным доходом, с другой. Для этого ожидаемые дисконтированные стоимости этих потоков (называемые актуарными современными стоимостями) должны быть равны. Если они не равны, актуарий корректирует пенсии либо взносы, в зависимости от типа схемы. Если, например, в момент t оказывается, что резерв F(t) меньше, чем планировалось в момент t-1, то в DC схеме это приводит к снижению пенсий, а в DB схеме — к повышению взносов. Таким образом, актуарные методы порождают корректирующие воздействия, реагируя на изменения параметров схемы. В сущности, эти методы являются методами динамического управления. Они порождают “обратную связь” в системе.

Полученные актуарием величины позволяют получить значение резерва на начало будущего года F(t + 1) согласно уравнениям (11-2)— (П-4).

Рис. 11.1. Структура модели пенсионной программы Описанный процесс реализуется с помощью имитационного моделирования. Алгоритм можно расписать по этапам следующим образом. Этап 1. Генерируются значения за период [г-1, г] параметров: инфляции i_t, инвестиционной доходности r_t, зарплат w(t,x) и размеров возрастных когорт участников s(t,x).

Этап 2. Вычисляются актуарные оценочные нормы і_?,г_? и w_v.

Этап 3. Производится актуарный расчет, дающий величины пенсий b(t,x) и ставок пенсионных отчислений c(t,x) или суммарных взносов С(0-

Этап 4. При помощи уравнений (11-2)—(11-4) вычисляется следующее значение пенсионного резерва F(t +1).

Этапы 1—4 повторяются столько раз, сколько требуется для получения модельной траектории значений F(t) заданной длительности. Затем аналогично имитируется следующая траектория и т.д. до получения нужного числа траекторий. На рис. 11.1 изображена принципиальная схема этой модели.

Неопределенность в системе порождается тем, что в момент t актуарий не в состоянии точно оценить значения следующих параметров на момент t +1 (т.е. их изменения в течение года):

¦ нормы инфляции г,₊₁, используемой для индексации пенсий, а следовательно, и величин пенсий b(t +1, х);

¦ нормы инвестиционной доходности г_І+1 за период от t до f+ 1;

¦ зарплат w(t +1, х);

¦ состояния популяции участников, описываемого размерами возрастных когорт s(t +1, х).

Из-за случайного характера этих величин их значения на момент t-1-1 обязательно отклоняются от используемых актуарием при расчете в момент t их оценок: актуарных норм і_?, г_? и w_v, а также спрогнозированных им размеров возрастных когорт участников. Поэтому актуарный баланс пенсионной схемы нарушается, и при новом расчете в момент t-1-1 актуарий должен корректировать размеры пенсий или взносов, в зависимости от типа схемы.

Таким образом, колебания этих четырех параметров представляют источники неопределенности в модели (указаны на схеме рис. 11.1 слева). Случайная смертность участников схемы моделируется биномиальной моделью (см. раздел 12.2). Модели, генерирующие временные ряды инфляции, инвестиционной доходности и зарплат, могут быть разными. Одна из версий модели, генерирующей взаимосвязанные временные ряды этих показателей при помощи AR процессов, описана в разделе 12.2 ниже. Эта версия использована в примерах, приведенных в следующем разделе. Она совмещает возможности сценарного и стохастического моделирования: сценарий может накладываться на временной ряд в виде тренда, а отклонения от него моделироваться стохастически. В том же разделе приводится простейшая модель вычисления актуарных норм і_?,г_? и w_v.

11.4

Пример анализа чувствительности

Модель денежных потоков пенсионной схемы, описанная в предыдущем разделе, реализована в учебной компьютерной программе “Моделирование денежных потоков и рисков” (Cash Flow and Risk Modeling — CFRM). Краткое описание использованных в ней моделей можно найти в разделе 12.2. Ниже приведен учебный пример анализа чувствительности с помощью этой программы.

Зададимся вопросами о том, каким видам риска подвержены активы пенсионной схемы и какова сравнительная важность этих рисков. Сравним воздействие двух видов риска: риска колебаний численности участников за счет смертности (будем называть его риском смертности) и риска колебаний нормы инвестиционной доходности (инвестиционного риска).

Для простоты положим норму инфляции равной нулю; норму прироста зарплат возьмем равной 0,02 в год. Эти параметры модели, как и все прочие, кроме инвестиционной доходности, будут фиксированными и не окажут принципиального влияния на результаты; поэтому приводить здесь все параметры использованной модели нет смысла.

На рис. 11.2 приведены результаты моделирования пенсионного резерва накопительной схемы с 5320 участниками, финансируемого по так называемому агрегированному методу (см. раздел 12.2). Моделируется ежегодное актуарное оценивание. Смертность участников случайна, инвестиционная доходность неслучайна и равна 0,05 в год для всех лет. График имеет характерный вид: резерв в среднем стремится к некоторому постоянному значению (пенсионная схема как бы выходит на “стационарный режим”). Это происходит потому, что и пенсии участников постоянны, и число пенсионеров в среднем постоянно. Отклонения в данном случае возникают только за счет случайных колебаний числа пенсионеров (риска смертности). Это единственный источник неопределенности.

Рис. 11.2. а) пенсионный резерв пенсионной схемы с 5320 участниками (млн. руб.) Случайная смертность, ежегодное актуарное оценивание. 300 траекторий, б) выборка смоделированных значений (“сечение” пучка траекторий) для t = 80. Среднее квадратичное отклонение выборки равно 2,90 млн. руб. Для сравнения дана кривая нормальной плотности Теперь введем второй источник неопределенности. Зададим случайные колебания инвестиционной доходности, оставив все прочие параметры неизменными. Доходность будем моделировать AR(1) процессом для логарифма,

In (^{1 +} г,+і )-М = /[^1п (1 + ^г,)-/*\ + ОЕ(0> (11-5)

где e(t) — независимые стандартно нормальные случайные величины. Здесь ju = 0,0488, что дает среднюю доходность, приблизительно равную 0,05, <7 = 0,03, ^ = 0,68. Как показывают имитации, такой процесс демонстрирует вполне умеренные флуктуации: с вероятностью не менее 0,85 значения доходности попадают в интервал от 0 до 0,10 (10% годовых); вероятность отрицательной годовой доходности не превышает 0,12. По-видимому, такую модель доходности можно принять как достаточно реалистичную, во всяком случае для наших целей. Рис. 11.3 дает некоторое представление об этом процессе.

Рис. 11.3. Процесс инвестиционной доходности (11-5) при ц = 0,0488, сг = 0,03, у = 0,68.30 имитаций Промоделируем пенсионный резерв при такой случайной инвестиционной доходности. Как оказывается, разброс траекторий резерва довольно сильно зависит от того, как производится актуарием расчет оценочной ставки г_?. (Установление этого факта можно рассматривать как побочный результат нашего учебного исследования, любопытный и важный сам по себе. Представляет интересов том числе практический, определение того, каков оптимальный способ оценки актуарием будущей доходности.) Используем следующую модель. Предположим, что актуарий оценивает г_? как скользящее среднее доходностей за последние два года и фиксированной величины 0,05,

+0.05]

(сравните с (12-11)). Заметим, что такой способ дает, во всяком случае, лучшие результаты, т.е. меньший разброс значений резерва, чем оценка простым средним, г_? =0,05, использованная, например, в работах [Dufresne, 1988, 1989; Owadally, Haberman, 1999], где изучались вопросы пенсионных рисков в терминах, в частности, этого разброса.

Результаты имитации показаны на рис. 11.4. 024 681013 1619 22 25 29 31 34 37 40 43 46 49.52 55 58 61 64 67 7073 76 79 Рис. 11.4. а) пенсионный резерв пенсионной схемы с 5320 участниками (млн. руб.). Случайная смертность, случайная инвестиционная доходность согласно (11-5), ежегодное актуарное оценивание. 300 траекторий, б) выборка смоделированных значений (“сечение” пучка траекторий) для t = 80. Среднее квадратичное отклонение выборки равно 38,11 млн. руб. Для сравнения дана кривая нормальной плотности Что видно из этих результатов? Наличие инвестиционного риска резко повышает неустойчивость (разброс значений) резерва. В частности, среднее квадратичное отклонение возрастает с 2,90 до 38,11 млн. руб., или в 13,14 раза — более чем на порядок. Таким образом, можно сказать, что инвестиционный риск играет существенно более важную роль для пенсионных схем, чем риск смертности.

Конечно, чтобы считать такое утверждение в полной мере научно обоснованным, нужно было бы произвести гораздо больше исследований, промоделировать пенсионные схемы при различных наборах параметров и т.д. Но для нашего учебного примера этого вполне достаточно. Цифры выглядят достаточно убедительно, чтобы можно было предполагать, что такой же эффект будет наблюдаться и в других случаях (в других типах схем, при других наборах параметров и т.д.).

Возникает, однако, следующее соображение. Риск смертности (или колебаний численности) участников пенсионной схемы зависит от размера схемы. В силу закона больших чисел, чем больше возрастные когорты участников, тем ближе частоты смертей к средним значениям, определяемым вероятностями смерти. Это та же закономерность, которая уже отмечалась в главе 7 по поводу уменьшения риска страхования в зависимости от размера страховой компании, т.е. числа полисов: чем больше “рисковых единиц”, между которыми распределен риск, тем он меньше в расчете на одну единицу. Здесь в качестве “рисковых единиц” выступают отдельные пенсионеры; пенсионная схема несет риски, связанные с продолжительностью жизни пенсионеров. Таким образом, большие пенсионные схемы должны быть подвержены меньшему риску колебаний численности участников, чем малые по размеру. С другой стороны, все схемы подвергаются инвестиционному риску (скажем, в расчете на 1 руб. резерва) в равной мере, независимо от своего размера. Этот риск зависит только от состава портфеля, в который инвестирован пенсионный резерв. Из этого следует, что для малых схем роль риска смертности может быть большей.

Можно проверить наличие этого эффекта и попытаться оценить его влияние количественно. На рис. 11.5 приведены результаты моделирования при всех тех же параметрах, что и выше, но для схемы с числом участников ровно в 10 раз меньше (общее начальное число участников 532, числа вновь вступающих также уменьшены в 10 раз). Средние квадратичные отклонения выборок равны, соответственно, 0,89 и 4,41. Теперь среднее квадратичное отклонение увеличивается уже не в 13,11, а в 4,96 раза.

Итак, из нашего маленького исследования можно сделать некоторые (как говорится, “предварительные”) выводы, а именно:

¦ роль инвестиционного риска для пенсионных программ (пенсионных схем) в большинстве случаев нужно считать более существенной;

¦ соотношение инвестиционного риска и риска смертности зависит от размера пенсионной схемы; в малых схемах риск смертности дает больший вклад в суммарный риск, чем в больших.

Чтобы сделать подобные выводы с большей основательностью, требуется, как уже говорилось, более серьезное и тщательное исследование.

(а)



Рис. 11.5. а) выборка из 300 смоделированных значений (“сечение” пучка траекторий) для t = 80. Среднее квадратичное отклонение выборки равно 0,89 млн. руб. Случайная смертность, инвестиционная доходность равна 0,05, ежегодное актуарное оценивание, б) выборка из 300 смоделированных значений для t = 80.

Среднее квадратичное отклонение выборки равно 4,41 млн. руб.

Случайная смертность, случайная инвестиционная доходность согласно (11-5), ежегодное актуарное оценивание.

Для сравнения даны кривые нормальной плотности (б)

Приведенный пример дает некоторое первичное представление о том, какие результаты общего характера, кроме чисто практического моделирования бизнеса, могут давать модели денежных потоков. Например, выводы того типа, что были получены выше, несомненно полезны, во-первых, для внутреннего управления пенсионными схемами, во-вторых, для выработки эффективных нормативов и систем государственного (как говорят на Западе, общественного) контроля за пенсионными программами и системами (в частности, реализуемыми негосударственными пенсионными фондами).

Конечно, можно сказать (и это будет правильно), что эти результаты получены для идеализированной модели пенсионной программы и при упрощающих предположениях. Важно отметить, однако, что другие (помимо моделирования) пути получения такой информации о рисках и надежности пенсионных и страховых систем — имеется в виду количественная информация — не способны дать и таких результатов. Аналитическими методами пенсионные и страховые системы анализировать, как правило, не удается из-за их высокой сложности. Другой путь — накопление практического опыта — слишком долог и зачастую обходится слишком дорого, особенно в случаях, когда, как в вопросах надежности страховых и пенсионных систем, речь идет о социально значимых последствиях. К тому же далеко не всегда прошлый опыт может указать правильные рецепты для будущего. Дополнение опыта и аналитических вычислений моделированием представляется весьма разумным подходом в этой и других областях.

Конечно, на результаты моделирования никогда нельзя полагаться слепо. Необходимо умение ставить эксперименты и интерпретировать результаты, даваемые моделью. При этом условии модель денежных потоков может стать очень полезным инструментом в руках аналитика.

Подробности математического характера

Необходимые понятия и факты теории вероятностей и математической статистики

Случайные величины и распределения. Пусть Q — множество элементарных исходов. Каждый элемент a)G Q. можно рассматривать как исход некоторого вероятностного эксперимента. Случайная величина определяется как функция на Q, ставящая в соответствие элементарному исходу a)G Q. вещественное число. Случайные величины обычно обозначаются заглавными латинскими или строчными греческими буквами: X, и т.д.

Функция распределения случайной величины X определяется для каждого вещественного х как вероятность того, что X меньше х:

F_x(jc) = P(X
Функция распределения однозначно определяет распределение (или закон распределения) случайной величины X, т.е. все вероятности, с которыми X принимает свои значения.

Непрерывная случайная величина X характеризуется тем свойством, что Р(Х = дг) = 0 для любого х. Производная f_x(x) = F_x(x) называется плотностью распределения случайной величины X. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,Ь]

Р {ax{b)-F_x{a)= f_x(x)dx.

Jn

Плотность f_x неотрицательна; полная площадь под кривой плотности равна единице,

I f_x(x)dx = 1.

Дискретная случайная величина принимает лишь конечное или счетное число значений х_ІУх₂,х,,... с вероятностями р_ІУр₂,р_г,... Функция распределения дискретной случайной величины постоянна всюду, за исключением точек х,,х₂, дг₃,..., в которых она имеет скачки, равные вероятностям. Примеры дискретных функций распределения см. на рис. 1.2. Вероятность попадания дискретной случайной величины в полуинтервал [а, Ь)

Р(ax(b)-F_x(a)= ? _р..

у.х_уе\а.Ь)

Говорят, что случайная величина X имеет симметричное распределение с центром т, если

F_x{m + х) = \- F_x{m- х)

для любого х. Например, нормальные плотности, показанные на рис. 1.3, симметричны с общим центром. Распределение случайной величины, принимающей значения 0 и 1000 с вероятностями 1/2 и 1/2 (рис. 1.2), симметрично с центром 500.

Квантилем уровня у функции распределения F(x) называется такое число ОС_у , что

F(a_r) = y.

Квантиль иногда называют обратным значением и определяют через обратную функцию к функции распределения, а_у = F~\y).

Математическое ожидание, моменты и производящая функция моментов. Математическое ожидание случайной величины X обозначается ЕХ. Для непрерывной случайной величины

^{ЕХ =} I ^Х^^х (*)***’

для дискретной

}

Обе эти формулы могут быть записаны единообразно при помощи интеграла Стилтьеса,



Эта запись пригодна как в непрерывном, так и в дискретном случае. Читатель, не знакомый с интегралом Стилтьеса, может воспринимать эту формулу просто как единое обозначение для дискретного и непрерывного случая.

Если Іг(х) — некоторая функция, то h(X) — случайная величина, математическое ожидание которой



Если распределение X дискретно, то Eh(X) = ^_ijh(x_j)p_j, если



непрерывно, то

Величина



называется к-ым моментом случайной величины X. Математическое ожидание ЕХ, таким образом, представляет собой первый момент. Для него часто используют также термины среднее и ожидаемое значение и обозначение т_х.

Величина



DX = Е(Х -ЕХ)² = ЕХ²-(ЕХ)²

называется дисперсией X. Корень из дисперсии,

а_х = ?Ё>Х, называется средним квадратическим отклонением X. Коэффициент асимметрии (асимметрия)

Е{Х-т_х )³

Этот коэффициент показывает, насколько форма распределения отличается от симметричной. Любое симметричное распределение, например нормальное, имеет нулевую асимметрию. На рис. 2.2 показана гамма-плотность, имеющая положительный коэффициент асимметрии, в сравнении с нормальной плотностью (у = 0).

Производящая функция моментов случайной величины X определяется как

g_x(0 = Ee'^x = (х).

к-й момент случайной величины равен к-іл производной этой функции в нуле,

o,=S?(0).

Моменты пропорциональны коэффициентам разложения g_x в ряд Тейлора,

*= о Для всех законов распределения, используемых в этой книге, производящая функция моментов однозначно определяет функцию распределения, и наоборот.

Основные распределения. Нормальное (гауссовское) распределение с параметрами (ди,ст), ст> 0, характеризуется плотностью

I (л-"')²

Ф_тА^Х) = ГТ- ^{е 2а1} . (-оо,+оо).

Будем называть это распределение (ди, (J)-нормальным. Его математическое ожидание равно ди, дисперсия равна а², асимметрия равна нулю. Производящая функция моментов имеет вид

g(t) = e^m'-e \

Моменты (0,с)-нормального распределения:

(2л)!

о-²".

^а2п+\ а₂

^2л 2” и!

Например, четвертый момент равен Зет⁴.

(0,1)-нормальное распределение называется стандартно нормальным. Функция распределения стандартно нормального распределения



Некоторые квантили стандартно нормального распределения:

а_{0 9} = 1,282; а₀₉₅ = 1,645; а_{0 915} = 1,960; а₀₉₉ = 2,326.

Значения функции Ф(дг) для дг>0 можно приближенно вычислять по формуле

(12-1)

Ф(х) = 1 —==е^{х п} [а\к + а₂к² + а_ък^ъ),

где

k=-_r^L~,

1 + ух

у = 0,33267, а_Л = 0,4361836, а₂ = -0,1201676, а_ъ = 0,9372980.

Для отрицательных х можно воспользоваться свойством симметричности нормального распределения, Ф(дг) = 1 - Ф(-х). Точность этого приближения для большинства х не хуже 0,0001 и всегда не хуже 0,0002.

Логнормальное распределение с параметрами (д, s), $>0 есть распределение случайной величины



где X — случайная величина, имеющая нормальное с параметрами (д, s) распределение. Плотность логнормального распределения



математическое ожидание



дисперсия



коэффициент асимметрии



/Ьлша-распределение с параметрами (а,р), а>0,/3>0 имеет плотность

/О) = -@—х^а-'е-^/,х (х > 0).

Г(а)

Здесь Г(ог) — так называемая гамма-функция,

г-1

e~*ds. Как нетрудно убедиться интегрированием по частям,

r(z + l) = zr(z).

Кроме того, Г(1) = 1, поэтому Г(2) = 1, Г(3) = 2, Г(4) = 6 ит.д.,

Г(п + 1) = п\

Математическое ожидание случайной величины с гамма-распределением



дисперсия

асимметрия



производящая функция моментов

/З-t

8(0 =

Гамма-распределение со сдвигом, или 3-параметрическое гамма-распределение, есть распределение случайной величины ? + с, где % имеет гамма-распределение, с — число. Плотность 3-параметрическо-го гамма-распределения

/О) = (дг- с)*"¹ е~^р(х~^с) (х > с).

Т{а)

Частный случай гамма-плотности (при а-1) — показательная (экспоненциальная) плотность

f{x) = /3e-^fSx.

Показательное распределение — единственное непрерывное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия. Если X имеет показательное распределение, то

P(X>s + r|X>s) = P(X>r).

Равномерное распределение на отрезке [а, Ь] задается постоянной плотностью

Ь-а

/(*) =

Математическое ожидание

т =-

дисперсия

12

„гДЬ-аУ

коэффициент асимметрии равен нулю.

Для дискретных распределений введем вероятности отдельных значений. Если ? — случайная величина с таким распределением, то положим

Р (?=*) = л-

Распределение Пуассона с параметром Л> 0 — дискретное распределение, задаваемое вероятностями

Л^к

Р_к = — е~\ к = 0,1,2,...

к!

Здесь Л — положительный параметр. Математическое ожидание

т = Л,

дисперсия

а² =Л,

асимметрия

1 производящая функция моментов

Биномиальное распределение с параметрами (п, р), где п — натуральное число, 0 < р < 1, определяется вероятностями

p_k=C^knp^k(l-pr^k,k = 0,l,2,..,

где С^к — число сочетаний из п по к,

^п к\(п-к)\

Биномиальное распределение имеет сумма п независимых слагаемых, каждое из которых принимает значения, равные единице и нулю с вероятностями р и q = l-p соответственно.

Математическое ожидание биномиального распределения

т = пр,

дисперсия

<Т² = npq,

коэффициент асимметрии

q-p

yfnpq

Производящая функция моментов

g(t) = (q +ре¹ )^а.

Отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г, р), г > 0, 0 < р < 1 определяется вероятностями

Рк =^с*₊*-іР^г(1-/>)\ *=0,1,2,...

Входящее в эту формулу число сочетаний определяется для нецелых параметров через гамма-функции:

_Ск _(г + к-1)!_ Г (г + к) ^г+к~¹ *!(г-1)! Г(г)Г(* + 1)'

Обозначим 1 -p = q. Математическое ожидание отрицательного биномиального распределения

Р дисперсия



асимметрия

1+і

\[rq ’

производящая функция моментов

g( 0 =

l-qe'

Формулы полной вероятности и полного математического ожидания. Пусть X и Y — две случайные величины. Тогда

Р(а<Х<б)= |р(а<Х<б|Г = у)<Ду(у).

В частности, если Y — дискретная случайная величина, принимающая значения у, с вероятностями p_t, то

р(_а<х<ь) = ’?р(_а<х<ь\г = у,)р_І.

і

Если Y — непрерывная величина с плотностью f_Y, то Р (ar(y)dy. Математическое ожидание

Е(Х)= jE(x|y = y)?tfvOO.

Для дискретной величины Y

е(х)=?е(х|і' = у,)р_г

Если Y — непрерывная величина с плотностью f_Y, то

Е(Х)= jE(x\Y = y)f_r(y)dy.

Суммы независимых случайных величин. Свертки. Если случайные величины ? и Т] независимы, то производящая функция моментов их суммы есть произведение производящих функций моментов слагаемых:

W0 = Ee'^(f+,?) =Ee'^Ee"’ = g_{(t)-g_r7(t).

Функция распределения суммы определяется сверткой функций распределения слагаемых,



Операция свертки обычно обозначается звездочкой: F_x+Y = F_x * F_Y.

Операция свертки симметрична, F_{*F₂ = F₂* F,, и ассоциативна, (fj * F₂) *F₃ = F_x* (F₂ * F₃). Поэтому можно определить n-кратную свертку F с собой, или п-ю степень в смысле свертки, по индукции: F*² = F* F, F*³ = F*² * F,..., F'ⁿ = F*⁽ⁿ~^l) * F. F*ⁿ есть функция распределения суммы п независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение F.

Сходимость распределений, закон больших чисел и центральная предельная теорема. Говорят, что последовательность функций распределения F_n(x) слабо сходится к функции распределения F(x), если

F_n (х) —> F(x) при п —> +оо

для любого числа х, такого, что F(x) непрерывна в точке х.

Эквивалентное определение слабой сходимости: для любой непрерывной ограниченной функции и(х) при п —> +°°



Если Y_n — некоторая последовательность случайных величин, то говорят, что она сходится к величине Y по распределению, если последовательность функций распределения Y_n слабо сходится к функции распределения Y. Сходимость по распределению будем обозначать так: Y_n —Y.

Пусть Х_?Х₂,...,Х_п,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет математическое ожидание т_х. Обозначим через их среднее,



Законом больших чисел называется следующее утверждение: -»rf ^тХ ^ПР^{И П} +°°-

Это означает, что при больших п значение среднего ?_п с большой вероятностью окажется близким к математическому ожиданию т_х. Эквивалентная формулировка: для любого е > О



Обозначим через а_х среднее квадратическое отклонение каждой из величин Х_г Рассмотрим случайную величину



Величина Г)_п имеет, как легко проверить, нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Центральной предельной теоремой называется следующее утверждение: Г)_п —Т], где Tj — стандартно нормальная случайная величина.

Это утверждение дает основание говорить, что при больших п величина Г)_п распределена приближенно стандартно нормально, а сумма

S_n = X- — приближенно нормально.

Центральная предельная теорема остается верной во многих более общих случаях, помимо случая сумм одинаково распределенных слагаемых. В частности, она справедлива для суммы неодинаково распределенных слагаемых, если такую сумму можно разбить на конечное число групп, в каждой из которых (а) число слагаемых стремится к бесконечности; (б) слагаемые независимы и одинаково распределены. В общем случае в качестве “нормированной” суммы нужно взять величину



Случайные процессы. Случайным процессом называется множество случайных величин X(t), определенных для дискретного или непрерывного множества значений t.

Случайный процесс и его реализации можно определить по аналогии со случайной величиной. Пусть ?2 — пространство элементарных исходов с элементами со, X — некоторое множество вещественных функций от времени x(t). Случайный процесс X{t) есть случайная величина (т.е. функция на ?2), реализации которой — уже не числа х, а функции x(t). Каждому со соответствует одна функция, график которой изобразит траекторию случайного процесса. Случайный процесс с непрерывными траекториями — процесс X(t), каждая реализация x(t) которого — непрерывная функция.

Пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс — процесс с непрерывным временем, который описывает наступление некоторых случайных событий. Пусть N(t) — число таких событий, наступивших за время [О,Г]. Процесс N(t) — пуассоновский, если выполнены следующие три условия.

(а) Независимость приращений:

величины N(t₂)~ N{t_x) и N{s₂) - N{s_x) независимы, если интервалы [t_vt₂\ и [s,,s₂] не пересекаются.

(б) Невозможность множественных событий:

вероятность того, что в один момент времени случится более одного события, равна нулю.

(в) Стационарность приращений:

величины N(t_] +s)-N(t_{) и N(t₂ + s)-N(t₂) одинаково распределены для любых t_vt₂, s.

При этих условиях оказывается, что приращения N(t) имеют пуассоновское распределение,

Р(НЮ = к) = У?-е-*,

к\

где X — некоторое положительное число, называемое интенсивностью процесса. Оно равно среднему числу событий в единицу времени.

Время между двумя последовательными событиями в случае пуассоновского процесса распределено экспоненциально с параметром X.

Условие (в) выше можно заменить на условие (в‘): вероятность того, что в фиксированный момент t случится событие, равна нулю для любого t.

В последнем случае распределение числа событий остается пуассоновским, но процесс уже может быть нестационарным, т.е. X не постоянна. Доказательства можно найти, например, в книге: [Daykin, Pentikainen, Pesonen, 1994, Appendix А].

Выборки. Выборочные моменты. Статистической выборкой называют набор чисел х_п i = l,...,N, которые предполагаются независимыми реализациями некоторой случайной величины X, имеющей функцию распределения F_x(x).

Выборочный момент порядка к равен



Выборочные моменты могут служить оценками истинных моментов. Так, первый выборочный момент



есть среднее арифметическое значений в выборке и служит оценкой математического ожидания т_х.

В качестве оценки дисперсии обычно используют величину



обладающую свойством несмещенности: ее математическое ожидание равно истинной дисперсии о\.

Гистограммы. Подгонка распределений. Выборки характеризуются гистограммами — столбчатыми диаграммами частот попаданий выборочных значений в тот или иной интервал. Гистограммы строятся следующим образом: область значений выборки разбивается на интервалы (обычно одинаковой длины), и на каждом интервале изображается столбик, высота которого пропорциональна числу выборочных значений х₍, попадающих в данный интервал. Гистограмму можно рассматривать как приближение истинной плотности распределения (например, рис. 7.2 и 7.3).

Подгонкой (fitting) распределений называют отыскание закона распределения, хорошо объясняющего данные. Обычно, построив гистограмму, по ее виду предполагают, каким может быть общий вид закона (например, нормальным, гамма и др.). Затем из выбранного семейства распределений выбирают “наиболее подходящее”. Простейший метод для этого — метод моментов. Он состоит в том, что первые выборочные моменты приравниваются к теоретическим моментам. При этом берется столько первых моментов, сколько имеется неизвестных параметров. Таким образом получается система уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Например, если по данным подгоняется нормальное распределение, то берутся два уравнения, из которых находятся два параметра, т и <Т. Вместо равенства для вторых и третьих выборочных моментов часто используют приравнивание дисперсий и коэффициентов асимметрии к их оценкам по выборке.

Критерии согласия. Качество подгонки распределения по данным определяется критериями согласия. Наиболее распространенные критерии — критерий хи-квадрат и критерий Колмогорова — Смирнова (второй используется только при подгонке непрерывных распределений).

Каждый статистический критерий основан на некоторой статистике T_N — функции от выборочных значений х. Теоретическое распределение T_N для достаточно больших N бывает известно. Сравнивая полученное по выборке конкретное значение Т* с теоретическим распределением статистики T_N, оценивают так называемое р-значе-ние как такое р, что

р(т„>г) = р.

Если p-значение мало (р < 0,1), то это говорит о том, что гипотезу о равенстве истинного и подгоняемого распределений следует отвергнуть. Если же оно велико (р >0,25), то отвергать гипотезу нет оснований. (Границы 0,1 и 0,25 — довольно условные.)

Статистика критерия хи-квадрат строится следующим образом. Выделяется п интервалов и подсчитываются количества у. элементов выборки, попавших в /-й интервал. Вычисляются теоретические (соответствующие подгоняемому распределению) вероятности p_t попадания в /-й интервал. Статистика имеет вид



Статистика критерия Колмогорова — Смирнова имеет вид

T_N = sup|F_w(x)-F(x)|,

где F — подгоняемая функция распределения, F_N (х) — так называемая эмпирическая функция распределения выборки. Последняя представляет собой функцию распределения случайной величины, принимающей значения х_і с вероятностями 1/N.

Малость указанных статистик T_N говорит о хорошем качестве приближения, их большая величина — о плохом соответствии приближения выборочным данным.

Псевдослучайные числа. Имитационное моделирование. Генераторы случайных чисел — специальные компьютерные программы, реализованные, как правило, в каждой среде программирования. Выборки, даваемые такой программой, статистически неотличимы от соответствующих случайных выборок. Обычный ассортимент генераторов случайных чисел включает генератор равномерно распределенных чисел и нормальных чисел, а в специализированных средах, например Sta-tistica, — и многие другие генераторы.

Равномерно распределенные случайные числа х_п обычно получают по рекуррентной формуле [Ермаков, 1975]

х_п = \ах_п__х +??]mod/^>,

где символ mod означает взятие остатка от деления. Если ? и а — целые числа, Р = 2'", то последовательность длиной Р состоит из всех чисел от 0 до Р -1; затем числа начинают повторяться, т.е. последовательность является периодической с периодом Р. Чтобы получить псевдослучайные числа у_п, распределенные равномерно на [0,1], берут

Уп ~ ^XJP-

Имея последовательность равномерно распределенных псевдослучайных чисел, можно получить псевдослучайные числа с произвольной функцией распределения F, пользуясь следующим фактом: если ? — равномерно распределенная случайная величина, то —

случайная величина с функцией распределения F. Обычно этим приемом пользуются для непрерывных распределений в той области, где их плотность отлична от нуля (тогда определение обратной функции распределения не вызывает затруднений). Для дискретных распределений с конечным числом значений d_i,...,d_n и соответствующими вероятностями р_?...,р_п проще пользоваться следующим приемом. Отрезок [0,1] делится на п интервалов, длины которых пропорциональны р_к. Моделирование строится так: моделируется равномерное псевдослучайное число и проверяется, в какой из интервалов оно попадает. Если это интервал с номером к, то моделируемой дискретной величине присваивается значение d_k.

Для многих распределений существуют более простые алгоритмы. Два независимых стандартно нормальных псевдослучайных числа z_vz₂ можно получить по следующим формулам:

z, = у]-2 ln(x,) • cos(2^x₂ ),

Z₂ - yj-2ln(x₁) • sin(2^x₂),

где x_vx₂ — пара независимых равномерно распределенных на [0,1] случайных чисел.

Пуассоновское (с пуассоновским параметром Л) псевдослучайное число можно получить следующим образом. Последовательно моделируются показательно распределенные числа t_x,t₂,... по формуле

К =-jHx_kl

где х_к независимы и распределены равномерно на [0,1]. Вычисляются суммы: 5, -t_vs₂ =t_l+t₂,s₃ =t_l+t₂+t_J,... Число сумм s_k, не превосходящих единицу, имеет пуассоновское распределение с параметром Л. Другими словами, если т — первое число, такое, что s_m >1, то в качестве значения пуассоновского случайного числа нужно взять т-1.

Биномиальное случайное число с параметрами распределения (п, р) моделируется как сумма п независимых случайных чисел, каждое из которых принимает значения ноль с вероятностью 1-р и единица с вероятностью р.

Имитационное моделирование (имитация, simulation) какого-либо процесса состоит в “проигрывании” его при помощи компьютерной модели. Имитация случайных процессов обычно предполагает многократное проигрывание и получение достаточно большого числа реализаций (траекторий). Эти реализации получаются при помощи генерирования псевдослучайных выборок методами, описанными выше. Совокупность этих траекторий (их “пучок”) дает представление о вероятностном поведении процесса. После получения “пучкатраекторий” можно применять статистические методы для расчета различных характеристик соответствующих распределений: математических ожиданий, вероятностей и пр.

Метод Монте-Карло является разновидностью имитации. Обычно под этим названием понимают процедуры расчетов статистическими методами по полученным имитационным реализациям, как описано выше.

Например, оценка вероятности разорения за конечное время Т (главы 8, 10) может быть получена путем имитационного моделирования достаточно большого числа траекторий случайного процесса страхового резерва ?_г В качестве оценки вероятности разорения берется доля тех траекторий, которые в какой-то момент заходят в область отрицательных значений.

Рассмотрим упоминавшуюся в главе 9 оценку методом Монте-Карло деривативов европейского типа. Следует проимитировать достаточное число траекторий риск-нейтрального процесса изменений цен. Для этого рассмотрим геометрическое случайное блуждание по дереву цен. В каждом узле дерева повышение цены происходит, если очередное число, выданное генератором равномерных на [0,1] случайных чисел, попадает в интервал [0, р], где р — риск-нейтральная вероятность, введенная в главе 9. В противном случае цена понижается.

Повторяя процесс нужное число раз, получают нужное число траекторий изменения цен (как правило, не меньше 1000). Затем для каждой траектории цен берутся соответствующие значения денежного потока дериватива D(T) на момент его исполнения Т и для каждого такого значения вычисляется дисконтированная стоимость. Усреднение этих стоимостей по числу траекторий дает оценку для цены. Точность оценок можно эмпирически определять по скорости их сходимости при повышении числа траекторий.

В главе 11 метод имитации использовался для получения не только оценок отдельных характеристик, но и выборочных распределений (например, величины пенсионного резерва).

12.2

Модели, использованные в программе CFRM

Ниже очень кратко описаны модели, использованные в учебной программе “Моделирование денежных потоков и рисков” (CFRM), версия 1.4П (Пенсионная схема). Модель, фактически, развивает модель пенсионной схемы, предложенную Троубриджем [Trowbridge, 1952] и развивавшуюся, в частности, Дюфренем [Dufresne, 1988; 1989], Хэбер-маном и Вонгом [Haberman, Wong, 1997], Овадалли и Хэберманом (Owa-dally, Haberman, 1999] идр.

Блок актуарных расчетов. Рассмотрим актуарный расчет, выполняемый в момент t = 0. Пусть на этот момент в пенсионной схеме 5(0, д:) членов возраста х лет (х = а,...,Е), зарплата работников возраста х ??(0,;с), имеющийся резерв F(0).

Актуарный расчет основан на предполагаемых (актуарных) значениях, которые ниже помечаются “крышечкой” для отличия от истинных значений, введенных в главе 11. В момент 0, естественно, эти значения совпадают.

Актуарий использует для расчета коэффициент дисконта ?, рас

1

І + г/

считанный согласно актуарной норме доходности г_?,

и пред-

предполагает рост в будущем зарплат согласно оценочной норме прироста зарплат w_v, w(t, *) = (1 + w_v) w(0, *).

Актуарий оценивает будущую численность участников схемы как s(t,x + t) = 'P_xs(0, л:), где _tp_x — вероятность для лица возраста х лет прожить еще t лет (вычисляется по актуарной таблице смертности). Это правило описывает изменение численности популяции участников, уже вступивших в схему на момент 0. Численности вновь вступающих в схему в последующие годы при некоторых рассматриваемых ниже методах расчетов считаются нулевыми, при других — предположений о них делать не требуется.

Три правила расчета пенсий. Пенсии одного участника возраста х, b(t,x), могут рассчитываться или как постоянная b (пенсии без индексации), или в виде b(t,x) = (l + i_v)‘b (пенсии с индексацией по инфляции). В DB-схемах пенсии могут, кроме того, рассчитываться как фиксированная доля от зарплаты, усредненной по последним к годам карьеры.

Метод закрытого фонда — групповой метод, состоящий в том, что схема условно закрывается для дальнейшего вступления новых членов после момента 0. Балансовое уравнение

Е-п R-1 Е-а Е ^

X X ^?'^{? 1}*)?(*, ^х) + ^(°) = X ? х)

(12-2)

t=0 х=п

t=0 x=R

выражает равенство АР? (актуарной современной стоимости) пенсионных взносов, которые будут внесены в схему, плюс имеющийся резерв (левая часть), и АР? будущих пенсий (правая часть). При этом численности когорт вновь вступающих считаются нулевыми, т.е. s(t,a) = 0 для всех t. Здесь а — начальный возраст участников схемы, R — пенсионный возраст, Е — конечный возраст, достигаемый участниками (участников старше этого возраста нет).

Если метод закрытого фонда применяется к DC-схеме, в уравнении (12-2) фиксированы c(t,x) и, тем самым, левая часть. Вычисляется пенсия b (могут применяться правила расчета пенсии с индексацией или без нее).

Если метод применяется к DB-схеме, фиксируются b(t,x) и, тем самым, правая часть. Вычисляются величины c(t,x). Правило их распределения по временам и возрастам должно быть задано. В простейшем случае норма пенсионного взноса с, взимаемого в момент 0, вычисляется исходя из предположения c(t,x) = c. Это дает так называемый агрегированный метод финансирования (aggregate funding).

Индивидуальные методы финансирования пенсий основаны на соотношении баланса взносов и пенсий, аналогичном (12-2), но для индивидуальных членов. В нашей модели можно записать это соотношение для возрастной когорты участников схемы, находящихся в момент 0 в возрасте x
л-¹ Е-х

X v's(t,x)c(t,x)w(t,x) + f(0,x) = Y, v's(t,x)b(t,x), (12-3)

t=x t=R

где f(0,x) — размер пенсионного резерва данной когорты, состоящего из внесенных прежде взносов, либо иным образом приписанного к данной когорте.

В DC-схеме с индивидуальным финансированием правая часть в (12-3) фиксирована. Вычисляется норма пенсионных отчислений для данного возраста c(t,x). В простейшем случае она не зависит от времени, c(t,x) = c(x). (Этот случай реализован в программе CFRM.)

DB-схемы с индивидуальным финансированием более сложны для расчетов и в примерах данной книги не используются. Методы актуарных расчетов в таких схемах подробно описаны, например, в [Anderson, 1992; Шоломицкий, 2002а,Ь]. Соответствующие формулы можно найти также в упомянутом Описании программы.

Модель изменения численности участников схемы. Численность s(t,x) возрастной когорты участников, находящихся в момент t в возрасте х лет, изменяется при старении на 1 год как

s(t +1, х +1) = s(t, х) - d (t, х),

где d(t,x) — число членов возраста х, не доживающих до возраста д: + 1.

Смерти участников одного возраста считаются равновероятными и независимыми. Исходя из этого, величина d(t,х) должна моделироваться биномиальной случайной величиной (см. раздел 12.1) с параметрами (п, р), где п = s(t,x), р = q_x. Величина q_x — вероятность для участника возраста х не дожить до возраста х +1, определяемая согласно таблице смертности.

Для ускорения имитаций в CFRM версии 1.4П используются пуассоновское и нормальное приближения, согласно следующему эмпирическому правилу: если s(t,x) -q²x’⁶ <0,3, то величины d(t,x) моделируются независимыми для разных t их пуассоновскими случайными величинами с параметром A(t, х) = s(t, х) • q_x. Если же s(t, х) • q²x⁶ > 0,3,

то d{t,x) моделируются как d{t,x) = q_xs(t,x) +yjs(t,x)q_x(l-q_x) •?, где

— независимые для разных t их стандартно нормальные величины.

Модели инфляции, инвестиционной доходности и прироста зарплат. Годовая норма инфляции i_t =i(t) моделируется AR(1) процессом для логарифма с наложением тренда:

/(0 = (1 + /₀(0)(1 + *',(0)-1, (12-4)

где i₀(t) — тренд (сценарий), /,(0 подчиняется процессу

in (1 +1, it +1)) -7 = у[_ in (1 + /, (0)-T] + Ofr (0,

где ?v(0 — независимые для разных t стандартно нормальные случайные величины, і — некоторое число.

На рис. 12.1 показана имитация случайной инфляции с наложением инфляционного шока согласно модели (12-4).

I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Рис. 12.1. Норма инфляции с инфляционным шоком. Модель (12-4); 30 имитаций 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0,10 0,09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

Годовая инвестиционная доходность r_t = r(t) моделируется следующим образом. Моделируются доходности четырех “активов”, каждый из которых можно рассматривать как некоторый портфель (класс) активов. Норма доходности первого актива

r₀(t) = (l + i(t))(l + n₀(t)]-l, (12-5)

где n₀(t) — сценарий.

Норма доходности второго актива

г₂(0 = (1 + a₂₀i(t) + a_2]i(t-1) + a₂₂i{t -2))(1 + п₀(t))(l + n₂(t)) -1, (12-6)

где n₂(t) определяется процессом

\n(i + n₂(t + i))-ju₂ = Y\}n(\ + n₂(t))-/u₂'] + (T₂?₂{t),

где e₂(t) — независимые стандартно нормальные случайные величины. Доходность третьего актива

г₃(г) = (1 + a_J0i(t) + a_2li(t -1)) (1 + n₀(0) (1 + Л) (1 + n₃ (0) -1, (12-7)

где п₃(0 определяется процессом

п_г{г) = у_гп_г{і-\) + а_ге_г{г),

где ?₃(Г) — независимые стандартно нормальные случайные величины. Доходность четвертого актива

г₄(0 = (і+аг₄о/(0 + а₄і^-1))(і + ^(0)(1 + «₄(0)-1, 02-8)

где n_A(t) определяется процессом

+ ^₄(0.

= Г₄^1п

In

'4 У

где f₄(r) — независимые между собой стандартно нормальные случайные величины, коррелированные с ?₃(г) с некоторым коэффициентом корреляции р.

Доходность

КО = Яог₀ (О + Я 2^гг (О + Ягh (0 + q_A.г₄ (О, (12-9)

где — доли капитала, инвестированного в четыре актива.

В программе CFRM реализована простейшая модель управления портфелем, имитирующая деятельность инвестиционного менеджера. Если активизировать менеджера, то доли q_t в (12-9) уже не будут постоянными, а будут регулироваться менеджером автоматически, на основании заданных ему предпочтений. Например, на рис. 12.2 показана имитация процесса доходности при предпочтениях менеджера, отражающих высокую ориентацию на снижение волатильности (колеблемости) доходности. Деятельность менеджера начинается с 6-го годового периода, эффект ее виден из рисунка.

Рис. 12.2. Процесс инвестиционной доходности с имитацией управления портфелем. Модель (12-9); 30 имитаций Норма прироста зарплат

?КО = (1 + oc_w0m + aj(t-1) + a_w2i(t-2))(l + n₀(t))(1 + n_w(t))-\, (12-10)

где n_w(t) определяется процессом

+1) = V_wln_w(t-l) + y_wln_w(t - 2) + <7,ЛД0,

где ?_w(t) — независимые стандартно нормальные случайные величины.

Норма прироста зарплат w(t) определяет рост всех зарплат в течение периода от г-1 до t, т.е. зарплата года Т моделируется по заданной начальной зарплате ??(0,;с) как

w(T, х) = ??(0, *)П (1 + ?г(0) •

/=1

Произведение, входящее в эту формулу, представляет собой индекс заработной платы. Аналогично определяются индексы инвестиционной доходности и индекс инфляции.

Модель оценки актуарных норм. Актуарий вычисляет оценочные (актуарные) нормы как скользящие средние:

I? = a_i0i(t) + a_ni(t -1) + a_ti, (12-11)

r_v=a_r0r(t) + a_rlr(t-l) + a_r7, (12-12)

^wv = fl„o^w(0 + a_wlw(t -1) + ajw, (12-13)

где i ,7 и w — некоторые фиксированные значения; коэффициенты а задаются пользователем.

12.3

О доказательствах некоторых утверждений

Несуществование функции, сохраняющей лексикографическое отношение предпочтения (пример 1.1). Предположим, что такая функция существует. Тогда она должна иметь вид V = ?(х, у). Рассмотрим какое-либо фиксированное значение х-х₀. Поставим ему в соответствие интервал

inf V(x₀,y), supV(.x₀,y)

V ^y у

Внутри /₀ не может быть значений V, соответствующих другим значениям х. Этот интервал не может состоять из одной точки, поскольку значения ?(х₀,у) для разных у должны различаться. Так как то же можно сказать о любом значении х, каждому х должен соответствовать некоторый интервал числовой прямой, причем интервалы эти не пересекаются. Однако число таких интервалов счетно (например, в каждом из них можно указать рациональную точку), следовательно, число значений, принимаемых х, тоже должно быть не более чем счетным. Тогда все х можно занумеровать числами натурального ряда. Однако х принимает все вещественные значения, которые, как известно, занумеровать подобным образом нельзя. Полученное противоречие доказывает утверждение примера.

Теорема о существовании критерия выбора (раздел 1.1). Теорема принадлежит Кантору. Нижеследующее доказательство следует, с некоторыми изменениями, книге Вилкаса [Вилкас, 1990].

Необходимость. Пусть функция V существует. Рассмотрим замкнутые интервалы с рациональными концами, такие, что для каждого интервала / существует по крайней мере одна альтернатива А из А, такая, что ?(Д)е /. Так как число таких интервалов не более чем счетно, занумеруем их произвольным образом и обозначим через / ., j = 1,2,3,... Для каждого такого интервала укажем произвольную альтернативу Я. из А, такую, что ?(Я_;)е /_;. Множество всех таких альтернатив Я_; обозначим Н₀.

Для произвольных альтернатив А, Be А, А>- В возможны два случая: либо существует / . с [?(5),?(Д)], либо нет. В первом случае Ау Hj У В. Во втором случае интервал [?(5), ?(Д)] не содержит значений функции V, лежащих между ?(В) и ?(А). Рассмотрим множество интервалов такого типа, т.е. таких интервалов [b, а], b > а, что существуют А, Be А, такие, что ?(В) - b, ?(А) - а, но не существует Се А, такой, что ?(С)е (Ь,а). Так как интервалы не пересекаются, это множество не более чем счетно. Для каждого такого интервала выберем две альтернативы из А, такие, что значение V на этих альтернативах равны b и а, и добавим такие альтернативы в множество Н₀. Полученное множество назовем Я; оно есть искомое.

Достаточность. Пусть Я = Я₀,Я,,Я₂,... — не более чем счетное плотное по упорядочению У подмножество А. На нем легко определить функцию V. Положим ?(Я₀) = 0, далее по индукции будем полагать значение ?(Н_}) равным произвольному рациональному числу из открытого интервала (—1,1), находящемуся по порядку среди чисел ?(Я₀),...,?(Я_;._,) на том же месте, что Я . среди Я₀,...,Я ._, по предпочтению.

Для каждой альтернативы Де А, не входящей в Я, положим ?(Д) = - inf V(H )+ sup ?(НЛ .

2 І Hj>:A j:A*Hj

Нетрудно видеть, что так определенная функция V сохраняет предпочтение У . Заметим, что это доказательство проходит и в случае конечного Я.

Доказательство утверждения примера 2.1. Математическое ожидание и дисперсия трехпараметрического гамма-распределения выражаются через его параметры как

а ₂ а т- —+ с, а —р.

(12-14)

Параметры распределений G, и G₂ выбираются следующим об

разом:

т_ха²2-т₂а<sup>2

L</sup> _2 _2

а₂ -а_х

o_m₂-m_L

" 2 _2 ’ (Т₂ <Х,

яг₂ =

( \² т₂ -т,

~Іл

у(Т₂ СГ, j

(

т₂ - т_х

~2 ~Zd 2 °\ )

СГ,²,

Читатель может проверить, что при таком выборе параметров математическое ожидание и дисперсия будут равны заданным. Покажем, что G₂ у, G,. Для этого рассмотрим разность

G,(*)-G₂(*) =

dt =

Г Я^а' R^a'-

г (a₂)

Г z^a'~‘ z"^2-1

0 Ln«l) ^Г(^2).

e~^zdz = F(y)

(сдельна замена z = fi{t-c)\ верхний предел интегрирования обозначен у = /3(х-с)). Производная функции F(y)

F\y) =

г to)

і_ ПНіІ y«l-

Т{а₂У

Так как а₂>ОС_{, у >0, выражение в квадратных скобках положительно при малых у и отрицательно при больших у, причем меняет знак только один раз. Следовательно, F(y) в области у>0 имеет единственный экстремум — максимум. Кроме того, F(0) = 0; F(+°°) = -G₂(+°°) = 0. Это значит, что если бы непрерывная

функция F принимала отрицательные значения, она обязательно достигала бы минимума, что невозможно. Поэтому для всех у имеем F(y)>0, т.е. G,(*)>G₂(*).

Теорема об ожидаемой полезности (раздел 3.2). Данная аксиоматизация ожидаемой полезности несколько отличается от аксиом фон Неймана и Моргенштерна [Нейман, Моргенштерн, 1970] и восходит к работе [Herstein, Milnor, 1953], идеям которой в основном и следует приводимое ниже доказательство. По поводу других аксиоматизаций ожидаемой полезности см., например, книги Фишберна [Фишберн, 1978; Fishburn, 1988].

Если существует критерий V вида, указанного в формулировке теоремы, то, поскольку функция и(х) непрерывна на замкнутом интервале [-М,М], она ограничена. Поэтому, по эквивалентному определению слабой сходимости из раздела 12.1, выполняется условие (С). Выполнение условия (І_) легко следует из свойства линейности (3-4).

Обратное утверждение будет доказано при следующем техническом упрощении: будем предполагать, что множество А содержит “наи-лучший^] элемент А и “наихудший” элемент А, т.е. для всех Ае А верно АУАУА (т.е. ограничено по предпочтению). По поводу доказательства без этого условия см., например: [Herstein, Milnor, 1953], а также [Вилкас, 1990]. В тривиальном случае А~ А все альтернативы безразличны. Этот случай_описывается ожидаемой полезностью с и(х) = с. Рассмотрим случай А>- А.

Пусть для полного упорядочения У выполнены условия (І_) и

(С). Доказательство разбивается на ряд утверждений.

Лемма 12.1. Для любых А,В,Се Л, таких, что А У В УС, существует /л Е [0,1], такое, что В - (АС)_М.

Рассмотрим множество /г*={д: В У (АС)_М]. Легко видеть, что из (С) следует замкнутость этого множества. Аналогично множество /с, = {д : (АС)_М У 5] тоже замкнуто. Так как А по условию содержит лотереи со всевозможными распределениями исходов на отрезке [-М,М], распределение F_(AC) = fj.F_A +(1-//)F_C имеет соответствующую ему альтернативу из А для любого де [0,1]. Поскольку отрезок [0,1] нельзя представить в виде объединения замкнутых непересека-ющихся множеств, пересечение к, и к* не пусто, что и доказывает лемму.

Лемма 12.2. Если А У В, то для любого ц ? (0,1) А У (АВ)_М у В.

Предположим, что (АВ)_М У А У В. Тогда по лемме 12.1 существует /?е[0,1], такое, что А~((АВ)_мВ) =(АВ)^. Обозначим цД = а<\. Согласно (І_), поскольку А~(АВ)_а, имеем (АВ)_а ~ ([АВ)_аВ)_а = = (АВ) Поэтому А ~ (АВ)_а.. Продолжая эту процедуру, можно показать, что Л~(Л5)^_Р для « = 3,4,5,... Так как сР —>0 при п —> +°°, нетрудно видеть, что распределение, соответствующее (АВ)_а„, слабо сходится к F_B. Поэтому в силу (С) получаем А~ В, что противоречит условию. Аналогично рассматривается случай А У В У (АВ)_М.

Лемма 12.3. Если А У В, то (АВ)_М У (АВ)_Л <=> /л> Л.

Пусть /л>Л. Обозначим ? =Л/де(0,1). Тогда {АВ)_Х=({АВ)_МВ} . Поскольку (АВ)_М У В, по лемме 12.2 (АВ)_М У (АВ)_Л.

Обратно, пусть (АВ)_М У (АВ)_Л. По лемме 12.2, (АВ)_луВ. По лемме 12.1, существует ?, такое, что (АВ)_Л=[(АВ)_МВ^ . Если ?-0 или 0 = 1, предпочтение было бы нестрогим, поэтому ? е (0,1). Поскольку (АВ)_Л = ((АВ)_М В) = (АВ)_м?, получаем Л = /Л0, поэтому Л
Лемма 12.4. Для любых А,В,СеА таких, что А У В У С, существует единственное /л Е (0,1), такое, что В ~ (АС)_М.

Лемма 12.5. Для любой Ае А можно определить число ?(А), такое, что

(а) АуВ**?{А)>?(В)\

(б) ?((АВ)_М) = _М?(А) + (1-М)?(В).

Рассмотрим такие А, что А>-А>-А В силу леммы 12.4, существует единственное число ?(А)ё(0,1), такое, что А~(аа) . Тогда (а) следует из леммы 12.3. В силу (І_), (АВ)_М ~

~((АА)_?М)(АА)_?(Я))^=(АА)^_(джі_^_(я). Тогда, по определению V, верно равенство (б).

Для А, таких, что А ~ А, положим У(А) = 1, для А~А положим ?(А) = 0.

Как и в главе 2, условимся считать V определенной не только на самих лотереях, но и на распределениях их исходов, полагая

V{F_a) = V{A).

Лемма 12.6. ?{А) имеет вид ожидаемой полезности (3-1).

Определим функцию и(х) равенством и(х) - ?{Е_х), где Е_х — распределение, вырожденное (сосредоточенное) в точке х. Функция и(х) непрерывна в силу (С). На замкнутом интервале хе [-М,М] она поэтому ограничена. Если распределение F — функция распределения случайной величины, принимающей значения д:, и х₂ с вероятностями р, и р₂-1-р_], соответственного F(x) = р₁Е_х + р_гЕ_х. В силу (б) леммы 12.5 имеем V(F) = рУ(Е_х^) + р₂?{Е_х ) - р_хи(Х\) + р₂и(х₂). По индукции легко показать, что для любой функции распределения F случайной величины, принимающей конечное число значений х_?...,х_п с вероятностями р_?...,р_п, V имеет вид V(F) = ^ u(x_j)p_j (ср. (3-2)). Полученное представление распространяется на произвольные распределения по непрерывности. Именно, для любой функции распределения F можно указать слабо сходящуюся к ней последовательность функций распределения F_n, таких, что каждая из F_n есть функция распределения случайной величины, принимающей не более п значений. По эквивалентному определению слабой сходимости (см. раздел 12.1), в силу непрерывности и ограниченности и(х), при п —»



Однако в силу (С), V(F_n)^>V(F). Отсюда V(F)~ \u(x)dF(x).

Утверждение об индексах неприятия риска (раздел 3.4). Утверждения (а) и (б) доказаны в [Pratt, 1964, р. 128]. Утверждение (в), впервые полученное Эрроу, приводится Фишберном [Fishbum, 1988] без доказательства. Мы получим его из утверждения теоремы 7 той же работы Пратта. Это утверждение звучит так. Рассматривается задача оптимального инвестирования; пусть инвестор вкладывает капитал размера х в деньги (актив с безрисковой нулевой доходностью) и оптимизирует величину а — сумму, инвестируемую в актив со случайной доходностью Е, , Е?>0, исходя из правила Еи(х + а^) —> шах_я. Если м, и и₂— две функции полезности, такие, как в утверждении (т.е. и, имеет равномерно не меньший индекс неприятия риска), то соответствующие им оптимальные суммы инвестиций в рисковый актив находятся в соотношении а, < а₂.

Утверждение (в) можно получить отсюда. Пусть гу — доходность безрискового актива, г* — доходность рискоюго актива, /3 — доля инвестиций в рисковый актив. Запишем задачу оптимизации портфеля: Ем ((1 - J3)r¦* + fir ) = Ем (г* + /?(г* - г*)) —>тах^, т.е. это частный случай задачи, рассматривавшейся Праттом, с х = r*_f, % = г* - rj, J3 = а. Поэтому оптимальные доли инвестиций в рисковый актив находятся в соотношении Д < Д₂.

Теорема 5.2 раздела 5.1. Смоляк [Смоляк, 1983] и Дикель [Dekel, 1986] независимо доказали подобные теоремы с несколько различными системами аксиом; см. также близкую работу Чью [Chew, 1989]. Ниже показано, что условия теорем Смоляка и Дикеля вытекают из условий теоремы на с. 143.

Дикель [Dekel, 1986] использует условие “разрешимости” (solvability): для любых А, В, С 6 Л, таких, что А>- В У С, существует ц е [0,1], такое, что В~(АС)_М. Это условие следует из условий теоремы, что доказывается аналогично лемме 12.1 в доказательстве теоремы об ожидаемой полезности в разделе 12.3.

И Дикель, и Смоляк в вышеупомянутых работах используют (В_). Покажем, что эта аксиома слабее (В_у).

Пусть верно (В_у). Рассмотрим альтернативы А и В из А, такие, что А~ В. Предположим, что существует /ие (0,1), такое, что (АВ)_М У А. Согласно (BJ, {АВ)_му({АВ)_мА\_іг>. А Но ({АВ)_мА)_?і = {АВ\_х+>і)і2. Поскольку (АД)_(1+а)/2 у В и согласно (В_у), (AB\_l+fJ)/2 у ((АВ)^_м?2в) У В длялюбого уе (0,1). Но ({AB)_{Ufi)l2B} = (AB)_0+fi)y2. Выбирая у = 2ц/\+ц, имеем (l+/j.)y/2 = /2, поэтому (АВ)_(1+м)/2у(АВ)_м. Полученное противоречие доказывает, что предположение (АВ)_М У А неверно. Аналогично доказывается, что неверно Ау(АВ)_м. Следовательно, (АВ)_М ~ А.

Дикель [Dekel, 1986] использует также два условия ограниченности по предпочтению и монотонности (его аксиомы А1(Ь) и АЗ), которые очевидно следуют из (М,) и ограниченности исходов лотерей отрезком [~М,М].

Смоляк [Смоляк, 1983] доказывает теорему при условии существования критерия V*, такого, что V*(Е_х) — х. Покажем, что оно выполнено.

Рассмотрим всевозможные смеси [Е__МЕ_М ) = ссЕ__м +(1 -а)Е_м. В силу свойства разрешимости, для любой функции распределения F_a существует а, такое, что F_A ~ (Е__мЕ_м)_а. В силу (М,), смеси (Е__мЕ_м)_п с рациональными а образуют плотное по упорядочению счетное множество. Тогда существование критерия V вытекает из теоремы раздела 2.1. Этот критерий определяется не единственным образом. Однако он ставит в соответствие каждому F_A некоторое единственное Е_х, такое, что V(F_A) = V(E_x). Последнее следует из того, что ?(Е_х) — непрерывная и строго возрастающая функция, принимающая все значения из интервала [?(Е__М),?(Е_М)\. Каким бы ни было значение V(F_A), среди этих значений найдется ровно одно совпадающее с ним. Определим критерий V* равенством V(F_A) - V^E_v.^_{f }} j. Эта версия критерия обладает требуемыми свойствами.

Эвристический вывод формулы Ито (раздел 8.3). Строгий вывод формулы Ито требует знакомства со стохастическим анализом. Эвристическое доказательство, приводимое ниже, основано на следующем факте.

Пусть w_t — стандартный винеровский процесс и пусть Aw_t - w_l+il -w_t — его приращения; для простоты положим AГ = 77 и. При п —> сумма квадратов приращений на отрезке [О,Г] сходится по распределению к Т:

2 (д (12-15)

(=0 А..,г-І.

П П

Так как Е(Д??, )² = At, математическое ожидание суммы в левой части (12-15) равно Т. Тогда для доказательства (12-15) достаточно показать, что дисперсия суммы квадратов приращений стремится к нулю. Для нормальной величины с нулевым средним X, как известно (см. выше, раздел 12.1), ЕХ⁴=Зсг⁴, поэтому Е(Д??,) =3(Дt)¹. Дисперсия одного слагаемого в левой части (12-15)

(Д??,)²] = Е(А??,)⁴

Е( Ди/ )²J = 3(Д0² - (ДО² = 2(Д0²-

В левой части (12-15) стоит сумма п = Т / At независимых слагаемых, поэтому дисперсия суммы равна 2ТAt, что стремится к нулю.

Доказанный факт говорит о том, что “главный член” величины (Д??,) при At—>0 неслучаен и равен At, т.е. можно (нестрого) написать (Д??_г) =At + o(At) (эффект случайности “вырождается”).

Перейдем к формуле Ито. Дифференциал функции представляет собой главный член ее приращения. Выпишем малое приращение

функции /(?,/) по формуле Тейлора. В отличие от случая детерминированной функции, здесь нужно написать члены до второго порядка малости по At и Д??. Имеем

А г,? ч Э/ е Э/ 1 э²/ . е\2 З²/ А е А 1 Э²/ / \2

д/₍#.,) = -д#₊-д,₊-^_г(д;) ₊_д;._д,₊__(д,) ₊

+{члены более высокого порядка малости}.

В случае детерминированной функции первые два члена есть единственные члены первого порядка; в стохастическом же случае член с (Л?)~ дает еще один член первого порядка по At. Действительно, можно заменить Д? = juAt + сгД??. Согласно сказанному выше, (Д??) равно At с точностью до членов более высокого порядка малости, чем At и Д?? (иначе бы не было сходимости в (12-15)). Поэтому произведем замену (Д?) = сг²(Д??) +... = а²At +..., где отброшены члены более высокого порядка. Эта замена — центральный пункт всего рассуждения. Подставляя все написанное в выражение для Д/(?г), имеем

Л/ (? 0 = (М* + оА ??) +Ц-.At + ^ 1^-,а\А\г +

од at I од

+{члены более высокого порядка малости}.

Переходя к дифференциалам и группируя члены, получаем отсюда формулу Ито.

12.4

Сложные проценты и доходности

Ставка {норма) процента есть процентная доля, на которую увеличивается инвестированный капитал за определенный (базовый) период времени. Обычно базовым периодом бывает 1 год. Ставка процента указывается вместе с этим периодом. Например, говорят, что процентная ставка составляет 10% годовых. Это означает, что на 1 руб., инвестированный в начале года, к концу года начисляется процентный доход 0,1 руб., или 1 руб. “растет” до 1,1 руб. Капитал, инвестированный в начале периода (в данном случае — 1 руб.), называется основным капиталом, а начисленная сумма 0,1 руб. — процентами (процентным доходом) на капитал.

Различают правила простого процента и сложного процента. Пусть г* — годовая процентная ставка, 5 = 5(0) — основной капитал, инвестированный в нулевой момент времени, 5(0 — капитал в момент времени t.

При правиле простого процента считается, что процент начисляется только на основной капитал 5. За каждый год начисляется процент r*S. Поэтому капитал через t лет вырастет до

5(0 = 5 + r*S Г = 5(1 + r*t). (12-16)

Величина 5(0/5 показывает, во сколько раз увеличился основной капитал. Она называется накопительным множителем для периода длительностью t лет. Правило простого процента характеризуется тем, что накопительный множитель равен 1 + r*t.

При правиле сложного процента считается, что процент начисляется не только на основной капитал, но и на проценты, начисленные ранее. Через один год капитал 5 вырастает до 5(1 +г*). При правиле сложного процента нужно считать, что процентный доход будет начислен на весь этот капитал (и на основной капитал, и на проценты, начисленные в конце первого года, т.е. в момент 1). Общая формула роста капитала по правилу сложного процента такова:

5(f) = 5( 1 + г*у. (12-17)

Обратите внимание на то, что если г* — годовая ставка, то и время t должно измеряться в годах.

Процентная ставка г*, входящая в формулу (12-17), называется эффективной (фактической) ставкой.

Величина

r = In(l + r*)

называется силой роста или процентной доходностью с непрерывным начислением. Годовой накопительный множитель

1 + г* = е^г.

Правило сложного процента (12-17) можно записать как

5(0 = 5е". (12-18)

Пусть ? = 1/1 + / — годовой коэффициент дисконтирования (дисконта). Процентную ставку і, по которой рассчитывается ?, называют дисконтной ставкой.

Современная (приведенная к настоящему моменту, дисконтированная, текущая) стоимость детерминированного (неслучайного) потока платежей х₀,х,,...,х_л,..., осуществляемых в моменты времени t₀,t_l,...,t_n,..., соответственно, есть

Р? = х₀?'° +jc,v'' + ...+ x_nv'“ ,...= ^х_пе (12-19)

/1=0

Эта стоимость (present value) в точности совпадает с той суммой, которую нужно инвестировать сегодня, чтобы покрыть все платежи.

Процентный доход получается от инвестирования средств в ценные бумаги и иные активы. Каждый такой актив имеет некоторую цену, в обмен на уплату которой инвестор получает некоторый денежный поток. Доходность актива за период [0,Г] определяется как такая дисконтная ставка, что дисконтированная стоимость денежного потока от актива за период [0,Г] от 0 до Г при его (условной) продаже в конце периода равна цене актива на момент 0.

Пусть C(t) — цена некоторого актива (ценной бумаги) в момент времени t. Сначала рассмотрим простейший случай, когда владение активом не приносит никаких дополнительных денежных поступлений, т.е. доход связан только с повышением цены C(t). Примеры таких активов: (а) бескупонные (дисконтные) облигации, например ГКО; (б) акции, на которые в период [0,Г] не происходит начисления дивидендов. Годовая доходность г* актива за период от 0 до Г определяется равенством С(0) = С(Г)(1+ г*)~^Т, откуда

г (12-20)

Теперь предположим, что актив приносит денежные поступления с,,с₂,...,с_л в моменты времени t_l,t₂,...,t_n, лежащие в промежутке от 0 до Т. Тогда г* определяется из уравнения

С(0) = с,(1 + г*)”'¹ +с₂ (1 + 7-Т² +...+ СД1 + 7-?" +С(Г)(1 + т-Т^г.

Если С(0 и все с₍ неотрицательны, то это уравнение имеет единственное решение г*.

Например, так вычисляется доходность к погашению купонных облигаций. В этом случае C(t) — рыночная цена одной облигации, Т — момент погашения (в годах), с_?с₂,...,с_п — купоны, т.е. суммы, выплачиваемые инвестору, владеющему облигацией.

В случае акции с дивидендами C(t) — рыночная цена одной акции, Т — момент (в годах), определяющий период, за который оценивается доходность, с,,с₂,...,с_л — суммы дивидендов на одну акцию.

Доходность, конечно, не изменится, если брать не одну акцию (облигацию), а, например, сто (проверьте самостоятельно).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

СПИСОК

Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.

Актуарная математика / Бауэрс Н.Л., Гербер Х.У., Хикман Д.К. и др. М.: Янус-К, 2001.

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. М.: Наука, 1996.

Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика. 2-е изд. М.: Дело, 2002.

Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990.

Вилкас Э.Й., Майминас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. М.: Радио и связь, 1981.

ГалицЛ. Финансовая инженерия: Пер. с англ. М.: ТВП, 1998.

Гербер X. Математика страхования жизни: Пер. с англ. М.: Мир, 1995.

Гумбель Э. Статистика экстремальных значений: Пер. с англ. М.: Наука, 1958.

Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975.

Канторович Г.Г. Анализ временных рядов // Экономический журнал ВШЭ. 2002. Т. 6. № 1-4.

Кирута А.Я., Рубинов А.М., Яновская Е.Б. Оптимальный выбор распределений в сложных социально-экономических системах (вероятностный подход). Л.: Наука, 1980.

Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.

Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. 2-е изд. М.: Логос, 2002.

Лившиц В.Н. Маргинальные рассуждения и инженерно-экономическая практика // Экономика и математические методы. 1999. Т. 35. № 4.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. 5-е изд. М.: Дело, 2001.

Массе П. Критерии и методы оптимального определения капиталовложений: Пер. с франц. М.: Статистика, 1971.

Мельников А.В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М.: ТВП, 1997.

Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Мир, 1970.

Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.

Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей и ее применения. 1956. № 1, 2. С. 177-238.

Ротарь В.И. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1992.

Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. № 5. С. 698-779.

Ротарь В.И., Шоломицкий А.Г. Об оценивании риска в страховой деятельности // Экономика и математические методы. 1996. Т. 32. № 1.

С. 96-105.

Смоляк С.А. Об учете разброса эффекта при расчете экономической эффективности в условиях неопределенности // Модели и методы стохастической оптимизации. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1983.

Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности (теория ожидаемого эффекта). М.: Наука, 2002.

Страховое дело: Учебник: В 2 т. / Под ред. О.И. Крюгер, Т.А. Федоровой. М.: Экономистъ, 2004.

Сурков С.Н., Шоргин С.Я., Шухов А.Г. Анализ методики Росстрахнадзора расчета тарифных ставок по рисковым видам страхования (Методика I) // Финансы. 1994. № 9. С. 37—39.

Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. Ю.В. Прохорова. М.: Большая российская энциклопедия, 1999.

Фишберн П. Теория полезности для принятия решений: Пер. с англ. М.: Наука, 1978.

Шарп У. Инвестиции: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1994.

Шведов А.С. О математических методах, используемых при работе с опционами // Экономический журнал ВШЭ. 1998. Т. 2. № 3. С. 385—409.

Шведов А.С. Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов // Экономический журнал ВШЭ. 2002. Т. 6. № 2. С. 193-216.

Шведов А.С. Процентные финансовые инструменты. Оценка и хеджирование. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999.

Ширяев А.Н. Вероятность. 2-е изд. М.: Наука, 1989.

Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. М.: ФАЗИС, 1998.

Шоломицкий А.Г. Обзор актуарных методов финансирования накопительных пенсий. Препринт WP/2002/136. М.: ЦЭМИ РАН, 2002а.

Шоломицкий А.Г. Финансирование накопительных пенсий: актуарные методы и динамические модели // Обозрение прикладной и промышленной математики. 20026. Т. 9. № 3. С. 544—577.

Шоломицкий А.Г., Рассказов В.А. Моделирование процессов страховых выплат по договорам добровольного медицинского страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1998. Т. 5. № 2. С. 298-300.

Шустер А.И. Фактор времени в оценке экономической эффективности капитальных вложений. М.: Наука, 1969.

Actuarial Mathematics / Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C. et al. 2^nd ed. Shaumburg, 111.: The Society of Actuaries, 1997.

Allais M. Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: Critique des postulats et axiomes de l’Ecole Americaine // Econometrica. 1953. № 21. C. 503-546.

Anderson A.W. Pension Mathematics for Actuaries. 2^nd ed. Winsted, Conn.: Actex Publications, 1992.

Anscombe F.J., Aumann R.J. A Definition of Subjective Probability // Annals of Mathematical Statistics. 1963. Vol. 34. № 1. P. 199—205.

Balkema A., Haan L. de. Residual Life Time at Great Age // Annals of Probability. 1974. № 2. P. 792-804.

Bemartzi S., Thaler R. Myopic Loss Aversion and the Equity Premium Puzzle // Quarterly Journal of Economics. 1995. Vol. 110. № 1. P. 73—92.

Borch K. The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books, 1974a.

Borch K. The Rationale of the Mean-Standard Deviation Analysis: Comment // American Economic Review. 1974b. № 64. P. 428—430.

Borodin A.N., Salminen P. Handbook of Brownian Motion. Birkhauser Ver-lag, 1996.

Camerer C.F. Individual Decision Making // Handbook of Experimental Economics / J. Kagel, A.E. Roth (eds.). Princeton: Princeton University Press, 1995.

Chateauneuf A., Wakker P. An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory for Decision under Risk // Journal of Risk and Uncertainty. 1999. Vol. 18. № 2. P. 137-145.

Chew S.H. Axiomatic Utility Theories with the Betweenness Property // Annals of Operation Research. 1989. № 19. P. 273—298.

Chew S.H., Epstein L.G., Zilcha I. A Correspondence Theorem Between Expected Utility and Smooth Utility // Journal of Economic Theory. 1988. №46. P. 186-193.

Chew S.H., Kami E., Safra Z. Risk Aversion in the Theory of Expected Utility with Rank Dependent Probabilities // Journal of Economic Theory. 1987. №42. P. 370-381.

Choices, Values, and Frames / D. Kahneman, A. Tversky (eds.). Cambridge University Press, 2000.

Coherent Measures of Risk / Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M. et al. // Mathematical Finance. 1999. Vol. 9. № 3. P. 203—228.

Cox J.C., Rubinstein M. Options Markets. Prentice Hall, NJ: Englewood Cliffs, 1985.

Crouhy M., Galai D., Mark R. A Comparative Analysis of Current Credit Risk Models // Journal of Banking and Finance. 2000. № 24. P. 59— 117.

Davison A., Smith R. Models for Exceedances over High Thresholds (with discussion) // Journal of the Royal Statistical Society. Series B. 1990. № 52. P. 393-442.

Daykin C.D., Pentikainen T., Pesonen M. Practical Risk Theory for Actuaries. Chapman and Hall, 1994.

Debreu G. Topological Methods in Cardinal Utility Theory // Mathematical Methods in the Social Science. Stanford University Press, 1960.

Dekel E. An Axiomatic Characterization of Preferences under Uncertainty: Weakening the Independence Axiom // Journal of Economic Theory. 1986. №40. P. 304-318.

Diecidue E., Wakker P. On the Intuition of Rank-Dependent Utility // Journal of Risk and Uncertainty. 2001. Vol. 23. № 3. P. 281—298.

Dynamic Financial Analysis Committee of the Casualty Actuarial Society: DFA Research Handbook. 1999. ().

Dufresne D. Moments of Pension Fund Contributions and Fund Levels When Rates of Return are Random // Journal of the Institute of Actuaries. 1988. №115. P. 535-544.

Dufresne D. Stability of Pension Systems When Rates of Return are Random // Insurance: Mathematics and Economics. 1989. № 8. P. 71—76.

Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. 1961. № 75. P. 643—669.

Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosh T. Modelling Extremal Events for Finance and Insurance. Springer, 1997.

Epstein L.G. Behavior Under Risk: Recent Developments in Theory and Applications // Advances in Economic Theory / J. Laffont (ed.). Cambridge University Press, 1992.

Falk M., Husler J., Reiss R. Laws of Small Numbers: Extremes and Rare Events. Basel: BirkhSuser, 1994.

Financial Economics / H. Panjer (ed.) Shaumburg, Illinois: Actuarial Foundation, 1998.

Fishbum P.C. Nonlinear Preference and Utility Theory. Baltimore: John Hopkins University Press, 1988.

Fishburn P.C. Utility Theory and Decision Making. N.Y.: Wiley, 1970.

Fishburn P.C., Rubinstein A. Time Preference // International Economic Rewiew. 1989. № 23. P. 677-694.

Fisher R., Tippett L. Limiting Forms of the Frequency Distribution of the Largest or Smallest Member of a Sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1928. №24. P. 180—190.

Friedman M., Savage L.J. The Utility Analysis of Choices Involving Risk // Journal of Political Economy. 1948. № 56. P. 279—304.

Giorgi Е. de. A Note on Portfolio Selections under Various Risk Measures: Working Paper. University of Zurich, 2002.

Gnedenko B. Sur la distribution limite du terme maximum d’un serie alea-toire // Annals of Mathematics. 1943. № 44. P. 423—453.

Grandell J. Aspects of Risk Theory. Springer-Verlag, 1991.

Green J.R., Jullien B. Ordinal Independence in Nonlinear Utility Theory //Journal of Risk and Uncertainty. 1988. № 1. P. 355—387. (Erratum: 1989. №2. P. 119.)

Haan L. de. Fighting the Arch-Enemy with Mathematics // Statistica Neer-landica. 1990. № 44. P. 45-68.

Haberman S., Wong L.Y.P. Moving Average Rates of Return and the Variability of Pension Contributions and Fund Levels for a Defined Benefits Pension Scheme // Insurance: Mathematics and Economics. 1997. № 20. P. 115-135.

Hamilton J.D. Time Series Analysis. Princeton University Press, 1994.

Hershey J., Kunreuther H., Shoemaker P. Sources of Bias in Assessment Procedures for Utility Functions // Management Science. 1982. № 28. P. 936—954.

Herstein I.N., Milnor J. An Axiomatic Approach to Measurable Utility // Eco-nometrica. 1953. Vol. 21. № 2. P. 291—297.

Hogg R.V., Klugman S.A. Loss Distributions. N.Y.: Wiley, 1984.

Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivatives. 5^,h ed. Prentice Hall, NJ,

2002.

Ingersoll J.E. Theory of Financial Decision Making. Rowman and Littlefield, 1987.

Introduction to RiskMetrics™. Morgan Guaranty Trust Company, 1995. Jones C.P. Investments. Analysis and Management. 5^,h ed. Wiley, 1996.

Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision Under Risk // Econometrica. 1979. Vol. 47. № 2. P. 263—291.

Kannai Y., Peleg B. A Note on the Extension of an Order on a Set to the Power Set // Journal of Economic Theory. 1984. № 32.

Kami E. A Definition of Subjective Probabilities with State-Dependent Preferences // Econometrica. 1993. Vol. 61. № 1. P. 187—198.

Kami E. Subjective Expected Utility Theory with State-Dependent Preferences. A Generalization of the Theory of Savage: Working Paper. Baltimore: Johns Hopkins University, 1990.

Knight F. Risk, Uncertainty and Profit. Boston: Houghton Mifflin, 1921.

Koopmans T.C. Stationary Ordinal Utility and Impatience // Economet-rica. 1960. Vol. 28. № 2. P. 287-309.

Kraft C.H., Pratt J.W., Seidenberg A. Intuitive Probability on Finite Sets //Annals of Mathematical Statistics. 1959. № 30. P. 408—419.

Loewenstein G. Frames of Mind in Intertemporal Choice // Management Sciences. 1988. Vol. XXXIV. P. 200-214.

Loewenstein G., Prelec D. Anomalies in Intertemporal Choice: Evidence and Interpretation // Quarterly Journal of Economics. 1992. Vol. 107. № 2. P. 573-597.

Loewenstein G., Prelec D. Preferences Over Outcome Sequences // American Economic Rewiew. Papers and Proceedings. 1988. № 81. P. 247—351.

Luce R.D. Several Possible Measures of Risk // Theory and Decision. 1980. № 12. P. 217-228.

Luce R.D. Utility of Gains and Losses: Measurement-Theoretical and Experimental Approaches. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Association, 2000.

Luce R.D., Fishburn P.C. Rank- and Sign-Dependent Linear Utility Models for Finite First-Order Gambles // Journal of Risk and Uncertainty. 1991. №4. P. 29-59.

Machina M.J. Choice Under Uncertainty: Problems Solved and Unsolved //Journal of Economic Perspectives. 1987. № 1. P. 121—154.

Machina M.J. “Expected Utility” Analysis Without the Independence Axiom // Econometrica. 1982. Vol. 50. № 2. P. 277—323.

Malevergne Y., Pisarenko V., Sornette D. Empirical Distributions of Log-returns: Between the Stretched Exponential and the Power Law: Working Paper. 2003. ().

Mas-Colell A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995.

McMillan L. Options as a Strategic Investment. New York Institute of Finance, 1993.

McNeil A.J. Estimating the Tails of Loss Severity Distributions Using Extreme Value Theory //ASTIN Bulletin. 1997. Vol. 27. № l.P. 117—137.

Mehra R., Prescott E.C. The Equity Premium: a Puzzle // Journal of Monetary Economics. 1985. Vol. 15. № 2. P. 145—161.

Merton R. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model//Journal of Economic Theory. 1971. № 3. P. 373—413.

Meyers G. Coherent Measures of Risk. An Exposition for the Lay Actuary. 2000. ().

Mossin J. Aspects of Rational Insurance Purchasing // Journal of Political Economy. 1968. Vol. 76. № 4-1. P. 553-568.

Musiela M., Rutkovsky M. Martingale Methods in Financial Modelling. Springer, 1997.

Neilson W., Stowe J. A Further Examination of Cumulative Prospect Theory Parameterizations // Journal of Risk and Uncertainty. 2002. Vol. 24. № 1. P. 31-46.

Neumann J. von, Morgenstem O. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press, 1944.

Norberg R. Ruin Problems with Assets and Liabilities of Diffusion Type: Paper Presented at the Conference on Ruin Probabilities. Sophia, 1996.

Owadally M.I., Haberman S. Pension Fund Dynamics and Gains/Losses due to Random Rates of Investment Return // North American Actuarial Journal. 1999. Vol. 3. № 3. P. 105-118.

Paulsen J. Risk Theory in a Stochastic Environment // Journal of Stochastic Processes and Applications. 1993. № 21. P. 327—61.

Phelan M. Probability and Statistics Applied to the Practice of Financial Risk Management: The Case of JP Morgan’s RiskMetrics™: Working Paper. № 19. Wharton Business School; University of Pennsylvania, 1995.

Pickands J. Statistical Inference Using Extreme Order Statistics // Annals of Statistics. 1975. № 3. P. 119-131.

Pliska S.R. Introduction to Mathematical Finance. Discrete Time Models. Blackwell, 1997.

Pollatsek A., Tversky A. A theory of Risk // Journal of Mathematical Psychology. 1970. № 7. P. 540—553.

Pratt J. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica. 1964. Vol. 32. № 1/2. P. 122-136.

Prelec D. Decreasing Impatience: Definition and Consequences: Harward Business School Working Paper. 1989.

Quiggin J. A Theory of Anticipated Utility // Journal of Economic Behavior and Organization. 1982. № 3. P. 323—343.

Quiggin J. Generalized Expected Utility Theory. Dordrecht: Kluwer, 1993. Rotar V.I., Sholomitsky A.G. On the Pollatsek — Tversky Theorem on Risk // Journal of Mathematical Psychology. 1994. Vol. 38. № 3. P. 322—334. Savage L.J. The Foundations of Statistics. N.Y.: Wiley, 1954.

Segal U. Anticipated Utility: a Measure Representation Approach // Annals of Operations Research. 1989. № 19. P. 359—373.

Shmidt U. Alternatives to Expected Utility: Some Formal Theories // Handbook of Utility Theory / S. Barbera, P. Hammond, C. Seidl (eds.). Kluwer, 1998.

Starmer C. Developments in Non-Expected Utility Theory: The Hunt for a Descriptive Theory of Choice Under Risk // Journal of Economic Literature. 2000. Vol. XXXVIII. P. 332-382.

Thaler R. Some Empirical Evidence on Dynamic Inconsistency // Economics Letters. 1981. № 8. P. 201—207.

Trowbridge C.L. Fundamentals of Pension Funding // Transactions Society of Actuaries. 1952. № IV. P. 17—43.

Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. 1992. № 5. P. 297-323.

Tversky A., Kahneman D. Rational Choice and the Framing of Decisions // Rational Choice / R. Hogarth, M. Reder (eds.). University of Chicago Press, 1986. P. 67-94.

Tversky A., Wakker P. Risk Attitudes and Decision Weights // Economet-rica. 1995. № 63. P. 1255-1280.

Villegas C. On Qualititive Probability (T-Algebras // Annals of Mathematical Statistics. 1964. № 35. P. 1787—1796.

Wakker P., Thaler R., Tversky A. Probabilistic Insurance // Journal of Risk and Uncertainty. 1997. № 15. P. 7—28.

Wakker P., Tversky A. An Axiomatization of Cumulative Prospect Theory //Journal of Risk and Uncertainty. 1993. № 7. P. 147—176.

Wilkie D. A Stochastic Investment Model for Actuarial Use // Transactions Faculty of Actuaries. 1986. № 39. P. 341—403.

Wilmott P., Howison S., Dewynne J. The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction. Cambridge University Press, 1995.

Yaari M.E. The Dual Theory of Choice Under Risk // Econometrica. 1987. №55. P. 95-115.

предметный указатель

Автокорреляция 234 Авторегрессия 232, 330, 332 Аддитивность 20, 25, 76—78 Аксиома 91

зависимости от ранга 147 замещения слабая 141 инвариантности к сдвигам 75 монотонности 30, 32 монотонной непрерывности 170 независимости 24, 93—95 непрерывности 95 неприятия риска 31 нетерпения 25 однородности 34, 74 ординальной независимости 149 промежуточности 139 редукции 134,166 субаддитивности 73 транзитивности 15 sure thing principle 171,172

Актив

базовый 242

безрисковый 54, 223, 243, 244 со случайной доходностью 51,52, 222 Актуарная современная стоимость 355 Актуарий 327

Актуарное оценивание 327 Актуарный баланс 328 Актуарные нормы 328, 360 Актуарные расчеты

в страховании 189,285 пенсионных взносов 327, 355 Альтернатива выбора 13 оптимальная 17

Анализ сценариев 270, см. также Метод сценариев Анализ чувствительности 324

Аппроксимация распределения страхового убытка 193,292,303—307 Арбитражная возможность 243, 266 Арбитражер 242, 246 Асимметрия 61, 204, 265, 306, 307, 340 Бизнес-планирование 321 Броуновское движен ие 215 геометрическое 226 для моделирования цен активов 225 для моделирования страхового резерва 227 обобщенное 215 со сносом 215 Вероятность 38, 338

разорения 210, 211, 229-231, 287-291, 353 субъективная 38—40, 161—172 физическая 40

Веса 39,40, 145-148, 178, 179 Весовая функция 141

Винеровский процесс, см. Броуновское движение Волатильность 64, 225

историческая 264 подразумеваемая 264

Временной ряд 232, 330 Выбор 13

в условиях неопределенности 38—41, 161 в условиях риска 28, 41, 90, 122, 139 из векторных альтернатив 18 межвременной 20, 135, 155 динамической стратегии 36,113,212 портфеля 51, 57, 60, 67, ПО, 113 Гамма-нейтральность 274, 275 Гамма

опциона 274, 282 портфеля 274

Гамма-распределение 57, 303, 343 Гамма-функция 343

Гарантийная надбавка, см. Рисковая надбавка Гистограмма 350 Граница эффективности 53 Дельта-нейтральность 273 Дельта

опциона 249, 273, 282 портфеля 272 фьючерса 273 Дельта-хеджирование 270 Дельта-плюс-гамма эквивалент 277 Денежный поток 20, 21, 155, 370 Дериватив 240, см. также Опцион Дескриптивный подход 14, 45 Детерминированный эквивалент 29 Дефлирование 21 Децентрализация 77, 78

Диверсификация 54,71—73, 190

Динамическая задача выбора 36, 113,212

Динамическая оптимизация 37

Динамический финансовый анализ 278, 320

Динамическое программирование 37

Динамическое управление 37, 329, см. также Управление

Дисконтирование 20,155, 370

Дисконтированная стоимость 20, 155, 255, 257, 370

Дисконтная ставка 22, 136, 370

Дисперсия 340

как мера риска 51,61,74 Длинная позиция 243 Доминирование 14, 53

стохастическое 30, 32, 75, 150

Доходность 51, 52, 64, 65, 222-225, 237, 280, 332, 358, 369, 370 безрисковая 243

Закон больших чисел 190, 195, 348

Имитационное моделирование 68, 205, 216, 228, 259, 317, 329, 331—337, 352-360

Инвестиционный проект 23

Индекс неприятия риска 117,118

Источники неопределенности 330—336

Исчислимость 17

Капитал под риском 62, 194, 306

Квантиль 339

Класс безразличия 19, 96

Комбинация опционов, см. Опционные стратегии

Короткая позиция 243

Кредитный риск 267, 268

Кредитный спрэд 268

Кривая безразличия 19,96—98

Критерий 16

аддитивный 76, см. также Аддитивность взвешенной полезности 140, 141 Гурвица 42 Массе 76, 118

математического ожидания 50, 60, 78, 91 ожидаемой полезности 92, 95 ранговой полезности 145 согласия 351

хи-квадрат 351

Колмогорова — Смирнова 351 сравнительной полезности 144 «среднее — дисперсия» 50, 57

субъективно взвешенной ожидаемой полезности 166, 170, 171 теории проспектов 178 Лексикографическое предпочтение 17 Лемма Ито 220 Линейность

дельты портфеля 272 ожидаемой полезности 96 стохастического дифференциала 220 Лотерея 29

“беговая” 162 рулетка 162

Любовь к риску 60, 102, 118, 183

Маржа 73, 243, 245

Марковское свойство 234

Математическое ожидание 50, 60, 78, 91, 339, 346

Мера риска 34

когерентная 75

Полячека— Тверски 76 EPD 71 ТСЕ 71,79 VaR 62, 63

Метод

агрегированный 356 закрытого фонда 355 моментов 301,350

Монте-Карло 205, 259, 260, 277, 305, 306, 353 сценариев 45, 270, 321, 323 финансирования пенсий 326, 355 Модель

актуарных норм 360 Барруа 105 бизнеса 316

бизнес-планирования (бюджетирования) 321 взвешенной полезности 140, 141 взвешивания 42, 147 денежных потоков 316, 324, 325, 337 пенсионной программы (схемы) 326 страховой компании 317

доходности инвестиций 51, 52, 64, 65, 222—225, 237, 358 зарплат 357

индивидуального риска 189 инфляции 236, 357

классической теории риска (Лундберга) 231, 285 коллективного риска 285 кредитного риска структурная 268, 319 логнормальная цен активов 222, 226, 260 нормальная цен активов (Башелье) 52, 64, 222

ожидаемой полезности 91,95

оценки фондовых активов 51, 54, см. также САРМ

пенсионной программы (схемы) 325, 354

принятия решений при неопределенности 38, 162

ранговой полезности 145

риск-нейтральная 258

страхового резерва 189, 210, 227, 286, 317

сценарная 321, 330

Уилки 236

де Финетти 210

САРМ 51-56

RiskMetrics 64

Монотонность относительно стохастического доминирования 30, 32, 56—62, 75, 133, 150

Нагрузка, см. Структура страховой премии Нейтральность к риску 102, 258 Неопределенность 8, 38—47 вероятностная 38—47 интервальная 42 Неприятие потерь 103, 178 Неприятие риска 31,58, 102, 118, 119, 143, 159, 183 Неравенство

Йенсена 101, 107 Лундберга 289 Нетерпение 21, 25

Нормативный подход 14,45,126,132

Обратная связь 37, 321, 322, 329, см. также Управление

Обратное значение 339

Оптимальное страхование, см. Теорема Эрроу

Оптимизация 17

динамическая 37 многокритериальная 18, 35 по частным критериям 18,35 Опцион 241

американский 242 барьерный 241 европейский 242 колл 242

на активы с дивидендами, индексы, валюты, фьючерсы 280 пут 242

синтетический 274

Опционные стратегии 278, 279, 283, 284 Отношение

к деньгам 128 к риску 98 к случайности 128 предпочтения 15 сравнительной вероятности 168 Шарпа 55, 56 Парадокс

Аллэ 122, 182, 185 межвременного выбора 135—137 одинакового отношения 125 переворота предпочтений 131 петербургский 91

спроса на страхование (Моссэна) 129, 130 теории риска (де Финетти) 211 Эллсберга 174

Паритет цен опционов 247, 281

Пенсионная программа 325 Перераспределение риска 189 Перестрахование 108, 109, 191 Платежеспособность страховщика 319 Плотное по упорядочению подмножество 17 Плотность распределения 338 Подстроечный коэффициент 287, 290, 313 Поиск риска, см. Любовь к риску Полезность

взвешенная 140, 141 дисконтированная 25 линейная 96 локальная 150 ожидаемая 92, 95

субъективно взвешенная 166, 170, 171 ранговая 145, 178, 179 с зависимостью от состояний 173, 174

Полнота

упорядочения 15 рынка 257 Портфель

безрисковый 244, 248 оптимальный 55, 111, 113 рыночный 54, 55 самофинансируемый 271 хеджирующий 270,271 эффективный 53

Предпочтение, см. Отношение предпочтения Премия за риск 23, 268

Принцип

инвариантности Донскера — Прохорова 217 оптимальности Веллмана 36, 114 уменьшения маргинальной полезности 18 Приращение процесса 208 Производные инструменты, см. Деривативы Производящая функция моментов 341 страхового убытка 294, 295, 304 Проспект, см. Теория проспектов Процент 369

простой 369

сложный 22, 223, 282, 369 Процентная ставка 369, см. также Доходность Процесс

броуновского движения 215,218 геометрического 226 винеровский 215 Ито 220

пуассоновский 349 риска 286

случайного блуждания 209 геометрического 253 случайный 208, 349 убытков 285 ARMA 231

Прямая фондового рынка 55 Пучок траекторий, см. Траектория Разорение, см. Вероятность разорения Ранг 145, 179

Распределение вероятностей биномиальное 315, 345 Вейбулла 83

гамма 57, 303, 309, 310, 343 Гумбеля 83 логнормальное 342 нормальное 341

отрицательное биномиальное 298, 315, 345

Парето обобщенное 83

пуассоновское 344

равновесное 233

равномерное 311,344

решеточное 99, 150

симметричное 339

сложное

отрицательное биномиальное 303,304 пуассоновское 294 смешанно-пуассоновское 303 смешанное пуассоновское 297 Фреше 83

экспоненциальное 290, 344 экстремальных значений 83 эллиптическое 112 Рациональность выбора 14,122 Реакция 324 Редукция 134,166 Риск 8

Риск-менеджмент 64, 89, 269, 276 Риск-нейтральность 254—260 Рисковая надбавка 129, 191, 195, 199, 202, 288 Рыночная цена риска 55

Свертка 347

Сила роста 369, см. также Доходность Ситуационный анализ 324 Смайл 265

Случайная величина 41, 338 смешивающая 297 Случайная ломаная 209

Случайное блуждание, см. Процесс случайного блуждания

Собственное удержание 109

Состояние природы 39—47, 162, 168

Спекулянт 242

Спот-цена 246

Спрэд

быка 278

кредитный 24, 268 медвежий 283

Статистический эксперимент 38 Степенная нормальная аппроксимация 68, 305 Стоп-лосс 108, 109

Стохастический дифференциал 219, 367, 368 Стохастическое дифференциальное исчисление 218 Стохастическое дифференциальное уравнение 219, 225 Стохастическое доминирование первого порядка 30 второго порядка 32 Стратегия 37, 212, 322 Страхование 105, 134, 189,285 автомобилей 198 вероятностное 130,138 взаимное 189

в модели ожидаемой полезности 105— 110, 117

долгосрочное 191

жизни 191

краткосрочное 191

медицинское 307

оптимальное 109

портфелей 274

пропорциональное 109, 129, 130, 199 рисковое (non-life) 191, 292—294 Страхователь 105, 190, 307 Страховая надбавка, см. Рисковая надбавка Страховая премия 105,190 брутто 105, 191 нетто 191

Страховая сумма 199 Страховое возмещение 190 Страховой случай 190 Страховой резерв 191 Страховой тариф 199 Страховой убыток 191

единичный (отдельный) 286, 303 суммарный 193, 286, 292 Страховой фонд 191 Страховщик 107, 190 Субаддитивность 73,107 Сумма под риском 62, 194, см. также VaR

Сходимость случайных величин и распределений 86, 95, 218, 347 Сценарий 18, 39—47, 168, 330, см. также Метод сценариев Тарифная ставка, см. также Страховой тариф

Теорема

об аппроксимации хвоста 84 об исчислимости предпочтений 17 о взвешенной полезности 142

о виде критериев со свойством “промежуточности” 143 о дисконтированной полезности 26, 27 о дисконтированной стоимости 25 о когерентных мерах риска 79 о ранговой полезности 149 об ожидаемой полезности 95 о свойствах функции полезности денег 101 оценки активов фундаментальная 257 Сэвиджа о субъективных вероятностях 169 Сэвиджа об ожидаемой полезности 171, 172 Фишера и Типпета 82 Эрроу об оптимальном страховании 109 Теория, см. также Модель Бернулли 91 Блэка — Шоулза 260 деривативов 240 ожидаемой полезности 91 портфелей 50, 57 проспектов 158, 176

кумулятивная 176, 179 параметрическая 179 риска в страховании 189, 285 риска классическая, см. Модель Лундберга субъективных вероятностей 161—172 экстремальных значений 81 Траектория 208, 215, 216, 226, 323, 353

Транзитивность 15

Тяжелый хвост 57, 61, 70, 81, 83—85, 226, 265, 307, 309, 310 Упорядочение 15 Управление 37,322

портфелем 359, см. также Выбор портфеля рисками, см. Риск-менеджмент Уравнение Веллмана 114,213 Уровень значимости 62 Форвард 240, 243, 245 Форвардная цена 245 Формула

Блэка — Шоулза 261, 262, 281 Ито 220,221,367,368 полной вероятности 346 полного математического ожидания 346 Функция

весовая 145 плотности 338

полезности 16,18,42,93, см. также Критерий аддитивно-сепарабельная 20 денег 92, 93, 121 квадратичная 106, 121 Кобба — Дугласа 19

логарифмическая (Бернулли) 92, 96, 114, 128

локальная 151

степенная 117, 121

Стоуна — Джири 19

экспоненциальная 111,121

HARA 121

распределения 338, см. также Распределение эмпирическая 351 ценности 178 Фьючерс 245—247, 275 Фьючерсная цена 246 Хеджирование 242, 270 Цедент 108

Целевая функция 322, см. также Критерий Цена исполнения 242

Центральная предельная теорема 86, 193, 214, 218, 222, 223, 348 Шок 324, 357 Шум 224, 232-238 белый 234

Экспериментально выявленные предпочтения 46, 103—105, 122, 124—136, 175,183

Экстремальные события 80, см. также Теория экстремальных значений Эффект

одинаковой разности 136 одинакового исхода 124, 176,186 одинакового отношения 125 определенности 124, 126 отражения 103 представления 105, 132

Эффективный фронт, см. Граница эффективности

АР? 355

САРМ 51

CFRM 331, 354

DEaR 64

DerivaGem 262

Equity premium puzzle 129, 183

Е?Т 81

RiskMetrics 64, 276 NPV 23 PV 22

Sure thing principle 172 TCE 71

VaR 62-65, 85, 89-90, 194, 276 абсолютная 89 историческая 68 модельная 68 относительная 89 параметрическая 66—68

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.5. ?(АФВ)^?(АФЕ_?т) = ?(Е_?юФЕ_?т) = ?(Е_?ІЛт,₎) = ?(А)+?(В) (первые два равенства по (Н) и (С), третье очевидно, четвертое по (С)). 1.7. (а) F₂>_lF_l‘, (б) F₄^,F₃; (в) F₅ (г) F₆ ^„F₇. 1.8. Да.

al{m_x-r_f)

2.3. Ь*=-

— 2.4. (а) 50,34%; (б) 58,68%.

<7[(^т2-^Г/) ⁺ <^Т2(^т1~^Г/)

2.8. Ф, >-„Ф₂, ^если Щ - ^т2> ^а\-^а2 ^и °Д^{Н0 из этих} неравенств строгое.

<7,т. - а,т

_ is 2 1

2.10.

Уг ^=х +

У\ = * +

где р

лІРй-р) ’

лІРй-р) ’

найдено в примере. 2.13. Минимизировать потери в наихудшем случае — то же самое, что максимизировать прибыль в наихудшем случае. Последнее, в терминах примера 2.2, означает максимизацию U при фиксированном S, что в свою очередь эквивалентно максимизации V. 2.14. 64,68%. 2.16. Ь* — решение квадратного уравнения АЬ² + ВЬ + С = О, mcA = (m,-m₁)²(af+a²2)-[a_r(af+c^)]², 5=-2^[o?(of+д$)-(щ-mj²], С = (m, -т₂)²cr² -а²(Т₂.2.17. 12,6%. 2.18. а, б, г, ж.

3.3. Например, X принимает значения 100, —100, 0 с вероятностями 1/200, 1/200, 99/100 соответственно; Y принимает значения 4, —4, 0 с вероятностями 1/4, 1/4, 1/2 соответственно; м(-100) = -400, м(100) = 200, м(0) = 0, м(-4) = -15, м(4) = 9. 3.4. Потому, что нормальная величина с большей дисперсией “хуже” в смысле стохастического доминирования II по-рядка. 3.9. 20/л/з. 3.10. 8,16 долл. 3.11. Стоп-лосс с d = (100->/і0Р). 3.13. (а) l/w;(b) (l-or)/w;(c) а; (d) 2a/(l-2aw); (е) a{\~Y)l{aw + b).

4.1. 0,2. 4.2. (D). 4.4. 693 долл.

6.6. Таблица выигрышей (в млн. долл.). Состояние природы ⁵г Вероятность 0,01 0,89 0,1 Альтернатива А 1 1 1 Альтернатива В 0 1 5 Альтернатива С 1 0 1 Альтернатива D 0 0 5 6.8. Нет, не является. 7.2.0,682 7.3. 0,45118. 7.4. 0,186. 7.5. U(c) =л[с(Р(1 + 8)-т_х +0^)-/>2 +bU + с = 0, где а = (1 + т_г)²-сс^о^, b = -2(1 + т_г )пт, с - п²т² - а_уп<У².

8.2. Решение. Рассмотрим случайные блуждания ?₍^(я) с приращениями А|^(л> - ^ а(Аі)' _где kt)l{CF²(t)At) = ₀(і). Тогда |^(я) удов-

' 4\+_гт

летворяет (8-9). Положим де^(я)= _и = . . Име-

у/l + rW ^Ь‘ 4і + у( At)

ем sup,_sr ||₍^<я) - ?^(я) < sup,_sr ||₍^(я) - + sup,_sr ||'_|^<я) - ?^(я) I < о(1) +

⁺Х,_?г|^АіГ⁾-^А^^(Я)| ⁼ °(¹) ⁺ (^{1 +} ?'(^А0)"^1/2«И(А0|->0, где At = T/n,

или n = T/At. 8.3. Если [г, < s, < r₂ < s₂ ], то cov^ - ^^ j = = <7² [r₂ - 5, ]. 8.4. (a) 0,324; (6) 0,295; ожидаемое значение 64,997.

9.6. 2,17. 9.7. 2,09; 2,73; 2,47. 9.9. Да (используйте биномиальную модель). 9.10. 4,35; 4,52.

где

іодо. е

A = A'tj.

Шоломицкий, А. Г.

Ш78

Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска [Текст] : учеб, пособие для вузов / А. Г. Шоломицкий; Гос. ун-т — Высшая школа экономики. — М: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. — 400 с. — (Учебники Высшей школы экономики). — Библиогр.: с. 372— 380. — Предм. указ.: с. 381— 397. — 2000 экз. — ISBN 5-7598-0280-1 (в пер.).

Данное пособие представляет собой обзор современных идей, теорий и методов оценивания и моделирования риска и принятия решений при неопределенности. При изложении используются по возможности простые математические средства. Книга может служить введением в такие области, как экономическое поведение при неопределенности, моделирование рисков в страховых и пенсионных схемах и в фиивнсах.

Для студентов старших курсов (в том числе студентов магистратуры) и аспирантов экономических, экономико-математических и финансовых специальностей.

УДК 330.4(075) ББК 65.050

Учебное издание

Серия “Учебники Высшей школы экономики”

Шоломицкий Алексей Геннадьевич

Теория риска.

Выбор при неопределенности и моделирование риска

Редактор О. В. Осипова Художественный редактор А.М. Павлов Компьютерная верстка и графика Л. А. Моисеенко

ЛР № 020832 от 15 октября 1993 г.

Подписано в печать 02.06.2005 г. Формат 70x100 '/іб.

Печать офсетная. Гарнитура T-Times ЕТ. Бумага офсетная.

Уч.-изд. л. 21,2. Уел. печ. л. 32,25. Тираж 2000 экз. Заказ № 3164. Изд. № 355

ГУ ВШЭ. 125319, Москва Кочновский проезд, д. 3 Тел./Факс: (095) 772-95-71

Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Книжная фабрика № I»,

144003, г. Электросталь, Московская область, ул Тевоояна, л 25



IВиленский, Липшиц, Смоляк, 2002, таблица 11.11. Таблицы для подобных оценок, конечно, строятся чисто эмпирически.



Строго говоря, следует определить три функции, одну на А, другую на случайных величинах, третью на распределениях. Условимся обозначать все три одной буквой V.



Читатель, заинтересонанный и более подробном изложении, может обратиться, например, к книгам Шарпа [Sharpe, 1994|, Шиедопа [Шиедоп, 19991, Пэнджера |Panjeг, 1998), Крушиица |Крушииц, 2000|.



Нормальное распределение — только приближение для распределения доходностей г*. Оно не может быть вполне точным, например, потому, что нормально распределенная доходность с положительной вероятностью меньше —1. Однако для доходностей за небольшие промежутки времени при реалистичных параметрах эта вероятность обычно мала. Она может быть не мала только в случае, когда среднеквадратическое отклонение доходности значительно по сравнению с ее средним. В практических задачах в этом случае обычно лучше подходят к данным другие распределения, например логнормальное со сдвигом.



См. I Introduction, 19951; по поводу концепций см., например: |Phelan, 19951. Различные материалы и ссылки можно найти на сайтах: www.riskmetrics.com;.



Чаще, однако, волатильностью называют среднее квадратическое отклонение годовой доходности с непрерывным начислением, см. главы 8 и 9.



' Строго говоря, для нормальности г нужно предположить, что совместное распределение слагаемых r_tі и г₂ нормальное. См. сноску на с. 52.



Здесь наилучшим образом подошло бы английское слово “unit”, которое может обозначать как организационную единицу, так и единицу ресурса.



Более простое наложение теории когерентных мер риска можно найти п статье Мейерса |Meyers, 2000].



То есть: F_x >- _tF_r => R(X) > R(Y).



Для математически подготовленного читателя скажем, что этот результат спра-недлиа не только для конечного, но и для произвольного S. В этом случае л следует понимать как пероятностные меры на S.



См. сайт: .



Теорема Фалеса.



Однако он соглашался сыграть в 100 таких игр. Такое поведение можно объяснить ожидаемой полезностью, только если игры оцениваются не по одной, а все вместе или, по крайней мере, по несколько сразу. О такой стратегии говорят как о “близорукой” (myopic) [Bernartzi, Thaler, 1995]. См. также упражнение 3.1.



По поводу обзора см., например: [Machine, 1987|.



Этот пример говорит еще о том, что в условиях рынка предпочтения должны быть транзитивны, так как существуют цены. По этим соображениям некоторые экономисты считают, что “перевороты предпочтений” в экспериментах могут рассматриваться как следствие “неопытности и недостаточной мотивации” [Starmer, 20001.



Формула крайней пессимистической позиции — знаменитый закон Мерфи: “Если что-то плохое может произойти, оно происходит”.



Пример этого упражнения был предложен студентом ГУ ВШЭ С. Бедеропым.



Мы избавимся от этого ограничивающего предположения в главе 10.



Или ответственности перед третьими лицами. В случае аварии страхование покрывает ущерб, нанесенный страхователем третьим лицам.



Бруно де Финетти (de Finetti) — итальянский математик XX в.



Аналитически проверить эти условия нелегко. Однако установлено, что это так для достаточно широкого класса плотностей f(x).



К. Ито (По) — японский математик XX в.



Бескупонная (дисконтная) облигация — ценная бумага, обещающая иыплату определенной суммы (номинала) и момент погашения, без выплаты каких-либо других сумм. Весь доход от владения такими бумагами получается за счет того, что они покупаются по цене ниже цены погашения (номинала).



Мы используем такую “стандартизацию” для удобства. На самом деле опционы и другие производные контракты заключаются обычно, например, на 100 акций или другое стандартное количество.



В частности, можно предполагать, что и обеспечение маржи можно нносить без-рископые облигации. Это допускается, однако, не на исех биржах.



Эта программа создана компанией A—J Financial Systems для сопроиожденин учебника Дж. Халла [Hull, 2002|, см.: .



Данные с сайта управляющей компании УРАЛСИБ, . Ны



нешнее название фонда — Фонд перспективных вложений.



ГКО представляют собой бескупонные (дисконтные) краткосрочные облигации. Дефолт 1998 г. поставил “беэрисковость” этих бумаг под сомнение.



Быком традиционно называется инвестор, рассчитывающий получить прибыль от повышения котировок; медведем — рассчитывающий на прибыль от их понижения.



Строго гоиоря, под моментом пояшіения убытка можно понимать различные моменты: физический момент страхового случая, момент предъявления претензии (claim) страховщику, момент выплаты страхового возмещения (урегулирования претензии). Здесь эти различия игнорируются.



Операция спертки определена в разделе 12.1. Свертка распределений независимых случайных величин дает распределение их суммы.



Гистограмма на рис. 10.56 кажется более соотпетствующей естественным биологическим законам. Закон “равномерной выписки” из больниц в течение 3-недельного срока связан, видимо, с существующей врачебной практикой, как и само наличие 3-недельного “рубежа”. Основная масса больных, кроме тяжелых случаев, “обрабатывается” больницей в пределах этого “планового” срока и выписывается. Читатель может попытаться придумать модель выписки, порождающую такое равномерное распределение.



Согласно I Dynamic Financial Analysis Committee, 1999|. Американское общестію актуариеи рископого страхопании (Casually Actuarial Society) создало портал, посиященный динамическому финансовому анализу, где читатель может найти много дополнительной информации ().



Эту программу с полным описанием модели можно найти на сайте ГУ ВШЭ: .







    Биржевая торговля: Управление капиталом - Портфель - Риск - Страхование

• Теория управления капиталом
  
• Позиция как управление капиталом
  
• Правила управления капиталом
  
• Торговля и управление капиталом
  
• Управление капиталом в России
  
  
• Управление портфелем
  
  
• Управление риском
  
• Управление риском на рынках
  
• Методы управления риском
  
• Финансы и управление риском
  
  
• Страхование
  
• Риски страхования
  
• Российское страхование
  
• Страхование финансов
  
• Виды страхования