Новоселов А.А. - Основные понятия теории риска


1 Введение

Трудно, пожалуй, указать такую область человеческой деятельности, в которой возможны абсолютно точные и определенные предсказания будущих событий. Неопределенность может быть связана с самим фактом наступления событий, временем их наступления, количественными характеристиками событий и т.д. Несмотря на наличие такой неопределенности, мы вынуждены ежедневно принимать решения, рискуя, конечно же ошибиться, поскольку на результаты наших решений оказывают влияние не только сами решения, но и многие внешние факторы, которые мы будем объединять под понятием "состояние окружающей среды".

Теория риска - суть теория принятия решений в условиях вероятностной неопределенности. В настоящей лекции вводятся основные понятия теории риска и рассматриваются некоторые типичные задачи и области приложений.

2 Основные понятия

В данном параграфе рассматриваются некоторые базовые понятия теории риска [1].

2.1 Проблема принятия решения

Пусть S - множество всевозможных состояний окружающей среды, D - множество всевозможных решений, R - множество результатов. Если принято решение d GD, а среда находится в состоянии s ? S, то решение приводит к результату r ? R, который вычисляется по формуле r = G(s, d), то есть, является значением отображения G :

S х D ^ R.

На множестве результатов R, как правило, задан некоторый естественный порядок или отношение предпочтения А, так что доя любой пары результатов r1, r2 ? R можно сказать, какой из них лучше: r1 А r2 или r2 А п, или же они одинаково предпочтительны: ri А r2 и r2 А щ. Если бы любое наше решение d ? D приводило к вполне определенному результату r = G(d) ? R, то, сравнивая между собой результаты G(d1),G(d2), мы могли бы тем самым сравнивать и решения d1 ,d2, выбирая лучшее из них. Поскольку, кроме собственно решения, на результат влияет и неопределенное состояние среды, проблема принятия решения усложняется.

Пусть S снабжено а - алгеброй А и вероятностной мерой PS так, что тройка (S, А, PS) образует вероятностное пространство, являющееся моделью неопределенности окружающей среды. Пусть, кроме того, R также снабжено а - алгеброй B, так что пара (R, B) образует измеримое пространство. Будем считать, что при любом фиксированном d ? D отображение Gd : S ^ R, задаваемое формулой Gd(s) = G(s, d), s ? S, является измеримым относительно пары а - алгебр А, B (этого всегда можно добиться выбором достаточно богатой а - алгебры А). При этом Gd задает на (S, А, PS) случайный элемент, который порождает на (R, B) вероятностное распределение Pd:

Pd(B) = Ps(G-1(B)), B ? B.

Для дальнейшего построения теории не важно, как появляются распределения Pd на (R, B), поэтому будем просто считать, что задано семейство распределений

= {Pd, d ? D},

и в дальнейшем не будем рассматривать в явном виде S.

Видно, что каждое решение d приводит не к какому-то определенному результату r ? R, а к некоторому распределению на R. Поэтому для сравнения решений недостаточно порядка (предпочтения) на R. Необходимо задать порядок на множестве распределений.

2.2 Риск

Обозначим P совокупность всевозможных вероятностных распределений на (R, B).

Определение 2.1 Риском называется любое распределение P ? V.

Если множество результатов лежит в множестве вещественных чисел: RC R, то рисками являются распределения случайных величин, которые можно отождествлять с функциями распределения на вещественной прямой [2]. Другими примерами рисков могут служить распределения случайных векторов в R”, случайных процессов [2], случайных множеств [3].

Ясно, что совокупность распределений Vv, порождаемых решениями, лежит в V. Для сравнения различных решений достаточно научиться сравнивать распределения из V (риски). Для этого оказывается более естественным использовать не отношение порядка, а отношение предпочтения, поскольку существенно различные риски могут оказаться "одинаковыми"с точки зрения их качества в задаче принятия решения.

2.3 Отношение предпочтения

Напомним понятие предпочтения [4].

Определение 2.2 Говорят, что на множестве R задано отношение предпочтения, если это отношение обладает свойствами

а) полноты: для произвольной пары r1,r2 ? R выполняется либо r1 Ч r2, либо r2 Ч r1, либо справедливы оба этих соотношения;

б) транзитивности: если r1 Ч r2 и r2 Ч r3 то r1 Ч r3.

Элементы r1,r2 ? R, для которых верно r1 Ч r2, r2 Ч r1, объявляются эквива

лентными: r1 ~ r2. Нетрудно проверить, что заданное таким образом отношение в действительности является отношением эквивалентности, то есть обладает свойствами симметричности, рефлексивности и транзитивности [4].

Вводится также отношение строгого предпочтения -^, определяемого следующим образом:

r1 ^ r 2 r1 Ч r 2, r 2 Ч r1.

Часто удобно использовать также имеющие очевидный смысл обозначения >; и у.

2.4 Мера риска

Одним из способов задания отношения предпочтения на множестве рисков V является введение меры риска: функционала на V.

Определение 2.3 Мерой риска называется функционал

у : V^ R. (1)

Как только определен функционал вида (1), порожденное им отношение предпочтения может быть задано одним из следующих способов:

(2)

(3)

P1 Ч P2 y(P\) < МРг)

или

P1 P2 у(Р1) > у(P2)

(см. упражнение 4.1).

Применение произвольного функционала ц в задачах принятия решений скорее всего, конечно, приведет к плачевным результатам. "Хорошая"мера риска должна отражать отношение предпочтения индивидуума (или организации), в интересах которого принимается решение. В частности, она должна быть монотонной относительно естественных порядков на множестве рисков P [4]. Эти проблемы будут подробно освещены в последующих лекциях, здесь же приведем некоторые примеры мер риска для вещественных распределений.

2.4.1 Примеры мер риска

Пусть RC R, тогда P представляет собой совокупность функций распределения на R. Древнейшей мерой риска является, по-видимому, математическое ожидание

e(F) = Г xdF(x), F eP. (4)

J — ГО

Эта мера риска, по существу, используется до сих пор, когда решения принимаются на основании средних значений, то есть, неопределенность игнорируется. Если неопределенность состояний среды значительна, такой способ принятия решений приводит к большим, иногда катастрофическим, ошибкам.

Другим примером может служить дисперсия распределения

5(F) = Г (x — e(F))2 dF(x), F e P. (5)

J — ГО

Эта мера риска позволяет уже по существу учитывать неопределенность; на ее основе были построены теории Марковица [5], а также развившая ее САРМ (Capital Asset Pricing Model) Шарпа.

Можно ввести также смесь ей 5



где в - взвешивающий параметр.

В современных приложениях активно используется мера ожидаемой полезности

/ГО



-ГО

где U - некоторая вещественная функция.

Недавно была предложена перспективная мера возмущенной вероятности [б], [7]





где g : [0,1] ^ [0,1] - функция, обладающая свойствами g(0) = 0, g(1) = 1.

В приложениях активно используется мера риска ?, называемая VaR (Value at Risk), которая представляет собой квантиль распределения заданного уровня а:

Эта мера риска является частным случаем (8), и получается из последней при выборе

v < 1 — a, v > 1 — a. (10)

Отметим, что меры риска ей 5 жестко фиксированы, меры 7 и ? обладают некоторой гибкостью: в них можно выбрать значение параметров а и в а меры риска р и п обладают уже значительным запасом гибкости, что позволяет настраивать эти меры риска на определенного инвестора.

3 Типичные приложения теории риска

Рассмотрим теперь некоторые типичные приложения теории риска.

3.1 Портфельный анализ

Пусть X = (X1,..., Xn) - случайный n-мерный вектор, компоненты которого описывают доход, получаемый от размещения единичного капитала в некоторые инвестиционные инструменты. Задача портфельного анализа заключается в определении наилучшего (в смысле заданного отношения предпочтения) способа распределения единичного капитала между этими инструментами. В предположении линейного характера зависимости дохода от размера инвестированного капитала, доход от составленного портфеля можно записать в виде

Y = yiX1 + ... + VnXU,

где y = (y1,... ,yn) - вектор долей единичного капитала, вложенного в соответствующие компоненты X.

Описанную ситуацию можно формализовать в виде задачи принятия решения следующим образом. Множество состояний среды S совпадает с Rn (или некоторой его частью) - совокупностью всевозможных значений вектора X. Структура вероятностного пространства на нем задается борелевской a-алгеброй и распределением случайного вектора X. Множество решений D имеет вид

П

D = {y = (yi,...,yn) € Rn| yi > 0,...,yn > 0;J2 yi = 1}>

i=1

то есть является стандартным симплексом Rn. Множество результатов R лежит в R, каждый риск есть функция распределения FY случайной вели чины Y - дохода портфеля. Отношение предпочтения на P задается с помощью какой-либо меры риска, а принятие решения есть выбор точки стандартного симплекса D, обеспечивающей экстремальное значение этой меры риска. Поскольку распределение Y зависит от выбора вектора y € D, значение меры риска на этом распределении также оказывается функцией этого вектора долей: p(FY) = f (y), поэтому задача оптимизации портфеля записывается в виде

f (y)

—> max ( min ). yev yev

(И)

3.2 Страхование

Типичной задачей в страховании является расчет размера страховой премии при заданном распределении FY будущего страхового убытка Y. Решение этой задачи также сводится к выбору некоторой меры риска д с тем, чтобы вычисление размера страховой премии P производилось по формуле

P = A(Fy). (12)

Подбор подходящей меры риска д для решения этой задачи до сих пор является предметом оживленных дискуссий [б], [8]; в последующих лекциях эта проблема будет рассматриваться подробнее.

4 Упражнения

Упражнение 4.1 Доказать, что (2), (3) в действительности задают отношения предпочтения в смысле определения 2.2.

Упражнение 4.2 Для a Е R обозначим, Wa случайную величину, вырожденную в точке a P{Wa = a} = 1 а для a,b Е R, a < b, p Е [0,1] обозначим, B(a,b,p) бернулллиевскую случайную величину

P{B(a, b,p) = a} = 1 — p, P{B(a, b, p) = b} = p.

Вычислитъ значения мер риска е, 5, ц, р, п и ? на распределениях этих случайных величин. Уточнитъ определения квантиля распределения (9) так, чтобы, оно годилось для разрывных функций распределения. Используя проведенные вычисления, предложитъ тип экстрем,ум,а, который, нужно прим,снятъ с каждой, из этих мер риска, в задаче оптимизации, портфеля, (11).

Упражнение 4.3 Доказать, что (9) является, частным, случаем, (8), получающимся при задании, функции, g в виде (10).

Упражнение 4.4 Показать, что если, м,ера, риска, д является, монотонной относительно порядка, <, то порожденное д отношение предпочтения, согласовано [Де порядком, <.

Список литературы

[1] Новоселов А. А. (2001) Математическое моделирование финансовых рисков. Теория, измерения. Новосибирск: "Наука", (в печати)

[2] Боровков А.А. (1986) Теория вероятностей. М.: "Наука", 432 с.

[3] Воробьев О.Ю. (2000) Случайные конечные абстрактных множества. Новосибирск.: Наука, (в печати)

[5] НОВОСЕЛОВ А.А. (2000) Выбор инвестиционного портфеля. Лекция для студентов КГУ по теории риска,

[6] Wang, S. (1996) Premium calculation by transforming the layer premium density. ASTIN Bulletin, 26, pp. 71-92.

[7] Young V.R. (1999) Discussion of Christofides’ Conjecture Regarding Wang’s Premium Principle. ASTIN Bulletin, 29, 2, 191-195.

[8] Brill.MANN Hans (1970) Mathematical Methods in Risk Theory. Springer, Berlin.



Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036, Красноярск, Академгородок, е-mail: , т. (3912) 495382



НОВОСЕЛОВ А.А. (2000) Отношения. Лекция для, студентов КГУ по теории риска,



Полные тексты статьей из журнала ASTIN Bulletin доступны в интернете в формате PDF по адресу


    Биржевая торговля: Управление капиталом - Портфель - Риск - Страхование