Новоселов А.А. - Задачи по основам теории риска

Аннотация

Приведены задачи из различных отраслей математики, которые составляют базу для теории риска. Этот задачнвій минимум необходимо решитв всем студентам, желающим специализироватвся в данной области.

1 Задачи

Задача 1 Пусть компоненты случайного вектора (X,Y) имеют следующие (бер-нуллиевские) маргинальные распределения:

P(X = 1) = 1 - p, P(X = 3)= p, P(Y =1) = 1 - q, P(Y = 2) = q,

где p,q Е [0,1] - параметры распределений. Найти распределение случайной величины, Z = XY в случаях, когда:

a) компоненты X,Y независим,ы;

b) компоненты X, Y зависимы,.

Если X и Y независим,ы, то что можно сказать о зависим,ости (независимости) X и Z? Y и Z? Возможна ли ситуация, при которой X uY зависимы, а, X и Z независимы?

Задача 2 Решить задачу, аналогичную задаче 1, для случайной величины

Z = Y/X.

Задача 3 Решить задачу, аналогичную задачам, 1, 2, для случая, когда маргинальные распределения X uY равномерны на, [0,1]. Кроме того, привести пример совместного распределения (X,Y) с равномерными маргинальными, при котором, распределение Z = XY также является, равномерным на, [0,1], или доказать, что такое совместное распределение не существует.

Задача 4 Пусть X, Y имеют дискретные распределения

P{X = 0} = P{X = 1} = P{X = 2} = 1/3.

P{Y = 0} = P{Y =1} = 1/2,

Построить совместное распределение (X, Y) так, чтобы, оно им,ело заданных маргинальные распределения, и X,Y были комонотонными (см,, определение 1).

А. А. Новоселов

Задача 5 Дать определение антикомонотонных случайных; величин. Построитъ совместное распределение для X, Y из задачи 4 так, чтобы, X, Y были антикомо-нотонными в соответствии с данным определением.

Задача 6 Рассмотрим множество А случайных величин X с конечным вторым моментом EX ² < ж. Рассмотрим дисперсию случайной величины X, как функцию на А: f (X) = DX, X Е А. Доказать, что А выпукло в линейном пространстве всех вещественных случайных величин. Является ли функция f выпуклой? строго выпуклой? вогнутой? строго вогнутой?

Задача 7 Пустъ заданы, маргинальные распределения, как в задаче 4¦ Найти максимальное и минимальное значение ковариации X,Y и совместные распределения, на которых достигаются эти экстремумы.

Задача 8 На множестве неотрицательных целых чисел, N = {0,1, 2,...} задана, функция,

XX

^{f (x)} = г, ^{x eN}, x!

где X = 0 - вещественный параметр. Найти максимальное значение f и множество точек N С N, на, которых этот максимум достигается.

Задача 9 Пусть Q - множество функций распределения G на, квадрате S₂ = [0,1] х [0,1], имеющих равномерные маргинальные распределения:

^G(x, ¹⁾ = x^,G(1,y)= y; х,у ^{Е [0,1]}.

а) Вы,числитъ функции

inf ^G(x,y⁾; ^x,y ^{Е S}2¦ aeg

U^(х,у) = sup ^G(x,y⁾, L^(x, у⁾aeg

б) Являются, ли U и L функциями распределения на S₂?

в) Являются, ли U и L элементами G ?

г) Изобразить графики функций U и L.

д) Вы,числить интеграл,

I ^[U(x,y^{) - L(x,}y^{)] dx}dy.

е) Привести пример функции распределения H Е G, отличной от U и L, и удовлетворяющей условию

^L(x, y) < ^H(x, y) < ^U(x, y). (1)

ж;) Существует л,и функция распределения H на, S₂ такая, что выполнено (1) и H EG?

Задача 10 Сформулировать и решить аналогичную задачу на, S_n = [0,1]ⁿ.

Задача 11 Производителя чая "Беседа"решили завлечь потребителя непотребными средствами, и стали вклады,ватъ в каждую пачку чая игральную карту, наугад выбранную из колоды,. Любителю чая, собравшему полную колоду, обещан суперприз ... пачка, чая, "Беседа". Сколько пачек чая, в среднем нужно истребить, чтобы, заработать призовую? Решить задачу для колоды, из 32 и 52 карт.

Задача 12 Построить два, расходящихся, числовых ряда J2_k ^ak и J2_k b_k с монотонными положительными слагаемыми a_k > a_k+\ > 0 b_k > b_k+i > 0 k = 1, 2,... так, чтобы, ряд E_k c_k, где

Ck = min {ak, bk} , k =1, 2,...

сходился.

Задача 13 Для треугольника Паскаля, 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 вычислить определитель n x n, расположенный в левом верхнем углу, n = 1, 2,....

Задача 14 В дискретном метрическом пространстве (X ,d) описать а) совокупность всех открытых множеств; б) совокупность всех замкнутых множеств.

Задача 15 Пусть (Q, B, P) - вероятностное пространство. Зададим, на, B отношение эквивалентности

A - B P(AAB) = 0, A,B eB,

где А - операция симметрической разности множеств. Рассмотрим фактор - множество B множества B по этому отношению эквивалентности. Является, ли 13 а-алгеброй? Ответ обосновать.

Задача 16 Пусть случайные величины X и Y имеют равномерные распределения на отрезках [a, b] и [c, d\, соответственно, 0 < a
• Распределеuue S = XY, когда X, Y независим,ы.

• В рамках предыдущей модели: условное совместиое распределение X, Y при условии S < s, где ac < s < bd.

Задача 17 Для, вещественной случайной величины X определим функции распределения F_X, G_X и H_X следующим, образом,:

F_X(x) = P(X < x), —ж < x < ж,

Gx (x) = P(X < x), —ж < x < ж,

Hx(x) = ^(Fx(x) + Gx(x)), —ж < x < ж.

А.А. Новоселов

Известно, что F_X непрерывна справа, G_X непрерывна слева, и все три функции совпадают в точках непрерывности. Рассмотрим дискретную случайную величину X с распределением P(X = Xi) = p_i, i = 1,... ,n, где x₁ < ... < x_n, pi > 0, i =

1,... ,n, ^rp\ + ... + p_n = 1, и зададим, случайные величины

U = Fx(X), V = Gx(X), W = Hx(X).

Найти EU, EV, EW, DU, DV, DW.

Задача 18 (копула Франка). Задано семейство функций распределения двух переменных

(e^au - 1)(e^av - 1)

C ^(a)(u,v) = ^ln

(2)

u,v E [0,1],

e^a — 1

где а = 0 - па,рам,стр. Вы,числить функции

lim C^(a)(u,v), lim C^(a)(u,v), lim C^(a)(u,v).

a—» 0

a—>—oo

Являются ли они функциями распределения на [0,1]²?

Задача 19 (копула Кука-Джонсона). Задано семейство функций распределения двух переменных

n N ^a

J2^u~^{1/a - n} + n

(3)

C ^(a)(u_l,...,un)

U=1

где а > 0 - па,рам,стр. Вы,числить функции

lim C^(a)(u,v), lim C^(a) (u,v).

a^0 а^ж

Являются, ли они функциям,и распределения на [0,1]²?

2 Определения

Определение 1 Случайные величины X,Y называются комонотонными, если они имеют совместную функцию распределения

G(x,y) = P{X < x, Y < y},

и для, любой другой пары случайных величин X, Y, имеющей совместную функцию распределения

^F(x^,y⁾ = ^р{.^ < x^,Y < y^}с тем,и же маргинальными распределениями:

F(¦, то) = G(¦, то), F(то, ¦) = G(to, ¦)

выполняется неравенство

^F(x,y⁾ < ^G(x,У^{), x,}y ^{E R}.

Определение 2 Функция f, заданная на выпуклом множестве A линейного пространства, называется выпуклой, если

^f (Хх + (1 - X)y) < X^f (ж) + (1 - X)^f (y), x,y Е ^A, X Е (0,1)

и строго выпуклой, если

^{f (Хх} + ^{(1 -} X)y) < ^{Xf (х)} + ^{(1 -} X)^{f (}y), ^x,y ^{Е A}, ^{Х Е (0,1)}.

Определение 3 Метрическое пространство (X,d) называется дискретным, если X - произвольное множество, а метрика d им,ест вид

^d(x-^y)={°, X=y; ^x-^{y еХ}¦

Список литературы

[1] В.ФЕЛЛЕР (1984) Введение в теорию вероятностей и ее приложения- М.: "Мир", 1, 527 с.; 2, 751 с.

[2] Боровков А.А. (1986) Теория вероятностей. М.: "Наука", 432 с.

[3] Wang, S.(1996) Premium calculation by transforming the layer premium density. AST IN Bulletin, 26, pp. 71-92.

[4] Лоэв M. (1962) Теория, вероятностей. M.: Изд-во иностр. лит. - 720 с.

Институт вычислительного моделирования СО РАН, 660036, Красноярск, Академгородок, е-mail: , т. (3912) 495382

Биржевая торговля: Управление капиталом - Портфель - Риск - Страхование