ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

5.1. Классическая линейная регрессионная модель.

Предпосылки метода наименьших квадратов

Регрессионный анализ позволяет определить оценки коэффициентов регрессии. Но, являясь лишь оценками, они не позволяют сделать вывод, насколько точно эмпирическое уравнение регрессии соответствует уравнению для всей генеральной совокупности, насколько близки оценки Ьо и Ьі коэффициентов своим теоретическим прототипам Ро и Рі, как близко оцененное значение у_хк условному математическому ожиданию М(Y | X = х,), насколько надежны найденные оценки. Для ответа на эти вопросы необходимы определенные дополнительные исследования.

Как следует из соотношения (4.6), значения у, зависят от значений х, и случайных отклонений с,. Следовательно, переменная Y является случайной величиной, напрямую связанной с 8і. Это означает, что до тех пор, пока не будет определенности в вероятностном поведении s_b мы не сможем быть уверенными в качестве оценок. Действительно, можно показать, что оценки коэффициентов регрессии - случайные величины, зависящие от случайного члена в уравнении регрессии.

Рассмотрим модель парной линейной регрессии

Пусть на основе выборки из п наблюдений оценивается регрессия

Как показано в формуле (4.14),

У

что означает, что коэффициент Ьі также является случайным. В самом деле, значение выборочной ковариации S_xy зависит от того, какие значения принимают X и Y. Если X можно рассматривать как экзогенный фактор, значения которого известны, то значения Y зависят от случайной составляющей s,. Теоретически коэффициент Ьі можно разложить на неслучайную и случайную составляющие.

S_xy = COV(X, Po + PiX + s) = COV(X, Po) + COV(X, P!X) + COV(X, s).

=> S_xy = p,Sj +COV(X,e). (5.4)

Здесь использовались правила вычисления ковариации:

СО?(Х, Ро) = 0, т. к. Ро = const, СО?(Х, р_гХ) = РіСО?( X, X) = PiS^.

Следовательно,

b,=? = P, + |r. (5-5)

Здесь р_г - постоянная величина (истинное значение коэффициен-§

та регрессии), —у- - случайная компонента. Аналогичный результат

s;

можно получить и для коэффициента Ьо. Отметим при этом, что на практике такое разложение осуществить невозможно, поскольку неизвестны истинные значения Ро и р_ь а также значения отклонений для всей генеральной совокупности.

Итак, мы показали, что свойства оценок коэффициентов регрессии, а следовательно, и качество построенной регрессии существенно зависят от свойств случайной составляющей. Доказано, что для получения по МНК наилучших результатов необходимо, чтобы выполнялся ряд предпосылок относительно случайного отклонения.

Предпосылки МНК (условия Гаусса-Маркова)

1°. Математическое ожидание случайного отклонения р равно нулю: M(s) = 0 для всех наблюдений.

Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении случайный член может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения. Отметим, что выполнимость М(ер = 0 влечет выполнимость М(УІХ = = х,) = р₀ + р₁х„

2°. Дисперсия случайных отклонений ?, постоянна:

D(s) = D(sj) = ст² для любых наблюдений і и ).

Данное условие подразумевает, что несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть либо большим, либо меньшим, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение).

Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастич-ностъю (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностъю (непостоянством дисперсий отклонений).

Поскольку D(s,) = M(s, - M(s₁))² = M(ef), то данную предпосылку

можно переписать в форме: М(е²) = а².

Причины невыполнимости данной предпосылки и проблемы, связанные с этим, подробно рассматриваются в главе 8.

3°. Случайные отклонения ?, и ?_} являются независимыми друг от друга для і Ф].

Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Другими словами, величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения.

Выполнимость данной предпосылки влечет следующее соотношение:

О, если і ф j;

Уе^ =cov(e₁,e_J)

(5.6)

у , если i = j.

Поэтому, если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции. С учетом выполнимости предпосылки 1° соотношение (5.6) может быть переписано в виде: M(s₁8j) = 0 (і Ф j).

Причины невыполнимости данной предпосылки и проблемы, связанные с этим, подробно рассматриваются в главе 9.

4°. Случайное отклонение должно бытъ независимо от объясняющих переменных.

Обычно это условие выполняется автоматически при условии, что объясняющие переменные не являются случайными в данной модели.

Данное условие предполагает выполнимость следующего соотношения:

У _е._х. = со?(Еі, X,) = М((Еі - M(s₁))(x₁ - М(х,))) = M(s₁(x₁ - М(х,))) =

= M(s₁x₁) - M(8i) М(х,) = M(s₁x₁) = 0.

Следует отметить, что выполнимость данной предпосылки не столь критична для эконометрических моделей.

5°. Модель является линейной относительно параметров.

Теорема Гаусса-Маркова. Если предпосылки Г -5° выполнены, то оценки, полученные по МНК, обладают следующими свойствами:

1. Оценки являются несмещенными, т. е. М(Ь₀) =в₀,М(Ь₁) =Bj. Это вытекает из того, что М(е₁) = 0 и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.

2. Оценки состоятельны, т. к. дисперсия оценок параметров при

возрастании числа п наблюдений стремится к нулю: D(b₀) _п > 0, 0(6!) > 0. Другими словами, при увели

чении объема выборки надежность оценок увеличивается (Ьо наверняка близко к р_о, Ьц - близко к РД.

3. Оценки эффективны, т. е. они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров, линейными относительно величин у,.

В англоязычной литературе такие оценки называются BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) - наилучшие линейные несмещенные оценки.

Если предпосылки 2° и 3° нарушены, т. е. дисперсия отклонений непостоянна и (или) значения е _{, е. связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности - нет.

Наряду с выполнимостью указанных предпосылок при построении классических линейных регрессионных моделей делаются еще некоторые предположения. Например:

• объясняющие переменные не являются случайными величинами;

• случайные отклонения имеют нормальное распределение;

• число наблюдений существенно больше числа объясняющих переменных;

• отсутствуют ошибки спецификации;

• отсутствует совершенная мультиколлинеарность.

5.2. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

В силу случайного отбора элементов в выборку случайными являются также оценки Ьо и Ьі коэффициентов Ро и Рі теоретического уравнения регрессии. Их математические ожидания при выполнении предпосылок об отклонениях с, равны соответственноМ(Ъ₀) = в₀,

М(Ъ₁)=в₁. При этом оценки тем надежнее, чем меньше их разброс

вокруг Ро и Рі, т. е. чем меньше дисперсии D(bo) и D(bi) оценок. Надежность получаемых оценок, очевидно, тесно связана с дисперсией случайных отклонений с,. Фактически D(s,) является дисперсией D(Y IX = х,) переменной Y относительно линии регрессии (дисперсией Y, очищенной от влияния X). Полагая, что измерения - равноточные, можно считать, что все эти дисперсии равны между собой

(предпосылка 2°) D(s,) = у \ = а².

Приведем формулы связи дисперсий коэффициентов D(bo) и D(bi) с дисперсией а² случайных отклонений с,. Для этого представим формулы определения коэффициентов а и b в виде линейных функций относительно значений Y:

_{ь =} I (Xj - х)(_Уі - у) ₌ I (Xj - х)_Уі УІ (Xj - x) ¹ KXi-x)² KXi-x)² I(x, -x)²

_{b =} І(Хі-х)(_Уі-у) ¹ I(x_rx)²

I(x₁-x)y₁

KXi-x)²

T. K. Z(_Xl

x) = 0.

Введя обозначение с_х =

(^X! - X)

---_T, имеем:

KXi-x)²

(5.7)

bi=I c,y,.

По аналогии имеем:

bo =y-b!X= — -Ic₁y₁x = I(--c₁x)y₁.

Обозначив ф = — - CjX, имеем:

Так как предполагается, что дисперсия Y постоянна и не зависит от значений X, то с, и d, можно рассматривать как некоторые постоянные. Следовательно,

І(Хі-х)

D(b₀) = D(X d,y,) = a² X d² = o²X(- - c,x )² = о²Х(Д - ^ + c²x²) =

= g²( — - 0 + n

—\2

I(Xi -x)

) = g²(- +

—2 2-^2 X _ч У 2X

—x2 1

—\2

П I(Xj-x) nX(x, -x)

(5.10)

Из соотношений (5.10), (5.11) очевидны следующие выводы. Дисперсии Ьо и Ьі прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения а². Следовательно, чем больше фактор случайности, тем менее точными будут оценки.

Чем больше число и наблюдений, тем меньше дисперсии оценок. Это вполне логично, т. к. чем большим числом мы располагаем, тем вероятнее получение более точных оценок.

Чем больше дисперсия (разброс значений Х(х; - х)²) объясняющей переменной, тем меньше дисперсия оценок коэффициентов. Другими словами, чем шире область изменений объясняющей переменной, тем точнее будут оценки (тем меньше доля случайности в их определении).

Наглядное обсуждение этих выводов проведем чуть позже на основе следующих рассуждений.

В силу того, что случайные отклонения с, по выборке определены быть не могут, при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии они заменяются отклонениями е_х = у_{ - b₀ - bjXj значений уі переменной Y от оцененной линии регрессии. Дисперсия случайных

отклонений D(si) = а² заменяется ее несмещенной оценкой

2

s² =

-Ц- Ну. - Ьо - ь,х,)² = Щ-

п-2 п-2

Тогда

D(b_T) * =---у

¹ Кх.-х)²

D(b₀) * S(

S²Ix²

- = х² S²

ч2 ^Х

(5.11)

(5.12)

(5.13)

n-S(x₁ -хУ

необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой пе

ременной вокруг линии регрессии). Отметим, что корень квадратный

I У Q²

из необъясненной дисперсии, т. е. S = J-—, называется стандарт-

іі-2

ной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии).

S_bo = yS_bo и S_bj = -yS_b| - стандартные отклонения случайных величин Ьо и Ьі, называемые стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Объяснение данных соотношений имеет весьма наглядную графическую интерпретацию.

Коэффициент Ьі определяет наклон прямой регрессии. Чем больше разброс значений Y вокруг линии регрессии, тем больше (в среднем) ошибка определения наклона прямой регрессии. Действительно, если такой разброс совсем отсутствует (е, =0), то прямая определяется однозначно и ошибки при определении b и а не будет вовсе QX = 0 => S² = 0 => S_bo = S_b =0). Например, на рис. 5.1, а все наблюдаемые точки лежат на одной прямой (?ef = 0). Тогда через любой набор точек проводится одна и та же прямая. На рис. 5.1, б точки не лежат на одной прямой, но для трех точек прямая регрессии будет такой же (хотя отклонения от линии регрессии существенны), как и на рис. 5.1, а. Однако при исключении из рассмотрения любой из указанных трех точек прямые регрессии будут существенно отличаться друг от друга ((1, 2), (1, 3), (2, 3)). Следовательно, значительно различаются их углы наклона, а значит, стандартная ошибка S_b коэффициента регрессии Ьі будет существенной.

В знаменателе дроби (5.12), определяющей значение S_b , стоит сумма Х(хі - х )² квадратов отклонений х, от среднего значения х. Эта сумма велика (а следовательно, вся дробь мала, и дисперсия S_b оценки меньше), если регрессия определяется на широком диапазоне значений переменной X.

Например, на рис. 5.2 через пары точек (1, 3) и (2, 3) проведена одна и та же прямая. Но диапазон (1,3) шире диапазона (2, 3). Если вместо точки 3 рассмотреть либо точку З_а, либо З_б(т. е. при случайном изменении выборки), то наклон прямой для пары (1,3) изменится значительно меньше, чем для пары (2, 3).

->

о X

Рис. 5.2 lx

2 2

Дисперсия свободного члена уравнения регрессии S_b = S_b пропорциональна дисперсии S_b . Действительно, чем сильнее меняется наклон прямой, проведенной через данную точку (х, у), тем больше

разброс значений свободного члена, характеризующего точку пересечения этой прямой с осью OY.

Кроме того, разброс значений свободного члена тем больше, чем больше средняя величина х² . Это связано с тем, что при больших по модулю значениях X даже небольшое изменение наклона регрессионной прямой может вызвать большое изменение оценки свободного члена, поскольку в этом случае в среднем велико расстояние от точек наблюдений до оси OY.

На рис.5.3 через пары точек (1, 2) и (3, 4) проходит одна и та же прямая, пересекающая ось OY в точке (0, Ьо). Для второй из этих пар значения переменной X больше по абсолютной величине (при одинаковом диапазоне изменений X и Y), чем для первой. Если в этих парах точки 1 и 3 изменить на одну и ту же величину (новые точки 1_а, З_а), то углы наклона новых прямых (1_а, 2) и (З_а, 4) будут одинаковы. Но сво-

бодный член boi для первой прямой будет существенно меньше отличаться от Ьо, чем свободный член Ьог для второй прямой.

5.3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии Ьо и Ьі с некоторыми теоретически ожидаемыми значениями Ро ^и Рі этих коэффициентов. Данный анализ осуществляется по схеме статистической проверки гипотез, которая подробно проанализирована в разделе 3.4. Для проверки гипотезы

Но: Ьі = Рі,

Hyb^p!

используется статистика

Ьі

в,

(5.14)

которая при справедливости Н₀ имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = и - 2, где и - объем выборки. Следовательно, Но: Ьі = Рі отклоняется на основании данного критерия, если

-набл. I — ¦^^і?і >t₆ , (5.15)

—,n-2 2

где а - требуемый уровень значимости. При невыполнении (5.15) считается, что нет оснований для отклонения Но.

Наиболее важной на начальном этапе статистического анализа построенной модели все же является задача установления наличия линейной зависимости между Y и X. Эта проблема может быть решена по той же схеме:

Н₀: t>! = О, Ну Ьі*0.

Гипотеза в такой постановке обычно называется гипотезой о статистической значимости коэффициента регрессии. При этом, если Но принимается, то есть основания считать, что величина Y не зависит от X. В этом случае говорят, что коэффициент Ьі статистически незначим (он слишком близок к нулю). При отклонении Но коэффициент Ьі считается статистически значимым, что указывает на наличие определенной линейной зависимости между Y и X. В данном случае рассматривается двусторонняя критическая область, т. к. важным является именно отличие от нуля коэффициента регрессии, и он может быть как положительным, так и отрицательным.

Поскольку в данном случае полагается, что Рі = 0, то формально значимость оцененного коэффициента регрессии Ьі проверяется с помощью анализа отношения его величины к его стандартной ошибке

S_bi = Js_b| . В случае выполнения исходных предпосылок модели эта

дробь имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = = п-2, где и - число наблюдений. Данное отношение называется t-статистикой.

bj _ b

(5.16)

Для t-статистики проверяется нулевая гипотеза о равенстве ее нулю. Очевидно, t = 0 равнозначно Ьі = 0, поскольку t пропорциональна Ьі. Фактически это свидетельствует об отсутствии линейной связи между X и Y.

По аналогичной схеме на основе t-статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента Ьо:

t =

(5.17)

Отметим, что для парной регрессии более важным является анализ статистической значимости коэффициента Ьі, т. к. именно в нем скрыто влияние объясняющей переменной X на зависимую переменную Y.

Для примера 4.1.

Si = -^§2 =__₌^(y₁-bo^b₁x₁)² ₌ 35.3 _{=0 0Q23}

¹ n(x²-x²) n(n - 2)(x² - x²) n(n - 2)(x² - x²) 12 -10 -125.25

S_bl = V0.0023 = 0.0485.

0.9339

0.0485

= 19.2557.

tu. —

м-2

Критическое значение при уровне значимости а = 0.05 равно t_Kp. = t

^0.025;10 2.228.

Сравним модуль наблюдаемого значения I t_b I = 19.2557 с критическим

значением t₀.025;0.8 • Поскольку |t_b I = 19.2557 > 2.228 = t_Kp., то нулевая гипотеза

(t = о} должна быть отвергнута в пользу альтернативной при выбранном уровне значимости. Это подтверждает статистическую значимость коэффициента регрессии Ьь

Аналогично проверяется статистическая значимость коэффициента Ьо:

= S²bi • X² = 0.0023 • 15884.75 = 36.5349 .

_§2 _ s^zx:

n(x -x )

^b0 ,2 —2s

= 0.612

S_bo = V36.5349 = 6.044. 3.699

6.044

Так как I t_K I = 0.612 < 2.228 = t_Kp., то гипотеза о статистической незначимости коэффициента bo не отклоняется. Это означает, что в данном случае свободным членом уравнения регрессии можно пренебречь, рассматривая регрессию как Y = biX.

При оценке значимости коэффициента линейной регрессии на начальном этапе можно использовать следующее “грубое” правило, позволяющее не прибегать к таблицам.

Если стандартная ошибка коэффициента больше его модуля ( 111 < 1 ), то коэффициент не может быть признан значимым, т. к. доверительная вероятность здесь при двусторонней альтернативной гипотезе составит менее чем 0.7.

Если 1 < 111 < 2, то найденная оценка может рассматриваться как

относительно (слабо) значимая. Доверительная вероятность в этом случае лежит между значениями 0.7 и 0.95.

Если 2 < 111 < 3, то это свидетельствует о значимой линейной связи между X и Y. В этом случае доверительная вероятность колеблется от 0.95 до 0.99.

Наконец, если 111 > 3, то это почти гарантия наличия линейной связи.

Конечно, в каждом конкретном случае играет роль число наблюдений. Чем их больше, тем надежнее при прочих равных условиях выводы о значимости коэффициента. Однако для и >10 предложенное “грубое” правило практически всегда работает.

5.4. Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии

Как отмечалось в параграфе 5.2, базовыми предпосылками МНК является предположение о нормальном распределении отклонений ^ с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, т. е.

ejeN(0,y²). Естественность этого предположения обосновывается хорошо известной в теории вероятностей центральной предельной теоремой (ЦПТ), которую можно сформулировать следующим образом.

Если СВ представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то рассматриваемая СВ имеет распределение, близкое к нормальному.

Но случайное отклонение с, как раз и отражает влияние на независимую величину тех переменных, которые не включены в модель. Таких переменных обычно очень много, причем их индивидуальное влияние достаточно мало (иначе, их необходимо было учесть в модели). Следовательно, при рассмотрении случайных отклонений мы попадаем практически в условия ЦТТТ. Тогда можно заключить, что с, (і = 1,п) имеют нормальное распределение с М(е₁) = 0, у²(е₁) = у². Это позволяет получать не только наилучшие линейные несмещенные точечные оценки (BLUE) bo и bi коэффициентов Ро и Рі линейного уравнения регрессии, но и находить их интервальные оценки, что дает определенные гарантии точности.

Указанные выше предположения позволяют утверждать, что СВ Ьо и Ьі имеют нормальные распределения. Действительно, как известно, линейная комбинация нормально распределенных СВ является нормально распределенной СВ. Но, как показано в формулах (5.7),

(5.8), коэффициенты Ьі и Ьо могут быть представлены в виде:

Ьі = ХсіУі, Ь₀ = Х(1іУі,

где с_ь d, - постоянные.

Другими словами, Ьі и Ьо являются линейными комбинациями Уі. В свою очередь уі по формуле (4.6) является линейной комбинацией 8! (при этом считается, что р₍₎, Рі их, - константы или неслучайные величины). Тогда Ьі и Ьо через у, являются линейными функциями от 8_Ь имеющими нормальное распределение. Следовательно, Ьі и Ь₀также распределены нормально.

Как отмечалось ранее, М(Ь₀) = в ₀, M(bj) = в ₁.

Z(x₁-x)²’

S²Zxf n-I(x, -x)²

D(b₁)*S" ^S‘

le²

где S'

D(b₀)*S?

Следовательно, bo ~ N(Po, D(bo)), bi ~ N(Pi, D(bi)). Тогда, как отмечалось выше, статистики

bj В!

S(bi)

b₀ -в₀

S(b₀) ’

(5.18)

tu =

ь₀

имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = п - 2. Далее для определения 100(1 - а)%-ного доверительного интервала по таблицам критических точек распределения Стьюдента по доверительной вероятности у =1 - а и числу степеней свободы ? определяют критическое значение t _б , удовлетворяющее условию

—,п-2 2

P(|t|<t₆ ) = 1-б.

(5.19)

,n- 2

Подставив каждую из формул (5.18) в (5.19), получаем P(-t₆ <^Ь°~^В° <t₆ ) = 1 - б;

|n-2 S(b₀) у^п_“

(5.20)

bj-Bj

^-^L<t

s(b0

РН(

—,п-2 2

,п-2

После преобразований выражений, стоящих в скобках, имеем:

P(b₀-t₆ S(bо) <в₀ < b₀ + t₆ S(b₀)) = l-6,

(5.21)

(5.22)

P(b, -t₆ S(b₁)<B₁<b₁₊t₆ S(b₁)) = l-6.

—,n-2 — ,n-2

С учетом (5.12), (5.13) получаем ^p(^bo ^_

S²Zxf

S²Zxf

—y< ^Bo < ^bo ^{+ t}6 , —-by) = 1-6;(5.23)

’ⁿ“² Vⁿ^(^xi ^_x)

^ⁿ-2 VllX(x_i -X)"

^P(^bi-t₆ J " —\2 < ^B1 < ^bl^+t6 J ~ -.₂) ^{= 1}~⁶- (⁵-²⁴)

¦ⁿ-²VI(Xi-x) yⁿ“² \|I(^X i-x)

Соотношения (5.23), (5.24) определяют доверительные интервалы

^bo 1б S(b₀); b₀+t₆ S(b₀)

(5.25)

,n-2

,n-2

(5.26)

^bi 1б S(bj), bj + t₆ S(bj)

-,n-2 -,11-2

2 2

которые с надежностью (1 - а) накрывают определяемые параметры Рои Pi.

Для примера 4.1 95%-ные доверительные интервалы для коэффициентов будут следующими:

(3.699 - 2.228-6.044; 3.699 + 2.228-6.044) = (-9.767; 17.165);

(0.9339 - 2.228-0.0485; 0.9339 + 2.228-0.0485) = (0.826; 1.042).

Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии р₀ и р₀, которые будут приемлемыми с надежностью (1 - а) при найденных оценках Ьо и Ьц

5.5. Доверительные интервалы для зависимой переменной

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является предсказание (прогнозирование) значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных. Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных (предсказание среднего значения), либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой переменной (предсказание конкретного значения).

Предсказание среднего значения. Пусть построено уравнение парной регрессии у_х = b₀ + bjXj, на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание M(Y | X = х_р) переменной Y при X = Хр. В данном случае значение у_р = b₀ + bjX_p является оценкой m(y|x = х_р). Тогда естественным является вопрос, как сильно может уклониться модельное среднее значение у рассчитанное по

эмпирическому уравнению регрессии, от соответствующего условного математического ожидания. Ответ на этот вопрос дается на основе интервальных оценок, построенных с заданной надежностью (1 - а) при любом конкретном значении х_р объясняющей переменной.

Чтобы построить доверительный интервал, покажем, что СВ Y_p

имеет нормальное распределение с конкретными параметрами. Используя формулы (5.7), (5.8), имеем:

Y_p = Ь₀ + Ьіх_р = I d,y, + (I с,у,)х_р = Дф + СіХ_р)уі. Следовательно, Y_p является линейной комбинацией нормальных СВ и, значит, сама имеет нормальное распределение.

М( Y_p) = M(bo + Ьіх_р) = M(bo) + М(Ьі)х_р = р₀ + Ріх_р , ^ ^

D( Y_p) = D(b₀ + bix_p) = D(bo) + D(bi) x² + 2cov(b₀, bi) x_p (здесь используем формулы: D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X, Y); D(cX) = c²D(X); cov(X, bY) = b cov(X, Y)).

cov(b₀, bO = M[(b₀ - M(b₀))(b! - M(bO)] = M[(b₀ - РоХФ - Pi)] =

⁼ M[(y - bjX - (y — BjX ))(bj - pi)] = -xM[(bi - pi)(bi - pi)] =

= -xD(bi) = -x ^У ^

I(Xi-x)

D(Y„)= J.^2?XL ⁺

x² -2x

Xn =

Kx.-x)^{2 p}

—\2 P

nI(Xj-x) Z(Xj-x)

j_₊ (x-x_p)

[x² -2xx +x ] = a²

(5.28)

—\2

I(xi-x)

n I(x_t -x)

2 2 Ye^z

Подставив вместо a² ее несмещенную оценку S² = -—, получим

n-2

выборочную исправленную дисперсию S²( Y ) рассматриваемой СВ.

_т_ ^Yp ~(^во +^В1^Хр)

Тогда СВ

(5.29)

S(Y_p)

имеет распределение Стьюдейта с числом степеней свободы ? = и - 2. Следовательно, по таблице критических точек распределения Стью-дента по требуемому уровню значимости а и числу степеней свободы ? = п - 2 можно определить критическую точку t _б , удовлетворяю-

—,п-2 2

щую условию Р( I Т I < t₆ ) = 1 - б. С учетом (5.29) имеем:

—,11-2 2

Y_p -(в₀ +BjX_p)

= 1 - а.

(5.30)

⁶ о —,n-2

2

S(Y_P)

После алгебраических преобразований получим:

P(b₀+bix_p-t₆ S(Y )<Po+Pix_p<b₀+bix_p+t₆ S(Y )) =l-a. (5.31)

—,n-2 —,n-2

2 2

Таким образом, доверительный интервал для M(Y| X = х_р) = р₀ + Ріх_римеет вид:

t₆ S-.

—,п-2

bo +Ьіх_р

¦t₆ s-

—,n-2 2

I ₊ (x-Xp)-

II

I(Xi-x)"

j_₊ (х-х_ру

11

b 1 х_Р

KY-xr

Для проверки гипотезы

Н„:М(УІХ = х_р) = у_р; Н,:М(У|Х = х_р)*у_р

используется следующая статистика:

M(Y ^{X = x}p)-y_p ^s3 1 _| (_Х-_Хр)² П Z(_Xl-x)² (5.33)

имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = =п-2. Поэтому Н₀ отклоняется, если | Т_набл I > t₆ (а - требуемый

—,п-2 2

уровень значимости).

Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной.

На практике иногда более важно знать дисперсию Y, чем ее средние значения или доверительные интервалы для условных математических ожиданий. Это позволяет определить допустимые границы для конкретного значения Y.

Пусть нас интересует некоторое возможное значение уо переменной Y при определенном значении х_р объясняющей переменной X. Предсказанное по уравнению регрессии значение Y при X = х_р составляет у_р. Если рассматривать значение уо как СВ Y₀, а у_р - как СВ Y_p, то можно отметить, что

1 _| (х-Хр)²

n ⁺ Z(_Xl-x)²

Y_p ~ N(b₀ + biXp, а²

Yq~ N(p₀ + Ріх_р, с²),

)¦

СВ Yo и Y_p являются независимыми, а следовательно, СВ U имеет нормальное распределение с

Yo-Yp

1 (х + —

М(Ц) = 0 и D(U) = а²

п І(_Хі

Y₀-Yp S-л 1 (х-Хр)²

1 + - +- і П Z(_Xl-x)²

Но тогда можно показать, что СВ

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ? = п - 2. На основании этого можно сделать вывод, что

^Yo-Y_p

P(-t_t

(5.34)

⁶ 2 ^ ¹

—,n-2 2

a.

,n-2

, 1 (x-x p)

1 + - +-

11 I(x_rx)²

s-.

Таким образом, интервал

•— і+П ^(5f_Xp)22 bo + bix_p+t₆ S- 1 г-² 11 n I(_Xi-x) J (5.35)

определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 100а % точек наблюдений при X = х_р. Заметим, что данный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания (на рис. 5.4 границы этого интервала отмечены пунктирной линией).

Проводя анализ построенных интервалов, несложно заметить, что наиболее узкими они будут при Х_р = х. По мере удаления Х_р от среднего значения доверительные интервалы расширяются (см. рис. 5.4). Поэтому необходимо достаточно осторожно экстраполировать полученные результаты на прогнозные области. С другой стороны, с ростом числа наблюдений п эти интервалы сужаются к линии регрессии при п —> 00.

По данным из примера 4.1 рассчитаем 95 %-ный доверительный интервал для условного математического ожидания M(Y|X = х_р) при X = 160. Воспользовавшись формулой (5.32), рассчитаем границы интервала:

П (125.25-160)²

3.699+0.9339-160 ± 2.228-1.8788- J--ь--— .

V12 2102.1875

Таким образом, доверительный интервал для среднего значения Y при X = 160 имеет вид: (149.728; 156.5193). Другими словами, среднее потребление при доходе 160 с вероятностью 95 % будет находиться в интервале (149.728; 156.5193).

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления при неограниченно большом числе наблюдений при уровне дохода X = 160. Для этого воспользуемся формулой (5.35).

I 1 (125.25-160)²

3.699 + 0.9339-160 + 2.228-1.8788- J1 н---ь -— .

V 12 2102.1875

Тогда интервал, в котором будут находиться, по крайней мере, 95 % индивидуальных объемов потребления при доходе X = 160, имеет вид: (147.4898; 158.7082). Нетрудно заметить, что он включает в себя доверительный интервал для условного среднего потребления.

5.6. Проверка общего качества уравнения регрессии.

Коэффициент детерминации R²

После проверки значимости каждого коэффициента регрессии обычно проверяется общее качество уравнения регрессии, которое оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Другими словами, насколько широко рассеяны точки наблюдений относительно линии регрессии. Очевидно, если все точки лежат на построенной прямой, то регрессия Y на X “идеально” объясняет поведение зависимой переменной. В реальной жизни такая ситуация практически не встречается. Обычно поведение Y лишь частично объясняется влиянием переменной X. Возможные соотношения между двумя переменными имеют наглядную графическую интерпретацию в виде так называемой диаграммы Вейна (рис. 5.5).

Рис. 5.5

На рис. 5.5, а X никак не влияет на Y. На каждом следующем рисунке влияние X все усиливается. Наконец, на рис. 5.5, д значения Y целиком определяются значениями X.

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации R². В случае парной регрессии коэффициент детерминации будет совпадать с квадратом коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

Ее?

Поясним смысл коэффициента детерминации. Пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет вид:

Y = b₀+b₁X. (5.37)

Тогда наблюдаемые (реальные) значения у_ь і = 1, 2, ... , и отличаются от модельных у, на величину е,:

Уі=Уі+еі. (5.38)

Соотношение (5.38) можно переписать в следующем виде:

Уі - У = (Уі - У) + (Уі - Уі), (5.39)

т. е. Уі - У = ki + е„

где (уі - у) - отклонение і-й (наблюдаемой) точки от среднего значения у зависимой переменной Y; к, - отклонение і-й точки на линии регрессии от у; е_х - отклонение і-й точки от модельного значения у,,

определяемого по линии регрессии. Все отклонения рассчитываются по оси зависимой переменной (см. рис. 5.6).

Возведем обе части равенства (5.39) в квадрат и просуммируем полученные значения по объему выборки и:

і(Уі-У)²=і(Уі-У)²+ 2І((у₁-у)-е₁)+ Хе?. (5.40)

Можно показать, что Х((Уі ^_У)'^еі) = 0 (доказательство опускаем для упражнения). Тогда справедливо следующее соотношение:

1(У₁-У)² = 1к? +Хе?. (5.41)

Очевидно, Ну, - у)²- общая (полная) сумма квадратов может интерпретироваться как мера общего разброса (рассеивания) переменной Y относительно у. Zk² = Z(y, - у )² - объясненная сумма квадратов, интерпретируемая как мера разброса, объяснимого с помощью регрессии. Zef =Х(Уі ^_ Уі)^2_ остаточная (необъясненная) сумма квадратов, являющаяся мерой остаточного, необъясненного уравнением регрессии разброса (разброса точек вокруг линии регрессии).

Разделив (5.41) на левую его часть, получим:

1 = —^^к' ₀ ^—у => —^Ік' у = 1--^—у. (5.42)

і(Уі “У) і(Уі -у) І(Уі -у) І(Уі -у) 2 Zk²

Вводя обозначение R = -₀ , получаем соотношение

Z(y,-y)

(5.36). При этом очевидно, что коэффициент детерминации R² определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией Y на X.

определяет долю разброса зависимой переменной,

Zef

Z(z-y)²

необъясненную регрессией Y на X

Из проведенных рассуждений следует, что в общем случае справедливо соотношение 0 < R² < 1. Возможные условия нарушения неравенства R² > О рассмотрены чуть ниже.

Нетрудно заметить, что если между величинами X и Y существует значимая линейная связь, то Z^ef существенно меньше, чем Z(yi - у )² • Действительно, МНК позволяет найти прямую, для которой Ze² минимальна, а прямая Y = у является одной из возможных линий, для которых выполняется условие у = Ь₀ + Ь,х . Поэтому значение числителя вычитаемой из единицы дроби в (5.36) меньше, чем значение ее знаменателя (иначе, выбираемой по МНК линией регрессии была бы прямая Y = у). Следовательно, в этом случае коэффициент детерминации R² близок к единице.

Таким образом, коэффициент детерминации R² является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая Y = у.

Следовательно, чем теснее линейная связь между X и Y, тем ближе коэффициент детерминации R² к единице (рис. 5.5, (У). Чем слабее такая связь, тем R² ближе к нулю (рис. 5.5, а).

Однако не следует абсолютизировать высокое значение R², т. к. коэффициент детерминации может быть близким к единице просто в силу того, что обе исследуемые величины X и Y имеют выраженный временной тренд, не связанный с их причинно-следственной зависимостью. В экономике обычно такой тренд имеет объемные показатели (ВНП, ВВП, доход, потребление). А темповые и относительные показатели (темпы роста, производительность, ставка процента) не всегда имеют тренд. Поэтому при оценивании регрессий по временным рядам объемных показателей (например, зависимость потребления от дохода или спроса от цены) величина R² может быть весьма близкой к единице. Но это не обязательно свидетельствует о наличии значимой линейной связи между исследуемыми показателями, а может означать лишь то, что поведение зависимой переменной нельзя описать уравнением Y = у.

Если уравнение регрессии строится по перекрестным данным, а не по временным рядам, то коэффициент детерминации R² для него обычно не превышает 0.6 - 0.7. Аналогичные значения R² обычно получаются и для регрессий по временным рядам, если они не имеют выраженного тренда (темп инфляции от уровня безработицы, темпы прироста выпуска от темпов прироста затрат ресурсов и т. и.).

Естественно, возникает вопрос, какое значение R² можно считать удовлетворительным. Точную границу приемлемости (статистической значимости) R² для всех случаев сразу указать невозможно. Нужно обращать внимание на объем выборки, число объясняющих Переменных, наличие трендов и содержательную интерпретацию. R может оказаться даже отрицательным. Обычно это случается для линейных уравнений регрессии, в которых отсутствует свободный член Y = XbjXj. Оценивая такое уравнение по МНК, мы вынуждены рассматривать лишь те прямые (гиперплоскости), которые проходят через начало координат (рис. 5.7). Значение R² получается отрицательным тогда, когда разброс значений зависимой переменной вокруг линии Y = у меньше, чем вокруг любой из прямых (гиперплоскостей),

проходящих через начало координат.

Рис. 5.7 Из рис. 5.7 видно, что разброс наблюдаемых значений переменной Y относительно прямой Y = у существенно меньше разброса относительно прямой Y = ЬХ . Отрицательное значение R² свидетельствует о целесообразности добавления в уравнение Y = ZbjXj свобод

ного члена (Y = Ьо + ЬіХ, см. рис. 5.7).

Схему анализа общего качества уравнения регрессии на основе коэффициента детерминации мы подробно обсудим в разделе 6.7.

Проиллюстрируем связь между коэффициентом детерминации R²для парного уравнения регрессии и выборочным коэффициентом корреляции г_х?.

2 _ I k- _ I (у, - У? _ I (Ь₀ + ?і - (b₀ + bjx))“ _

— \2

Ку, -у)² Ку,-у)

— \2

Ку,-у)

₌ ^ZCx.-x))² _

І(х, -х)(_Уі -у)

Z(x,-x))²_

-ч2

—_Л2

— \2

Ку,-у)

Ку,-у)

КХі-х)

_ (Кх, - х)(_Уі - у))² ( KXj-хХУі-у)

Кх,-х)²І(_Уі-у)² ^і(_Хі-х)²?КУі-У)²,

Рассчитаем коэффициент детерминации R² для примера 4.1.

R² = 1--^—_т = 1--—- = 0.983.

КУі-у) 2108.6668

Столь высокое значение коэффициента детерминации свидетельствует о высоком

2 2 2

общем качестве построенного уравнения регрессии. R = 0.983 « (0.9914) = г_ху(неточности в данном случае связаны с округлением вычислений).

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите предпосылки МНК, каковы последствия их выполнимости либо невыполнимости?

2. В чем суть наилучших линейных несмещенных оценок (BLUE)?

3. Как определяются стандартные ошибки регрессии и коэффициентов регрессии?

4. Опишите схему проверки гипотез о величинах коэффициентов регрессии.

5. В чем суть статистической значимости коэффициентов регрессии?

6. Опишите “грубое” правило анализа статистической значимости коэффициентов регрессии.

7. Приведите схему определения интервальных оценок коэффициентов регрессии.

8. Как строится и что позволяет определить доверительный интервал для условного математического ожидания зависимой переменной?

9. В чем суть предсказания индивидуальных значений зависимой переменной?

10. Объясните суть коэффициента детерминации.

11. В каких пределах изменяется коэффициент детерминации?

12. Дайте определения следующих понятий:

а) оценка коэффициента регрессии;

б) стандартная ошибка регрессии;

в) статистическая значимость коэффициента;

г) общая (объясненная, необъясненная) сумма квадратов отклонений;

д) коэффициент детерминации;

е) интервальная оценка коэффициента регрессии.

13. Объясните, какое из указанных утверждений истинно, ложно, не определено.

а) Предпосылки МНК являются обязательным условием построения линейной регрессионной модели.

б) Теоретическим обоснованием МНК является теорема Гаусса-Маркова

в) Оценки коэффициентов регрессии будут иметь нормальное распределение, если случайные отклонения распределены нормально

г) В любой линейной регрессионной модели, построенной по МНК, справедлива формула Ееі = 0.

д) Построение интервальных оценок для коэффициентов регрессии основано на том, что эти оценки имеют нормальное распределение.

е) Чем больше стандартная ошибка регрессии, тем точнее оценки коэффициентов.

ж) Условная средняя СВ и среднее значение СВ являются по сути одним и тем же.

з) 90 %-ный доверительный интервал для условного математического ожидания зависимой переменной определяет область возможных значений для 90 % наблюдений за зависимой переменной при соответствующем уровне объясняющей переменной.

и) 0 < R² < 1.

к) Для парной линейной регрессии коэффициент корреляции превосходит коэффициент детерминации.

14. По наблюдениям за 150 фирмами в отрасли стремятся построить регрессионную модель Y = Ро + РіХ + в и оценить коэффициенты Ро ^и Рі ^п0 МНК. Здесь X - прибыль фирм, Y - затраты на обновление основного капитала.

а) Если прибыль у всех фирм будет одинаковой, возможно ли построение уравнения регрессии?

б) Если условные дисперсии затрат Y при различных прибылях различны, то мы не можем быть уверены в найденных оценках (да; нет; нет определенного ответа).

в) Если прибыль фирм не имеет нормального распределения, то использование МНК нецелесообразно (да; нет; нет определенного ответа).

г) Если условия Гаусса-Маркова выполнены, то для определения оценок коэффициентов мы обязаны использовать МНК, т. к. в этом случае полученные оценки будут наилучшими линейными несмещенными оценками.

15. С увеличением объема выборки

а) увеличивается точность оценок;

б) уменьшается ошибка регрессии;

в) расширяются интервальные оценки;

г) уменьшается коэффициент детерминации;

д) увеличивается точность прогноза по модели.

(Да; нет; не определено. Ответ поясните).

16. При оценке парной линейной регрессии Y = Po + PiX + sno МНК получена завышенная оценка Ьі коэффициента Рь Какая оценка в этом случае более вероятна для коэффициента Ро: завышенная, заниженная или несмещенная? Ответ поясните графически.

Упражнения и задачи

1. Имеются данные за 10 лет по прибылям (X и Y) двух компаний: X (%) 19.2 15.8 12.5 10.3 5.7 -5.8 -3.5 5.2 7.3 6.7 Y (%) 20.1 18.0 10.3 12. 5 6.0 -6.8 -2.8 3.0 8.5 8.0 а) Постройте регрессионную модель Y = Ьо + ЬіХ + е.

б) Оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии.

2

в) Оцените коэффициент детерминации R данного уравнения

г) Постройте регрессионную модель Y = ЬХ + и.

д) Приведите формулы расчета коэффициента Ь, его стандартной ошибки Sb и стандартной ошибки регрессии S (обратите внимание на число степеней свободы при расчете данной оценки).

е) Значимо или нет различаются коэффициенты Ьі и Ь?

ж) Какую из построенных моделей вы предпочтете?

з) Можно ли на основе построенных регрессий утверждать, что прибыль одной из компаний является следствием прибыли другой?

2. Для прогноза возможного объема экспорта на основе ВНП предложено использовать линейную регрессионную модель. При этом используются данные с 1989 по 1998 г.

Годы 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 ВНП 1000 1090 1150 1230 1300 1360 1400 1470 1500 1580 Экспорт 190 220 240 240 260 250 280 290 310 350 а) Сформулируйте соответствующую регрессионную модель, дав интерпретацию ее параметров;

б) рассчитайте на основе имеющихся данных оценки параметров модели;

в) рассчитайте стандартную ошибку регрессии;

г) рассчитайте стандартные ошибки коэффициентов;

д) рассчитайте 90 %-ные и 95 %-ные доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии;

е) проанализируйте статистическую значимость коэффициентов при уровнях значимости а = 0.1 и а = 0.05;

ж) оцените коэффициент корреляции между ВНП и экспортом;

з) дайте прогнозы по объему экспорта на 2000 и 2003 гг.;

и) рассчитайте 95 %-ные доверительные интервалы для этих прогнозов;

к) рассчитайте коэффициент детерминации и сравните его с коэффициентом корреляции;

л) какие предпосылки относительно случайного отклонения модели необходимы для обоснованности выводов по предыдущим пунктам?

м) сделайте выводы по построенной модели.

3. Имеется информация за семь лет относительно среднего дохода и среднего потребления (млн руб.): Годы 91 92 93 94 95 96 97 Доход(I) 14.56 15.70 16.30 18.50 20.34 21.70 23.50 Потребление (С) 12.00 12.70 13.00 15.50 16.70 17.30 20.00 а) Оцените коэффициенты линейной регрессии С = t>o + ЬіХ + е по МНК;

б) проинтерпретируйте найденные коэффициенты;

в) проверьте статистическую значимость коэффициентов при уровне значимости а = 0.05;

г) рассчитайте 95 %-ные доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии;

д) спрогнозируйте потребление при доходе I = 25.00; постройте доверительный интервал для данного прогноза;

е) оцените коэффициенты регрессии С = Ьо + ЬіХ + е, проведя прямую через крайние точки наблюдений;

ж) оцените коэффициенты регрессии С = Ьо + ЬіХ + е, проведя прямую через средние значения для пары крайних значений (91, 92) и (96, 97);

з) являются ли оценки, найденные в пунктах е) и ж), несмещенными оценками теоретических коэффициентов регрессии Ро, Рь

и) сравните построенные три регрессии на основе стандартных ошибок регрессий и сделайте выводы;

к) насколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн руб.

4. Проводится анализ взаимосвязи количества населения (POP) и количества практикующих врачей (MED).

Годы 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 РОР(млн чел.) 10.0 10.3 10.4 10.55 10.6 10.7 10.75 10.9 10.9 11.0 МЕБ(тыс.чел) 12.1 12.6 13.0 13.8 14.9 16.0 18.0 20.0 21.0 22.0 а) Оцените по МНК коэффициенты линейного уравнения регрессии MED_t = b₀ + biPOP.

б) Существенно ли отличаются от нуля найденные коэффициенты?

в) Рассчитайте коэффициент корреляции г_рор;те(і; существенно ли он отличен от нуля?

г) Если прогнозное количество населения в 1995 г. составит 11.5 млн, каково ожидаемое количество врачей? Рассчитайте 99 %-ный доверительный интервал для данного предсказания

д) Если население вырастет на 0.8 млн, насколько изменится количество врачей?

2

е) Рассчитайте коэффициент детерминации R для построенного уравнения, сравните его с коэффициентом корреляции, найденным в пункте в).

ж) Сделайте вывод по построенной модели.

5. Пусть имеются следующие наблюдения за переменными X и Y:

X 0 0 2 2 Y 0 2 0 2 а) Постройте эмпирическое уравнение регрессии Y = bo + biX + en изобразите его на корреляционном поле.

б) Постройте эмпирическое уравнение регрессии Y = ЬХ + ? и изобразите его на корреляционном поле

в) Рассчитайте коэффициенты детерминации для обоих уравнений.

г) Каковы выводы из построенных моделей.

6. По 10 наблюдениям за СВ X и Y получены следующие данные:

I _Хі = 1700; X _Уі = 1100; I х_іУі = 204400;

Exf = 316000; lyf = 135000.

Предполагая, что предпосылки МНК выполнены, оцените

а) коэффициенты bo и Ьц

б) стандартные ошибки коэффициентов;

в) 90 и 99 %-ные доверительные интервалы для коэффициентов |Зо и |3і;

г) можно ли на основе построенных доверительных интервалов принять гипотезу Но: Рі = 0;

д) коэффициент детерминации R².

7. По данным 15-летних наблюдений построена следующая регрессионная модель:

ВШф = -787.4723+ 8.0863M_lt + e_tse = ( ... ) (0.2197)

t = (-10.0) ( ... ), R² = 0.9912.

ВНП - валовой национальный продукт (в млрд $), Мі - денежная масса.

а) заполните скобки;

б) оцените статистическую значимость коэффициентов регрессии;

в) оцените общее качество уравнения регрессии;

г) по утверждениям монетаристов, денежная масса имеет существенное положительное влияние на ВНП. Находит ли это подтверждение по построенной регрессии?

д) каков смысл отрицательного свободного члена?

е) предложение денег в году после интервала наблюдений планируется на уровне 550 млрд $. Каково прогнозное значение ВНП на данный год?

ж) в каком интервале будет лежать прогнозируемое значение ВНП с надежностью 95 %.

8. По данным за 9 лет построена следующая эмпирическая регрессия:

y_t =-70.85 + 0.888x_t,

t = (-5.89) (5.9), R² = 0.685,

где Y - индекс цен оптовой торговли; X - процент использования производственных мощностей.

а) Совпадает ли знак коэффициента Ьі с ожидаемым априори?

б) Как трактуется угловой коэффициент данного уравнения регрессии?

в) Оцените значимость коэффициентов.

г) Существенно или нет коэффициент Ьі отличается от единицы?

д) Оцените качество модели.

9. Наблюдаются две переменные X и Y помесячно в течение года. Имеется следующая информация:

х = 122.167; у = 125.25; Е(_Хі - х)² = 2135.679;

Ну, - у)² = 2216.168; Х(х, - х)(уі- у) = 2115.

Рассчитайте

а) по МНК коэффициенты парного линейного уравнения регрессии;

б) стандартную ошибку регрессии;

в) стандартные ошибки коэффициентов регрессии;

г) коэффициент детерминации;

д) оцените качество построенного уравнения регрессии и статистическую значимость коэффициентов.

10. Пусть построена следующая регрессия:

Y = 150+ 5Х,

se = (20) (1.2), R² = 0.87,

где xt = zt / zt-i - темп роста показателя Z. Как изменится регрессия, если в качестве переменной X использовать темп прироста показателя Z (%): x_t= (z_t — z_t_l) / Z_t—1.

11. Рассматривается зависимость объема (Y) потребления импортируемых благ в некоторой стране от персонального располагаемого дохода (X). По 25-лет-ним данным построена следующая регрессия:

Y = -250.15 + 0.2941Х

se =(25.832) ( ... ) R² = 0.9215.

t =( ... ) (15.275)

а) Заполните скобки.

б) Проинтерпретируйте коэффициенты регрессии.

в) Будет ли отклонена гипотеза о равенстве нулю коэффициентов регрессии? Какие тесты вы использовали и почему?

г) Можно ли считать, что коэффициент Ьі не отличается существенно от 0.3?

д) Можно ли вычислить коэффициент детерминации (при предположении, что он не известен) по имеющимся данным?

ПРОВЕРКА КАЧЕСТВА УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

s;

D(Y„)= J.2?XL +

D(Y„)= J.^2?XL ⁺