Решение уравнения w2у"+?у'+у=0 (продолжение листинга 9 1)
Рисунок 9.1. Решение уравнения w2у"+?у'+у=0 (продолжение листинга 9.1)
Имеются два типа задач, которые возможно решать с помощью Mathcad:
- задачи Коши — для которых определены начальные условия на искомые функции, т. е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения (именно им и посвящена данная глава);
- краевые задачи — для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала (они рассматриваются в главе 10).
Сказанное относится как к отдельным дифференциальным уравнениям (см. разд. 9.2), так и к системам ОДУ (см. разд. 9.3). Важно подчеркнуть, что Mathcad умеет решать только такие системы дифференциальных уравнений, которые могут быть представлены в стандартной форме (форме Коши). Для неизвестных функций у0 (t), y1(t), ..., yN-1(t) система ОДУ должна быть записана в форме:
что эквивалентно следующему векторному представлению:
Y' (t)=F(Y(t) ,t). (9.2)
Здесь Y и Y' — соответствующие неизвестные векторные функции переменной t размера Nx1, a F — векторная функция того же размера и количества переменных (N+1) (N компонент вектора и, возможно, t). Именно векторное представление (9.2) используется для ввода системы ОДУ в среде Mathcad.
Для того чтобы определить задачу Коши для системы из N ОДУ первого порядка, следует определить еще ровно N начальных условий, задающих значение каждой из функций yi(t0) в начальной точке интегрирования системы t0. В векторной форме они могут быть записаны в виде
Y(t0)=B, (9.3)
где B— вектор начальных условий размера Nx1, составленный из yi(t0). Обратите внимание на необходимость векторной записи как самого уравнения, так и начального условия. В случае одного ОДУ первого порядка соответствующие векторы имеют только один элемент, а в случае системы N>1 уравнений — N.
Стандартные процедуры Mathcad применимы для систем ОДУ первого порядка, записанных в форме (9.2)—(9.3). Тем не менее, если в систему входят и уравнения высших порядков, то ее можно свести к системе большего числа уравнений первого порядка. Рассмотрим в качестве примера уравнение второго порядка модели осциллятора w2у'+?у'+у=0, решенное в листинге 9.1. Если ввести обозначение y0(t)=y(t), yi(t)=y' (t), то уравнение сведется к эквивалентной системе:
y0(t)=y1(t);
w2у1'+?у'+у=0,
форма которой удовлетворяет форме (9.2) и уравнение может быть решено средствами Mathcad, предназначенными для систем ОДУ. Именно эта система решена ниже в листинге 9.3 (см. разд. 9.3.1). Отметим, что на Рисунок 9.1 показаны как зависимость у (t), так и у1 (t)=y' (t).