Решение уравнения w2у' '+?у'+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9 1)
Рисунок 9.2. Решение уравнения w2у' '+?у'+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9.1)
Как правило, решение задач Коши для ОДУ и их систем — задача хорошо разработанная и с вычислительной точки зрения довольно простая. На практике чаще встречаются другие, более сложные задачи, в частности, исследование поведения динамической системы в зависимости от начальных условий. При этом в большинстве случаев бывает необходимым изучить только асимптотическое решение ОДУ, т.е. y(t->?), называемое аттрактором. Очень наглядным образом можно визуализировать такую информацию на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько типов аттракторов, и для них можно построить четкую классификацию.
С одной стороны, каждое решение будет выходить из точки, координаты которой являются начальными условиями, но, оказывается, для большинства ОДУ целые семейства траекторий будут заканчиваться в одних и тех же аттракторах (стационарных точках или предельных циклах). Множество решений, вычисленное для всевозможных начальных условий, образует фазовый портрет динамической системы. С вычислительной точки зрения задача исследования фазового портрета часто сводится к обычному сканированию семейств решений ОДУ при разных начальных условиях.
Примечание 1
Примечание 1
Для рассматриваемого примера модели гармонического осциллятора имеется единственная стационарная точка (аттрактор), на которую "накручивается" решение, из каких бы начальных условий оно ни выходило. В теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом.
Дальнейшее усложнение задач анализа фазовых портретов связано с их зависимостью от параметров, входящих в систему ОДУ. В частности, при плавном изменении параметра модели может меняться расположение аттракторов на фазовой плоскости, а также могут возникать новые аттракторы и прекращать свое существование старые. В первом случае, при отсутствии особенностей, будет происходить простое перемещение аттракторов по фазовой плоскости (без изменения их типов и количества), а во втором — фазовый портрет динамической системы будет коренным образом перестраиваться. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации.
Поясним понятие бифуркации на примере той же модели осциллятора, которая зависит от двух параметров (ш и р). При р>о существует единственная стационарная точка типа фокуса (см. Рисунок 9.2), которая в точке бифуркации Р=о вырождается в аттрактор типа центр, характеризующийся тем, что решения ОДУ представляют собой циклы, совершаемые вокруг этой точки с амплитудой, которая существенно зависит от начальных условий (Рисунок 9.3). Для надежного исследования фазового портрета практически всегда необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.