Научно-технические задачи в Maple

Функции для работы с векторами и матрицами

Функции для работы с векторами и матрицами


Для работы с векторами и матрицами Maple 7 имеет множество функций, входящих в пакет linalg. Ограничимся приведением краткого описания наиболее распространенных функций этой категории.
Операции со структурой отдельного вектора V и матрицы М:

coldim(M) — возвращает число столбцов матрицы М;

rowdim(M) — возвращает число строк матрицы М;

vectdim(V) — возвращает размерность вектора V;

col(M,i) — возвращает i-й столбец матрицы М;

row(M,i) — возвращает i-ю строку матрицы М;

tninor(M,i, j) — возвращает минор матрицы М для элемента с индексами i и j;

delcols(M,i.. j) — удаляет столбцы матрицы М от i-roдо j-ro;

del rows (V,i..j) — удаляет строки матрицы М от i-й до j-й;

extend (М, т, n,х) — расширяет матрицу М на m строк и n столбцов с применением заполнителя х.

Основные векторные и матричные операции:

dotprod(U,V) — возвращает скалярное произведение векторов U и V;

crossprod(U,V) — возвращает векторное произведение векторов U и V;

norm(V) или norm(M) — возвращает норму вектора или матрицы;

copyinto(A,B,i, j) — копирует матрицу А в В для элементов последовательно от i до j;

concat(Ml,M2) — возвращает объединенную матрицу с горизонтальным слиянием матриц Ml и М2;

stack(Ml,M2) — возвращает объединенную матрицу с вертикальным слиянием Ml и М2;

matadd(A,B) и evalm(A+B) — возвращает сумму матриц А и В;

multlply(A,B) и evalm(A&*B) — возвращает произведение матриц А и В;

adjoint (М) или adj(M) — возвращает присоединенную матрицу, такую что M?adj(M) дает диагональную матрицу, определитель которой есть det(M);

charpoly(M,lambda) — возвращает характеристический полином матрицы М относительно заданной переменной lambda;

det(M) — возвращает детерминант (определитель) матрицы М;

Eigenvals(M,vector) — инертная форма функции, возвращающей собственные значения матрицы М и (при указании необязательного параметра vector) соответствующие им собственные векторы;

jordan(M) — возвращает матрицу М в форме Жордана;

hermite(M) — возвращает матрицу М в эрмитовой форме;

trace(M) — возвращает след матрицы М;

rank(M) — возвращает ранг матрицы М;

transpose(M) — возвращает транспонированную матрицу М;

inverse(M) или evalm(l/M) — возвращает матрицу, обратную к М;

singularvals(A) — возвращает сингулярные значения массива или матрицы А.

Приведем примеры применения некоторых из этих функций:

Функции решения линейных функциональных систем

Функции решения линейных функциональных систем


Группа основных функций пакета LinearFunctionalSystems имеет идентичный синтаксис и записывается в виде:
name(sys,vars,[method])
или
name(A[.b],x, case, [method]}
Здесь name — одно из следующих имен:

PolynomialSolution — решение в форме полинома;

RationalSolution — решение в форме рационального выражения;

SeriesSolution — решение в виде ряда;

UniversalDenominator — решение с универсальным знаменателем (и числителем, равным 1).

Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы sys со списком переменных vars, либо в матричном виде с заданием матриц коэффициентов, системы А и вектора свободных членов b (может отсутствовать) с указанием независимой переменной х и параметра case, имеющего значения 'differential', 'difference' или 'qdifference'. Параметр method, задающий метод EG-исключения, может иметь значения 'quasimodular' или 'ordinary'.

Интеграция Maple 7 с MATLAB

Интеграция Maple 7 с MATLAB


Краткие сведения о MATLAB
Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple 7, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее. В области линейной алгебры к таким системам, безусловно, относится система MATLAB, созданная компанией Math Works, Inc. Ее название происходит именно от слов MATrix LABoratory — матричная лаборатория.
MATLAB содержит в своем ядре многие сотни матричных функций и является одной из лучших матричных систем для персональных компьютеров. Она реализует самые современные алгоритмы матричных операций, включая, кстати, и алгоритмы NAG. Однако главное достоинство MATLAB — наличие множества дополнительных пакетов как по классическим разделам математики, так и по самым новейшим, таким как нечеткая логика, нейронные сети, идентификация систем, обработка сигналов и др. Знаменитым стал пакет моделирования систем и устройств Simulink, включаемый в пакет поставки системы MATLAB. Последней версией системы является MATLAB 6.0. В то же время нельзя не отметить, что MATLAB — одна из самых громоздких математических систем. Инсталляция ее полной версии занимает около 1,5 Гбайт дискового пространства. Несмотря на это, интеграция различных математических систем с данной системой, похоже, становится своеобразной модой. Такая возможность предусмотрена и в системе Maple 7 с помощью пакета Matlab.

Интерактивный ввод матриц

Интерактивный ввод матриц


Для интерактивного ввода матриц можно, определив размерность некоторого массива, использовать функцию entermatrix:
> А:=аггау(1..3,1..3):
А :=аггау(1 ..3,1 .. 3, [ ])
После исполнения этого фрагмента документа диалог с пользователем имеет следующий вид:

Основные функции для задания векторов и матриц

Основные функции для задания векторов и матриц


В библиотечном файле Unalg имеются следующие функции для задания векторов и матриц:

vector(n,list) — сoздание вектора с n элементами, заданными в списке list;

matrix(n,m,list) — создание матрицы с числом строк n и столбцов m с элементами, заданными списком list.

Ниже показано применение этих функций:

Основные определения линейной алгебры

Основные определения линейной алгебры

Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple 7 по части решения задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней.
Матрица (m х n) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n. Пример квадратной матрицы размера 3x3:

Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems

Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems


Назначение пакета LinearFunctionalSystems
Пакет LinearFimctionalSystems содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем. Обычно такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеющими то или иное решение. Пакет LinearFunctionalSystems позволяет провести тестирование подготовленной системы, оценить ряд ее параметров и получить решение одним из ряда методов.
Вызов всех функций пакета осуществляется командой:
> with(LinearFunctionalSystems):
[AreSameSolution, CanonicalSystem, ExtendSeries, Homogeneous System, IsSolution,
MatrixTriangularization, PolynomialSolution, Properties, RationalSolution,
SeriesSolution, UniversalDenominator]

Пакет линейной алгебры с алгоритмами NAG LinearAlgebra

Пакет линейной алгебры с алгоритмами NAG LinearAlgebra


Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra
В последние годы разработчики систем символьной математики осознали, что малая скорость выполнения векторных и матричных операций при решении задач линейной алгебры оборачивается потерей заметной части рынка систем компьютерной математики. Новые версии таких систем (Mathematica 4/4.1 и Maple 6/7) отличаются от прежних прежде всего резким повышением эффективности решения задач линейной алгебры в численном виде.
В новых реализациях систем Maple и MATLAB была сделана ставка на использование давно апробированных быстрых алгоритмов линейной алгебры, предложенных создателями Number Algorithm Group (NAG). Эти алгоритмы издавна применяются на больших ЭВМ и суперкомпьютерах, обеспечивая ускорение численных матричных операций от нескольких раз до нескольких десятков раз. Их применение обеспечивает эффективное использование систем символьной математики в решении задач, сводящихся к задачам линейной алгебры. В числе таких задач многочисленные задачи теоретической электротехники, механики многих объектов, моделирования электронных устройств и т. д. В Maple 7 использование алгоритмов NAG является одной из первых отличительных черт новой версии системы. Оно реализуется новым пакетом LinearAlgebra. Для его загрузки используются следующие команды:
> restart; with(LinearAlgebra):
[Add, Adjoint, BackwardSubstitute, BandMatrix, Basis, BezoutMatrix, BidiagonalForm, BilinearForm, CharacteristicMatrix, CharacteristicPolyhomial, Column, ColumnDimension, ColumnOpemtion, ColumnSpace, CompanionMatrix, CondittonNumber, ConstantMatrix, ConstantVector, CreatePermutation, CrossProduct, DeleteColumn, DeleteRow, Determinant, DiagonalMatrix, Dimension,
Dimensions, DotProduct, Eigenvalues, Eigenvectors, Equql, FonyardSubstitute, FrobeniusForm, GenerateEquations, GenerateMatrix, GetResuNDataType, * GetResultShape, GivensRotationMatrix, GramSchmidt, HarikelMatrix, HermiteForm, HermitianTranspose, HessenbergForm, HilbertMatrix, Households-Matrix, IdentityMatrix, IntersectionBasis, IsDefinite, IsOrthogonal, IsSimilar, IsUnitary,
JordanBlockMatrix, JordanForm, LA_Main, LUDecomposition, LeastSquares, LinearSolve, Map, Map2, MatrixAdd, Matrixlnverse, MatrixMatrixMultiply, MatrixNorm, MatrixScalarMultiply, MatrixVectorMultiply,Minimal/Polynomial, Minor, Multiply, NoUserValue, Norm, Normalize, NullSpace, OuterProductMatrix, Permanent, Pivot, QRDecomposition, RandomMatrix, RandomVector, Rank, Row,
RowDimension, RowOperation, RowSpace, ScalarMatrix, ScalarMultiply, ScalarVector, SchurForm, SingularValues, SmithForm, SubMatrix, SubVector, SumBasis, SylvesterMatrix, ToeplitzMatrix, Trace, Transpose, TridiagonalForm, UnitVector, VandermondeMatrix, VectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiply, VectorNorm, VectorScalarMultiply, ZeroMatrix, Zero Vector, Zip ]
> 1nfolevel[LinearA1gebra]:=l:
infolevelLinearAlgebra:=1
Нетрудно заметить, что многие функции этого пакета повторяет по назначению функции более старого пакета linalg, описанного выше. Поэтому мы не будем останавливаться на их повторном описании. Главное то, что эти функции задействуют возможности быстрых алгоритмов NAG и в отличие от функций пакета linalg ориентированы на численные расчеты в формате обработки вещественных чисел, характерном для компьютерной платформы. Знающий матричные методы читатель легко поймет назначение функций пакета LinearAlgebra по их составным названиям. Например, DeleteColumn означает удаление столбца матрицы, ToeplitzMatrix означает создание матрицы Теплица, ZeroMatrix — создание матрицы с нулевыми элементами и т. д. Все имена функций этого пакета начинаются с заглавной буквы.

Пакет решения задач линейной алгебры linalg

Пакет решения задач линейной алгебры linalg


Состав пакета linalg
Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.
Поэтому разработчики Maple 7 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д.
В ядро Maple 7, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:
> with(linalg);
Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, /им/row,multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian]
Ниже указано назначение тех функций пакета linalg, которые подробно не описаны:

addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;

addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;

angle — вычисляет угол между векторами;

augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;

backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);

band — создает ленточную матрицу;

basis — находит базис векторного пространства;

bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов; . г

BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;

blockmatrix — создает блок-матрицу;

cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;

charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) — матрица, вычисляемая как v E-M);

charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;

colspace — вычисляет базис пространства столбцов;

colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;

companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;

cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm(М-1);

curl — вычисляет ротор вектора;

definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;

diag — создает блок-диагональную матрицу;

diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;

eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;

eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;

equal — определяет, являются ли две матрицы равными;

exponential — создает экспоненциальную матрицу;

ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;

fibonacci — матрица Фибоначчи;

forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например, для матрицы L и вектора b

forwardsub(L, b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L-x=b);

frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы;

gausselim — Гауссово исключение в матрице;

gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса—Жордана);

geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;

genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;

grad — градиент векторного выражения;

GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;

hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;

hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;

hilbert — создает матрицу Гильберта;

htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;

ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;

indexfunc — определяет функцию индексации массива;

Innerprod — вычисляет векторное произведение;

Intbasis — определяет базис пересечения пространств;

ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;

iszero — проверяет, является ли матрица ноль-матрицей;

jacobian —' вычисляет якобиан векторной функции;

JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;

kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;

laplacian — вычисляет лапласиан;

leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;

linsolve — решение линейных уравнений;

LudeComp — осуществляет LU-разложение;

minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;

mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;

mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;

multiply — перемножение 'матриц или матрицы и вектора;

normalize — нормализация вектора;

orthog — тест на ортогональность матрицы;

permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;

pivot — вращение относительно элементов матрицы;

potential — вычисляет потенциал векторного поля;

Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;

randmatrix — генерирует случайные матрицы;

randvector — генерирует случайные векторы;

ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;

references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;

rowspace — вычисляет базис пространства строки;

rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;

rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;

scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;

singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;

singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;

smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;

submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;

subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;

sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;

swapcol — меняет местами два столбца в матрице;

swaprow — меняет местами две строки в матрице;

sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;

toeplitz — создает матрицу Теплица;

trace — возвращает след матрицы;

vandermonde — создает вандермондову матрицу;

vecpotent — вычисляет векторный потенциал;

vectdim — определяет размерность вектора;

wronskian — вронскиан векторных функций.

Ниже мы рассмотрим более подробно наиболее часто используемые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. Для этого достаточно использовать команду
?name; где name — имя функции (из приведенного списка).

Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra

Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra


Применение алгоритмов NAG особенно эффективно в том случае, когда используется встроенная в современные микропроцессоры арифметика чисел с плавающей запятой. С помощью специального флага такую арифметику можно отключать или включать:
> UseHardwareFloats := false; # use software floats
UseHardwareFloats :=false
> UseHardwareFloats := true: # default behaviour
UseHardwareFloats :=true
Матрицы в новом пакете линейной алгебры могут задаваться в угловых скобках, как показано ниже:

Примеры применения пакета

Примеры применения пакета

LinearFunctionalSystems
Ниже представлен ряд примеров применения пакета LinearFunctionalSystems, иллюстрирующих его возможности:

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений


Ниже представлен простой пример составления и решения трех систем линейных уравнений с применением функций, входящих в пакет linalg:

равен 0. Такая матрица обычно

Шаг 1

Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размера 4x4:

Шаг 1

Ниже даны примеры транспонирования матрицы, ее инвертирования, вычисления детерминанта и собственных значений матрицы:

Шаг 1

Рисунок 15.1. График исходного сигнала
Теперь с помощью генератора случайных чисел наложим на этот сигнал сильный "шум" (слово "шум" взято в кавычки, поскольку речь идет 6 математическом моделировании шума, а не о реальном шуме физической природы):
> tol := 10000:
r := rand(0..to1):
noisyjlata :=[seq(r()/(tol)*data[t], t=l..num)]:
plots[pointp1ot](zip((x,y)->[x,y],T1me,noisy_data), sty1e=1ine);
Нетрудно заметить, что теперь форма сигнала настолько замаскирована шумом (Рисунок 15.2), что можно лишь с трудом -догадываться, что сигнал имеет периодическую составляющую малой амплитуды. Эта высокочастотная составляющая сигнала скрыта шумом.
Подвергнем полученный сигнал (в виде временной зависимости) прямому преобразованию Фурье, реализованному функцией fft:
> ft := fft(noisy_data):
> VectorOptions(ft, datatype):
complex8
Эта операция переводит задачу из временного представления сигнала в частотное, что позволяет использовать частотные методы анализа сигнала. Выделим, к примеру, действительную и мнимую части элементов вектора ft и проверим его размер:

квадратные корни из собственных значений

Шаг 2

Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы АТ=А, где Ат - транспонированная матрица А (см. ее определение ниже);Транспонированная матрица — матрица, у которой .столбцы и строки меняются . местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию AT(i,j)=A(j,i). Приведем простой пример. Исходная матрица:

Шаг 2


Читатель, понимающий суть матричных вычислений, легко справится с тестированием других функций, входящих в пакет linalg. В приведенных примерах полезно обратить внимание на то, что многие матричные функции способны выдавать результаты вычислений в аналитическом виде, что облегчает разбор выполняемых ими операций.



Шаг 2

Следующий пример показывает решение более сложной системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами:

Шаг 2

Обратите внимание, что Maple 7 теперь выдает информационные сообщения о новых условиях реализации операции инвертирования матриц с вещественными элементами, и в частности об использовании алгоритмов NAG и арифметики, встроенной в сопроцессор. (
Следующий пример иллюстрирует создание двух случайных матриц Ml и М2 и затем их умножение:

будучи умноженной на исходную квадратную

Шаг 4

Обратная матрица — это матрица М-1, которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.
Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы Ai,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:

Шаг 4

Здесь надо иметь в виду, что форматы матриц в системах Maple и MATLAB различны. Выполним LU-преобразование матрицы:

Шаг 4

Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает великое множество методов и средств их реализации. Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы:

Обычно указанную диагональ называют главной

Шаг 5

Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия под диагоналей (элементы d и k) и над диагоналей (элементы b и f). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, под диагонали и над диагонали, равны нулю, называется ленточной.
Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы.
Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:

Шаг 5

Таким образом, видно, что пакет Maple в данном случае реализует типовые матричные операции, но средствами системы MATLAB. Загрузка последней происходит автоматически при загрузке пакета Matlab. Если система MATLAB не установлена на вашем компьютере, то доступ к функциям пакета Matlab будет отсутствовать, a Maple 7 при попытке использования данных функций будет выдавать сообщения об ошибках.



Шаг 5

На этом, учитывая ограниченный объем книги, мы завершаем обзор пакета LmearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться со множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple 7. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики.

он же детерминант) легко получить

Шаг 6

где M1 — определитель матрицы порядка n - 1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-гo столбца. В таком виде определитель ( он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.
Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом:
М° = Е, М1 = М, М2 = ММ ..., Мn =Мn-1М.
Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р2 = Р.
Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат = А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат = -A. Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию Ат =А-1.Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.
Комплексно-сопряженная матрица — матрица А, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные. Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию А = А .Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х е V", х* О, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена, — |А - gE|. Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена. Норма — обобщенное понятие абсолютной (величины числа. Норма трехмерного вектора х — его длина. Норма матрицы — значение sup(Ax/x).

Матричная форма записи системы линейных

Шаг 7

Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение АХ = В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X = А-1В, где А-1 — обратная матрица.

Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems

Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems


Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи:
IsSolution(sol,sys, vars) IsSolution(sol, A, b, x, case)
IsSolution(sol, A, x, case) AreSameSolutior(sol, soil)
В них: sol — тестируемое решение, sys — система функциональных уравнений, х — независимая переменная решения, А и b — матрица и вектор с рациональными элементами, case — имя метода решения ('differential', 'difference' или 'qdifference').

Типовые матричные операции пакета расширения Matlab

Типовые матричные операции пакета расширения Matlab


Большинство функций пакета Matlab (не путайте с системой MATLAB, имя которой надо записывать прописными буквами) реализуют самые обычные матричные операции, что и иллюстрируют приведенные ниже примеры.
Зададим матрицу М в формате Maple:

Вспомогательные функции

Вспомогательные функции


Несколько вспомогательных функций пакета LinearFunctionalSystems представлено ниже:

MatrixTriangularization(mat, m, n, x, It) — триангуляция матрицы mat размера mxn с указанием типа It ('lead' или 'trail');

CanonicalSystemCshift, sys. vars) или CanonicalSystemCshift, A[, b]. x, case) — возвращает систему в каноническом виде (параметр shift задается как ' difference' или ' q - difference', назначение других параметров С9ответствует указанным выше для других функций);

ExtendSeries(sol, deg) — расширяет ряд решения sol до расширенного ряда степени deg;

HomogeneousSystemChoitio, sys, vars) илиHomogeneousSystemChomo, A[, b], x, case) — преобразует исходную систему в гомогенную с именем homo.

PropertiesCsys, vars) или Properties(A[. b]. x, case) — возвращает основные свойства системы.

Выделение сигнала на фоне шумов

Выделение сигнала на фоне шумов


Среди небольшого числа доступных функций системы MATLAB в пакете Matlab нельзя не выделить особо функции быстрого прямого и обратного преобразований Фурье. В системе MATLAB эти функции реализуют наиболее эффективные алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), обеспечивающие решение крупноразмерных задач (например, обработки сигналов, представленных векторами и матрицами больших размеров) в десятки раз быстрее, чем при обычных методах выполнения преобразований Фурье.
Покажем возможность применения БПФ на ставшем классическим примере — выделении спектра полезного сигнала на фоне сильных помех. Зададим некоторый двухчастотный сигнал, имеющий 1500 точек отсчета:
> num := 1500:
Time := [seq(.03*t. t=1..num)]:
data := [seq((3.6*cos(Time[t]) + cos(6*Time[t])), t=1..num)]:
p1ots[pointp1ot](zip((x,y)->[x,y],Time,data), style=line);
График сигнала представлен на Рисунок 15.1.

Загрузка пакета расширения Matlab

Загрузка пакета расширения Matlab


Для загрузки пакета Matlab используется команда: .
> with(Matlab);
[chol, closelink, defined, del, dimensions, eig, evalM,fft, getvar, inv, Iu,ode45, openlink, qr, setvar, size, square, transpose ]
Использование этой команды ведет к автоматическому запуску системы MATLAB (гарантируется работа с версиями MATLAB до 5.3.1 включительно) и установлению необходимой объектной связи между системами Maple 7 и MATLAB.
Примечание 1
Примечание 1


Как нетрудно заметить, данный пакет дает доступ всего к 18 функциям системы MATLAB (из многих сотен, имеющихся только в ядре последней системы). Таким образом, есть все основания полагать, что возможности MATLAB в интеграции с системой Maple 7 используются пока очень слабо и носят рудиментарный характер. Стоит ли ради этих функций иметь на компьютере огромную систему MATLAB, пользователи должны решать сами. Если ответ положительный, то, скорее всего, пользователь решает тот класс задач, для которых лучше подходит MATLAB, и надо задуматься уже над тем, нужен ли в этом случае Maple.

Научно-технические задачи в Maple

Функции интегрирования пакета student

Функции интегрирования пакета student


В пакетах Maple 7 можно найти множество специальных функций для вычисления интегралов различного типа. Например, в пакете student имеются следующие функции:

Int(expr,x) — инертная форма вычисления неопределенного интеграла;

Doubleint(expr,x,y,Domain) — вычисление двойного интеграла по переменным х и у по области Domain;

Tripleint(expr,x,y,z) — вычисление тройного интеграла;

intparts(f,u) — интегрирование по частям.

Ниже дан пример применения функции Tripleint пакета student:

Функции maximize и minimize

Функции maximize и minimize


Главными из этих функций являются maximize и minimize, оптимизирующие задачу симплекс-методом. Они записываются в следующих формах:
maximize(f, С)
minimize(f, С)
maximize(f , С, vartype)
nrinimize(f , С, vartype)
maximize(f , С,vartype, 'NewC', 'transform')
m'inimize(f , C, vartype, 'NewC', 'transform')
Здесь f — линейное выражение, С — множество или список условий, vartype — необязательно задаваемый тип переменных NONNEGATIVE или UNRESTRICTED, NewC и transform — имена переменных, которым присваиваются соответственно оптимальное описание и переменные преобразования. Ниже даны^примеры применения этих функций:

Генерация случайных чисел с заданным распределением

Генерация случайных чисел с заданным распределением


Основой этого подпакета является функция random:
random[distribution] (quantity,unifarm,method)
или
stats[random, distribution] (quantity,unifofm,method)
где

distribution — описание закона распределения случайных чисел;

quantity — положительное число, указывающее на количество получаемых случайных чисел (по умолчанию 1, возможен параметр 'generator');

uniform — процедура генерации чисел с равномерным распределением или

ключевое слово 'default' (по умолчанию);

method — указание на один из трех методов ('auto', 'inverse' или 'builtin').

Возможно задание дискретных и непрерьвных распределений, например binomiald --дискретное биномиальное распределение, discreteumform — дискретное 'равномерное распределение, empirical — дискретное эмпирическое распределение, poisson — дискретное распределение Пуассона, beta — бета-распределение, cauchi — .распределение Коши, exponential — экспоненциальное и др. (есть функции практически для всех известных распределений).
Следующие примеры демонстрируют технику получения случайных чисел с заданным законом распределения;

Графика статистического пакета stats

Графика статистического пакета stats


Статистический пакет stats имеет свою небольшую библиотечку для построения графиков. Она вызывается в следующем виде:
stats[statplots, function](args)
или
statplots[function](args)
Вид графика задается описанием function: boxplot, histogram, notehedbox, quantile, quantile2, scatterld, scatter2d и symmetry. Данные функции обеспечивают построение типовых графиков, иллюстрирующих статистические расчеты. В качестве примера на Рисунок 16.13 показано задание множества случайных точек и его отображение на плоскости в ограниченном прямоугольником пространстве.

Иллюстративная графика пакета student

Иллюстративная графика пакета student


Пакет student имеет три графические функции для иллюстрации интегрирования методом прямоугольников:

leftbox(f(x), x=a..b, о) или leftbox(f(x), x=a..b, n, 'shading'=, о);

rightbox(f(x), x=a..b, о) или rightbox(f(x), x=a..b, n, о);

middlebox(f(x), x=a..b, о) или middlebox(f(x), x=a..b, n, o);

Здесь f (x) — функция переменной х, х — переменная интегрирования, а — левая граница области интегрирования, b — правая граница области интегрирования, n — число показанных прямоугольников, color — цвет прямоугольников, о — параметры (см. ?plot,options).

Инструментальный пакет для линейных рекуррентных уравнений LREtools

Инструментальный пакет для линейных рекуррентных уравнений LREtools


Этот пакет полезен математикам, часто использующим рекуррентные отношения и формулы. Он дополняет функцию rsolve основной библиотеки и содержит следующие функции: :
> with(LREtools):
[REcontent, REcreate, REplot, REprimpart, REreduceorder, REtoDE,REtodelta, REtoproc, autodispersion, constcoeffsol,
5,dispersion, divconq, firstlin, hypergeomsols, polysols,ratpolysols, riccati, shift]
С назначением функций этого пакета можно познакомиться по справочной системе Maple 7.

Новая функция Maple 7 plot_real_curve

Новая функция Maple 7 plot_real_curve


В пакет расширения algcurves добавлена новая функция импликативной графики plot_real_curve. Она строит алгебраическую кривую для действительной части полиномиального выражения и записывается в виде:
plot_real_curve (p, х, у, opt)
Функция имеет следующие параметры:

р — полиномиальное выражение переменных х и у задающее алгебраическую кривую;

opt — параметр, который может быть записан в форме приведенных ниже выражений:

showArrows = true или false — задает показ стрелок касательных или перпендикулярных к точкам вдоль кривой (по умолчанию false);

arrowIntervalStep = posint — задает число точек, пропускаемых до показа очередной пары стрелок (по умолчанию 10);

arrowScaleFactor = positive — задает масштаб для длины стрелок (по умолчанию 1);

colorOfTangentVector = с — задает цвет касательных стрелок, по умолчанию заданный как зеленный, COLORCRGB,0,1,0);

colorOfNormalVector = с — задает цвет перпендикулярных стрелок, по умолчанию заданный как красный, COLOR (RGB ,1,0,0);

colorOf Curve = с — задает цвет кривой, по умолчанию заданный как синий, COLOR(RGB, 0, 0, 1);

eventTolerance = positive — задает погрешность при представлении сингулярных точек (по умолчанию 0,01);

NewtonTolerance = positive — задает погрешность при выполнении ньютоновских итераций в ходе построений.

Функция plot_real_curve вычисляет и строит алгебраическую кривую по точкам и может (при использовании параметра opt) строить стрелки-векторы по касательным и перпендикулярным направлениям к каждой точке или к части точек. Возможно задание разных цветов для кривой и стрелок. Применение функции plot_real_curve показывает Рисунок 16.8.
При задании построения стрелок касательные стрелки строятся по внешней части кривой и указывают направление ее построения. Перпендикулярные стрелки строятся по внутренней части кривой. Нетрудно заметить, что острие стрелки указывается только для длинных стрелок. Короткие стрелки острия не имеют и отображаются как отрезки прямых линий. Построение стрелок оказывается не вполне точным, если разнятся масштабы графика по горизонтали и вертикали, что можно подметить при внимательном рассмотрении графика на Рисунок 16.8, сверху.

При выполнении большинства вычислений рекомендуется

Новые пакеты системы Maple 7



Пакет поддержки вычислений с размерными величинами Units

При выполнении большинства вычислений рекомендуется использовать безразмерные величины. Однако в некоторых областях науки и техники, например в физике, широко используются размерные величины, у которых помимо их значения указываются единицы измерения. Довольно развитую поддержку таких расчетов обеспечивает новый пакет расширения системы Maple 7 — Units. Он содержит следующие функции:

> with(Units);

[AddBaseUnit, AddDimension,AddSystem, AddUnit, Converter, GetDimension, GetDimensions, GetSystem, GetSystems, GetUnit, GetUnits, HasDimension, HasSystem, HasUnit, Natural, RemoveDimension, RemoveSystem, Standard, Unit, UseContexts, UseSystem, UsingContexts, UsingSystem]

Большинство функций этого пакета достаточно просты и даже очевидны. В связи с этим ограничимся несколькими характерными примерами их применения:

Обзор пакетов узкого назначения

Обзор пакетов узкого назначения


Мы уже не раз обращали внимание читателя на выборочный характер описания системы Maple 7 в данной книге. Хотя она и является одной из самых полных книг по данной системе, книга не претендует на роль детального справочника по Maple 7: Более того, такого справочника в виде книги нет и, вероятно, учитывая быстрые темпы модернизации программы, так и не будет. Для подобного описания Maple пришлось бы подготовить многотомное издание, охватывающее практически все области математики.
Учитывая это, мы вынуждены отказаться от попытки описать ряд пакетов специального назначения. Такими пакетами интересуются серьезные специалисты в области математики и им (не без труда, разумеется) под силу разобраться с назначением функций таких пакетов и примерами их применения, приведенными в справочной системе Maple 7. В связи с выше сказаннным, мы ограничимся перечислением оставшихся неизученными пакетов.

Пакет алгебры линейных операторов Ore_algebra

Пакет алгебры линейных операторов Ore_algebra


Пакет Ore_algebra содержит набор функций алгебры линейных операторов, состав которого виден после обращения к пакету:
> with(0re_algebra);
[OrejoJDESol, Ore_to_RESol, Orejojdiff, Ore_to_shift, annihilators, applyopr, diff_algebra, poly, algebra, qshiji_algebra, rand_skew_poly, shift_algebra, skew_algebra, skewjslim, skewjgcdex, skewjydiv, skewjxrwer, skew_prem, skew_product]
Этот пакет поддерживает решение задач в области алгебры линейных операторов.

Пакет для работы с алгебраическими кривыми algcurves

Пакет для работы с алгебраическими кривыми algcurves


Пакет для работы с алгебраическими кривыми прекрасно дополняет возможности геометрических пакетов. При обращении к нему он дает доступ к полутора десяткам функций:
> restart;with(algcurves);
[Weierstrassform, differentials, genus, homogeneous, homology, integral_basis, isjiyperelliptic, j_invariant, monodromy,parametrization ,periodmatrix,plot_knot,puiseux, singularities ]
Ввиду важности функций пакета и их сравнительно небольшого числа приведем полную форму записи функций и их назначение:

Weierstrassform(f ,x,y,x0,y0.opt) — вычисление нормальной формы для эллиптических или гиперболических алгебраических кривых;

differentials(f, x, у, opt) — вычисление голоморфных дифференциалов алгебраических кривых;

genus(f ,x,y,opt) — проверка подлинности алгебраической кривой;

homogeneous (f, x, у, z) — создание полинома двух переменных, гомогенного в трех переменных;

homo!ogy(f, x, у) — нахождение канонического гомологического базиса по алгоритму Треткоффа;

integral_basis(f, x, у, S) — нахождение интегрального базиса алгебраического поля функции;

is_hyperelliptic(f. х, у) — тестирование кривой на ее принадлежность к гиперболической;

j_invariant(f ,x,y) — вычисление инварианта алгебраической кривой;

monodromy(f, х, у, opt) — вычисляет монодромию алгебраической кривой;

parametrization(f .x,y,.t) — нахождение параметризации для кривой с родом (даваемым функцией genuc), равным 0;

periodmatrix(f, х, у, opt) — вычисление периодической матрицы кривой;

plot_knot(f ,.x,.y,.opt) — построение узла — несамопересекающейся замкнутой кривой в трехмерном евклидовом пространстве;

puiseux(f ,х=р,у,.n,.Т) — определение Пуизе- расширения алгебраической функции (может иметь и более простые формы записи);

singularities(f ,x,y) — анализ кривой на сингулярность.

Пакет для работы с гауссовыми целыми числами Gausslnt

Пакет для работы с гауссовыми целыми числами Gausslnt


Гауссово целое число — это число вида а + I*b, где а и b — любые целые рациональные числа. Таким образом, они образуют решетку всех точек с целыми координатами на плоскости комплексных чисел. Пакет Gausslnt содержит достаточно представительный набор функций для работы с этими числами:
> with(GaussInt):
Warning, the name GIgcd has been redefined
[GIbasis, Glchrem, GIdivisor, GIfacpoly, GIfacset, GIfactor, GIfactors, GIgcd, GIgcdex, Glhermite, Glissqr, Gllcm, GImcmbine, GInearest, GInodiv, GInorm, Glnormal, Glorder, GIphi, GIprime, Glquadres, Glquo, GIrem, GIroots, GIsieve, GIsmith ,GIsqrfree, GIsqrt, Glunitnormal ]
Нетрудно заметить, что в этот набор входят уже известные числовые функции, к именам которых добавлены буквы 61. Например, функция GIfactor(c) раскладывает гауссово число (в том числе комплексное) на простые множители, GIgcd(cl, с2) находит наибольший общий делитель гауссовых чисел cl и с2 и т. д. Функции этого пакета достаточно просты, так что ограничимся приведенными примерами. Гауссовы целые числа в большинстве научно-технических расчетов встречаются крайне редко. Так что этот пакет рассчитан на специалистов-математиков, работающих в области теории чисел.

Пакет для работы с р-адическими числами padic

Пакет для работы с р-адическими числами padic


Этот весьма специфический пакет содержит следующие функции для работы с р-адическими числами:
> with(padic);
[arccoshp, arccosp,arccothp, arccotp, arccschp, arccscp, arcsechp, arcsecp, arcsinhp, arcsinp, arctanhp, arctanp, coshp, cosp, cothp, cotp, cschp, cscp, evalp, expansion, expp, Icoeffp, logp, orderp, ordp, ratvaluep, rootp, sechp, seep, sinhp,sinp, sqrtp, tanhp,tanp, valuep]
В Maple 7 число функций этого пакета увеличено почти в четыре раза. Однако ввиду специфичности данных функций их изучение мы оставляем за читателем для самостоятельной работы.

Пакет для работы с рациональными производящими функциями genfunc

Пакет для работы с рациональными производящими функциями genfunc


В пакете genfunc, предназначенном для работы с производящими функциями, содержатся следующие средства:
> with(genfunc);
[rgf_charseq, rgf_encode, rgf_expqnd, rgfjindrecur, rgfjiybrid, rgfjiorm, rgf_pfrac, rgf_relate, rgf_sequence, rgf_simp, rgfjerm,termscale]
Эти функции представляют специальный интерес для пользователей, работающих в области теории чисел и рациональных функций.

Пакет для работы с рядами ортогональных многочленов OrthogonalSeries

Пакет для работы с рядами ортогональных многочленов OrthogonalSeries


Новый пакет для работы с рядами ортогональных многочленов OrthogonalSeries имеет довольно представительный набор функций:
> with(OrthogonalSeries);
[Add, Apply Operator, ChangeBasis, Coefficients, ConvertToSum, Copy, Create, Degree, Derivate, DerivativeRepresentation, Evaluate, Getlnfo, Multiply, PolynomialMultiply, ScalarMultiply, SimplifyCoefficients, Truncate]
Поскольку этот пакет представляет интерес в основном для опытных математиков, мы не будем рассматривать его функции (в целом достаточно простые) подробно и ограничимся несколькими примерами. В следующем примере с помощью функции Create создается бесконечный ряд с ортогональным многочленом Эрмита в составе базового выражения ряда:

Пакет для работы с симметрией Ли liesymm

Пакет для работы с симметрией Ли liesymm


В этом пакете, являющемся реализацией алгоритма Харрисона-Эстабрука, имеется ряд функций:
> withCllesymm);
Warning, the protected name close has been redefined and unprotected
[ c£A,&mod, H,Lie, Lrank, TD, annul, autosimp, close, d, depvars, determine, dvalue, extgen, extvars, getcoeff, getform, hasclosure, hook, indepvars, makeforms, mixpar, prolong, reduce, setup, translate, vfix, wcollect, wdegree, wedgeset, wsubs]
Эти функции достаточно специфичны и могут пригодиться лишь узким специалистам.

Пакет для работы с таблицами Spread

Пакет для работы с таблицами Spread


Загрузка этого пакета дает средства для работы с таблицами:
> with(Spread);
{CopySelection, CreateSpreddsheet,, EvaluateCurrentSelection, EvahiateSpreadsheet,
GetCellFormula, GetCellVabe, GetFormulaeMatrix, GetMaxCok, GetMaxRows, GetSelection, GetValuesMatrix, lnsertMatrixIntoSelection , IsStale, SetCellFormula, SetMatrix, SetSelection]
Функции пакета не имеют самостоятельного значения и призвана поддерживать работу с электронными таблицами, которая уже была подробно описана. Они дают такие средства, как создание в документе шаблона таблиц, проведение операций по заполнению и редактированию ячеек таблиц, копированию содержимого таблиц в буфер памяти и т. д. Назначение функций достаточно очевидно из их составных имен.

Пакет для работы с тензорами tensor

Пакет для работы с тензорами tensor


Этот пакет впервые появился в реализации Maple V R5. Он дает средства для работы с тензорами и вычислениями, используемыми в общей теории относительности. В нем использован специальный тип данных tensor_type в виде таблиц с двумя полями: компонентов и характеристик индексов. Поле компонентов — массив с размерностью, эквивалентной рангу объекта. Поле характеристик индексов задается списком чисел 1 и -1. При этом 1 на i-й позиции Означает, что соответствующий индекс контрвариантный, а -1 — что он ковариантный.
Процедура tensor_type возвращает логическое значение true, если ее первый аргумент удовлетворяет свойствам тензора, и false, если он этому свойству не удовлетворяет.
Каждому тензору соответствуют еще две таблицы.

Пакет для работы со случайными объектами RandomTools

Пакет для работы со случайными объектами RandomTools


Пакет для работы со случайными объектами RandomTools служит для расширения базовых возможностей системы Maple 7 (для большинства пользователей и так вполне достаточных) в части генерации различных случайных объектов, таких как числа различных форматов, векторов, матриц, строковых символов, таблиц и т. д. Они образно названы Flavor (в буквальном переводе "букет (вина)"), что подчеркивает возможную сложность структуры создаваемых объектов.
Пакет представлен небольшим числом основных функций:
> with(RandomTools);
[AddFlavor, Generate, GetFlavor, GetFlavors, HasFlavor, RemoveFlavor]
Однако функции AddFlavor и Generate могут использоваться с внушительным набором типов случайных объектов:

Choose	complex	exprseq	float	identical
Integer	list	listlist	negative	negint
Nonnegative	nonnegint	nonposint	nonpositive	nonzero
Nonzeroint	polynom	posint	positive	rational
Set	structured	truefalse

Действие большинства из них вполне очевидно из названий. Основной функцией является функция генерации случайных объектов Generate(expr). Если тип объекта не задан (например, функцией AddFlavor), то использование функции Generate будет порождать сообщение об ошибке. Примеры применения функций представлены ниже:

Пакет для работы со списками ListTools

Пакет для работы со списками ListTools


Новый пакет ListTools содержит ряд полезных команд для работы со списками. Их набор представлен ниже:
> with(ListTools):
Warning, the assigned name Group now has a global binding
[BinaryPlace, BinarySearch, Categorize, DotProduct, FindRepetitions, Flatten, FlattenOnce, Group, Interleave, Join, JoinSequence, MakeUnique, Pad, PartialSums, Reverse, Rotate, Sorted, Split, Transpose ]
Пакет содержит набор известных функций для работы со списками, например скалярного умножения списков, их обращения, транспонирования, поворота, объединения и т. д. Ограничимся примером на вычисление скалярного произведения векторов:
> L := [0., .84, .91, .14, -.76, -.96, -.28, .66, .99, .41, -.54]:
L := [0., .84, .91, .14, -.76, -.96, -.28, .66, .99, .41, -.54]
> М := [1., .54, -.42, -.99, -.65, .28, .96, .75, -.15, -.91, -.84];
М:= [ 1., .54, -.42, -.99, -.65, .28, .96, .75, -.15, -.91, -.84]
> DotProduct(L, L):
5.0063
> DotProduct(L, M):
.3162
Другие новые пакеты, CurveFitting и LinearFunctionalSystem, мы рассмотрели ранее достаточно подробно (см. уроки 14 и 15). В целом надо отметить, что состав пакетов Maple 7 существенно расширен по сравнению с предшествующими версиями системы. В то же время все пакеты, вошедшие в состав Maple 6, сохранены в новой версии программы — Maple 7, что гарантирует полную совместимость с ней. Практически это было подтверждено проверкой всех (а их многие сотни) примеров применения системы Maple 6 применительно к новой версии Maple 7.

Пакет для студентов student

Пакет для студентов student


Функции пакета student
Пакет student — это, несомненно, один из пакетов, наиболее привлекательных для студентов и аспирантов. В нем собраны наиболее распространенные и нужные функции, которые студенты университетов и иных вузов обычно используют на практических занятиях, при подготовке курсовых и дипломных проектов. Набор этих функций, разумеется, не ограничивается "скромными" потребностями студентов — просто это наиболее распространенные функции, в основном относящиеся к математическому анализу. Наряду со студентами эти функции широко используют профессионалы-математики и ученые, применяющие математические методы в своей работе.
В этом пакете имеется почти полсотни функций:

D — дифференциальный оператор;

Diff — инертная форма функции вычисления производной;

Doubleint — инертная форма функции вычисления двойного интеграла;

Int — инертная форма функции интегрирования int;

Limit — инертная форма функции вычисления предела limit;

Lineint — инертная форма функции вычисления линейного интеграла lineint;

Point — тестирование объекта на соответствие типу точки (point);

Product — инертная форма функции вычисления произведения членов последовательности;

Sum — инертная форма функции вычисления суммы членов последовательности;

Tripleint — инертная форма функции вычисления тройного интеграла;

changevar — замена переменной;

combine — объединение подобных членов;

completesquare — вычисление полного квадрата (многочлена);

distance — вычисление расстояния между точками;

equate — создание системы уравнений из списков, таблицы, массивов;

extreme — вычисление экстремума выражения;

integrand — вывод подынтегрального выражения из-под знака инертного интеграла;

intercept — нахождение точки пересечения двух кривых;

intparts — интегрирование по частям;

isolate — выделение подвыражения;

leftbox — графическая иллюстрация интегрирования методом левых прямоугольников;

leftsum — числовое приближение к интегралу левыми прямоугольниками;

makeproc — преобразование выражения в процедуру Maple;

maximize — вычисление максимума функции;

middlebox — графическая иллюстрация интегрирования методом центральных прямоугольников;

middlesum — числовое приближение к интегралу центральными прямоугольниками;

midpoint — вычисление средней точки сегмента линии;

minimize — вычисление минимума функции;

powsubs — подстановка для множителей выражения;

rightbox — графическая иллюстрация интегрирования методом правых прямоугольников;

rightsum — числовое приближение к интегралу правыми прямоугольниками;

showtangent — график функции и касательной линии;

simpson — числовое приближение к интегралу по методу Симпсона;

slope — вычисление и построение касательной к заданной точке функции;

trapezoid — числовое приближение к интегралу методом трапеций;

value — вычисление инертные функции.

Пакет Domains

Пакет Domains


Этот небольшой пакет служит для создания доменов — таблиц операций для вычислений. При его загрузке появляется сообщение о переопределениях объектов и список из всего лишь шести функций:
>restart;with(Domains):
Domains version 1.0
Initially defined domains are Z and Q the integers and rationale Abbreviations, e.g. DUP for DenseUnivariatePolynomial, also made Warning, the protected names Array, Matrix and Vector have been redefined and unprotected [Array, Matrix, Matrixlnverse, Vector, init, show]
Пакет допускает применение следующих конструкций:
Domains[domain] Doma1ns[evaldomains]
Domains[example] Domains[coding]
Приведенный ниже пример поясняет создание и использование доменов Q (для рациональных
данных) и Z (для целочисленных данных):
> Q['+'](l/2,2/5,3/8);
51/40
> Z[Gcd](660,130);
10
Следующая операция показывает, что домен Z является таблицей:
> type(Z,table);
true
А функция show позволяет вывести полный перечень всех операций, доступных для домена Z:
> show(Z,operations);
Signatures for constructor Z'
note: operations prefixed by -- are not available
*: (Integers,Z) ->Z
* :(Z,Z*) ->Z
+ :(Z,Z*) ->Z
-: (Z,Z) -> Z'
- :Z ->Z
0:Z
1:Z
< :(Z,Z) -> Boolean
<= : (Z.Z) -> Boolean
<> : (Z.Z) -> Boolean
=:(Z.Z) -> Boolean
>: (Z.Z) -> Boolean
>-: (Z.Z) -> Boolean
Abs : Z ->Z
Characteristic : Integers
Coerce : Integers-> Z
Div : (Z.Z) -> Union(Z,.FAIL)
EuclideanNorm : Z -> Integers
Factor : Z -> [Z,.[[Z,Integers]*]]
Gcd : Z* -> Z
Gcdex : (Z,Z,Name) ->Z
Gcdex : (Z,.Z,Name,Name) -> Z
Input : Expression -> Union(Z,.FAIL)
Inv : Z -> Union(Z,FAIL)
Lcm : Z* -> Z
Max : (Z,Z*) -> Z
Min : (Z,.Z*)-> Z
Modp : (Z,.Z) ->Z
Mods : (Z.Z)--> Z
ModularHoraomorphlsm : () -> (Z -> Z.Z)'
Normal : Z -> Z
Output : Z -> Expression
Powmod : (Z,Integers,Z) -> Z
Prime : Z -> Boolean
Quo : (Z,.Z,Name) ->Z
Quo : (Z,.Z) -> Z
Random : О ->Z
RelativelyPrime : (Z,.Z) -> Boolean'
Rem : (Z,.Z,.Name)-> Z
Rera : (Z,Z) -> Z
Sign : Z -> UNIONU,.-l,0)
SmallerEuclideanNorm : (Z,.Z) -> Boolean
Sqrfree : Z ->[Z,.[[Z,.Integers]*]]
Type : Expression -> 'Boolean'
Unit : Z -> Z
UnitNormal : Z -> [Z,.Z,.Z]
Zero : Z -> Boolean
^ : (Z,Integers) -> Z.
Домены позволяют передавать в качестве параметра процедур набор функций в виде единого целою, что и объясняет название этих объектов. Предполагается, что это может привести к заметному сокращению кодов программ вычислений в будущих реализациях системы Maple. Пока же возможности доменов скорее выглядят как очередная экзотика, чем как реальное средство для оптимизации вычислений. Потребуется время, чтобы показать, что это не так.

Пакет функций дифференциальных форм difforms

Пакет функций дифференциальных форм difforms


В пакете дифференциальных форм содержится следующий ряд функций:
> with(difforms);
[&^, d, defform,formpart,parity, scalarpart, simpform, wdegree]
Демонстрационные материалы по применению этого пакета входят в поставку Maple 7.

Пакет функций теории чисел numtheory

Пакет функций теории чисел numtheory


В этом обширном пакете собрано 46 функций, относящихся к теории чисел:
> with(numtheory);
Warning, the protected rame order has been redefined and unprotected
[GIgcd, bigomega, cfrac, cfracpol, cyclotomic, divisors ;factorEQ,factorset,fermat, imagunit, index, integral_basis, invcfrac, invphi, issqrfree,jacobi, kronecker, Я,legendre, mcombine, mersenne, minkowski, mipolys, mlog, mobius, mroot, msqrt, nearestp, nthconver, nthdenom, nthnumer, nthpow, order,pdexpand, ф,n,pprimroot,primroot, quadres, rootsunity, safeprime, o,sq2factor, sum2sqr, т,thue ]
В новой реализации Maple 7 число функций было уменьшено. Большинство функций этого пакета достаточно просты и заинтересовавшийся читатель вполне в состоянии провести их тестирование самостоятельно.

Пакет функций теории графов networks

Пакет функций теории графов networks


Набор функций пакета networks
Графы широко используются при решении многих прикладных и фундаментальных задач. Пользователей, занятых решением таких задач, наверняка порадует пакет networks, содержащий весьма представительный набор функций:
> with(networks);
Warning, the names diameter, draw and vertices have been redefined[acycpoly, addedge, addvertex, adjacency, allpairs, ancestor, arrivals,bicomponents, charpoly, chrompoly, complement, complete, components, connect, connectivity, contract, countcuts, counttrees, cube,cycle, cyclebase, daughter, degreeseq, delete, departures, diameter,dinic, djspantree, dodecahedron, draw, duplicate, edges, ends,eweight,flow,flowpoly,fundcyc, getlabel, girth, graph, graphical,gsimp,gunion,
head, icosahedron, incidence, incident, indegree, induce, isplanar,maxdegree, mincut, mindegree, neighbors, new, octahedron, outdegree,path,petersen, random, rank, rankpoly, shortpathtree, show,shrink, span, spanpoly, spantree, tail, tetrahedron, tuttepoly, vdegree,vertices, void, vweight]
Объективности ради надо отметить, что в Maple 7 из этого пакета удалено несколько второстепенных функций, которые были в версии Maple V R5. Теория графов используется достаточно широко даже при решении прикладных задач — например, для вычисления оптимальных маршрутов движения железнодорожных составов, наиболее целесообразной раскройки тканей и листов из различных материалов и т. д.

Пакет генерации кодов codegen

Пакет генерации кодов codegen


Пакет codegen представляет собой набор команд, предназначенных для организации взаимодействия системы Maple 7 с другими программными средствами:
> with(codegen);
[С, GRAD, GRADIENT, HESSIAN, JACOB1AN, cost, declare, dontreturn, eqnjortran, homer, intrep2maple,joinprocs, makeglobal, makeparam, makeproc, makevoid, maple2intrep, optim ize, packargs, packlocals, packparams, prep2trans, renamevar, split, swapargs ]
Этот пакет очень полезен программистам, занимающимся разработкой сложных программных комплексов. Пакет позволяет создавать процедуры на языке Maple 7 и транслировать их в программные модули, записанные на других языках программирования, таких как Фортран или Си.

Пакет ХМLTools

Пакет ХМLTools


В Maple 7 резко расширены средства интеграции с Интернетом. Это сделано не только на уровне специфических для математических приложений средств, таких как рассмотренный выше пакет MathML, но и на уровне обычных языков сети, таких как HTML и XML.
Пакет XMLTools служит для поддержки средств языка XML. Этот пакет предоставляет весьма внушительное число функций для этого:
> with(XMLTools):
[AddAttribute, AddCfiild, AttrCont, AttributeCount, AttributeNames, AttributeValue, AttributeValueWithDefault, Attributes, CData, CDataData, CleanXML, Comment,
CommentText, ConfentModel, ContentModelCount, Element,
ElementName, ElementStatistics,Equal, FirstChild, FromString, GetAttribute, GetChild, HasAttribute, HasChild,
IsCData, IsComment, IsElement, IsProcessinglnstruction,
IsTree, JoinEntities, LastChild, MakeElement, Print, PrintToFile, PrintToString, ProcessAttributes, ProcessingInstruction, ProcessinglnstructionData, ProcessinglnstructionName, ReadFile, RemoveAttribute, RemoveAttributes, RemoveChild, RemoveContent, SecondChild, Select Attributes, SelectContent, SelectRemoveAttributes, SelectRemoveContent, SeparateEntities, Serialize,
Strip Attributes, StripComments, SubsAttribute, SubsAttributeName, ThirdChild, ToString, WriteFile]
Рассмотрение этих средств (как и средств поддержки HTML) далеко выходит за пределы тематики данной книги, хотя многие из них достаточно просты. Поэтому ограничимся единственным примером применения функции Print для получения программы на языке XML соответствующей программе задания выражения, рассмотренного в предшествующем разделе:
> XMLTools[Print](К );



mrowxref='id3'>

a

⁢

x

+

b





apply id='id5'>







a

x



b





a*x+b

Пакет команд для решения уравнений SolveTools

Пакет команд для решения уравнений SolveTools


Пакет команд с весьма многообещающим названием SolveTools на самом деле содержит вовсе не средства для решения уравнений, а несколько весьма специфических функций:
> with(SolveTools):
[Basis, Complexity, GreaterComplexity, RationalCoefficients, SortByComplexity]
Функции этого пакета позволяют найти базис выражений, дескрипторы и рациональные коэффициенты. Примеры применения этого пакета очень просты, и с ними несложно ознакомиться. Однако при этом возникает вопрос "Зачем это надо?", который (увы!) остается без ответа.

Пакет линейных операторов Linear-Operators

Пакет линейных операторов Linear-Operators


Пакет линейных операторов LmearOperators — новый пакет, содержащий средства для работы с линейными операторами. Состав пакета виден из его вызова:
> with(LinearOperators);
[Apply, DEToOrePoly, FactoredAnnihilator, FactoredGCRD,
FactoredMinimalAnnihilator,FactoredOrePolyToDE, FactoredOrePolyToOrePoly, FactoredOrePolyToRE, IntegrateSols, MinimalAnnihilator, OrePolyToDE, OrePofyToRE, REToOrePoly, dAlembertianSolver}
Набор функций пакета достаточно представителен. Но, поскольку область применения пакета весьма специфична, рекомендуется знакомиться с его возможностями по справкам на его функции и обзорной статье по нему, имеющейся в обзоре новых пакетов расширения Maple 7 (также размещенной в справочной базе данных пакета).

Пакет операций для работы с конечными группами group

Пакет операций для работы с конечными группами group


Этот пакет содержит довольно представительный набор функций для работы с конечными группами:
> with(group);
[DerivedS, LCS, NormalClosure, RandElement, SnConjugates, Sylow,areconjugate, center,
centralizer, core, cosels, cosrep, derived, elements,groiipmember,grouporder, inter, invperm, isabelian, isnormal,issubgroup, mulperms, normalizer, orbit, parity,
permrep, pres, transgroup ]
Функции этого пакета представляют интерес для математиков, работающих в области конечных групп. Но вряд ли они будут полезны большинству пользователей. Тем не менее, наличие таких функций говорит о полноте функциональных возможностей системы Maple 7.

Пакет организации многопроцессорной работы process )

Пакет организации многопроцессорной работы process )


Этот узкоспециализированный пакет содержит ряд функций по организации работы на нескольких процессорах:
> with(process):
[block, ey.ec, fork, kill, pclose, pipe, popen, wait ]
Данные функции представляют интерес для пользователей операционной системы UNIX, так что в проблематику данной книги не входят.

Пакет планиметрии geometry

Пакет планиметрии geometry


Набор функций пакета geometry
Пакет геометрических расчетов geometry в системе Maple 7 получил как бы второе рождение число его функций по сравнению с версией этого пакета в системе Maple V R5 возросло в несколько раз. Теперь загрузка пакета возвращает весьма внушительный список из более чем 100 функций:
> with(geometry);
[Appolonius, AreCollinear, AreConcurrent, AreConcyclic, AreConjugate, AreHarmonic, AreOrthogonal, AreParallel, ArePerpendicular, AreSimilar, AreTangent, CirdeQfSimilitude,CrossProduct, CrossRatio, DefinedAs, Equation, EulerCircle, EulerLine, Exterior Angle, ExternalBisector, FindAngle, GergonnePoint, GlideRefledion, HorizontalCoord, HorizontalName, InteriorAngle, IsEquilateral,
IsOnCircle, IsOnLine, IsRightTriangle, MajorAxis, MakeSquare, MinorAxis,NagelPoint, OnSegment, ParallelLine, PedalTriangle, PerpenBisector, PerpendicularLine, Polar, Pole, RadicalAxis, RadicalCenter, RegularPolygon, RegularStarPolygon, SensedMagnitude, SimsonLine, SpiralRotation, StretchReflection, StretchRotation, TangentLine, VerticalCoord, VerticalName,
altitude, apothem, area, asymptotes, bisector, center, centroid, circle, circumcircle, conic, convexhull, coordinates, detail, diagonal, diameter, dilatation, directrix, distance, draw, dsegment, ellipse, excircle, expansion, foci, focus, form, homology, homothety, hyperbola, incircle, inradius, intersection, inversion, line, medial, median, method, midpoint, orthocenter, parabola, perimeter, point, powerpc, projection,
radius, randpoint, reciprocation, reflection, rotation, segment, sides, similitude, slope, square, stretch, tangentpc, translation, triangle, vertex, vertices}
Этот пакет содержит средства расчета основных параметров ряда геометрических объектов. Для каждого объекта возможно задание различных исходных величин, так что пакет охватывает практически все виды классических геометрических расчетов на плоскости. Несомненно, этот пакет заинтересует всех, кто работает в области геометрии и смежных областях.
Обратите внимание на то, что многие функции этого пакета вовсе не рисуют на экране соответствующие фигуры, а лишь выполняют типовые геометрические расчеты. Разумеется, в дальнейшем, используя результаты этих расчетов, можно построить соответствующую фигуру с помощью графических функций.

Пакет поддержки стандарта MathML

Пакет поддержки стандарта MathML


Для представления математической информации на страницах Интернета в последние годы был создан специальный язык MathML. Пока для большинства пользователей MathML — просто "экзотика", но так как наряду с XML его поддерживает World Wide Web Consortium, его вынуждены поддерживать все солидные фирмы — причем не только создающие системы Компьютерной математики. Среди них такие крупные корпорации, как Intel, IBM и Microsoft. В Maple 7 предусмотрена новая возможность поддержки стандарта MathML 2.O. Для такой поддержки используются MathML Viewer (см. урок 2) и пакет MathML.
Пакет MathML дает минимальный набор функций для использования языка MathML:
> with(HathML);
[Export, ExportContent, ExportPresentation, Import, ImportContent]
В нем всего 5 функций, что позволяет разобрать их достаточно детально. Первые три функции служат для экспорта выражений:

Export(expr) — преобразует Maple-выражение ехрr в параллельное MathML-выражение;

ExportContent (expr) — преобразует Maple-выражение ехрr в MathML-выра-жение в формате содержания;

ExportPresentation (ехрr) -преобразует Maple-выражение expr в MathML-выражение в формате представления.

Еще две функции служат для импорта строки в формате MathML и его преобразования в Maple-выражение:
Import(mnlstring) и ImportConterrt(mmlstnng)
Следующий пример наглядно иллюстрирует применение функций пакета расширения MathML для преобразования математического выражения а*х+b вначале в запись на MathML, а затем преобразование этой записи str в Maple-выражение:
> str:=MathML[Export]
( а*х + b );
str := "
axb\ a*x+b " > Import(str):a x + b
Этот пример показателен тем, что дает представление о виде записей на языке MathML. Нетрудно заметить, что это достаточно громоздкий язык. Функции, представленные выше, автоматизируют процесс составления записей на языке MathML обычных математических выражений, что делает доступной для обычных пользователей подготовку публикации в Интернете, содержащей математические выражения.

Пакет решения задач линейной оптимизации simplex

Пакет решения задач линейной оптимизации simplex

Обзор средств пакета
Задачи линейной оптимизации важны как в фундаментальных, так и в прикладных приложениях математики. В пакете simplex имеется небольшой, но достаточно представительный набор функций и определений для решения таких задач:
> with(simplex);
Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected
[basis, convexhull, cterm, deftne_zero, display, dual,feasible, maximize, minimize,pivot, pivoteqn, pivotvar, ratio, setup, standardize ]
Приведем краткое назначение этих функций:

basis — возврат списка основных переменных для множества линейных уравнений;

convexhull — вычисление выпуклой оболочки для набора точек;

cterm — задание констант для системы уравнений или неравенств;

define_zero — определение наименьшего значения, принимаемого за ноль (по

умолчанию увязано со значением системной переменной Digits);

display — вывод системы уравнений или неравенств в матричной форме;

dual — выдача сопряженных выражений; ,

equality — параметр для функции convert, указывающий на эквивалентность;

feasible — выяснение возможности решения заданной задачи:

maximize — вычисление максимума функции;

minimize — вычисление минимума функции;

pivot — создание новой системы уравнений с заданным главным элементом;

pivoteqn — выдача подсистемы уравнений для заданного главного элемента;

pivotvar — выдача переменных с положительными коэффициентами в целевой функции;

ratio — выдача отношений для определения наиболее жесткого ограничения;

setup — задание системы линейных уравнений;

standardize — приведение заданной системы уравнений или неравенств к стандартной форме неравенств типа "меньше или равно".

Пакет создания контекстных меню context

Пакет создания контекстных меню context


Пакет context служит для создания контекстных меню. Он содержит небольшое число функций:
> with(context):
[buildcontext, clearlabels, defaultcontext,
display, installcontext, restoredefault,
testactions, troubleshoot]
Этот пакет используется довольно редко и в основном пользователями, решающими в среде Maple не вычислительные, а системные задачи. Описание таких задач выходит за рамки данной книги.

Пакет создания внешних программ ExternalCalling

Пакет создания внешних программ ExternalCalling


Пакет ExternalCalling служит для создания внешних программ, записанных на языке Maple (или C++). Состав пакета представлен небольшим числом функций:

DefineExternal(fn,extlib) — используя функцию define_external, Maple 7 задает внешнюю функцию fn в таблице функций внешних библиотек extlib;

External LibraryName (basename, precision) — задает имя basename функции и точность вычислений precision для функции внешней библиотеки.

Детальное знакомство с этим пакетом мы опускаем. Заинтересованный читатель найдет нужные сведения в справке по этому пакету.

Пакет статистических расчетов stats

Пакет статистических расчетов stats


Характеристика пакета stats
Мир математических систем сейчас насыщен статистическими системами, например такими, как Statistica или StatGraphics. Они прекрасно приспособлены для решения задач статистической обработки обширных массивов данных. Тем не менее проведение статистических расчетов в Maple 7 возможно и в ряде случаев весьма целесообразно — например, когда они являются частью исследовательского проекта.
Пакет stats для таких расчетов представлен всего двумя многоцелевыми статистическими функциями:
stats[subpackage, functionj(args)
subpackage[function](args)
Однако благодаря специальной форме задания параметров (в частности, в виде подпакетов — subpackages) возможно вычисление самых разнообразных статистических функций. Имеются следующие подпакеты:

anova — вариационный анализ;

describe — функции распределения вероятности;

fit — регрессионный анализ;

random — генерация случайных чисел с различными законами распределения;

statevalf — вычисление статистических функций и получение оценок для массивов данных;

statplots — построение графиков статистических функций;

transform — функции преобразования данных.

Пакет стереометрии geom3d

Пакет стереометрии geom3d


Набор функций пакета geom3d
Помимо существенного расширения пакета geometry в систему Maple 7 введен новый геометрический пакет geonfld. Он предназначен для решения задач в области трехмерной геометрии. При загрузке пакета появляется доступ к большому (свыше 140) числу новых функций:
> with(geom3d);
[Archimedean, AreCollinear, AreConcurrent, AreConjugate, AreCoplanar, AreDistinct, AreParallel, ArePerpendicular, AreSameObjects, AreSamePlane, AreSkewLines, DefinedAs, DirectionRatios, Equation,'FindAngle, FixedPoint, GlideReflect, GlideReflection, GreatDodeeahedron, Greatlcosahedron, GreatRhombicuboctahedron, GreatRhombiicosidodecahedron,
GreatStellatedDodecahedron,HarmonicConjugate,
HexakisIcosahedron,Hexakis Octahedron, JnRadius,
Is Archimedean, IsEquilateral, IsFacetted,
IsOnObject, IsQuasi,hRegular,
IsRightTriangletIsStellated,IsTangent,
MidRadius, NormalVector, OnSegment, ParallelVector, PentagonalHexacontahedron, PentagonallcositetrahedronjPentakisDodecahedron, QuasiRegularPolyhedron,
RadicalCenter, RadicalLine,RadicalPlane, RegularPolyhedron, RhombicDodecahedron, RhombicTriacontahedron, Rotatory Reflect, Rotatory Reflection, ScrewDisplace, ScrewDisplacement, SmallRhombicubactahedron, SmallRhombiicosidodecahedron, SmallStellatedDodecahedron, SnubCube, SnubDodecahedron, StereographicProjection, StretchRotate, TangentPlane,
TetrakisHexahedron, TrapezoidalHexecontahedron, Trapezoidallcositetrahedron, Triakislcosahedron, TriakisOctahedron, TriakisTetrahedron, TruncatedCuboctahedron, TruncatedDodecahedron,TruncatedHexahedron, Truncatedlcosahedron, Truncatedlcosidodecahedron, TruncatedOctahedron, TruncatedTetrahedron, altitude, area, center, centroid, circle, coordinates, cube,
cuboctahedron, detail, dilate, distance, dodecahedron, draw, dsegment, duality,faces, facet, form, gtetrahedron, hexahedron, homology, homothety, icosahedron, icosidodecahedron, identity, incident, intersection, inverse, inversion, line, midpoint, octahedron, parallel, parallelpiped, plane, point, polar, pole, powerps, projection, radius, rqndpoint, reflect^ reflection, rotate, rotation, schlafli, segment, sides, sphere, stellate, tetrahedron, tname, transform, translate, translation, transprod, triangle, unit, valuesubs, vertices, volume, xcoord, xname, ycoord, yname, zcoord, zname ]
Функции этого пакета обеспечивают задание и определение характеристик и параметров многих геометрических объектов: точек в пространстве, сегментов, отрезков линий и дуг, линий, плоскостей, треугольников, сфер, регулярных и квазирегулярных полиэдров, полиэдров общего типа и др. Для описания функций этого пакета пришлось бы воспроизвести обширное справочное руководство по стереометрии. В то же время назначение функций ясно из их названия, а характер применения тот же, что для функций описанного выше пакета geometry.

Получение информации о графе

Получение информации о графе


Еще один пример, приведенный ниже, иллюстрирует работу функции show, выдающей таблицу с полной информацией о графе, созданном функцией complete:

Построение алгебраических кривых класса knot

Построение алгебраических кривых класса knot


Функция plot_knot позволяет строить одну или несколько алгебраических кривых — узлов. Пример построения целого семейства узлов показан на Рисунок 16.7.

Пример применения пакета geom3d

Пример применения пакета geom3d


Учитывая сказанное, ограничимся единственным примером применения этого пакета (Рисунок 16.6).

Пример применения расчетных функций пакета geometry

Пример применения расчетных функций пакета geometry


К сожалению, описание всех функций этого пакета потребует привести справочные данные практически по всей геометрии на плоскости, объем которых намного превышает объем данной книги. Учитывая идентичность идеологии при работе с функциями этого пакета, большинство из которых имеет вполне прозрачные имена (правда, англоязычные), работу с пакетом поясним на примере одной из функций — circle. Она позволяет математически задать окружность и определить все ее геометрические параметры. Функция может иметь несколько форм записи. Например, в форме:
circle(c,. [А. В. С], n, 'centername'=m)
она определяет построение окружности, проходящей через три точки А, В и С. Необязательный параметр n — список с именами координатных осей. Параметр ' centername' =m задает имя центра.
В форме circle(c. [А. В], n, 'centername'=m) задается окружность, проходящая через две точки А и В, а в форме circle(c, [A, rad], n, 'centername'=m) задается окружность, проходящая через одну точку А с заданным (и произвольным) радиусом rad и центром с. Наконец, функция circle в форме circle (с, eqn, n, 'centername'=m) позволяет задать окружность по заданным уравнению eqn и центру с. Проиллюстрируем применение функции circle на следующих примерах. Зададим характеристические переменные:
> EnvHorizontalName := m: _EnvVertlcalNane :=n;:
Определим окружность c1, проходящую через три заданные точки А, В и С с указанными после их имен координатами, и найдем координаты центра этой окружности:

Примеры применения пакета algcurves

Примеры применения пакета algcurves


Приведем примеры применения функций пакета algcurves:

Примеры применения пакета networks

Примеры применения пакета networks


Рассмотрим некоторые избранные функции этого пакета, которые наиболее часто используются при работе с графами. Детали синтаксиса функций можно найти в справочной базе данных Maple 7.
Функции создания графов:

new — создает пустой граф (без ребер и узлов);

void — создает пустой граф (без ребер);

duplicate — создает копию графа;

complete — создает полный граф;

random — возвращает случайный граф;

petersen — создает граф Петерсена. Функции модификации графов:

addedges — добавляет в граф ребро;

addvertex — добавляет в граф вершины;

connect — соединяет одни заданные вершины с другими;

delete — удаляет из графа ребро или вершину. Функции контроля структуры графов:

draw — рисует граф;

edges — возвращает список ребер графа;

vertices — возвращает список узлов графа;

show — возвращает таблицу с полной информацией о графе; .

ends — возвращает имена вершин графа;

head — возвращает имя вершины, которая является головой ребер;

tail — возвращает ими вершины, которая является хвостом ребер;

incidence — возвращает матрицу инцидентности;

adjacency — возвращает матрицу смежности;

eweight — возвращает веса ребер;

weight — возвращает веса вершин;

isplanar — упрощает граф, удаляя циклы и повторяющиеся ребра, и проверяет его на планарность (возвращает true, если граф оказался планарным, и false — в противном случае).

Функции с типовыми возможностями графов:

flow — находит максимальный поток в сети от одной заданной вершины к другой;

shortpathtree — находит кратчайший путь в графе с помощью алгоритма Дейкстры.

Каждая из этих команд имеет одну или несколько синтаксических форм записи. Их можно уточнить с помощью справочной системы. С ее помощью можно ознакомиться и с назначением других функций этого обширного пакета.
Проиллюстрируем его применение на нескольких типичных примерах.
На Рисунок 16.9 показан пример создания Графа, имеющего четыре вершины, и графа Петерсона с выводом их графиков графической функцией draw.
На Рисунок 16.10 показан другой пример работы с графами — построение графа функцией complete и затем его преобразование путем удаления части вершин. Исходный и преобразованный графы строятся функцией draw.
В третьем примере (Рисунок 16.11) граф формируется по частям — вначале задается пустой граф функцией new, а затем с помощью функций addvertex и addedge в него включаются вершины и ребра. Далее функция connect соединяет вершину а с вершиной с, делая граф замкнутым. Функция draw строит сформированный таким образом граф, а функции head и tail используются для выявления "голов" и "хвостов" графа.
В четвертом примере, представленном на Рисунок ,16.12, показано создание графа G2 (его изображение было приведено на Рисунок 16.10) с вычислением для этого графа максимального потока от вершины 1. Обратите внимание, что в параметрах функции flow, использованной для этого, заданы две переменные: eset — принимает значение множества с ребрами, по которым проходит максимальный поток, и соmр — принимает значение множества, в котором содержатся вершины, по которым проходит максимальный поток. Значения этих переменных выведены в области вывода. В заключительной части этого примера показано применение функции shortpathtree, ищущей наиболее короткий путь от вершины 1 до других вершин.

Прочие функции пакета simplex

Прочие функции пакета simplex


Функция basis(C) возвращает базис для системы линейных уравнений С. Например:
> basisC [ х - 2*z+w , z - 2*у - w ] );
[x,z]
Функция convexhull(ps) возвращает выпуклую оболочку множества точек ps:
> convexhum{[0,0],[l,l],[2,-l],[1,1/3],[1,1/2]}):
[[0,0],[2,-1],[1, 1]]
Для определения констант для системы линейных уравнений или неравенств служит функция cterm(C):
> cterm([2*х+у<=6.7*y-z-3-4]);
[6,7]
Функция define_zero(C) возвращает ближайшее ненулевое значение, зависящее от установки переменной Digits:

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ


Под регрессионным анализом (или просто регрессией) обычно подразумевают нахождение некоторой формальной аналитической зависимости, которая приближенно (по критерию минимума среднеквадратической ошибки) аппроксимирует исходную зависимость. Последняя чаще всего бывает представлена некоторым набором точек (например, полученных в результате эксперимента).
Для проведения регрессионного анализа служит функция fit, которая вызывается следующим образом:
stats[fit,leastsquare[vars,eqn.parms]](data)
или
fit[leastsquare[vars,eqn.parms]](data)
где data — список данных, vars — список переменных для представления данных, eqn — уравнение, задающее аппроксимирующую зависимость (по умолчанию линейную), parms — множество параметров, которые будут заменены вычисленными значениями.
На приведенных ниже примерах показано проведение регрессии с помощью функции fit для зависимостей вида у(х):
> with(stats):Digits:=5;
Digits := 5
> fit[leastsquare[[x,y]]]([[l,2,3,4].[3,3.5,3.9,4.6]]);
у = 2.4500 + .52000 х
>fit[leastsquare[[x,y], y=a*x"2+b*x+c]]([[l.2,3.4],[1.8,4.5,10,16.5]]);
2
у = .95000 х + .21000 х + .55000
В первом примере функция регрессии не задана, поэтому реализуется простейшая линейная регрессия, и функция fit возвращает полученное уравнение регрессии для исходных данных, представленных списками координат узловых точек. Это уравнение аппроксимирует данные с наименьшей среднеквадратичной погрешностью. Во втором примере задано приближение исходных данных степенным многочленом второго порядка. Вообще говоря, функция fit обеспечивает приближение любой функцией полиномом.
Рисунок 16.15 показывает регрессию для одних и тех же данных Полиномами первой, второй и третьей степени с построением их графиков и точек исходных данных. Нетрудно заметить, что лишь для полинома третьей степени точки исходных данных точно укладываются на кривую полинома, поскольку в этом случае (4 точки) регрессия превращается в полиномиальную аппроксимацию. В других случаях точного попадания точек на линии регрессии нет, но обеспечивается минимум среднеквадратической погрешности для всех точек — следствие реализации метода наименьших квадратов.
Функция fit может обеспечивать регрессию и для функций нескольких переменных. При этом надо просто увеличить размерность массивов исходных данных. В качестве примера ниже приведен пример регрессии для функции двух переменных:
>f:=fit[1eastsquare[[x,y,z],z=-a+b*x+c*y,{a,b,c}]]\
([[l,2,3.5,5],[2.4,6,8.8],[3,5,7,10,Weight(15,2)]]):
f:=z=l + 13/3x-7/6y
> fa:=unapply(rhs(f),x,y);
fa:=(x,y)->l + 13/3x-7/6y
z > fa(1.,2.);
2.999999999
>fa(2,3):
37/6

Для лучшего обзора таких кривых

Шаг 1

Рисунок 16.7. Семейство узлов
Для лучшего обзора таких кривых рекомендуется воспользоваться возможностью вращения трехмерных фигур мышью для уточнения угла, под которым рассматривается фигура — в нашем случае семейство алгебраических кривых. Построение на Рисунок 16.7 выполняется довольно медленно — даже на компьютере с процессором Pentium III 600 МГц оно занимает около минуты.



Шаг 1

Разумеется, приведенные примеры далеко не исчерпывают всех задач, которые можно решать с применением графов. Но они наглядно демонстрируют, что для большинства пользователей пакет networks превращает графы из окутанного ореолом таинственности модного средства в простой рабочий инструмент.



Шаг 1

Рисунок 16.13. Создание случайных точек и построение их на плоскости
По равномерности распределения точек можно судить о качестве программного генератора случайных чисел, встроенного в Maple 7.
Довольно часто для визуализации вычислений используется построение гистограмм. Для их создания пакет stats имеет функцию histogram:
stats[statplotsб histogram](data) :
statplots[h1stogram](data)
stats[statplots, histogram[scale](data)
statp1ots[histogram[scale](data)
Здесь data — список данных, scale — число или описатель. Детали применения этой простой функции поясняет Рисунок 16.14. На нем дан два примера — построение столбцов заданной ширины и высоты и построение гистограммы 100 случайных чисел с нормальным распределением.

Шаг 1

Объективности ради надо отметить, что вычисление тройного интеграла с помощью функции Tripleint занимает много времени (около 20 с на компьютере с процессором Pentium II 350 МГц). 'Однако тот же результат (см. последний пример) получается за доли секунды при использовании тройного интегрирования с помощью функции int.



Шаг 1

Функция display(C) имеет еще и форму display(C,[X, у, z]). Она задает вывод линейных уравнений и неравенств в матричной форме:

Шаг 1

В другом примере показано представление полиномиального выражения в новом базисе с ортогональными многочленами Чебышева с помощью функции ChangeBasis:

Шаг 1

Рисунок 16.6. Иллюстрация применения пакета geom3d
Напоминаем, что цель пакета не в построении рисунков геометрических фигур, а в аналитическом представлении объектов в пространстве. Поэтому в обширной базе данных справочной системы по этому пакету вы встретите очень много рисунков.



Шаг 1

Рисунок 16.1. Построение кардиоиды из окружностей
Рисунок 16.2 дает графическую иллюстрацию к одной из теорем Фейербаха. Здесь эффектно используются средства выделения геометрических фигур цветом, что, увы, нельзя оценить по книжной черно-белой иллюстрации.
На следующем рисунке (Рисунок 16.3) показано построение фигуры, образованной вращением множества квадратов относительно одной из вершин. Это хороший пример применения функций point, square,.rotation и draw из пакета geometry.
Рисунок 16.4 показывает гомологические преобразования квадрата. Заинтересовавшийся читатель может легко разобраться с деталями простого алгоритма этой программы.
Примечание 1
Примечание 1


Обратите особое внимание на последний параметр в функции draw. Он задает построение титульной надписи с заданными шрифтом и размером символов. Сравните титульные надписи на Рисунок 16.4 и 16.3, где титульная надпись сделана шрифтом, выбранным по умолчанию. Приятно, что в обоих случаях нет преград для использования символов кириллицы и создания надписей на русском языке.
Наконец, на Рисунок 16.5 показан пример построения трех окружностей, имеющих две общие точки. Обратите внимание на вывод надписей "о", "ol" и "о2", указывающих положение центров окружностей на рисунке.

Примеры применения функции plot_real_curve

Шаг 2


Рисунок 16.8. Примеры применения функции plot_real_curve



Шаг 2

Рисунок 16.14. Построение гистограмм
Обратите внимание на то, что для второго примера гистограмма будет несколько меняться от пуска к пуску, так как данные для ее построения генерируются случайным образом.



Шаг 2


Рисунок 16.15. Примеры регрессии полиномом и первой, второй и третьей степени
В данном случае уравнение регрессии задано в виде z = a + bx + cy. Обратите внимание на важный момент в конце этого примера — применение полученной функции регрессии для вычислений или построения ее графика. Прямое применение функции f в данном случае невозможно, так как она представлена в не вычисляемом формате. Для получения вычисляемого выражения она преобразуется в функцию двух переменных fa(x,y) путем отделения правой части выражения для функции f. После этого возможно вычисление значений функции fa(x,y) для любых заданных значений х и у:
К сожалению, функция fit неприменима для нелинейной регресии. При попытке ее проведения возвращается структура процедуры, но не результат регресии — см. пример ниже:

Шаг 2

Функция dual(f, С, у) имеет следующие параметры: f — линейное выражение y, С множество неравенств и у — имя. Эта функция возвращает сопряженное с f выражение:
> dual( x-y,{2*x+3*y<=5.3*x+6*y<=15},z);
115zl +5z2, {1_<3z1+2z2,-l_<6z1+3z2}
Функция feasible может быть задана в трех формах:
feasible(C)
feasible(C,vartype)
feasible(C,vartype,'NewC','Transform')
Здесь параметр vartype может иметь значения NONNEGATIVE или UNRESTRICTED. Эта функция определяет систему как осуществимую или нет:
> feasible({2*x+3*y<-5, 3*x+6*y<"15}, NONNEGATIVE);
true
> feasib1e({2*x+3*y<-5, 3*х+б*у<—15}, NONNEGATIVE);
false
Если функция возвращает логическое значение true, то заданная система осуществима, а если false — неосуществима, то есть ни при каких значениях переменных не способна удовлетворить записанным неравенствам и равенствам. Функция pivot (С, х, eqn) конструирует новую систему с заданным главным элементом:

Шаг 2

Обратите внимание на то, что новое выражение после исполнения команды Evaluate приняло вид исходного выражения.
Следующий пример демонстрирует создание ряда на основе ортогональных многочленов Чебышева и его копирование с помощью функции Сору:
> S:=Create((-irn/n!,ChebyshevT(n,x));

Шаг 2


Функция GetFlavor(flvr) представляй случайный объект (или объекты) в форме процедуры:
> AddF1avor(a = rand(1..20)):
Generate(a):
15
> GetFlavor(a);
procO localt; global_seed;
_seed := irem(ax_seed,p);
t :=_seed;
toconcats do_seed:=irem(ax_seed,p);
t := sxt + _seed end do ;
irem(t, divisor) +offset endproc
> GetFlavor(integer);
module () localDefaults;
exportMain;
end module
Другая функция GetFlavors () возвращает все типы случайных объектов:
> GetFlavorsO;
a, alphachar, choose, complex, exprseq, float, integer, list, listlist, negative, negint, nonnegative, nonnegint, nonposint, nonpositive, nonzero, nonzeroint, polynom, posint, positive, rational, set, string, truefalse
Функция HasFlavor(flvr) служит для проверки наличия объекта данного типа в списке типов объектов, а функция RemoveFl avor(f1vr) — для удаления типа объекта. Следующие примеры иллюстрируют применение этих функций:
> HasFlavor(a):
true
> RemoveFlavor(a);
> HasFlavor(a):
false
> GetFlavors();
alphachar, choose, complex, exprseq, float, integer, list, listlist, negative, negint, nonnegative, nonnegint, nonposint, nonpositive, nonzero, nonzeroint, polynom, posint, positive, rational, set, string, truefalse
Обратите внимание на то, что после уничтожения объекта типа а он исчез из списка, выводимого функцией GetFlavors. Этот пакет, несмотря на довольно специфические возможности, наверняка будет полезен тем читателям, которые всерьез заняты реализацией "продвинутых" методов Монте-Карло, основанных на моделировании случайных объектов и ситуаций. Он служит серьезным дополнением к пакету статистических расчетов stats, описанному в этом уроке выше.



Шаг 2

и уравнение окружности, заданное в аналитическом виде:

Шаг 2

Рисунок 16.2. Графическая иллюстрация к теореме Фейербаха

Для проведения нелинейной регрессии произвольного

Шаг 3

Для проведения нелинейной регрессии произвольного вида нужно обратиться к средствам нового пакета CurveFitting, включенного в состав Maple 7. Этот пакет был описан в главе 14.



Шаг 3

Функция pivoteqn(C, var) возвращает подсистему для заданного диагонального элемента С:
> pivoteqnC {_SL1 - 5-3*х-2*у. _SL2 - 4-2*х-2*у}. х );
[_SLl = 5-lx-2y]
Функция pivotvar(f, List) или pivotvar(f) возвращает список переменных, имеющих положительные коэффициенты в выражении для целевой функции:

Шаг 3

Вычисление производной от ряда с ортогональными многочленами представлено ниже:

Шаг 3

Наконец, с помощью функции detail получим детальное описание окружности:

Преобразование графа удалением части

Шаг 4


Рисунок 16.10. Преобразование графа удалением части вершин

Шаг 4


Рисунок 16.16. Примеры иллюстративной графики пакета student
В этих функциях прямоугольники строятся соответственно слева, справа и по середине относительно узловых точек функции f(x), график которой также строится. Кроме того, имеется функция для построения касательной к заданной точке х = а для линии, представляющей f(x):
showtangent (f(x), x = а)
Рисунок 16.16 показывает все эти возможности пакета student. Три вида графиков здесь построены в отдельных окнах.
Графические средства пакета student ограничены. Но они предоставляют как раз те возможности, которые отсутствуют в основных средствах построения графиков.



Шаг 4

Функция ratio(C, x) возвращает список отношений, задающих наиболее жесткие ограничения:

Шаг 4

Еще один пример демонстрирует операцию скалярного умножения ряда с помощью функции ScalarMultiply:

Шаг 4

Заинтересованный в таких расчетах читатель может самостоятельно ознакомиться с другими функциями аналогичным образом, тем более, что в справочной системе этого пакета имеется множество примеров работы с его функциями.



Шаг 4


Рисунок 16.3. Фигура, полученная вращением квадрата

и определение его

Шаг 5

Рисунок 16.11. Формирование графа и определение его "голов" и "хвостов"

Шаг 5


Функция setup может иметь три формы:
setup(C)
setup(C, NONNEGATIVE)
setup(C, NONNEGATIVE, 't')
Она обеспечивает конструирование множества уравнений с переменными в левой части:

Шаг 5

Приведенные примеры показывают, что применение этого пакета достаточно просто. С деталями (порой довольно многочисленными) применения функций этого пакета можно познакомиться по справке на данный пакет.

и наиболее коротких путей для

Шаг 6

Рисунок 16.12. Пример вычисления максимального потока и наиболее коротких путей для заданного графа



Шаг 6


Последняя функция — standartlze(C) — конвертирует список уравнений (неравенств) в неравенства типа "меньше или равно":
> standardize({2*x+3*y<-5.3*x+5*yl5});
{2х + Зу<5,Зх + 5у<15,-Зх-5у<-15}



Шаг 6


Рисунок 16.4. Гомологические преобразования квадрата

Три окружности, имеющие две общие

Шаг 8


Рисунок 16.5. Три окружности, имеющие две общие точки
Множество примеров применения всех функций пакета geometry дано в справочной системе Maple 7. Рекомендуется просмотреть те из них, которые нужны вам.

Таблица коэффициентов вращения

Таблица коэффициентов вращения задает коэффициенты вращения Ньюмена—Пенроуза, которые вычисляются функцией tensor[npspin] и индексируются именами греческих букв alpha, beta, gamma, epsilon и т. д. Другая таблица (компонент кривизны) содержит компоненты кривизны Ньюмена—Пенроуза. Они представлены тремя полями: полем Phi в виде массива размерности (0..2.0..2) с компонентами Риччи, поле Psi с массивом размерности (0. .4) с компонентами Вейля и полем R со скаляром Риччи.

Объявление:
> with(tensor);
[Christoffell, Christoffel2, Einstein, Jacobian, Killing_eqns, LevijCivita, Lie_diff, Ricci, Ricciscalar, Riemann, RiemannF, Weyl, act, antisymmetrize, change_basis, commutator,
compare, conj, connexF, contract, convertNP, cov_diff,
create,dlmetric, d2metric, directional_diff, displayGR, display_allGR, dual, entermetric, exteriorjiiff, exterior_prod, frame,geodesic_eqns, get_char, get_compts,get_rank, init, invars, invert, lin_com, lower, npcurve, npspin, partial_diff, permute_indices, petrov, prod, raise, symmetrize, tensorsGR, transform}
дает доступ к следующим функциям пакета:

Christoffell — вычисление символов Кристоффеля первого рода;

Christoffel2 — вычисление символов Кристоффеля второго рода;

Einstein — возвращение тензора Эйнштейна;

display_alJGR — описывает ненулевые компоненты всех тензоров и параметров, вычисленных командой tensorsGR (общая теория относительности);

displayGR — описывает ненулевые компоненты конкретного тензора (общая теория относительности);

Jacobian — Якобиан преобразования координат;

Killng_eqns — вычисление компонентов для уравнений Киллинга (имеет отношение к симметриям пространства);

LeviCivita — вычисление ковариантных и контрвариантных псевдотензоров Леви—Чивита;

Lie_diff — вычисляет производную Ли тензора по отношению к контравариантному векторному полю;

Ricci — тензор Риччи;

Ricciscalar — скаляр Риччи;

Riemann — тензор Римана;

RiemannF — тензор кривизны Римана в жесткой системе отсчета;

tensorsGR — вычисляет тензор кривизны в данной системе координат (общая теория относительности);

Weyl — тензор Вейля;

act — применяет операции к элементам тензора, таблицам вращений или кривизны;

antisymmetrize — антисимметризация тензора по любым индексам;

change_basis — преобразование системы координат;

commutator — коммутатор двух контравариантных векторных полей;

compare — сравнивает два тензора, таблицы вращений или кривизны;

conj — комплексное сопряжение;

connexF — вычисляет связующие коэффициенты для жесткой системы координат;

contract — свертка тензора по парам индексов;

convertNP — преобразует связующие коэффициенты или тензор Римана к формализму Ньюмена—Пенроуза;

cov_diff — ковариантное дифференцирование;

create — создает тензорный объект;

dlmetric — первая частная производная метрики;

d2metric — вторая частная производная метрики;

directional_diff — производная по направлению;

dual — осуществляет дуальную операцию над индексами тензора;

entermetric — обеспечивает ввод пользователем координатных переменных и ковариантных компонент метрического тензора;

externor_diff— внешнее дифференцирование полностью антисимметричного ковариантного тензора;

exterior_prod — внешнее произведение двух ковариантных антисимметричных тензоров;

frame — задает систему координат, которая приводит метрические компоненты к диагональной сигнатурной матрице (с положительными или отрицательными единицами);

geodesic_eqns — уравнение Эйлера—Лагранжа для геодезических кривых;

get_char — возвращает признак (ковариантный/контравариантный) объекта;

getcompts — возвращает компоненты объекта;

get_rank — возвращает ранг объекта;

invars — инварианты тензора кривизны Римана (общая теория относительности);

invert — обращение тензора второго ранга;

lincom — линейная комбинация тензорных объектов;

lower — опускает индексы;

npcurve — компонента кривизны Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);

npspin — компонент вращения Ньюмена—Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);

partial_diff — частная производная тензора;

permute_indices — перестановка индексов;

petrov — классификация Петрова тензора Вейля;

prod — внутреннее и внешнее тензорные произведения;

raise — поднятие индекса;

symmetrize — симметризация тензора по любым индексам;

transform — преобразование системы координат.

Примеры применения этого пакета можно найти в справочной базе данных системы. Пакет представляет интерес для физиков-теоретиков, работающих в области общей теории относительности и ее приложений/Для них (но не для большинства пользователей) приведенные данные полезны и понятны.

Визуализация геометрических объектов с помощью пакета geometry

Визуализация геометрических объектов с помощью пакета geometry


Одно из важных достоинств пакета geometry - возможность наглядной визуализации различных геометрических понятий, например графической иллюстрации доказательства теорем или геометрических преобразований на плоскости. Проиллюстрируем это на нескольких характерных примерах, заодно показывающих технику работы с рядом функций этого пакета.
Рисунок 16.1 показывает построение из множества окружностей фигуры - кардиоиды. Вопреки обычному построению этой фигуры, используется алгоритм случайного (но удовлетворяющего требованиям построения данной фигуры) выбора положений центров и радиусов окружностей.

Научно-технические задачи в Maple

Аппроксимации рядом Тейлора

Аппроксимации рядом Тейлора


Начнем с аппроксимации функции хорошо известным рядом Тейлора степени 8 относительно середины интервала (точки с х=2):

Аппроксимация Чебышева-Паде

Аппроксимация Чебышева-Паде


Теперь рассмотрим еще более точную рациональную аппроксимацию Чебышева-Паде. Это такая рациональная функция r[m, n](х) с числителем степени т и знаменателем степени п такой же, как и для разложения в ряд Чебышева. Функция r [m, n](х) согласуется с разложением в ряд Чебышева f(x) членом степени m+n. Мы вычислим аппроксимацию Чебышева-Паде степени (4,4), подобную обычной Паде- аппроксимации, успешно выполненной ранее:

Аппроксимация полиномами Чебышева

Аппроксимация полиномами Чебышева


Знатоки техники аппроксимации знают, что лучшие приближения на заданном интервале могут быть получены при использовании разложения в ряд Чебышева. Это связано с тем, что ортогональные полиномы Чебышева позволяют получить аппроксимацию, погрешность которой в заданном диапазоне изменения аргумента распределена более равномерно, чем в предшествующих случаях. Выбросы погрешности на краях интервала аппроксимации в этом случае исключены.
Разложим функцию f(x) на [0, 4] в ряд Чебышева с точностью 1*10-8. Это означает, что все члены с коэффициентами меньше чем эта величина, будут опущены. Такая точность обеспечивается полиномом 13 степени:

Движение частицы в магнитном поле

Движение частицы в магнитном поле


От реального мира перейдем к микромиру. Пусть микрочастица массой 9* 10-31 кг и зарядом +1,6*10"19 Кл влетает в магнитное поле с индукцией В = 0,1 Тл под углом а=80°. Рассчитаем траекторию движения частицы при начальной скорости Vo= 1*107м/с:
> restart;
Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу F = q*(E+[v, В]). Проекции векторного произведения [v, В] на оси х, у, z:
[v.B]x=vy*Bz-vz*By [v,B]y=vz*Bx-vx*Bz [v,B]z=vx*By-vy*Bz
В соответствии с этим известные из курса физики дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, z имеют вид:

Эффективная оценка рациональных функций

Эффективная оценка рациональных функций


Полиномы числителя и знаменателя в минимаксной аппроксимации уже выражены в форме Горнера (то есть в форме вложенного умножения). Оценка полиномом степени п в форме Горнера при n-умножениях и n-суммированиях — это наиболее эффективная схема оценки для полинома в общей форме. Однако для рациональной функции степени (т, п) мы можем делать кое-что даже лучше, чем просто представить выражения числителя и знаменателя в форме Горнера. Мы можем нормализовать рациональную функцию так, что полином знаменателя будет со старшим коэффициентом, равным 1. Мы можем также заметить, что вычисление рациональной функции степени (т, п) в форме Горнера требует выполнения все m+n сложений , m+n-1 умножений и 1 деления. Другими словами, общий индекс действия есть:

m+n операций умножения/деления;

m+n операций сложения/вычитания.

Вычисление рациональной функции можно значительно сократить и далее, преобразуя ее в непрерывную (цепную) дробь. Действительно, рациональная функция степени (т, п) может быть вычислена, при использовании только:

max(m,n) операций умножения/деления;

m+n операций сложения/вычитания.

Например, если m = n, тогда эта новая схема требует выполнения только поло-, вины числа действий умножения/деления по сравнению с предшествующим методом. Для рациональной функции MlnimaxApprox вычисление в форме, выраженной выше, сводится к 9 действиям умножения/деления и 8 действиям сложения/вычитания. Число операций умножения/деления можно сократить до 8, нормализуя знаменатель к форме monic. Мы можем теперь вычислить непрерывную (цепную) дробь для той же самой рациональной функции. Вычисление по этой схеме, как это можно видеть из вывода Maple, сводятся только к 4 действиям деления и 8 действиям сложения/вычитания:
> MinimaxApprox := confracform(MinimaxApprox):
> lprint(MinimaxApprox(x));
-.468857770747е-1+1.07858705749/(х+4.41994843227+16.1901737091/ (х+4.29121842830+70.1948525272/(х-10.2912843004+ 4.77536150167/(х+1.23883665458))))

Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе

Малосигнальный анализ усилителя на полевом транзисторе


Рассмотрим классический усилительный каскад на полевом транзисторе, схема которого приведена на Рисунок 17.12, а. Его эквивалентная малосигнальная схема представлена на Рисунок 17.12, б.

Минимаксная аппроксимация

Минимаксная аппроксимация


Классический результат теории аппроксимации заключается в том, что минимакс как наилучшая аппроксимация рациональной функции степени (т, п) достигается, когда кривая ошибки имеет m+n+2 равных по величине колебаний. Кривая ошибки аппроксимации Чебышева-Паде имеет нужное число колебаний, но эта кривая должна быть выровнена (по амплитуде выбросов кривой ошибки) с тем, чтобы обеспечить наилучшее минимаксное приближение. Эта задача решается с помощью функции minimax:

Моделирование цепи на туннельном диоде

Моделирование цепи на туннельном диоде


А теперь займемся моделированием явно нелинейной цепи. Выполним его для цепи, которая состоит из последовательно включенных источника напряжения Es, резистора Rs, индуктивности L и туннельного диода, имеющего N-образную вольтамперную характеристику (ВАХ). Туннельный диод обладает емкостью С, что имитируется конденсатором С, подключенным параллельно туннельному диоду. Пусть ВАХ реального туннельного диода задана выражением:
> restart:
> A:=.3t: а:=10: В:=1*10^(-8): b:=20:
> Id:=Ud->A*Ud*exp(-a*Ud)+B*(exp(b*Ud-D):
Id:=Ud->AUde(-aUd)+Be(bUd-1)
Построим график ВАХ:
> plot(Id(Ud), Ud=-.02..0.76,color=black):
Этот график представлен на Рисунок 17.25. Нетрудно заметить, что ВАХ туннельного диода не только резко нелинейна, но и содержит протяженный участок отрицательной дифференциальной проводимости, на котором ток падает с ростом напряжения. Это является признаком того, что такая цепь способна на переменном токе отдавать энергию во внешнюю цепь и приводить к возникновению колебаний в ней различного типа.
Работа цепи описывается системой из двух дифференциальных уравнений:
di/dt=(Es-i(t)*Rs-u(t))/L
du/dt=(i(t)-Id(u(t))/C

Моделирование физических явлений

Моделирование физических явлений


Расчет траектории камня с учетом сопротивления воздуха
Вы хотите метнуть камень в огород вашего вредного соседа? Разумеется, во время его отсутствия. Давайте промоделируем эту ситуацию, предположив два актуальных случая: дело происходит на Луне и на Земле. В первом случае сопротивления воздуха (как и его самого) нет, а в другом — сопротивление воздуха есть и его надо учитывать. Иначе камень упадет в ваш огород, а не в огород соседа!
Итак, пусть подвернувшиеся под руку камни с массой 500 и 100 г брошены под углом 45° к горизонту со скоростью Vo = 20 м/с. Найдем их баллистические траектории, если сила сопротивления воздуха Fтр=А*V, где А=0,1 Н*с/м. Сравним их с траекториями, получающимися без учета сопротивления воздуха.
Начнем с подключения пакета plots, нужного для визуализации данной задачи:
> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Составим параметрические уравнения для проекций скорости на оси координат:
> Vox:=Vo*cos(a1pha):Voy:=Vo*sin(alpha):
Vox:= Focos(a)
Voy :=Vo sin(a)
Мы рассматриваем два случая: камень массой 500 г и камень массой 100 г. Поскольку для каждого случая мы предусматриваем расчет в двух вариантах (с учетом сопротивления воздуха и без такого учета), то мы должны составить 4 системы дифференциальных уравнений (ДУ). Каждая система состоит из двух ДУ второго порядка и вид этих систем известен из курса физики. Ниже представлено задание этих систем ДУ (для первой системы дан вывод ее вида):

Моделирование и расчет электронных схем

Моделирование и расчет электронных схем


Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем?
Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа, расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда. С одной стороны, к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например Micro-CAP, Electronics Workbench, PSpice, Design Labs и др., автоматически составляющих и решающих большие системы уравнений состояния электронных схем и моделирующих работу бесчисленного множества электронных схем без кропотливого "ручного" составления уравнений.
Но, с другой стороны, анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что начисто теряется его физическая и математическая сущность. Это не так уж страшно, когда моделируются типовые схемы на давно известных или, скорее, просто хорошо знакомых электронных приборах. Но это явно плохо, когда объектом исследования и моделирования являются новые нетрадиционные схемы на новых или малоизвестных приборах или когда знание физических и математических основ работы таких схем принципиально необходимо. Например, при изучении их в вузах и университетах. В этом случае применение систем компьютерной математики не только возможно, но и принципиально необходимо.

Моделирование рассеивания альфа- частиц

Моделирование рассеивания альфа- частиц


Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа- частицами с высокой энергией. Если бы "массивных" ядер не существовало, то альфа- частицы должны были бы спокойно пролетать сквозь тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги.
В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа- частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Maple 7. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа- частиц.
Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа- частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Аи. Прицельное расстояние р равно 2*10-15 м. Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа- частицы:

Небольшое введение

Небольшое введение

Выше при изложении данного учебного курса приводились многие сотни примеров применения системы Maple 7. При этом намеренно подбирались достаточно простые примеры, занимающие немного места и не требующие чрезмерных ухищрений для решения.
Многие читатели полагают, что системы компьютерной математики хорошо работают на таких простых примерах, но от них мало толку при решении реальных задач математики, физики или радиоэлектроники. Это, конечно, заблуждение. Дело просто в том, что при решении таких задач руководящая роль пользователя сильно возрастает. Вы должны понимать, что не Maple 7 решает вашу задачу, а вы! И система Maple 7 лишь помогает в этом трудном деле. Так что при неудачах в решении своих специфических задач следует прежде всего пенять на себя и на свое незнание возможностей системы Maple 7, а вовсе не на свою помощницу.
В том, что Maple можно успешно использовать при решении вполне конкретных научных и практических задач, призваны убедить примеры, приведенные ниже. Разумеется, и их нельзя отнести к таким сложнейшим задачам, как проектирование ядерного реактора или расчет траектории полета космического корабля, — не стоит забывать, что такие расчеты делают на суперкомпьютерах, а не на домашнем компьютере, который стоит перед вами. И объем материалов по сопровождению и результатам таких расчетов многократно превосходит объем всей этой книги. Тем не менее в этом уроке вы встретите решение вполне реальных и полезных задач в области математики, физики и радиоэлектроники. Почему не в механике, гидродинамике или в оптике? Да потому, как верно сказал наш народный пророк Козьма Прутков: "нельзя объять необъятное". Приведенные примеры отчасти обусловлены личными пристрастиями автора, но они полезны каждому пользователю, желающему всерьез оценить возможности Maple 7.
Описанные в этом уроке задачи являются реальными документами, созданными и отлаженными в среде Maple 7 и лишь затем перенесенными в рукопись книги. Так что они заодно служат примерами того, как надо оформлять такие документы. В то же время от некоторых "излишеств" оформления (например, закрывающихся и открывающихся секций) мы отказались, дабы не усложнять описание документов явно второстепенными деталями. Начнем этот урок с решения весьма актуальной для многих областей применения математики задачи — аппроксимации сложной функции.

Паде-аппроксимация

Паде-аппроксимация


Теперь опробуем рациональную аппроксимацию Паде (Fade) функции f(x) степени (4,4). Приближения по этому разложению будут аппроксимировать функцию более точно, и потому ошибки округления в вычислениях станут более заметными. Поэтому зададим еще два дополнительных знака для точности вычислений.

Преобразование в код Фортрана или С

Преобразование в код Фортрана или С


Один из поводов разработки эффективной аппроксимации для вычисления математической функции заключается в создании библиотек подпрограмм для популярных языков программирования высокого уровня, таких как Фортран или С. В Maple имеются функции преобразования на любой из этих языков. Например, мы можем преобразовывать формулу для минимаксной аппроксимации в код Фортрана.

Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов

Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов


Вернемся к линейным цепям и рассмотрим еще один полезный метод расчета электрических цепей — с помощью интеграла Дюамеля. При нем можно рассчитать временную зависимость выходного напряжения u2(t) цепи по известному входному сигналу ul(t) и переходной характеристике цепи a(t). Возьмем в качестве первого классического примера дифференцирующую RC-цепь и вычислим ее реакцию на экспоненциально нарастающий перепад напряжения.
Представлены заданные зависимости ul(t) и a(t), аналитическое выражение для интеграла Дюамеля (одна из 4 форм) и аналитическое выражение для искомой зависимости u2(t). Пока последнее выражение довольно простое. В конце этого фрагмента документа построены графики зависимостей ul(t), a(t) и u2(t).
Обратите внимание на то, что выражение для u2(t), получаемое с помощью интеграла Дюамеля, стало намного сложнее. Тем не менее получено как аналитическое выражение для реакции цепи u2(t), так и графики ul(t), a(t) и u2(t). Они показаны внизу графика.

Проектирование цифрового фильтра

Проектирование цифрового фильтра


Основной недостаток аналоговых активных фильтров, подобных описанному выше, заключается в их малом порядке. Его повышение за счет применения многих звеньев низкого порядка ведет к значительному повышению габаритов фильтров и их стоимости. От этого недостатка свободны современные цифровые фильтры, число ячеек которых N даже при однокристальном исполнении может достигать десятков и сотен. Это обеспечивает повышенную частотную селекцию.
Спроектируем фильтр N+1-ro порядка класса FIR (Finite Impulse Response или с конечной импульсной характеристикой). Каждая из N ячеек временной задержки фильтра удовлетворяет следующей зависимости выходного сигнала у от входного х вида:

Расчет аналогового фильтра на операционном усилителе

Расчет аналогового фильтра на операционном усилителе


Теперь рассмотрим проектирование аналогового полосового фильтра на операционном усилителе, схема которого приведена на Рисунок 17.16.

Разделение изотопов

Разделение изотопов


Рассмотрим еще одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотопов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой). Для этого используют различные способы. В частности, это может быть масс-спектроскопический метод. Из точки А вылетают однозарядные ионы (q = е = 1.6*10-19 Кл) разной массы (от 20 до 23 а.е.м.) и под разными углами в пределах от 80 до 100° к оси х в плоскости ху (Рисунок 17.9). Вдоль оси z приложено магнитное поле В=10-2 Тл. Рассчитаем траектории полета частиц. Будем надеяться, что это подскажет способ разделения изотопов.
Приступим к решению данной задачи. Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу, F = q*(E+[v, В]). Проекции векторного произведения [v, В] на оси х, у, z заданы выражениями:
[v.B]x-vy*Bz-vz*By [v,B]y-vz*Bx-vx*Bz [v,B]z=vx*By-vy*Bz

нами показано, что правильный выбор

Шаг 1

Итак, нами показано, что правильный выбор аппроксимации для сложной функции обеспечивает уменьшение времени ее вычисления более чем на два порядка (!) при весьма приличной точности в б верных знаков и при использовании для вычислений минимального числа арифметических операций. Применение при этом средств системы Maple 7 позволяет генерировать разложения в различные ряды, быстро вычислять рациональные аппроксимации функций и выполнять преобразования в различные специальные формы, сочетая это с мощными средствами интерактивной работы и графической визуализации, в частности с построением графиков функции и кривых ошибок при разных видах аппроксимации. Все это обеспечивает идеальную среду для решения таких задач.



Шаг 1

Зададим исходные числовые данные (опустив размерности):
> q:=-1.6e-19: massa:=9.1e-31: V:=le7: alpha:=80*Pi/180:
> Vx:=V*cos(alpha): Vy:=V*sin(alpha): Ex:=0:Ey:=0:Ez:=0: Bx:=0.1:By:=0: Bz:=0:
Построим траекторию движения частиц в пространстве:
> with(DEtools):DEplot3d({sys},{x(t),y(t),z(t)},t=0..2e-9, [[x(0)=O,D(x)(0)=Vx,y(0)==0,D(y)(0)=Vy,z(0)=0,D(z)(0)=0]], stepsize=le-ll,orientation=[24.117]):
Полученная траектория представлена на Рисунок 17.8. Она имеет вид спирали в пространстве. При этом скорость движения частицы вдоль оси х неизменна, а вдоль осей у и z имеет характерную колебательную компоненту. Случай явно куда менее тривиальный, чем полет камня, описанный выше.

Шаг 1

Зададим исходные числовые безразмерные данные для расчета:

Шаг 1

Рисунок 17.9. Иллюстрация к методу разделения изотопов
В соответствии с этим дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, z имеют вид:

Шаг 1

Введем исходные числовые данные для вычислений:
> ql:=2*i;6e-19:q2:=79*1.6e-19:massa:=4*1.67e-27:EO:=8.85e-12: a:=4e-13:
p:=5e-15:T:=4e6*1.6e-19:V0x:=sqrt(2*T/massa):
Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа- частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути:
> with(DEtools):ss:=DEplot({sys},{y(t),x(t)},t=0..7e-20.
[[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p,D(y)(0)=0].
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*4.D(y)(0)=0],
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*8,D(y)(0)=0],
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*12,D(y)(0)=0].
[x(0)=-a;D(x)(0)=VOx,y(0)=p*16,D(y)(0)=0],
[x(0)-a.D(x)(0)-VOx.y(0)-p*20,D(y)(0)-0].
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*24,D(y)(0)=0],
[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*28,D(y)(0)=0]],
x(t)=-a..a,scene=[x(t),y(t)],stepsize=le-21,1inecolor=bl ack):
> with(plottools):yy:=circle([0.0],2E-14,color=red,thickness=2):
Warning, the name translate has been redefined
Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа- частиц:
> ss2:=PLOT(TEXT([0.-0.3e-14],'+'), FONT(HELVETICA, OBLIQUE.14)):
Осталось построить график траекторий движения альфа- частиц вблизи центра атома: i
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> disp1ay([ss,yy,ss2],tit1e='Pacceивание а-частиц',axes=framed);
График траекторий движения альфа- частиц вблизи ядра представлен на Рисунок 17.11. Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения.
Моделирование движения альфа- частиц вблизи малого и "массивного" ядра атома дает наглядное представление о математической и физической сути данного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать альфа- частицы прямо в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, что при этом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии. Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром- Но это уже тема нового разговора,, выходящего за рамки данной книги.

Шаг 1

Рисунок 17.16. Схема полосового фильтра на интегральном операционном усилителе
Подготовимся к расчету фильтра:
> restart:
Зададим основные уравнения, описывающие работу фильтра на малом сигнале:

Мы можем найти аналитическое представление

Шаг 2

Рисунок 17.8. Траектория движения частицы в магнитном поле
Мы можем найти аналитическое представление для траектории частицы в виде параметрически заданной (с параметром времени t) системы из трех уравнений:

Шаг 2

Выполним решение заданных систем ДУ:

Шаг 2

Зададим исходные числовые данные для расчета:
> q:=1.6e-19:V:=le4:
> Vx:=V*cos(a1pha):Vy:=V*sin(a1pha):Ex:=0:Ey:=0:Ez:=0:Bx:=0: By:=0:Bz:=le-2:
Выполним решение составленной выше системы дифференциальных уравнений:

Шаг 2

Рисунок 17.11. Траектории движения альфа- частиц вблизи ядра атома



Шаг 2

Введем круговую частоту:
> omega := 2*Pi*f;
W := 2пf
Найдем коэффициент передачи фильтра и его фазо- частотную характеристику как функции от частоты:
> gain := abs(eva1c(Vo/Vi)):
> phase := evalc(op(2,convert(Vo/Vi.polar))):
Для просмотра громоздких аналитических выражений для этих параметров замените знаки двоеточия у выражений для gain и phase на знак точки с запятой. Далее введем конкретные исходные данные для расчета:
> R3 :=1000:
> R4 := 3000:
> СЗ :=0.08*10^(-6):
> С4 := 0.01*10^(-6):
Построим АЧХ фильтра как зависимость коэффициента передачи в децибелах (dB) от частоты f в Гц:
> plot(DogWf), 20*log10(gain), f=[10..50000], color=black, title='Коэффициент передачи dB как функция от частоты f в Гц'):
Эта характеристика представлена на Рисунок 17.17. Здесь полезно обратить внимание на то, что спад усиления на низких и высоких частотах происходит довольно медленно из-за малого порядка фильтра.

Шаг 2


б
Рисунок 17.12. Принципиальная (о) и эквивалентная(6) схемы усилителя на полевом транзисторе
Наша цель заключается в расчете характеристик усилителя операторным методом. Подключим нужный нам пакет plots:
> restart:with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
Из законов Киргофа вытекает, что сумма токов, втекающих в каждый узел и вытекающих из него равна 0. Следовательно, для узлов эквивалентной схемы Рисунок 17.12 можно записать следующую систему уравнений в операторной форме:

Шаг 2

Вычислим FIR- коэффициенты для прямоугольного окна фильтра:
> С :-=(n) -> limit(g,t=n):h := aray(0..N): N2:=N/2:
> for n from 0 to N2 do h[N2-n]:= evalf(C(n)); h[N2+n] := h[N2-n]; od:
Определим массивы входного x(n) и выходного у(n) сигналов:
> х := array(-N..T): y := аггау(0..Т):
Установим значение х(n) равным 0 для времени меньше 0 и 1 для времени >=0:
> for n from -N to -1 do x[n] := 0; od:
> for n from 0 to Т do x[n] := Dirac(n); od:
Вычислим временную зависимость для выходного сигнала:
> for n from 0 to Т do y[n] := sum(h[k]*x[n-k],k=0..N): od:
Построим график импульсной характеристики фильтра, отражающей его реакцию на сигнал единичной площади с бесконечно малым временем действия:
> р := [seq([j/fs,y[j]],j=0..T)3:
> plot(p, time=0..3*N/fs, labels=[time,output], axes=boxed, xtickmarks=4, title-'Иипульсная характеристика фильтра',color=black);
Он показан на Рисунок 17.19. Нетрудно заметить, что эта характеристика свидетельствует об узкополосности фильтра, поскольку его частоты fl и fh различаются несильно. В этом случае полосовой фильтр по своим свойствам приближается к резонансному, хотя само по себе явление резонанса не используется.

Шаг 2

Поскольку заведомо известно, что схема имеет малые значения L и С, мы задали с помощью параметров достаточно малый шаг решения для функции dsolve — stepsize=l(T(-11) (с). При больших шагах возможна численная неустойчивость решения, искажающая форму колебаний, получаемую при моделировании. Используя функции odeplot и displ ay пакета plots, построим графики решения в виде временных зависимостей u(t) и 10*i (t) и линии, соответствующей напряжению Es источника питания:
> gu:=odeplot(F,[t,u(t)],0,tm,color=black,
labels=['tVu(t),10*i(tr]):
> gi:=odeplot(F,[t,10*i(t)],0..tm.color-black):
> ge:=odeplot(F,[t,Es].0..tm.color=red): .
> display(gu.gi,ge);
Эти зависимости представлены на Рисунок 17.26. Из них хорошо видно, что цепь создает автоколебания релаксационного типа. Их форма сильно отличается от синусоидальной.

Шаг 2

Рисунок 17.1. График аппроксимируемой функции
Итак, вычисление f(x) по ее интегральному представлению совершенно не эффективно. Наша цель состоит в разработке процедуры вычислений, которая дала бы 6 точных цифр результата в интервале [0..4] и требовала, по возможности, наименьшего числа арифметических операций для каждого вычисления. Втайне не вредно помечтать о том, чтобы после аппроксимации время вычислений уменьшилось бы хотя в несколько раз. Что получится на деле, вы увидите чуть позже. А пока войдем в дебри аппроксимации.



Шаг 2

Кривая ошибок для аппроксимации полиномом Тейлора строится командой:
> plotd(f- TaylorApprox,0..4,.co1or=black);
и имеет вид, представленный на Рисунок 17.2. Эта кривая нас, прямо скажем, не слишком радует, поскольку погрешность в сотни раз превышает заданную.

Шаг 2

и имеет вид, показанный на Рисунок 17.3.

Шаг 2

Схема Горнера минимизирует число арифметических операций, заменяя операции возведения в степень операциями последовательного умножения.



Шаг 2

Рисунок 17.4. Кривая ошибки при Паде-Чебышева рациональной аппроксимации
> maxChebPadeError :=abs( F(0) - ChebPadeApprox(O) );
maxChebPadeError= .1236746 10-5
Мы достигли впечатляющего успеха и остается сделать еще один шаг в направлении повышения точности аппроксимации.



Шаг 2

Рисунок 17.5. График ошибки при минимаксной аппроксимации
Таким образом, мы добились блестящего успеха в снижении погрешности до требуемого и довольно жесткого уровня. Если бы мы задались целью получить только четыре или пять точных знаков аппроксимации, что в целом ряде случаев вполне приемлемо, то могли бы получить нужный результат гораздо раньше. Нам остается оптимизировать полученную аппроксимацию по минимуму арифметических операций и проверить реальный выигрыш по времени вычислений.

с магнитным полем показывает, что

Шаг 3

Моделирование движения заряженной частицы в пространстве с магнитным полем показывает, что для принятых для моделирования параметров решаемой задачи, движение частицы происходит по спиралеобразной траектории. Получен как график траектории движения частицы, так и аналитические уравнения, описывающие это движение.

Шаг 3

Рисунок 17.17. АЧХ фильтра на операционной усилителе
Далее построим фазо-частотную характеристику фильтра как зависимость фазы в радианах от частоты f в Гц:
> plot ([log10(f),phase, f=10..50000], color=black, title=*Фазо-частотная характеристика фильтра*);
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) фильтра показана на Рисунок 17.18
На ФЧХ фильтра можно заметить характерный разрыв, связанный с превышением фазовым углом граничного значения я. Такой способ представления фазового сдвига общепринят, поскольку его изменения стремятся вписать в диапазон от -я до п.

Шаг 3

Переменные напряжения на узлах схемы находятся из аналитического решения данной системы. При этом заблокируем вывод их аналитических значений, поскольку он очень громоздок. Тем не менее вы можете посмотреть на полученные формулы, поставив знак точки с запятой вместо знака двоеточия в приведенных ниже выражениях:
> solve({eql,eq2,eq3.eq4}б{Vl,V2.V3,Vo}):
Обеспечим присвоение переменным Vo, VI, V2 и V3 найденных из решения системы уравнений значений:
> assign(%):
Теперь найдем операторную передаточную функцию в аналитическом виде:

Шаг 3

Рисунок 17.19. Импульсная характеристика цифрового фильтра
Вычислим АЧХ фильтра, используя прямое преобразование Фурье. Оно после подготовки обрабатываемых массивов реализуется функцией FFT:
> rо := array (1..T+1): io := arrayd. .T+l):
> for n from 0 to Т do ro[n+l] :- y[n]; io[n+l] := 0; od:
> FFT(m,ro,io):
Построим график АЧХ фильтра:
> р :=[seq([j*fs/(T+l),abs(ro[j+l]+io[j+l]*I)3,j=O..T/2)]:
> plot(p, frequency=0..fs/2, tabels=[frequency,gain], tit1e='AЧX фильтра',со1ог=black);
Он представлен на Рисунок 17.20. Нетрудно заметить, что и впрямь АЧХ фильтра напоминает АЧХ резонансной цепи — она имеет вид узкого пика. Вы можете легко проверить, что раздвижением частот fl и fh можно получить АЧХ с довольно плоской вершиной и резкими спадами (говорят, что такая характеристика приближается к прямоугольной).

Шаг 3

Рисунок 17.26. Временные зависимости напряжения на туннельном диоде и тока
Решение можно представить также в виде фазового портрета, построенного на фоне построенных ВАХ и линии нагрузки резистора Rs:
> gv:=plot({Id(Ud),(Es-Ud)/Rs},Ud=-.05..0.75,color=black,
labels=[Ud,Id]):
> gpp:=odeplot(F.[u(t),i(t)],0..tm,color=blue):
> display(gv,gpp);
Фазовый портрет колебаний показан на Рисунок 17.27.

Шаг 3

Рисунок 17.2. Кривая погрешности при аппроксимации рядом Тейлора
Типичное свойство аппроксимации рядом Тейлора состоит в том, что ошибка мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее. В данном случае самая большая ошибка имеет место в левой оконечной точке. Чтобы вычислить значение ошибки в точке х =0, что ведет к делению на нуль (см. определение для f(x)), мы должны использовать значение предела:
> maxTaylorError := abs( Limit(f(x), х-0) - ТауlorАрргох(0) );
maxTaylorError := .0015029620
Итак, в самом начале наших попыток мы потерпели полное фиаско. Но отчаиваться не стоит, ибо, как говорят, "даже у хорошей хозяйки первый блин — комом".



Шаг 3

Рисунок 17.3. Кривая погрешности при Паде- аппроксимации степени (4,4)
Как и при аппроксимации рядом Тейлора, ошибка здесь мала вблизи точки разложения и велика вдали от нее. Мы снова видим из графика, что для указанной функции, самая большая ошибка — в левой оконечной точке. Однако максимальная ошибка в Паде- аппроксимации уже на порядок меньше, чем при аппроксимации полиномом Тейлора:

Построим графики траекторий для первого

Шаг 4

Построим графики траекторий для первого случая:

Шаг 4

Эти графики показаны на Рисунок 17.10.

Шаг 4

Рисунок 17.18. ФЧХ фильтра на операционном усилителе



Шаг 4

В соответствии с выбранным операторным методом анализа введем обозначения:

Шаг 4

Рисунок 17.20. АЧХ цифрового полосового фильтра
Теперь приступим к тестированию фильтра. Зададим входной сигнал в виде зашумленного меандра с частотой 500 Гц и размахом напряжения 2 В:
> 1 :=round(fs/2/500):
> for n from 0 by 2*1 to Т do
> for n2 from 0 to 1-1 do
> if n+n2 <= Т then
> x[n+n2] := evalf(-l+rand()/10^12-0.5);
> fi:
> if n+n2+1 <= Т then
> x[n+n2-H] :-=eva1f(l+ranoX)/10^12-0.5);
> fi;
> od:
> od:
Временная зависимость синтезированного входного сигнала представлена на Рисунок 17.21.

Шаг 4

Рисунок 17.27. Фазовый портрет колебаний на фоне ВАХ туннельного диода и линии нагрузки резистора Rs
О том, что колебания релаксационные можно судить по тому, что уже первый цикл колебаний вырождается в замкнутую кривую — предельный цикл, форма которого заметно отличается от эллиптической.
Итак, мы видим, что данная цепь выполняет функцию генератора незатухающих релаксационных колебаний. Хотя поставленная задача моделирования цепи на туннельном диоде успешно решена, в ходе ее решения мы столкнулись с проблемой обеспечения малого шага по времени при решении системы дифференциальных уравнений, описывающих работу цепи. При неудачном выборе шага можно наблюдать явную неустойчивость решения.



Шаг 4

Это успех, показывающий, что мы на верном пути. Но пока погрешность остается слишком большой по сравнению с заданной.

Графики траекторий полета камня

Шаг 5

Графики траекторий полета камня с массой 500 г представлены на Рисунок 17.6.

Шаг 5

Рисунок 17.10. Траектории движения частиц
Полученные графики (Рисунок 17.10) наглядно показывают на одну из возможностей разделения изотопов. Как говорится, осталось подставить "стаканчик" в нужное место для ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи.



Шаг 5

Это позволяет найти Н как функцию от частоты f также в аналитическом виде:

Шаг 5

Рисунок 17.21. Синтезированный входной сигнал
Вычислим реакцию фильтра на входной сигнал:
> for n from 0 to T do
> y[n] := sum(h[k]*x[n-k],k=0..N);
> od:
Построим график выходного сигнала:
> р := [seq([j/fs, x[j]], j=0..T)]:q:= [seq([j/fs , y[j]] , j =0..Т)]:
> plot(p,time=0..T/fs/4,1abels=[time,volts],title='Входной сигнал\сolor=black);
> plot(q,tine=0..T/fs/4,1abels=[tirae,volts], titlе='Выходной сигнал",color=black);
Временная зависимость выходного сигнала показана на Рисунок 17.22. Нетрудно заметить, что в конце концов выходной сигнал вырождается в пятую гармонику входного сигнала, но этому предшествует довольно заметный переходной процесс. Он связан с узкополосностью данного фильтра.

Теперь построим графики траекторий для

Шаг 6

Рисунок 17.6. Баллистические траектории камня с массой 500 г
Теперь построим графики траекторий для второго случая:
> display({a3,a4,t1},title='Tpaeкт. полета тела массой 100 г, labels=[x.у], labelfont=[TIMES.ROMAN,14]):
Они представлены на Рисунок 17.7.

Шаг 6

Это тоже довольно громоздкое выражение, и его применение при "ручном" анализе потребовало бы от нас немало изобретательности. Между тем Maple 7 позволяет "в два счета" определить из него амплитудно-частотную (AVM) и фазо- частотную (PhaseAV) характеристики усилителя как функции частоты:
> AVM=-evalc(abs(H)):
> PhaseAV:=evalc(argument(H)):
Преобразуем AVD в логарифмическую характеристику, выражающую усиление в децибелах (dB):
> AVdB:=20*1og10(AVM):
Такая характеристика более привычна для специалистов в радиоэлектронике. Соответственно фазо-частотную характеристику выразим в градусах:
> R2D:=evalf(360/(2*Pi));R2D := 57.29577950
> AVdeg:=R2D*PhaseAV:
Теперь можно перейти к обычным численным расчетам. Зададим конкретные значения компонент эквивалентной схемы усилителя:
> Rl:=100: R2:=100000: R3:=1000: R4:=10000: Cl:=1.*10^(-6): С2:=5*10^(-12): СЗ:=1*10^(-6): mu:=50:
Построим амплитудно-частотную характеристику усилителя:
> gaindata:-NULL:
phasedata:=NULL:
for a from 0 to 8 do:
for i from 2*10^a to l(T(a+l) by 10^a do
gaindata:=gaindata, [1. evalf(subs(f=i,AVdB))];
phasedata:=phasedata, [i, eva1f(subs(f=i,AVdeg))]:
od: od:
> 1oglogp1ot([gaindata]. thickness"2, color=black, style=1ine, axes=boxed,
title=`Коэффициент усиления K(f)`,1abels=['Частота (Hz)VK(d8)']):
Она показана на Рисунок 17.13.

Шаг 6

Рисунок 17.22. Временная зависимость выходного сигнала цифрового фильтра
Вычислим спектры входного и выходного сигналов, подготовив массивы выборок сигналов и применив прямое преобразование Фурье с помощью функции FFT:
> Н := array(l..T+l):1i :=array(1..Т+1):
> for n from 0 to T do ,
> ri[n+l] := x[n]*2/T: ii[rn-l] := 0;
> ro[n+l] := y[n]*2/T; Io[rrfl] := 0;
> od:
> FFT(m.ri,ii):rTT(m,ro,io):
Построим график спектра входного сигнала, ограничив масштаб по амплитуде значением 0,5 В:
> р := [seq([j*fs/(T+l),abs(n[j+l]+ii[j-H]*I)],j=0..T/2)]:
> q := [seq([j*fs/(T-H),abs(ro[j-H]+To[j+l]*I)],j=0..T/2)]:
> plot(p, frequency=0..fs/2,y0..0.5,labe1s=[Частотa.V],title='Частотный спектр входного сигнала',color=black);
Этот график представлен на Рисунок 17.23. Из него хорошо видно, что спектральный состав входного сигнала представлен только нечетными гармониками, амплитуда которых убывает по мере роста номера гармоники. Пятая гармоника на частоте 2500 Гц находится посередине полосы пропускания фильтра, ограниченной граничными частотами фильтра 2300 и 2700 Гц. Заметны также беспорядочные спектральные линии шума сигнала в пределах полосы прозрачности фильтра.
Теперь построим график спектра выходного сигнала:
> p1ot(q, frequency=0..fs/2,y=0..0.5,labe1s=[Частотa,V], title='Частотный спектр выходного сигнала'бcolor=black);
Он представлен на Рисунок 17.24. Хорошо видно эффективное выделение пятой гармоники сигнала и прилегающей к ней узкой полосы шумового спектра.

Баллистические траектории камня при массе

Шаг 7

Рисунок 17.7. Баллистические траектории камня при массе 100 г
Из проведенных расчетов и графиков видно, что при учете силы сопротивления воздуха дальность и высота полета сильно уменьшаются по сравнению с полетом в вакууме, и эта разница зависит от массы тела, поэтому при небольшой массе тела сопротивлением воздуха пренебрегать нельзя.

Шаг 7

Рисунок 17.13. Амплитудно-частотная характеристика усилителя
Далее зададим построение фазо-частотной характеристики усилителя:
> 1og1ogplot([phasedata], thickness=2, color=b1ue, style=line, axes=boxed, title='Фаэовый сдвиг (в градусах)`, labels=['Частота (Hz)','Фаза']);
Она представлена на Рисунок 17.14.

Шаг 7

Рисунок 17.23. Спектрограмма входного сигнала

Найдем номинальный коэффициент усиления на

Шаг 8

Рисунок 17.14. Фазо-частотная характеристика усилителя
Найдем номинальный коэффициент усиления на частоте f=1000 (Гц):
> AVmid:=eva1f(subs(f=1000, AVdB)):
AVmid=33.12074854
Имея аналитическое выражение для амплитудно-частотной характеристики, можно составить уравнения для вычисления граничных частот (по спаду усиления на -dAV в dB):
> dAV:=3: #Ослабление (в dB на граничных частотах)
> eq5:=AVmid-dAV=20*log10(AVM):
Теперь можно найти эти частоты — нижнюю и верхнюю:
> flow:=fsolve(eq5,f. f-10..2000):flow:= 23.61659476
> fhigh:=fsolve(eqS,f, f-2000..100*10*6);
fliigh := .5737800225 107
Мы можем построить и более наглядную амплитудно-частотную характеристику с точками, соответствующими граничным частотам:
> with(plottools) :h:=log10(AVnvid-dAV):
aplot:= Loglogplot([gaindata], thickness=2, color=b1ack. style=line, axes=boxed,
title='Частоты flow и fhigh среза', labels=['Частота (Hz)VK(dB)']):
bplot:=line([0.1,h], [7.1,h], color=black, linestyle=3):
cplot:=line([log10(flow),0.58],[logHK flow). 1.6], color=blue, linestyle=3):
dplot:=line([log10(fh1gh).0.58],. [log10(fhigh).1.6],. color=red,. 1inestyle=3):
display([aplot.bplot,cplotJ,dplot]):
Эта характеристика показана на Рисунок 17.15.
На ней проставлены синяя и красная пунктирные вертикали, соответствующие найденным граничным частотам flow и fhigh, а также пунктирная горизонталь, соответствующая коэффициенту усиления на этих частотах. Это позволяет наглядно оценить частотный диапазон работы усилителя.
Таким образом, задача расчета усилителя в малосигнальном режиме полностью решена. Мы получили значение номинального коэффициента усиления, рассчитали нижнюю и верхнюю граничные частоты, получили аналитические выражения для амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик усилителя и построили их наглядные графики.

Шаг 8

Рисунок 17.24. Спектрограмма выходного сигнала цифрового фильтра
Приведенные данные свидетельствуют, что спроектированный фильтр полностью отвечает заданным требованиям и обеспечивает уверенное выделение пятой гармоники зашумленного меандра. По образу и подобию данного документа можно выполнить проектирование и других видов цифровых фильтров.

с выделенными точками граничных частот

Шаг 9

Рисунок 17.15. Амплитудно-частотная характеристика с выделенными точками граничных частот

Сравнение времен вычислений

Сравнение времен вычислений


Теперь определим время, необходимое для вычисления функции/(л:) в 1000 точек, используя первоначальное интегральное определение, и сравним его с временем, требующимся для схемы MinimaxApprox в виде непрерывной дроби. Так как наше приближение будет давать только 6 точных цифр, мы также потребуем 6 точных цифр и от интегрального представления функции:
> Digits :=б: St :=time():
> seq( evalf(f(i/250.0)), i = 1..1000 ):
> oldtime := time() - st;
oldtime-81.805
В процессе вычислений с использованием представления рациональной функции в виде непрерывной дроби иногда требуется внести несколько дополнительных цифр точности для страховки. В данном случае достаточно внести две дополнительные цифры. Итак, новое время вычислений:
> Digits := 8: st := tirae():
> seq( MinimaxApprox(i/250.0), i = 1..1000 ):
> newtime :" time()- st;
newtime:= .694
Ускорение вычисления при аппроксимации есть:
> SpeedUp := oldtime/newtime;
SpeedUp:=U7.S7464
Мы видим, что процедура вычислений, основанная на MinimaxApprox, выполняется почти в 120 раз быстрее процедуры с использованием исходного интегрального определения. Это просто феноменальный успех, полностью оправдывающий время, потерянное на предварительные эксперименты по аппроксимации и ее оптимизации! Разумеется, при условии, что вы будете применять эту аппроксимацию многократно.

Выбор аппроксимации для сложной функции

Выбор аппроксимации для сложной функции


Задание исходной функции и построение ее графика
Трудно представить себе область более широкую и>й6читаемую, чем аппроксимация различных функциональных зависимостей. С получения простой аппроксимации сложной зависимости нередко начинаются (а часто и заканчиваются) научные исследования во многих областях как прикладной, так и фундаментальной науки. Покажем возможности в этом системы Maple 7 на одном из примеров, давно помещенных в библиотеку пользователей системы Maple V R2, и переработанных для Maple 7.
Воспользуемся возможностями пакета numapprox, для чего прежде всего подключим его:
> restart:with(numapprox):
[chebdeg,chebmult,chebpade,chebsort,chebyshev, confracform,hermite_pade,hornerform, infnorm,laurent,minimax,pade,remez]
Будем искать приемлемую аппроксимацию для следующей, отнюдь не простой, тестовой функции:



    Биржевой анализ: Технический анализ - Инструменты - Софт

• Биржевой анализ - Технический анализ
  
• Обучение техническому анализу
  
• Индексы технического анализа
  
• Индикаторы технического анализа
  
• Методы технического анализа
  
  
• Графика в техническом анализе
  
• Технический анализ рынков
  
• Российский технический анализ
  
• Инструменты технического анализа
  
  
• Математика в биржевом анализе
  
• Разновидности биржевого анализа
  
  
• Mathematica в биржевом анализе
  
• MathCAD в биржевом анализе
  
• Maple в биржевом анализе
  
• Matlab в биржевом анализе