Дойников А. Н. - Введение в анализ производных финансовых инструментов

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Основные понятия и термины

Производным финансовым инструментом называется финансовый инструмент величина или, например, стоимость которого зависит от другого, более базисного объекта финансового рынка. К производным инструментам относятся фьючерсы, опционы, форварды, свопы и их многочисленные варианты.

Форвард.

Форвардный контракт является наиболее простым производным инструментом. Это контракт на продажу или покупку какого-нибудь товара по определенной фиксированной цене в некоторый фиксированный момент времени в будущем. Он обычно заключается между двумя финансовыми институтами или между финансовым институтом и корпоративным клиентом.
Об участнике контракта, который согласился купить товар, говорят, что он занял длинную (long) позицию, а участник, согласившийся продать, короткую (short). Цена, по которой участники согласились произвести сделку, называется ценой открытия (delivery price). В момент заключения контракта цена открытия выбирается такой, что стоимость или величина форвардного контракта равнялась нулю.
Другими словами стоимость вхождения в контракт для обеих сторон равна нулю.
В будущем, по мере изменения цен на базовый товар, величина или стоимость контракта уже не будет равна нулю. Например, если цена товара повысится то, для участника, занявшего длинную позицию она становится положительной и, наоборот, отрицательной для занявшего короткую позицию.
Форвардная цена для определенного контракта определяется как цена открытия, при которой контракт имеет нулевую величину. В дальнейшем форвардная цена естественно меняется, а цена открытия естественно остается постоянной.

Выплаты по форвардному контракту.

Выплаты по длинной позиции форвардного контракта за единицу товара составляют Где К цена открытия и S(T) цена единицы товара в момент окончания контракта.
Выплаты по короткой позиции составят естественно

Фьючерсный контракт.

Это также контракт на продажу или покупку какого-нибудь товара по определенной фиксированной цене в некоторый фиксированный момент времени в будущем. Однако, в отличие от форвардного контракта, фьючерсные контракты торгуются на бирже. При этом биржа определяет конкретные требования к торгуемому товару стандартизирует его и определяет строго фиксированные сроки исполнения контрактов.
Это дает возможность того, что участники контракта могут друг друга и не знать. Биржа обеспечивает механизм передачи товара участнику, который занимал длинную позицию, и производит выплаты участнику, занимавшему короткую позицию.
Другим отличием фьючерсного контракта, является то, что участники не могут свободно выбирать дату истечения контракта.

Опционы.

Впервые эти финансовые инструменты появились на рынке в 1973 году, и в настоящее время являются наиболее популярными объектами торговли на рынке. Существует два основных типа опциона. Call option дает владельцу право купить определенный товар к определенной заранее дате по фиксированной цене. Put option дает владельцу право продать определенный товар к определенной заранее дате по фиксированной цене. Эта фиксированная цена носит специальное название exercise price или strike price.
Дата реализации контракта называется expiration date, или exercise date или maturity.
Американский опцион может быть реализован в произвольный день. Большинство торгуемых на рынке опционов именно американские.
Однако, более просты для анализа европейские опционы, когда реализация опциона возможна только в момент expiration date.
Основное отличие опционов от форвардов является то, что это именно право купить или продать, а не обязанность. В зависимости от состояния рынка обладатель опциона может и отказаться от реализации опциона.
Поэтому, за это право инвесторы должны платить. Пример. Инвестор покупает 100 call опционов на акции IBM cо страйком 140$ за акцию. Предположим, что текущая цена акции 138$, и expiration date равно 2 месяцам.
Пусть цена опциона равна 5$. Понятно, что если через два месяца стоимость акции будет меньше 140$, то реализовывать опцион не имеем смысла. При этом инвестор теряет свои начальные вложения в размере 500$. Если стоимость акции через два месяца станет равной 145$, то опцион стоит реализовать, то есть приобрести 100 акций по цене 140 и тут же их по этой же цене и продать.
Понятно, что в этом случае никаких потерь не будет. И, наконец, инвестор приобретший этот опцион будет в выигрыше от его реализации, когда цена акции превысит 145$.
Исходя из вышесказанного можно нарисовать график функции выплат для покупателя call опциона. 1 Аналогично рассуждая можно нарисовать график функции выплат для покупателя put опциона ( 2) со страйком 100$ и ценой опциона 4$. 2 В каждом контракте присутствует две стороны покупатель и продавец. Выше были определены функции выплат для покупателей call и put опциона.
Слушатель без труда нарисует функции выплат для продавцов этих опционов.
Подводим итог. Существуют четыре базовые позиции при торговле опционами:

long call option
long put option
short call option
short put option

Удобно характеризовать позицию в контракте как размер выплат инвестору в момент expiration Пусть S(T) цена акции в момент expiration, X страйк, тогда размер выплат для указанных выше типов опционов как функции от S(t) будут иметь соответственно следующий вид:

max(S(T) - X,0)
max(X S(T),0)
min(X S(T),0)
min(S(T) - X,0)

Типытрейдеров на рынке.

Трейдеров на рынке финансовых производных можно условно разделить на следующие три группы
Хеджеры. Эта группа трейдеров заинтересована в сокращению рисков с которыми они могут столкнуться на рынке.
Например, компания из USA знает, что ей необходимо произвести выплаты 1 000 000 фунтов стерлингов своему контрагенту из Великобритании через 90 дней. При этом они сталкиваются с определенным риском изменения курса фунта стерлинга относительно доллара США, которые может произойти за эти 3 месяца.
Во избежании этого риска компания занимает длинную позицию в форвардном контракте покупая 1 миллион фунтов стерлингов по той цене, которая сейчас сложилась на рынке 90 дневных форвардов для фунта стерлингов. Тем более это не требует производить конкретных выплат в момент заключения контракта, что высвобождает средства для вложения в какие либо другие рынки.
В качестве альтернативы форвардному контракту, компания может купить call опцион на поставку 1 миллиона фунтов по определенному обменному курсу. И затем реализует его или нет в зависимости от состояния рынка. Спекулянты. В отличие от хеджеров, которые страхуются от возможных неблагоприятных движений цен на базовый товар, спекулянты наоборот могут значительно выиграть от движений рынка в ту или иную сторону. При этом они практически никогда не доводят дело до конкретной поставки базового товара, так у них есть возможность всегда вступить в противоположный контракт, что избавит их от необходимости поставлять базовый товар.
Также рынок финансовых производных позволяет им вступать в контракты на поставку достаточно большого объема базового актива, не привлекая больших средств.
Арбитражеры. Третьей важной категорией трейдеров являются арбитражеры, которые постоянно находятся в поиске контрактов, которые могут принести гарантированную прибыль.
Некоторый дизбаланс цен на различные товары может возникнуть на разных рынках И как только они это обнаруживают, то немедленно вступают в такие контракты. Например, в какой-то момент времени акция IBM на Нью-Йоркской бирже стоит 172$, а в Лондоне 100 фунтов.
При этом обменный курс составляет 1.75 доллара за один фунт. Тогда покупка 100 акций в Нью-Йорке и одновременная продажа в Лондоне принесет гарантированный доход в 300 долларов без всякого риска 100*($1.75*100 172) = 300$ Именно наличие этой категории трейдеров приводит к тому, что дизбаланса цен на рынках практически не возникает. А если он и возникнет, то немедленно пропадет благодаря их действиям.

Цена форварда и фьючерса

Эта лекция посвящена выводу соотношения между ценой базового актива и форвардного или фьючерсного контракта. Нам для этого будет необходимо ввести некоторые предварительные понятия
1. Непрерывное начисление (continuous compounding). Предположим, что некоторое количество средств A инвестируется на срок n лет с ежегодной доходностью R. Тогда, если начисление дохода будет происходить один раз в год, то через n лет мы вернем
A(1+R)^n Если же начисление будет происходить m раз в год, то в итоге мы получим
A(1+R/m)^(mn)
Предел последнего выражения при стремлении m к бесконечности и называют непрерывным начислением. Таким образом при непрерывном начислении дохода через n лет мы вернем A*exp(Rn) Пусть R1 есть рейт при непрерыном начислении, а R2 эквивалентный ему рейт при начислении дохода m раз в год т.е.
A*exp(R1n) = A(1+R2/m)^(mn).
Тогда связь между R1 и R2 очевидно следующая R1 = m*ln(1+R2/m)
Или
R2 = m*(exp(R1/m 1) Последние два соотношения используются при переходе от непрерывного начисления к начислению m раз в год и наоборот.

Короткая продажа.

Это стратегия торговли, которая обеспечивает доход, когда цена актива падает и наоборот ведет к потерям, когда цена актива увеличивается. Для понимания механизма короткой продажи обратимся к такому примеру.
Предположим, что инвестор связывается со своим брокером с приказом по короткой продаже 500 акций. Брокер немедленно занимает 500 акций у другого клиента и продает их при открытии рынка обычным путем и оставляет средства от продажи на счету инвестора. Инвестор может попросить держать продажу до тех пор пока возможно. Естественно, что если цены на актив падают, то инвестор выигрывает и наоборот.
В случае повышения цен инвестор обязан возместить разницу в ценах по которым была произведена сделка и настоящей ценой актива.
Обозначения
T время окончания форвардного контракта ( в годах);
t текущее время (в годах);
S цена базового актива в момент времени t;
S(T) - цена базового актива в момент времени T неизвестная в момент времени t;
K цена открытия форвадного контракта;
f стоимость (величина) длинного форвардного контракта в момент времени t;
F форвардная цена в момент времени t;
r безрисковая доходность выраженная в годовых в момент времени t c непрерывным начислением при инвестировании на срок до времени T. Отметим, что f и F это различные величины. В момент заключения контракта f = 0, а F = K. По ходу времени обе величины меняются.
Форвардный контракт на актив, не обещающий владельцу доход. Проще всего величину форварда получить в случае, когда он выписан на актив, не обещающий гарантированный доход. Например, это без-дивидентная акция или без-купонная облигация. При отсутствии возможности арбитража, соотношение между ценой форварда F и ценой спота S, выражается следующей формулой:
F = S* exp(r(T-t))
Действительно, чтобы показать это, допустим, что F S* exp(r(T-t)). В этом случае инвестор занимает S долларов на время T-t под без рисковый рейт r , покупает на них базовый актив и занимает короткую позицию в форвардном контракте.
В момент времени T он получит чистый доход в размере F - S* exp(r(T-t)), что противоречит отсутствию арбитражной возможности. Обратно. Пусть F S* exp(r(T-t)), тогда инвестор может продать актив коротко, инвестировать деньги под без рисковый процент r и занять длинную позицию в форвардном контракте. В момент времени T он получит актив по цене F, закроет им короткую продажу и получит чистый доход в размере S* exp(r(T-t)) F. Пример. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидентную акцию сроком на три месяца.
Пусть сейчас она стоит 40$ и безрисковая доходность r составляет 5% годовых. Итак, T-t = 0.25, r = 0.05 и S = 40. Поэтому
F = 40*exp(0.05*0.25) = 40.50 Для того, чтобы выражать наши аргументы более кратко и формально следует привыкать к доказательствам следующего вида.
Рассмотрим два портфеля: Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))
Портфель Б: одна единица базового актива. В портфеле А деньги в размере Kexp(-r(T-t)) означают, что они вложены под безрисковый процент так, что к моменту времени T их там будет K и они будут использованы для покупки базового актива в момент T. Таким образом оба портфеля в момент T состоят из единицы базового актива, а следовательно они равны. Из этого следует, что они должны быть равны и в любой другой момент времени t. Если бы это было не так, то был бы возможен арбитраж. Отсюда следует, что f + Kexp(-r(T-t)) = S
или
f = S - Kexp(-r(T-t)) В момент заключения контракта форвардная цена равна цене открытия и выбирается так, чтобы величина контракта равнялась 0. Форвардная цена F, при которой величина f = 0 равна K. Поэтому
F = Sexp(r(T-t)). Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу заранее известный доход. Примером таких активов могут быть акции с известным размером дивидента или купонная облигация с определенным размером купона.
Обозначим за I тот фиксированный доход, который будет получен за время действия контракта
Докажем, что тогда при отсутствии арбитража
F =(S I)* exp(r(T-t)) (1) Для доказательства чуть изменим портфель B из предыдущего рассмотрения, а портфель А оставим без изменения.
Рассмотрим два портфеля: Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу базового актива плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))
Портфель Б: одна единица базового актива плюс занято денег в размере I под безрисковый процент r. Доход, полученный от актива будет использован для выплат по займу. И к моменту T оба портфеля опять будут равны. Но из-за условий отсутсвия арбитража они должны совпадать и в любой другой момент времени t. Таким образом f + Kexp(-r(T-t)) = S - I
или
f = S - I - Kexp(-r(T-t));
Форвардная цена F это та цена, которая делает f равным нулю, отсюда и получим (1) Форвардный контракт на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность. Примером могут служить акции размер дивидентов которых есть некоторый известный процент q от цены акции.
В этом случае в качестве портфеля Б следует взять портфель вида:
Портфель Б: exp(-q(T-t) от единицы актива , доход от которого реинвестируется в актив. Актив портфеля Б растет в результате выплачиваемых дивидентов и к моменту T станет в точности единицей актива, так же как и портфель A. Приравнивая их для произвольного момента времени, получаем: f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-q(T-t))
или
f = S exp(-q(T-t)) - Kexp(-r(T-t)); Форвардная цена F это та цена, которая делает f равным нулю, отсюда и получим:
F =S exp((r-q)(T-t)) (2)
Правда следует отметить, что дивидентная доходность q может изменяться в ходе жизни контракта. Поэтому, для корректности выражения (2) q следует понимать как среднюю дивидентную доходность .
Коротко остановимся на других возможных контрактах.

Фьючерсы на индекс.

Индекс Акций показывает движение цен гипотетического портфеля акций. Веса с которыми акции входят в портфель могут быть одинаковыми, могут вычисляться по какому-либо правилу.
Обычно предполагается, что индекс не учитывает дивиденты по акциям входящих в портфель. Приведем наиболее известные мировые индексы.

Standard Poors 500 (SP500). Торгуется на CME (Chicago Mercantile Exchange) и основан на портфеле 500 различных акций: 400 индустриальных компаний, 20 транспортных 40 финансовых и 40 компаний служб сервиса (вывоз мусора, водопровод, и т.п.) Веса при вхождении в портфель вычисляются как отношение капитализации этой компании к общей капитализации. Листинг охватывает 80% всех компаний торгуемых на бирже Нью-Йорка. Размер одного фьючерсного контракта равен 500 * индекс.

Nikkei 225. Основан на портфеле 225 акций крупнейших компаний торгуемых на Tokyo Stock Exchange.
Веса определяются в соответствии с ценами конкретной акции. Один фьючерсный контракт равен 5 * значение индекса.

New York Stock Exchange Composite Index. Оценивается на основе всех акций торгуемых на этой бирже. Веса берутся по капитализации.
The Major Market Index (MMI) основывается на портфеле 20 голубых фишек, торгуемых на NYSE. Этот индекс сильно коррелирует с Dow Jones Industrial Average, который также основывается на относительно небольшом количестве акций. Один фьючерсный контракт равен 500*индекс и торгуется на Chicago Board of Trade.

Индекс РТС. Индекс РТС является единственным официальным индикатором Российской Торговой Системы.
Индекс рассчитывается один раз в 30 минут в течение всей торговой сессии, начиная с 12:00 и заканчивая в 18:00. Значение индекса на 12:00 является значением открытия, на 18:00 значением закрытия. Индекс рассчитывается в двух значениях - валютном и рублевом.
Рублевые значения являются вспомогательными и рассчитываются на основе валютных значений. Индекс (валютное значение) на расчетное время (In) рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций (MCn), включенных в список для расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих же акций на начальную дату (MC1), умноженное на значение индекса на начальную дату (I1):
В качестве поставляемого товара при истечении срока фьючерсного контракта на индекс являются деньги в размере суммы контракта, а не портфель входящих в индекс акций.
Если в портфель индекса входят акции, выплачивающие дивиденты, то при оценке цены фьючерсного контракта это следует учесть так же, как это мы делали в случае форвардных контрактов на актив, обеспечивающий владельцу известную дивидентную доходность q.
(См формула (2).

Форварды и фьючерсы на валюты.

Пусть S текущая цена в долларах единицы зареубежной валюты. Зарубежная валюта имеет свойство то, что ее держатель может ее положить в банк под безрисковый процент этой страны.
Обозначим его за rf, также будем считать, что это непрерывно начисляемая доходность. Рассмотрим 2 портфеля Портфель А: один длинный форвардный контракт на единицу валюты плюс количество денег равное Kexp(-r(T-t))
Портфель Б: Деньги в иностранной валюте в размере exp(-rf(T-t)) К моменту T мы получим одно и тоже количество в иностранной валюте равное ее единице. Опять считаем, что это выполняется и в любой момент времени, тогда
f + Kexp(-r(T-t)) = Sexp(-rf(T-t))
или
f = S exp(-rf(T-t)) - Kexp(-r(T-t)) Форвардная цена F это то, что обращает последнее выражение в ноль. Следовательно
F =S exp((r-rf)(T-t)) (3)
Заметим, что это одно и тоже, что и выражение (2) при замене rf на q.

Фьючерсы на товар. (золото, серебро, нефть)

В отличие от индексов и акций эти товары требуют вполне ощутимые средства на их хранение.
Без вывода приведем основные результаты.
Пусть U текущая стоимость хранения. Тогда
F =(S + U) exp(r(T-t)) (4)
Сравните это выражение с (1) .
Если затраты на хранение пропорциональны стоимости актива, то их можно выразить как отрицательную дивидентную доходность. Тогда
F =S exp((r+u)(T-t)) (5)
Где u стоимость хранения единицы товара за год. Сравните это выражение с (2) .

Цена фьючерса и ожидаемая цена спота

Часто задают вопрос. Является ли цена фьючерса на какой товар равной ожидаемой будущей ценой спота?
Или другими словами можно ли считать цену фьючерса некоторым достаточно правдоподобным прогнозом цены спота?
Конечно, несомненен тот факт, что при приближении времени окончания контракта фьючерс стремится к споту. Но речь здесь идет о том, когда время окончания контракта еще далеко и фиксировано. Обсудим это чуть позднее, когда ознакомимся с типами возникающих рисков Типы рисков. Исследователи законов ценообразования выделяют два основных типа возникающих здесь рисков: систематический и несистематический. Несистематический риск не очень интересен инвестору так как он может практически свести его на нет грамотной диверсификацией своего портфеля.
Систематический риск не может быть устранен диверсификацией, так как он возникает из-за корреляционных связей всего мирового рынка в целом.
В качестве примера рассмотрим спекулянта, имеющего длинную позицию в надежде, что цена актива в момент окончания контракта будет выше, чем цена фьючерса сейчас. Таким образом в момент времени t он должен зарезервировать денег в размере
-F exp(-r(T-t)), а в момент T он получит +S(T).
Текущая цена такого инвестирования есть
-F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)],
где k ожидаемый предполагаемый инвестором от инвестирования выраженный в годовых доходностях. Предполагая, что арбитраж отсутствует получим: -F exp(-r(T-t)) + E[S(T)) exp(-k(T-t)] = 0 или
F = E[S(T)exp(r-k)(T-t)]
Величина k зависит от систематического риска. Если S(T) некоррелирует с уровнем рынка акций, то инвестирование несет нулевой систематический риск. В этом случае k=r и следовательно F = E(S(T)). Если корреляция S(T) и рынка акций в целом положительна, то kr и имеемся положительный риск и F E(S(T)).
Соответственно F E(S(T)), при kr и отрицательной корреляции.
Проверить , что же чаще всего бывает на самом деле можно только статистическим путем, проводя тщательный статистический анализ исторических данных. В частности по данным до 1999 года для SP500 такой анализ показывает, что чаще всего имеет место ситуация F E(S(T)). Таким образом в среднем цена фьючерсного контракти ниже чем ожидаемое значение стоимости актива в момент окончания. В данных 2000 2001 годов можно было наблюдать обратную картину.

Свойства цен опционов на акции

I.Основными факторами, влияющие на цены опционов на акции являются:

Текущая цена акции
Страйк
Время до окончания контракта
Волатильность цен акции
Безрисковая доходность
Дивиденты, ожидаемые в течении жизни опциона

II Предположения и обозначения.
Перед тем как получить соотношения между ценами опционов, сделаем необходимые предположения. Причем относительно вероятностного поведения пока предположений никаких делать не будем.

Транзакции проводятся бесплатно.
Все торговый доходы и потери имеют один и тот же рэйт.
Свободно возможен заем и наоборот кредитование под безрисковую доходность.
Участники рынка отслеживают и при первой возможности реализуют арбитражные операции.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения:
S Текущая цена акции
X страйк
T время окончания (expiration date)
t текущее время
S(T) - цена акции в момент окончания контракта
r безрисковая доходность
С цена Американского call опциона
P цена Американского put опциона
с цена Европейского call опциона
p цена Европейского put опциона Пусть также r 0

Верхняя и нижняя оценка стоимости опциона.

Верхняя граница. Так как Американский и Европейский call опцион дает право купить акцию по фиксированной цене, то естественно
C = S и с = S
Если это не так, то арбитражеры моментально бы этим воспользовались, покупая акции и продавая call опционы.
Аналогично Американский и Европейский put опцион дает право продать акцию по фиксированной цене, следовательно: P = X и p = X
Для Европейского опциона последнее выражение можно усилить, а именно

Имплайд волатильность.

Где N(x) функция распределения стандартного нормального закона
Так как с=С это есть также цена и американского опциона
Цена европейского put можно получить из call-put parite t
p = Xexp(-r(T-t))N(-d2)- SN(-d1) К сожалению нет точной формулы для вычисления Американского put опциона

Имплайд волатильность.

Один из параметров формулы цены опциона не является наблюдаемым. Это параметр волатильности. Ранее мы получали оценку волатильности по историческим данным.
Однако, так как цены опционов присутствуют на рынке (торги то идут) , то можно получить оценку волатильности непосрдственно из формулы цены опциона, обращая ее. Полученная волатильность носит название Имплайд волатильности. Она может быть в частности использована для получения цен опционов, которые на рынке не представлены

Греческие буквы

Финансовые институты продавая опционы клиентам сталкиваются с необходимостью управления возможными рисками. Если, например, опцион на обменный курс, то финансовый институт может нейтрализовать этот риск покупкой валюты.
Однако это не всегда возможно, так как опцион может выписан на товар не присутствующий непосредственно на бирже. В этом случае хеджирование может быть затруднено.
В этой лекции мы рассмотрим несколько альтернативных способ страхования. Один из них носит название Греческие буква или просто Греческие буквы
Пример. Финансовый институт продает за 300 000$ опцион call на поставку 100 000 бездивидентных акций. Предположим что:
S = 49$ , X=50, r=0.05, = 0.2 , = 0.13 и T=0.3846 это 20 недель
Теоретическая цена такого опциона по формуле Блэка Шольца составляет 240 000$. Однако финансовый институ продал его на 60 000 больше чем теоретическая цена.
Это приводит его к необзодимости хеджирования.
Голая и покрытая позиция.
Это наиболее простые стратегии хеджирования.
Первая из них состоит в том, что делать ничего и не надо. Это действительно хорошо сработает, если цена акции через 20 недель окажется ниже 50$. Опцион не будет реализован и инсититут как получил свои 300 000 так и с ними и останется.
Однако, если цена акции в момент окончания опциона станет выше, например 60$, то голая стратегия приведет к потерям. Так как опцион станет стоить 1 000 000 = 60*100 000 50 * 100 000, что значительно привосходит полученный вначале 300 000.
В качестве альтернативы рассмотрим стратегию покрытой позиции. Она состоит в покупке 100 000 акций в при продажи опциона.
Если опцион реализуют, то эта стратегия действительно хороша. Однако, если цена акции упадет скажем до 40, то финансовый институт теряет в конце 900 000 = 100 000 * 49 100 00 * 40, что также больше, чем 300 000, полученные сначала.
Однако, все-таки голая и покрытая позиции обеспечивают удовлетворительное хеджирование. Если предположения сделанные при выводе формулы Блэка Шольца верны, то именно 240 000 является средней ценой по которой надо было совершать сделку.
Именно для этой цены стандартное отклонение стоимости опциона и хеджа равно нулю.
StopLoss стратегия.
Основная идея такой стратегии заключается в том, что финансовый институт выписывая опцион на акцию со страйком X покупает акций на размер опциона. Схема хеджа такова:
Покупка акций как только цена акций начнет превышать X и продажа, как только цены станут ниже Х. То есть последовательное чередование голой и покрытой стратегий. В начальный момент времени цена акции равна S(0) ит размер хеджа будет S(0), если S(0) X и 0 иначе.
Таким образом общая стоимость выписки опциона и хеджирования будет составлять Q = max[S(0) X,0]
И если все корректно, то такая схема будет работать хорошо, вне зависимости то того как меняется цена акций. Более того стоимость хеджирования всегда меньше, чем цена Блэка-Шольца. (см. оценки для цен опционов). Однако, существуют два недостатка такого хеджирования.
Во-первых выплаты осуществляются в разное время и должны дисконтироваться к началу. Во-вторых сделки по хеджированию не могут быть точно проходить по цене X.

Дельта хеджирование.

Последнее время многие трейдеры используют более продвинутые схемы страхования заключающиеся в вычислении мер , и Vega Определение.
опциона определяется как скорость изменения цены опциона относительно изменения цены базового актива
Другими словами = dc/dS
Например если =0.6 то это означает, что если цена актива изменяется на небольшое значение, то цена опциона изменится на 60% от этой величины. Пусть цена акции 100$ и цена опциона 10$ Представим, что инвестор, который продал 20 опционов, т.е.опционов на покупку 2000 акций. Тогда позицию инвсетора следует застраховать покупкой 0.6 * 2000 = 1200 акций.
Доходы(потери) по опциону будут стремиться к компенсации потерями (доходами) от акций.
Итак стратегия хеджирования: -1 финансовая производная
единиц акций.
Для европейского call option короткая позиция в call требует длинной позиции акциях и, наоборот, длинная позиция в call требует короткой позиции в акциях в размере N(d1) Европейский put option.
= dc/dS = N(d1) 1 0
Для европейского put option длинная позиция в put требует длинной позиции в акциях, и наоборот, короткая позиция в put требует короткой позиции в акциях. Портфеля опционов на товар с ценой S равен сумме каждого опциона умноженного на количество опционов каждого типа
dП/dS = w(i) (i)

Тета опциона.

Тета опциона или портфеля называется скорость изменения величины портфеля относительно времени, при условии, что все остальное не измнияется. = dП/dt Для европейского call =S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(d2)
Для европейского put
=-S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(-d2)
Тета обычно отрицательна. Это следует из того,что по мере приближения времени исполнения при фиксированных остальных параметрах опциона стоимость опциона уменьшается
Гамма портфеля Определение. Гамма портфеля называется вторая производная по цене
Г = d^2/dS^2
Если Гамма маленькая то дельта меняется медленно, что позволяет поддерживать дельта нейтральный портфель довольно спокойно. Гамма портфеля довольно чувствительна к изменению цены базового актива.
Пусть S изменение цены акции за интервал времени t. И П изменение портфеля, тогда
Для дельта нейтрального порфеля П = t + 0.5 Г S^2
Гамма нейтральный портфель Гамма нейтральный портфеля обеспечивает защиту от больших движений в цене базового актива. Для европейского call и put
Г =N(d1)/(Ssqrt(T))
Гамма тета и дельта портфеля связаны между собой Подставляя вместо призводных значения букв получим
+ rS + 0.5^2S^2Г = rП для дельта нейтрального портфеля

+ 0.5^2S^2Г = rП

Отсюда видно, что при увеличении положительного тета Гамма уменьшается и отрицательно.
Vega
Мы ранее предполагали, что волатильность постоянна, понятно, что это конечно не так Определение. Вега портфеля это скорость изменения величины портфеля относительно изменения волатильности Vega = dD/d
Если вега большая по абсолютной величине, то портфель очень чуствителен к изменения волатильности.
Позиция в опционе в размере V/Vo, где Vo Vega опциона делает портфель vega нейтральным Для европейского call и put V =S * sqrt(T) * N(d1)

Rho портфеля

Некоторые трейдеры вычисляют еще и Rho портфеля Rho = dП/dr Это показывает чуствительность портфеля по отнрошению к изменению r
Для европейского call rho = X T exp(-rT) N(d2)
Для европейского put
rho = -X T exp(-rT) N(-d2) Итоговая таблица значений греческих букв для Европеских call и put опционов
в модели Блэка-Шольца

Буква	Определение	Европейский call	Европейский put
	= dc/dS	N(d1)	N(d1) - 1
	dП/dt	S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(d2)	=-S(0)N(d1)*/ (2sqrt(T)) r X exp(-rT) N(-d2)
Г	d^2/dS^2	Г =N(d1)/(Ssqrt(T))	Г =N(d1)/(Ssqrt(T))
Vega	DП/d	S * sqrt(T) * N(d1)	S * sqrt(T) * N(d1)
Rho	Rho = dП/dr	X T exp(-rT) N(d2)	-X T exp(-rT) N(-d2)

Interest Rate Futurities Фьючерсы на доходность

Фьючерсный контракт на актив, цена которых зависит от уровня доходности называется interest rate фьючерсы. Спот и форвардный рейт.
n-годовой спот рейт это доходность инвестиций сделанной сегодня и заканчивающаяся через n лет. n-годовой спот рейт без промежуточных выплат называют n-year zero-coupon yield.
Форвардным рейтом называют рейт доходности полученный от инвестиции сделанной через некоторое время в будущем на некоторый период времени. Пример.

Лет	Спот рейт в процентах годовых	Форвардный рейт в процентах годовых
1	10.0
2	10.5	11.0
3	10.8	11.4
4	11.8	11.6
5	11.1	11.5

Правило для вычисления форфардного рейта можно понять из следующей таблицы.
Второй столбец таблицы это n-годовой спот рейт в процентах годовых с непрерывным начислением. В результате инвестиция в 100$ сделанной на год мы в итоге получим 100*exp(0.1) долларов, а инвестиция на 2 года принесет 100 * exp(2*0.105).
С другой стороны это должно быть равно (в силу отсутствия арбитража) сначала инвестиции на один год, а затем последующей инвестиции полученных средств еще на один год с форвардным рейтом x. Таким образом получим соотношение
100*exp(0.1)*exp(x*1) = 100 * exp(2*0.105)
откуда

1. + x = 0.21 или

x = 0.11
Общая формула для вычисления форвардных рейтов имеет следующий вид.
Пусть r(T) и r(T*) спот рейты при инвестиции на срок T и T* лет соответственно, причем T* T, тогда форвардный рейт r(T,T*-T) при инвестиции в момент времени T на срок T* - T будет равен r (T,T*-T) = ( r(T*)T* - r(T)T) / (T* - T). (1)

Zero-coupon временная структура.

Под Zero-coupon временной структурой понимается функция, показываюшая зависимость спот рейта от времени до окончания (матерость). Пример временной структуры первый и второй столбец таблицы.
Аналогично можно ввести понятие форвардной временной структуры. Переписав (1) как
r (T,T*-T) = r(T*) + ( r(T*) - r(T))T / (T* - T) и перейдя к пределу при стремлении T* к T последнее можно переписать как r + T dr/dT
Что можно интерпретировать как инвестицию сделанную в момент T на бесконечно малый промежуток времени. Это называют мгновенным форвардным рейтом (instantaneous forward rate) для матерости T. На практике спот рейты (или zero coupon yelds) не наблюдаются непосредственно. То, что можно найти на рынке это так называемые coupon-bearing bonds.
Из них обычно и получают zero coupon yelds. Метод получения называется бутстреп.(bootstrap) Для иллюстрации рассмотрим следующую таблицу

Номинал бонда в $	Maturity	Coupon за год	Bond Price	Zero-Coupon Yield
100	0.25	0	97.5	0.1012
100	0.5	0	94.9	0.1047
100	1	0	90	0.1054
100	1.5	8	96.0	0.1068
100	2.0	12	101.6	101.6

Так как первые три бонда не выплачивают купонов то непрерывно начисляемый рейт можно вычислить по уже хорошо нам знакомой формуле. Следующий бонд уже имеет выплаты по купонам
Через 6 месяцев 4$

год 4$

1.5 104$
Но дискаунт рейты с матеростью 0.5 года и 1 год нам известны поэтому
4exp(-0.1047*0.5) + 4exp(-0.1054*1) + 104exp(-1.5 * R) = 96
Отсюда R = 0.1068 Аналогично для следующего бонда 6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6
Отсюда R = 0.1081
Наконец последний
6exp(-0.1047*0.5) + 6exp(-0.1054*1) + 6exp(-1.5 * 0.1068)+106 exp(-2.0 * R) = 101.6 Дюрация. Важным понятием при работе с фьючерсами при их хеджировании является понятие дюрации.
Под дюрацией понимают меру того как долго в среднем держатель актива должен ожидать получениния выплат. Например, если инвестор имеет безкупонный бонд с матеростью n лет, то дюрация естественно составляет n. Однако, для купонного бонда это уже не так.
Для него дюрация будет меньше, чем n. Действительно, в момент времени 0 ,бонд гарантирует выплаты c(i) в моменты времени t(i). Цена бонда при доходности y (непрерывно начисляемой) будет B = c(i)exp(-y*t(i)). (1) Дюрация такого бонда определяется как
D = [t(i)c(i)exp(-y*t(i))]/B, (2)
что может быть переписано, как
D = t(i)[c(i)exp(-y*t(i))/B]
Член в квадратных скобках это отношение текущей величины выплат в момент t(i) к цене бонда B. Цена бонда это текущая стоимость всех выплат. Итак дюрация есть взвешенная сумма времен, когда делаются выплаты с весами соответствующими выплатам в момент t(i) поделенным на цену бонда.
Сумма весов естественно равняется 1. Теперь мы покажем, почему дюрация очень важна при хеджировании. Из соотношения (1) имеем:
d B/dy = -c(i)t(i)exp(-y*t(i)), что
в силу (2)
d B/dy = -BD (3)
Если сделать небольшой параллельный сдвиг во временной структуре на y, то из соотношения (3) получим, что цена бонда изменится на B, где
B/ y = -BD (4)
или
B/ B =-Dy (5)
что означает, что процент изменения цены бонда равен его дюрации умноженной на размер параллельного сдвига.
Пример.
Рассмотрим пример 3 летнего бонда с номиналом 100$. Пусть его доходность составляет 12% в год с непрерывным начислением (y=0.12). Пусть каждые 6 месяцев выплачивается купон равный 5$, тогда необходимые для вычисления его дюрации члены поместим в таблице

Time	Payment	Present Value	Weight	Time*Weight
0.5	5	4.709	0.05	0.025
1	5	4.435	0.047	0.047
1.5	5	4.176	0.044	0.066
2.0	5	3.933	0.042	0.084
2.5	5	3.704	0.039	0.098
3.0	1.05	73.256	0.77	2.334
Итого		94.213	1.00	2.654

Итак дюрация составляет 2.654
Из соотношения (4) получим
B = - 94.213 * 2.654 *y
B = - 250.04 *y
Если y=0.001 и y станет равным 0.121 и следовательно B = -0.25. Другими словами мы ожидаем, что цена бонда уменьшится и станет равным 94.213 0.25 = 93.963
Пересчитав цену бонда с доходностью 0.121, можно проверить, что именно столько и получится.
Дюрация портфеля представляет как взвешенную дюрацию бондов, входящих в портфель.
В случае, когда процент начисляется один раз в год, а не непрерывно можно показать, что
B =-BDy/(1+y) (5)

Стратегия хеджирования, основанная на дюрации

Расммотрим ситуацию, когда позиция в зависящем от доходности активе (например бонде) хеджируется с использованием фьючерса на доходность.
Пусть
F цена фьючерса на доходность
D(F) дюрация актива на который выписан фьючерс.
S - величина актива, который хеджируется
D(S) дюрация актива на который выписан фьючерс.
Предположим что изменение доходности составило y и оно является одинаковым для всех матеростей, т.е. произошел параллелный сдвиг временной структуры. Из соотношения (4) имеем
S = -SD(S) y
для фьючерса оно выглядит также
F = -FD(F) y
тогда количество контрактов, необходимых для хеджирования против такого увеличения составит
N = SD(S)/ FD(F)
Это соотношение называют duration-based hedge ratio или price sensitivity hedge ratio.
Пример.
20 мая инвестор знает, что получит 3.3 миллиона долларов 5 августа. И эти средства он собирается инвестировать в следующем феврале.
Поэтому как только он в августе их получит, то сразу из инвестиреут в 6 месячный Treasury Bills. Текущая доходность по 6 месячным Treasury Bills составляет 11.2% в год.
Инвестор считает, что за срок с 20 мая по 5 августа эта доходность может изменится. Цена фьючерса на сентябрьский T-Bill сейчас есть 89.44. В случае если доходности упадут, то компания потеряет деньги.
Страховка от этого должна принести положительный доход, чтобы компенсировать потери при уменьшении доходности. Это означает что требуется длинная позиция для страховки.
Так как за 3 месяца выплат не будет, то дюрация купленного сейчас T-Bill составляет также 3 месяца или 0.25 года. Дюрация 6 месячного T-Bill, также составляет 6 месяцев или 0.5 года.
Один фьючерсный контракт составляет 1 миллион долларов. При этом цена контракта составит
10000[100-0.25(100-89.44)] = 973600
тогда количество контрактов, которые стоит заключить для целей страховки составит
3300000/973600 * 0.5/0.25 = 6.78
т.е. 7 контрактов следует сейчас заключить, чтобы избежать потерь из-за возможного падения
доходности Treasury Bills.

Intersest Rate Derivative Securities

Это инструменты, выплаты по котором зависят от уровня доходности. В последнее время рынок таких финансовых производных развивается наиболее быстро.
Наиболее популярными являются опционы на Treasure Bond, Treasure Note фьючерсы и фьючерсы на Евродоллар. Очень популярными являются Swaptions ( опцион на своп)
Своп это соглашение между двумя компаниями по обмену выплатами в будущем согласно определенным правилам. Наиболее общим типом свопа является "play vanilla" своп на доходность.
В нем одна B сторона соглашается выплачивать другой стороне A выплаты в размере предопределенного фикированного рейта от номинала за несколько лет. В это же время другая сторона соглашается платить первой стороне плавающий рейт на тот же самый номинал и тот же период времени..
Свопцион дает держателю право вступления в определенный своп в некоторое определенное время в будущем.
Другим типом финансовых производных являются Кап (Caps) на рейт. Капы придуманы для того, чтобы застраховаться от того, что рейт превысит или упадет за определеннную границу (cap rate).
Механизм действия капа понятен из графика. Предположим, что выплаты производятся в моменты времени ,2, ...... N Тогда продавцу каждом k интервале времени предстоят выплаты в размере
* L max(R(k) R,0)
где R(k) величина доходности базового актива
R cape rate
L principal
.
Традиционно оценка стоимости таких финансовых инструментов начинается с построения временных структур, которые в свою очередь опираются на модели стохастического процесса для r- мгновенного рейта. Важно подчеркнуть, что это не процесс для r в реальном мире.
Как мы раньше уже отмечали цены бондов, опционы зависят только от r из риск нейтрального мира.
Риск нейтральным миром называют предположение в котором все инвесторы за очень короткий промежуток времени между t и t+t получат доход в среднем равный r(t) t.
Все процессы для r мы будем рассматривать в этом риск-нейтральном мире. Несколько популярных моделей для временных структур развиты из предположения, что риск-нейтральный процесс для r имеет форму
dr = m(r)dt + s(r)dz (*)
Где снос m(r) и диффизия s(r) являются функциями от r. Ранее мы получили результат, что величина финансовой производной будет E[exp(-r(T-t))f(T)], (1)
Где r средняя величина r на интервале времени от t до T, E символ математического ожидания относительно риск-нейтрального мира.
Обозначим через P(t,T) цену в момент времени t дисконтного бонда (бонд с нулевым купоном), который в момент времени T выплатит 1$. Тогда из формулы (1) P(t,T) = E[exp(-r(T-t))], (2)
Если R(t,T) непрерывно начисляемая доходность в момент времени t по бонду с матеростью T-t, то P(t,T) = exp(-R(t,T)(T-t))], (3)
И следовательно
R(t,T) = -1/(T-t) ln(P(t,T) (4)
Подставляя сюда формулу (2) получим R(t,T) = -1/(T-t) ln(E[exp(-r(T-t))] ) (5)
Последняя формула и позволит получать временную структуру для доходностей R(t,T) из риск-нейтрального процесса для r . Рассмотрим несколько конкретных моделей.
Модель Рендлемана-Барттера
Рендлеман и Барттер предложили наиболее простую модель изменения m(r) и s(r) в (*)/
Пусть
m(r) = M*r;
s(r) = S*r Это означает, что r cледует процессу геометрического Броуновского движения с постоянным уровнем роста M , и постоянной волатильностью S.

Модель Васичека.

В ней
m(r) = а(b-r);
s(r) = ; Риск нейтральный процесс для r в этой модели выглядит таким образом
dr = а(b-r)dt + dz (6)
Васичек решил уравнение (2) и получил аналитическое выражение для P(t,T)
P(t,T) = A(t,T)exp(-B(t,T)r) Где B(t,T) =[ 1-exp(-a(T-t))]/a
(B(t,T) T +t )(a^2b- ^2/2) ^2 B(t,T)^2 A(t,T) = exp[-------------------------------------- - -----------------------]
a^2 4 a Модель Кокса, Ингерсолла и Росса Одним из недостатков модели Васичека являтся тот факт, что r может стать отрицательным. Этот момент был устранен в модели Кокса, Ингерсолла и Росса. В ней процесс для r выглядит следующим образом dr = а(b-r)dt + Sqrt(r)dz Как видно из этого выражения стандартное отклонение пропорционально sqrt(r) Вид выражения для цены бонда такой же как и в модели Васичека P(t,T) = A(t,T)exp(-B(t,T)r)
Однако, выражения для B(t,T) и А(t,T) имеют несколько более сложный тип чем в модели Васичека. Эти же авторы нашли выражения и для цен Европейских опционов в этой модели.

Без-арбитражные модели

Важным недостатком моделей представленных ранее является тот факт, что в них автоматически не происходит подгонка сегодняшней временной структуры. И они не достаточно точно описывают ее. Причем ошибка может быть достаточно большой. Многие трейдеры поэтому считают эти модели неудовлетворительными.
Поэтому были разработаны специальные модели, которые достаточно точно аппроксимируют текущую временную структуру. Эти модели носят название безарбитражных. Основные обозначения. P(t,T) Цена дисконтного бонда в момент времени t, обещающего в момент времени Т вернуть 1$.
v(t,T) волатильность P(t,T)
F(t,T1,T2) форвардный рейт в момент времени t, при инвестиции между T1 и Т2
F(t,T) непрерывный форвардный рейт в момент времени t;
r(t) мгновенная безрисковая доходность,
z(t) Винеровский процесс. По определению F(t,T) = lim F(t,T,T+d) при d - 0 В качестве риск-нейтрального процесса для P(t,T) рассмотрим процесс
dP(t,T) = r(t) P(t,T)dt + v(t,T) P(t,T)dz(t) (1)
Форвардный рейт относительно дискаунт цены бонда равен
f(t,T1,T2) = [ln(P(t,T1))-ln(P(t,T2)] / (T2-T1) (2)
Из (1) следует, что
ln(P(t,T1) = [r(t) v(t,T1)^2/2] dt + v(t,T1) dz(t)
и ln(P(t,T2) = [r(t) v(t,T2)^2/2] dt + v(t,T2) dz(t) поэтому
v(t,T2)^2 v(t,T1)^2 v(t,T2) v(t,T1) df(t,T1,T2) = -------------------------------- dt + ------------------------------------ dz(t) (3)
2(T2-T1) T2 T1 Из последнего выражения (3) следует, что риск нейтральный процесс для f зависит только от волатильности v(t,T)
Положим T1 = T и T2 = T1+T и, переходя в (3) к пределу при -0, получим,
что f(t,T1,T2) перейдет в F(t,T), коэффициент при dz(t) перейдет к пределу, который обозначим за vT(t,T) и коэффициент при dt станет
0.5 d[v(t,T)^2] / dT = v(t,T)vT(t,T) где vT обозначает частную производную по T. Таким образом
DF(t,T) = v(t,T)vT(t,T) dt + vT(t,T)dz(t) (4) Так как v(t,T) заданная функция то из последнего выражения и определяется F(t,T).
Также последнее выражение показывает, что существует тесная связь между сносом и стандартным отклонением для непрервных форвардных рейтов.

Многофакторные модели временных структур

Heat,Jarrow and Morton были первыми, кто это заметил. Интегрируя vT(t,T) от t до T они получили

Многофакторные модели временных структур

И так как v(t,t) = 0, то Если m(t,T) и s(t,T) непрервный снос и стандартное отклонение для F(t,T), то из (4) следует, что Последнее выражение и показывает связь между сносом и стандартным отклонением.

Модель Хо и Ли (Ho Lee Model)

Хо и Ли первыми предложили безарбтражную модель временных структур в 1986 году. Модель выглядит следующим образом
Где (t) некоторая функция от времени выбранная так, что она хорошо описывает начальную временную структуру.
Уравнение для (t) выглядит так В модели Хо и Ли выражение для цены дискаунт бонда будет
Где
Также ими были получены и величины Европейских опционов на дискаунт бонд.

Модель Hull-White

Была предложена в 1990 году как расширение модели Васичека с учетом того, для определения (t) подгоняется начальная временная структура.
Модель Hull-White и ее модификации в настоящее время является наиболее популярной одномерной моделью временных структур.

Многофакторные модели временных структур

Недостатком одномерных моделей временных структур является то, что эволюция временной структуры моделируется только в виде парралельного сдвига. Многофакторные модели позволяют моделировать не только парралельный сдвиг, но и более сложные изменения временной структуры.
В последнее время очень популярной моделью временных структур является модель основанная на методе главных компонент

Оценка рыночных рисков

Во всем многообразии финансовых рисков обычно выделяют:

Кредитный риск (Credit Risk) - риск возможных потерь из-за неспособности контрагента выполнить свои обязательства.
Операционный риск (Operational Risk) - риск потерь из-за ошибок операционного персонала.
Риск несбалансированной ликвидности (Liquidity Risk) - потери, которые могут возникнуть в ситуации, когда для обеспечения ликвидности приходится привлекать дополнительные средства под более высокий процент, чем обычно.
Рыночный риск (Market Risks) - риск, связанный с возможным изменением рыночных котировок активов и изменением процентных ставок.

Конечно, деление это условно, а виды рисков взаимосвязаны. Но эта классификация представляется разумной, поскольку для оценки и управления разными рисками применяются разные методы.
Так управление операционными рисками и риском ликвидности в значительной степени носит характер проблемы, решаемой построением правильной организационной процедуры с опорой на знания экспертов.
Управление рыночными рисками, в его современном понимании, наиболее формализуемая и регулярная задача. Первые математические модели изменения рыночных цен появились еще в начале ХХ века [LB]. Самуэльсон предложил в 60-х годах активно используемую и поныне модель геометрического броуновского движения для описания динамически цен акций.
Мощный толчок развитию этой теории дали работы Блэка, Шоулса и Мертона (Black, Scholes, Merton) в 70-х годах [BS], [M]. Появившиеся в последние годы в финансовой литературе модели изменения рейтингов позволяют достаточно эффективно оценивать кредитные риски.

VAR (Value at Risk)

Перед этим мы ввели различные меры: гамма, тета, вега, дельта для описания различных аспектов рисков портфеля из опционов. Финансовые институты вычисляют каждую из этих мер каждый день для всех рыночных переменных. Зачастую их сотни и тысячи, что затрудняет понимание картины возникающих рисков в целом.
Исторический первой попыткой оценить одним числом меру риска суммирующего в себе риск портфеля в целом является мера VAR (value at risk). Обозначим через X потери нашего портфеля через N дней. Потери эти являются величиной случайной и зависят от изменения котировок финансовых инструментов, входящих в портфель, за период N дней. Величина q = VAR(X)
есть квантиль уровня распределения случайной величины X, т.е. вероятноять того, что X не превосходит q, равна 0.01 ( здесь меряется в процентах). Вычислив VAR, мы можем формулировать утверждения типа : "Мы на % уверены, что не потеряем более, чем q за ближайшие N дней".
Методологии вычисления VAR посвящено громадное количество литературы. Он используется не только трейдерами и портфельными менеджерами, но и регулирующими органами.
Так в США регулирующие органы требуют от банков резервировать трехкратный 10-дневный 99% VAR под рыночные риски.
Несмотря на свою популярность, VAR обладает рядом существенных недостатков.

Во-первых, VAR не учитывает возможных больших потерь, которые могут произойти с маленькими вероятноcтями (меньшими, чем 1-0.01).
Во-вторых, VAR не может различить разные типы хвостов распределения потерь и поэтому недооценивает риск в случае, когда распределение потерь имеет "тяжелые хвосты" (т.е. его плотность медленно убывает).
В-третьих, VAR не является когерентной мерой, в частности, он не обладает свойством субаддитивности. Можно привести примеры, когда VAR портфеля больше, чем сумма VARов двух подпортфелей, из которых он состоит. Это противоречит здравому смыслу. Действительно, если рассматривать меру риска как размер капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то для покрытия риска всего портфеля нет необходимости резервировать больше, чем сумму резервов составляющих подпортфелей.

VAR поощряет торговые стратегии, которые дают хороший доход при большинстве сценариев, но иногда могут приводить к катастрофическим потерям

Дневная волатильность.

При оценке Var обычно имеют дело с дневной волатильностью. Соотношение между дневной и годовой волатильностью следует из свойств нормального распределения вероятностей и предположения независимости изменений цен активов. А именно:
Пусть (d) дневная волатильность и (y) годовая. Если предположить, что год состоит из 252 рабочих дня то соотношение между ними будет
(y) = sqrt(252) * (d). Оценка Var простейшем случае. Рассмотрим портфель состоящий из акций IBM на 10 миллионов. Предположим, что дневная волатильность составляет 2%. Или 32% в год.
Пусть N = 10 дней и мы интересуемся 99% доверительным интервалом изменения нашего портфеля.
Тогда дневное стандартное отклонение портфеля составит 10 000 000 * 0.02 = 200 000 долларов.
Предполагая независимость изменений цен акций получим, что стандартное отклонеине за 10 дней составит 200 000 * sqrt(10) = 632 456 долларов. Предположим, что дневной рейт доходности акций пренебрежительно мал относительно дисперсии приращений.
И приращения имеют нормальной распределение. Тогда квантиль стандартного нормально распределения уровня 0.01 = 1 0.99 составляет 2.33. Тогда Var 10 дневного портфеля составит

1. * 632 456 = 1 473 621

Оценка Var для портфеля из двух активов Предположим, что наш портфель состоит еще и из акций ATT на 5 000 000. И предположим, что изменения акций имеют двумерное нормальное распределение с коефф. Коррелции = 0.7. Дневная волатильность акций ATT составляет 1 процент в день тогда стандартное отклонение портфеля составит
(y+x) = sqrt((x)^2 + (y)^2 + 2 rho * (y) * (x)) Подставляя сюда (x) = 632 456 и (y) = 158 114 получим что это равно 751 665 И тогда Var = 751 665 * 2.33 = 1 751 379

Линейная модель

Предположения.

Портфель активов цена которого линейно зависит от входящих в него активов
Изменения величин активов имеют нормальное распределение.

Портфель состоит из P активов в количестве a(i) и (i) изменение величины единица i-го актива за день, тогда для всего портфеля
P = a(i)* (i)
Так как (i) имеют многомерное нормальное распределение, то P имеет нормальное распределение. Для вычисления Var нам необходимо вычислить стандартное отклонение портфеля (P)^2 = rho(i,j) a(i) a(j) (i) (j).
Это соотношение может быть переписано как
(P)^2 = a(i)^2 + 2rho(i,j) a(i) a(j) (i) (j)
где двойная сумма берется по i = 1...P, j i
Var для активов зависящих от доходности В прошлой лекции было введено понятие дюрации и было показано, что
P = -DP y ,
где P цена портфеля
D дюрация портфеля
y размер парраллельного сдвига временной структуры.
Тогда если дневная волатильность параллельных сдвигов составляет , и стандартное отклонение для портфеля составит
(P) = DP

Область применимости линейных моделей.

Линейные модели применяют для портфелей из финансовых инструментов, у которых изменение величины линейно зависит от изменения величины базовых активов (акции, обменные курсы ,бонды)
Для опционов линейная модель является только приближением. В частности если в портфель cсостоит из опционов на на одну и ту же акцию, то дельта для него
= P/S
Напомним, что показывает скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базовых активов
Определим
x = S / S
Тогда
P= S * * x
Если портфель состоит из опционов на несколько различных акциий
P = S(i) (i) x(i)
что можно переписать в такой же линейной форме как и раньше P = a(i)* (i) где a(i) = S(i) (i).
И следовательно это позоволяет вычислить стандартное отклонение портфеля в целом по уже приведенной выше формулам для линейной модели.

Квадратичная модель

Итак линейная модель является только приближением, в случае если в портфель входят опционы. Однако мы вычисляли и вторую производную по цене, которую называли гамма.
Поэтому можно построить и квадратичную модель изменения цены портфеля P= S * + 0.5(S)^2 Опять, полагая
x = S / S,
получим P= S * *x + 0.5S^2(x)^2
Однако в этом случае величина P уже не будет иметь нормальное распределение. Пусть x имеет нормальное распределение со средним 0 и стандартным отклонением
Тогда первые три момента для P будут E(P) = 0.5S^2^2
E(P)^2 = S^2 ^2^2 + 3/4S^4^2^4
E(P)^3 =9/2 S^4 ^2^4 +15/18 S^6^3^6
Первые два момента могут быть взяты для нормального распределения и получим одну аппроксимацию. А если использовать и третий момент, то это распределение Корниш-Фишера которое затабулировано и это будет другое приближение.

Монте-карло моделирование

Альтернативным способом оценки VaR является моделирование по методу Монте-Карло, которое состоит в том, что моделируется достаточно большое количество приращений изменения стоимости портфеля P (например N =10000 раз) по какой-то выбранной заранее модели.
Например нормальной для изменения стоимости базовых активов. При этом цены входящих в портфель инструментов вычисляются по полученным для них в этой модели точной формуле.
Тогда Var уровня 0.99 будет равен значению смоделированных значений изменений портфеля с порядковым номером N * (1-0.99) в упорядоченном ряде. Историческое моделирование. Предположим, что у нас имеются временные ряды изменений цен базовых активов и финансовых производных на них выраженные в единицах на один актив тогда, пересчитав их возможные изменения к количеству активов, которые имеются в наличие в данный момент, упорядочим их по возрастанию. Тогда, зная общую длину ряда = N, мы можем получить исторический Var нашего сегодняшнего портфеля. Использование метода главных компонент. Все рассмотренные выше методы оценки Var имели один важный недостаток существенную многомерность модели. В последнее время все чаще для моделирования состояний портфеля используется факторный анализ наиболее популярным метолом которого является метод главных компонент.
Идея метода такова. Пусть у нас имеется P базовых активов и мы наблюдаем за ними в течении N дней.
Таким образом у нас имеется матрица наблюдений X размера N*P.
Факторный анализ этот методы которые существенно могут пронизить размерность этого пространства. Канонической моделью факторного анализа является представление матрицы наблюдений X в виде X = F * L + U (1) Где матрица F имеет размер Т*p , p P (факторы)
L - матрица размер p* p (нагрузки)
U матрица размера (N*P) матрица ошибок
В методе главных компонент в качестве матрицы L берут первые p собственных векторов, отвечающие наибольшим собственным значением ковариационной матрицы = E(XX)
Можно показать, что такой выбор матрицы L минимизирует ошибку U в представлении (1)
среди всех возможных линейных ортогональных преобразований исходной матрицы X
Таким образом X ~ F * L. (2)
При этом
F = XL
Последнее следует из того, что LL = I
Таким образом необходимость моделирования изменений большого количества активов можно заменить моделированием небольшого количества факторов. Получая затем приближения изменения самих активов с помощью выражения (2). Наличие сильных корреляционных связей между активами позволяет зачастую довольно сильно уменьшить размерность моделируемого пространства. В частности при моделировании изменений zero-coupon временной структуры в которой P составляет иногда до 20 при этом p=3
И ошибка составляет не более 2%.

Дригие меры риска

Многих недостатков свойственных VARу лишен Shortfall. Обозначим, как и при определении VAR, через X потери нашего портфеля через N дней, q = VAR(X), тогда Shortfall(X) есть условное математическое ожидание X при условии, что X больше q Shortfall (X) = E(X|Xq).
Shortfall является более консервативной мерой риска, чем VAR. Для одного и того же уровня он требует резервировать больший капитал. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий соотношение VAR и Shortfall. Предположим, что у нас есть облигация, номиналом 100, которая завтра должна быть погашена. С вероятностью 0.99 она будет погашена полностью, а с вероятностью 0.01 заемщик откажется от 100% исполнения своих обязательств, и мы получим только половину номинала.
Тогда наши потери X составят 0 с вероятностью 0.99 и 50 с вероятностью 0.01. Для = 0.95 VAR(X) = 0,
т.е VAR советует нам не резервировать капитал вообще. Этот совет представляется странным, поскольку и потери наши могут быть довольно значительны, и вероятность понести эти потери не так уж мала - 0.01. В то же время
Shortfall (X) = E(X|X0) = 50.
Таким образом, Shortfall позволяет учитывать большие потери, которые могут произойти с небольшой (меньшей, чем 1-) вероятностью. Он также более адекватно оценивает риск в распространенном на практике случае, когда распределение потерь имеет тяжелый хвост.

Понятие о когерентных мерах риска

Понятие когерентных мер риска было введено сравнительно недавно см.[2] Обозначим через X случайную величину, выражающую размер возможных потерь к некоторому моменту T в будущем. Когерентной в указанной работе была названа мера риска , обладающая следующими четырьмя свойствами :

(X) = (max(X,0)) ;
(X + Y) (X) + (Y);
для всякого положительного числа ( X) = (X);
для всякого положительного X и числа A 0 (+ X) = A + (X).

Эти условия являются естественными требованиями, которые следует предъявлять к мере риска.
Действительно, если интерпретировать меру риска, как величину капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то первое условие означает, что мера риска прежде всего должна оценивать возможные потери ( X величина потерь, соотетственно отрицательные значения X соответствуют доходу). Субаддитивность также кажется разумным условием. Например если в фирме есть два трейдера и меры риска их сегодняшних позиций равны (X) и (Y), трудно было бы понять почему под общий риск фирмы следует резервировать больше чем (X) + (Y).
Можно привести следующий пример, иллюстрирующий третье условие. Если у нас есть два одинаковых портфеля, то их потери X будут одинаковы, и капитал, резервируемый под каждый из них, также одинаков и равен (X), а под суммарный портфель - 2(X).
Значит (2X) = 2 (X). Четвертое условие означает, что увеличение наших возможных потерь на заранее известную величину A должно приводить к увеличению резервируемого капитала на ту же величину.
В работе [2] дано замечательное представление когерентных мер. Оказывается, что мера риска является когерентной, если ее можно представить в виде супремума математических ожиданий возможных потерь по некоторому семейству вероятностных мер
(X) = sup{EP[(X)] P}.
Меры P можно рассматривать как сценарии развития событий на рынке, а - как набор возможных сценариев. При такой интерпретации когерентные меры оценивают средние потери при наихудшем развитии событий.
Var не является когерентной мерой, а Shortfall является при некоторых дополнительных (довольно слабых) ограничениях на распределение возможных потерь.

Литература.

1. Jhon C.Hull Option,Futures, and other derivatives. Prentice Hall, 1997. 2. P. Artzner, F. Delbaen, J.-M.
Eber, D.Heath. Definition of Coherent Measures of Risk, 1997, Symposium on Risk Management at the European Finance Association 24th Annual Meeting, Viena, Austria.

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

P = X exp(-r(T-t))
Нижние границы для call опионов на бездивидентную акцию
S - X exp(-r(T-t)) = c,C
Поясним почему это имеет место сначала на числовом примере, а потом дадим доказательство. Пусть S = 20$, X=18$, r=10%, T-t = 1 year. Тогда предположим, что с = 3$, что меньше, чем дает последняя оценка. Арбитражер, заметив это, мгновенно коротко продаст акцию и купит call опцион.
Это ему обеспечит доход 20$ - 3$ = 17$ и положит эти деньги под безрисковый доход сроком на год. Через год он получит 17*exp(0.1) = 18.79$, Если акции будут стоить больше 18$ то он реализует свое право, купит акцию по 18$ и получит окончательно доход 18.79 18 = 0.79$. Если же акции через год будут стоить меньше 18, например 17, то он не будет реализовывать опцион и все равно получит доход 18.79 17 = 1.79 Формальное док-во Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))
Портфель B Одна акция. Портфель А. В момент времени Т, если S(T) X, тогда цена портфеля будет S(T). Если же S(T)X, то опцион не реализуется и мы имеем X денег. В любом случае в момент времени Т мы будем иметь маx(S(T),X) Портфель B. Стоит S(T) в момент времени T.
Следовательно для момента времени Т портфель А будет не дешевле, чем портфель В.
Отсюда (из-за невозможности арбитража) следует, что это должно быть справедливо и для произвольного момента времени. Последнее означает, что c + X exp(-r(T-t)) = S или
c S - X exp(-r(T-t))
или
c max (S - X exp(-r(T-t),0)
Что и требовалось доказать. Нижние границы для put опионов на бездивидентную акцию
X exp(-r(T-t)) - S = p Пример.
Пусть S = 37$, X=40$, r=5%, T-t = 0.5 year и пусть p = 1.0$
Тогда
X exp(-r(T-t)) - S = 40*exp(-0.05*0.5) - 37 = 2.01$ Арбитражер занимает 38$ на 6 месяцев, покупает на них акцию и put опцион. Через 6 месяцев он должен вернуть денег 38*exp(0.05*0.5) = 38.96.
Если акция стоит меньше 40, то он реализует опцион и продает свою акцию по 40$. В результате его доход составит 40 - 38.96 = 1.04
Если же акции стоят больше 40, например 42, то он не реализует опцион, а продает акцию и получает 42 - 38.96 = 3.04 Формальное док-во Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция
Портфель D. Деньги в размере X exp(-r(T-t)). Первый портфель.Если S(T) X, то портфель стоит X. Если же S(T) X, то портфель стоит S(T) В любом случае он стоит маx(S(T),X).
Второй портфель в момент T стоит X
Следовательно для произвольного момента времени t имеем
p + S X exp(-r(T-t))
или
p X exp(-r(T-t)) S
или
p max (X exp(-r(T-t)) S,0)

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

Если инвестор обладает Американским call на на бездивидентную акцию, то преждевременное исполнение не всегда является наиболее оптмальной стратегией.
Пример. Пусть в какой-то момент времени S = 50 при X = 40. Тогда возникает желание реализовать опцион и получить доход. Однако это не всегда правильное решение.
Предположим инвестору нужна еще и акция, которую он собирается держать больше чем 1 месяц. В этомслучае лучшей является стратегия держать опцион до конца.
Портфель E. один Американский call и деньги X exp(-r(T-t))
Портфель F. Одна акция
В момент T денег станет X, а в момент tau T их будет X exp(-r(T-tau)). Если в момент времени tau реализовать опцион то портфель E будет стоить
S X + X exp(-r(T-tau))
И это естественно всегда меньше, чем S
Если же дождаться окончания опциона, то стоить портфель E будет
маx(S(T),X) , что уже не меньше чем цена портфеля F. Величина портфеля F всегда равна S(T) И всегда имеется шанс, что S(T) X . Поэтому обладание портфелем E всегда лучше, чем F.
Отсюда возникает гипотеза, что С = с
Действительно. Ранее было показано, что c S - X exp(-r(T-t))
отсюда. Так как с = С
С S - X exp(-r(T-t))
Так как r 0, то
С S - X
Если было бы оптимально реализовать опцион до момента окончания, то С должно = S X, но
раньше времени не имеет смысла реализовывать.

Преждевременное исполнение put на бездивидентную акцию.

Такая стратегия может быть и оптимальной Рассмотрим пример. Пусть S = 0, X = 10. Тогда опцион имеет смысл реализовать, так как меньше 0 стоимость акции все равно уже не будет. Портфель G. один Американский put и одна акция Портфель H. деньги в размере X exp(-r(T-t))
Если реализовать опцион в момент tau T, то стоимость портфеля G будет X, в то время как портфель H стоит только
X exp(-r(T-tau))
В момент T портфель G стоит
маx(S(T),X).
А портфель H стоит только X.

Put Call Паритет

Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере X exp(-r(T-t))
Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция
В момент Т оба портфеля стоят
маx(S(T),X).
Значит (в силу невозможности арбитража) они должны быть равны и в произвльный момент t. Итак
c + X exp(-r(T-t)) = p + S (1) Соотношение между ценами American call Put Put Call Паритет имеет место только для Европейских опционов, однако понятно, что
P p это следует из (1) и
P c + X exp(-r(T-t)) S
Так как с = С, то
P С + X exp(-r(T-t)) S
Или
С - P S - X exp(-r(T-t)) (2) Связь между С и P
Портфель I. Один Eвропейский call и деньги в размере X Портфель J. Один Американский put и одна акция
Инвестируем X из первого портфеля под безрисковый процент r. Ecли второй портфель не реализовать до момента времени T, то в момент Т он будет стоить
маx(S(T),X).
А первый портфель будет
маx(S(T),X) + Xexp(r(T-t)) X
что заведомо больше, чем первый портфель. Пусть второй портфель реализован раньше, чем T Это означает, что он превосходил X в момент времени tau. А первый портфель в этот момент стоил
Xexp(r(tau - t)),
что также больше чем второй портфель
Итак
c + X P + S
или ( с = С)
С + X P + S
Или
С P S X
Комбинируя с (2), получим
S X С P S - X exp(-r(T-t))

Эффект дивидентов

Изменим портфель А с учетом выплат дивидентов в размере D Портфель А. Один Eвропейский call и деньги в размере D +X exp(-r(T-t))
Портфель B Одна акция.
Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что c S D - X exp(-r(T-t))
Теперь получим соответствующее неравенство для Европейского put опциона. Портфель С. Один Eвропейский put и одна акция
Портфель D Деньги в размере D + X exp(-r(T-t)).
Аналогично как и без учета дивидентов доказывается, что p D + X exp(-r(T-t)) S
CallPut Paritet C + D + X exp(-r(T-t)) = p+S

Модель поведения цен акций.

Винеровском процесс.
Случайный процессназывается процессом с независимыми приращениями если для любых моментов временислучайные величинынезависимы.
Процесс называется Гауссовским , если все его конечномерные распределения нормальные.
Гауссовский однородный процесс с независимымы приращениями называется винеровским (или процессом Броуновского движения) Модели поведения цен акций обычно выражают в терминах так называемого Винеровского процесса. Винеровский процесс частный случай Марковких процессов.
Поведение случайной переменной, следующей Винеровскому процессу можно представить как изменение ее величины за бесконечно маленький интервал времени. Пусть t небольшой интервал времени. Определим z как изменение z за время t. Существуют два основных свойства, которым должно удовлетворять z для процесса z , который является Винеровским.
1. z связано с t соотношением z = (t) где - случайная величина со стандартным нормальным распределением

Величины z для двух различных интервалов времени стохастически независимы.

Из своства 1. Следует, что E[z] = 0
и
D[z] = t;
Из свойства 2 вытекает, что процесс z Марковский. Рассмотрим измениние величины z за относительно продолжительный период времени T. z(T) z(0)
Из свойств винеровского процесса и бесграничной делимости нормального распределения следует, что оно может быть представлено как сумма изменений за N небольших интервалов длины t, где N = [T/t];
Итак
z(T) z(0) = (t).
Здесь - независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением.
E[z(T) z(0)] = 0
и
D[z(T) z(0)] = Nt = T Винеровский процесс это предельный процесс при t - 0, что будем записывать как dz = dt Обобщенный Винеровский процесс. Обобщенным Винеровским процессом для переменной x называется процесс определяемый как.
dx = a dt + b dz a носит название коэффициента сноса, а b диффузии. Для лучшего понимания записей такого рода рассмотрим отдельно слагаемые правой части.
Без второго слагаемого получим обыкновенное дифференциальное уравнение
dx = a dt
или
dx/dt = a решение которого x = x0 + at
здесь x0- начальное значение процесса. Последнее соотношение означает, что за время T , x увеличится на величину aT.
Второй слагаемое это b раз Винеровский процесс. За промежуток времени t изменение x составит:
x = at + b (t).
Так как - стандартная нормальная случайная величина, то x также имеет нормальное распределение со среднем
E[x ] = at
и дисперсией
D[x ] = b^2t Процесс Ито. Обобщенный Винеровский процесс у которого коэффициенты сноса и диффузии могут зависить от времени и состояния называются процессами Ито dx = a(x,t) dt + b a(x,t) dz

Процесс для цен акций.

Предположим, что процесс цены акций следует обобщенному Винеровскому процессу, т.е. имеет постоянный снос и постоянную диффузию. Однако, это не совсем адекватное предположение. Действительно, пусть цена акции 10$ и инвестор ожидает роста 14%.
Естественно ожидать 14% и если цена акции станет 50$. Ясно, что предположение о постоянном сносе требует изменения на то, что ожидаемый рост пропорционален цене акции - S где некоторый постоянный параметр. Приращение цены акции за небольшой промежуток времени составит St. Если предположить, что поведение цены акций не случайно мы получим следующее соотношение
Илиоткудагде S0 цена акции в момент времени 0
На практике поведение цены акций имеет случайность. И разумным предположением можно считать, что дисперсия составляет некоторый процент от текущей цены акции.
Определим ^2 уровень пропорционального изменения цены акции. Это означает, что ^2S^2t дисперсия изменения цены акции за интервал времени t. Итак мы приходим к уравнению Или Уравнение (1) это наиболее широко применяемая модель поведения цен акций. Эту модель часто называют геометрическим Броуновским движением. Дискретная версия модели будет Из (2) видно, что - нормально распределенная случачайная величина
На этом основывается моделирование поведения цен акций методом Монте-Карло.
Предположим, что волатильность составляет 20% в год. И ожидаемый уровень роста составляет 14% в год. Пусть t = 0.01 Тогда Траектория цены акции может быть смоделирована использованием датчика стандартного нормального распределения (0,1), а именно если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, то случайная величина = 0.0014 + 0.02 также будет иметь нормальное распределение, но уже с параметрами
Предположим, что в настоящее время цена акции составляет 20$, тогда приращение цены акции за время t = 0.01 составит S = 20 * .

Биномиальная модель.

Довольно часто для оценки цен акций, или производных финансовых инструментов применяются так называемые Биномиальные модели.
Под Биномиальной моделью понимают следующее. Предположим, что в начальный момент времени цена акции составляет S. Тогда через время t она может оказаться в состоянии Su с вероятность p или в Sd с вероятность 1-p.
Еще через время t она может оказаться в состоянии Suu или Sud или Sdu или Sdd и так далее
Suu
Su
S Sud
Sdu
Sd
Sdd
Переменные u,d и p выбираются такими, чтобы процент ожидаемого роста составил t и уровень изменения дисперсии ^2t. Одним из возможных путей сделать это положить
Нетрудно убедиться, что при t-0 Биномиальная модель стремится к модели геометрического Броуновского движения.

Анализ Блэка-Шольца

В 1970 году Блэка и Шольц сделали важнейший прорыв в решении дифференциальных уравнений, описывающих поведение цены производного финансового инструмента от цены базового актива. Одним из основных математических инструментов, при этом явилась так называемая Лемма Ито
Пусть случайный процесс x следует процессу Ито .
dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz
И пусть G(x,t) функция от x и t
Тогда Таким образом процесс для G (x,t) также Ито процесс со сносом И коэффициентом диффузиии
Для описания поведения акции нами был предложен процесс (1)
Из леммы Ито мы получим, что для процесса G(S,t)
В частности для процесса изменения цен форвардного контракта
Будем иметь В результате получим Или
Применение к логарифму цены Пусть теперь G(x,t) = lnS
Так как Следовательно
Логнормальное свойство цен акций
Случайная величина имеет логнормальное распределение если логарифим сл. величины имеет нормальное распределение. Из формулы (2) следует, что изменение за время от t до T логарифма G имеют нормальное распределение с математическим ожиданием
И дисперсией
Или это можно записать так Или Отсюда следует, что само S(T) имеем логнормальное рапределение. Случайная величина, которая имеет логнормальное распределение, принимает значения от 0 до бесконечности. Из свойств нормального и логнормального распределения следует, что математическое ожидание случайной величины S(t) равно И диспресия S(t) равна Логнормальное свойство цен акций может быть использовано для получения информации о распределении непрерывно начисляемой доходности акции. Действительно, определим годовой начисляемый доход по акции равным . Или
Отсюда
Так как ln(S(T)) ln(S) = ln(S(T)/S), то из формул (3) и (4) следует,что имеет нормальное распределение с параметрами Оценивание волатильности из исторических данных.
Пусть n+1 Количество наблюдений S(i) цена акции в конце i-го интервала времени
- длина интервала времени в годах.
Обозначим через
u(i) = ln(S(i)/S(i-1)) Так как S(i) = S(i-1)exp(u(i)), то u(i) можно рассматривать как непрерывно начисляемая доходность, но не привиденная к годовым, в единицу интервала между наблюдениями. В качестве оценки волатильности обычно используют следующую формулу
Но чуть ранее мы показали, что ln(S(T)/S имеет нормальное распределение с дисперсией
^2*(T-t), поэтому стандартное отклонение для u(i) будет равно *sqrt(). Отсюда следует, что само может быть оцененно как
Стандартная ошибка оценки составляет Пример. Рассмотрим последовательность цен на акции за 20 дней.
Пусть u(i) = 0.09531 и u^2(i)= 0.00333. Тогда оценка стандартного отклонения (дневного) будет
Sqrt(0.00333/19 0.09531^2/380) = 0.0123 Предположим, что время измеряется в торговых днях, тогда в год 250 рабочих дней т.е. =1/250. Отсюда оценка годовой волатильности будет
0.0123*sqrt(250) = 0.194 или 19.4 процента.
Стандартная ошибка составит 0.194/sqrt(2*20) =0.031 или 3.1 процента.
Вычисление цены опциона с помощью простой биномиальной модели.
Вычисление цены опициона рассмотрим на примере Европейского опициона. Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию.
Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0. Рассмотрим портфель состоящий из длинной позиции в акций и короткой позиции из одного call опциона. Тогда стоимость портфеля составит 22-1, если цена акции будет 22, и 18 если цена акции упадет до 18$. При =0.25 эти две величины совпадают
18 = 22-1 = 4.5. При таком =0.25 наш портфель становится безрисоковым. В начальный момент времени величина портфеля равна
20*0.25-f = 5-f
Где f цена опциона. Безрисоквый портфель должен быть и относительно безрисокового вложения в государтвенный ценный бумаги. Предположим, что величина безрисовой доходности составляет 1 процент в месяц, тогда
1.01(5-f)=4.5
отсюда
f = 5 4.5/1.01 = 0.5445
Это и есть текущая цена call опциона. Удивительно то, что при этом никак не использовались вероятности перехода в рассмотренный два состояния.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шольца

Будем использовать следующие предположения при выводе и решении дифференциального уравнения Блэка-Шольца - Цена акции меняется согласно случайного процесса

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

Преждевременное исполнение call на бездивидентную акцию.

с постоянными и .

Разрешена короткая продажа.
Транзакции бесплатны.
Все инстументы в нужном количестве делимы.
Нет выплат дивидентов во время жизни опциона
Невозможен безрисковой арбитраж
Торговля происходит при непрервном времени
Безрисовая доходность r постоянна для всех матеростей.

Позднее некоторый из сделанных предположений будут ослаблены. В частности , и r
могут быть известными функциями от времени. Итак, пусть f цена производного финансового инструмента на бозовый актив S. И пусть f некоторая функция от S и t. Тогда согласно леммы Ито
Соответственно дискретный версии для формул (1) и (2) будут И Согласно леммы Ито процесс z= * sqrt(t) тот же самый. Это приводит к тому, изменением портфеля акции и производного инструмента можно добиться так, что Винеровский процесс сократится. Таким портфелем будет:
Портвель А 1 производный инструмент
Портфель B
акций.
Держатель такого портфеля имеет короткую позицию по финансовой производной и длинную позицию по акциям. Определим - как стомость такого портфеля
Дискретное изменение его стоимости составит Подставляя выражения (3) в выражение (4) получим
Обратим внимание на то, что z-сокращается. Таким образом изменения портфеля можно сделать безрисковым. Из сделанных выше предположений об отсутствии арбитража имеем =rt.
Вычитая последнее выражение из формул (4) и (5) получим
Или
Полученное дифференициальное уравнение и есть уравнение Блэка-Шольца. Оно имеет бесконесно много решений в соответствии различным производным инструментам на базовый актив S. Учет граничных условий позволяет найти частные решения. Например в случае Eвропейского call опциона эти граничные условия будут
f = max(S-X,0) при t=T а для put опциона
f = max(X-S,0) при t=T
В качестве примера можно рассмотреть форвардный контракт на бездивидентную акцию. Мы уже знаем, что величина форфардного контракта f = S Kexp(-r(T-t))
где К цена открытия форфардного контракта. Тогда f/t=-rKexp(-r(T-t))
f/S = 1
^2f/S^2 =0 Подстановка в левую часть (6) дает -rKexp(-r(T-t)) +rS
и это должно быть равно rf, но это так и есть.

Риск-нейтральные вычисления

Риск-нейтральные вычисления без всякого сомнения являются наиболее важным средством для анализа финансовых производных. Это следствие из одного ключевого свойства дифференциального уравнения (6).
Свойство это в том, что уравнение не включает в себя рисковую переменную. Переменные участвующие в уравнении это текущая цена акции, время, волатильность, безрисковая доходность.
Все они не зависят от риска. Уравнение Блэка-Шольца не было бы независимым от риска если бы оно включало в себя ожидаемую доходность по акции , так как может зависить от риска. Но к счастью сократилось при выводе. Но если рисковые переменные не входят в уравнение, то они не влияют на его решение. Однако некоторое множество рисковых переменных может входить в f, однако можно сделать одно простое предположение,а имеено все инвесторы находятся в одинаковых условиях и все их инвестиции предполагаются риск-нейтральны.
В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r и поэтому все текущие величины будущих выплат могут быть получены дисконтированием их ожидаемых значений (математического ожидания) на величину безрисковой доходности. Для примера вернемся к биномиальной модели получения цены call опциона, которую мы рассматривали ранее.
Предположим, что цена акции составляет 20$ и известно, что через месяц цена акции составит либо 22$, либо 18$ за акцию. Рассмотрим Европейский call опцион со страйком 21$ и матеростью 1 месяц. Если цена акции составит через месяц 22$, то выплаты по опциону составит 1$, если же она будет 18$, то выплаты равны 0. Напомним, что мы вычислии цену опциона 0.5445 без использования вероятностей перехода цены акции в 22$ и 18$.
Сейчас мы покажем как можно использовать предположения о риск-нейтральном мире для получения этой же цены.
В риск нейтральном мире ожидаемый доход от всех инструментов есть безрисковая доходность r = 1% в месяц. Вероятность p, того что акция будет стоить 22$ должна удовлетворять соотношению 22p+18(1-p) = 20*0.01
отсюда p = 0.55
Математическое ожидание call опциона в риск нейтральном мире составит
0.55*1+0.45*0 = 0.55 Тогда дисконтирование к сегоднешнему времени приводит 0.55/1.01 = 0.5445
И это то же самое значение, что и было получено ранее

Применение к форвардному контракту

Мы также ранее получали величину форвардного контрата на бездивидентную акцию. Теперь мы ее получим заново, изпользуя понятие риск-нейтрального мира.
Пусть безрисковая доходность постоянна для всех матеростей и равна r. Рассмотрим длинный форвардный контракт на время T с ценой открытия K. Тогда выплаты в момент истечения составят S(T) K
C точки зрения риск нейтральности величина форвардного контракта в момент времени t есть математическое ожидание его величины в риск нейтральном мире дисконтированное к времени t. Таким образом
f = exp(-r(T-t)) E[S(T) K]
Здесь символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире
f = exp(-r(T-t))( E[S(T)] K)
Или
f = exp(-r(T-t)) E[S(T)] - exp(-r(T-t))K
Так как
E[S(T)] = Sexp(r(T-t))
То подстановка этого выражения нам дает
f =S-Kexp(-r(T-t))
что и требовалость доказать. Мы также показывали, что последнее выражение удовлетворяет уравнению Блэка-Шольца.
Решение дифференициального уравнения Блэка-Шольца для Европейских опционов. Математическое ожидание выплат по call опциону в момент окончания составит E[max(S(T)-K,0],
Где символом E[..] обозначается математическое ожидание в риск нейтральном мире Из соображений риск нейтральности для цены c Европейского call опциона имеем с=exp(-r(T-t)) E[max(S(T)-K,0]
В риск нейтральном мире вероятностное распределение ln(S(T)) нормальное
это та же самая формула (3), что и вначале лекции, но заменой на r.
Вычисляя математическое ожидание E[max(S(T)-K,0]
Получим c = SN(d1)-Xexp(-r(T-t))N(d2)
Где
D1=[ln(S/X)+(r+^2/2)(T-t)]/ * sqrt(T-t)
D2=[ln(S/X)+(r-^2/2)(T-t)]/ * sqrt(T-t)=d1- * sqrt(T-t)

Ценные бумаги: Анализ - Акции - Вексель - Облигации